CC BY
108
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIII 1992 №4
УДК 629.782.015.076.8:525.7
ПРИБЛИЖЕННО ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ ВЫВЕДЕНИЯ ОДНОСТУПЕНЧАТОГО ВОЗДУШНО-КОСМИЧЕСКОГО САМОЛЕТА НА ОКОЛОЗЕМНУЮ ОРБИТУ
О. В. Балабанов, В. Т. Пашинцев
Рассматривается задача оптимального управления движением крылатого одноступенчатого воздушно-космического самолета {В КС) с комбинированной двигательной установкой (КДУ),' осуществляющего выведение максимальной массы полезного груза на низкую околоземную орбиту с использованием горизонтального старта с поверхности Земли.
В составе КДУ указанного типа ВКС предусматривается использование гиперзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя (ГПВРД), обеспечивающего разгон ВКС в плотных слоях атмосферы до больших гиперзвуковых скоростей полета, а также жидкостного ракетного двигателя (ЖРД), обеспечивающего после выключения ГПВРД выведение ВКС на околоземную орбиту.
Предлагаемая инженерная методика построения приближенно оптимальных траекторий выведения опирается на использование строго оптимального управления углом атаки на участке траектории полета с ЖРД.
В качестве альтернативных вариантов существующим космическим системам вертикального старта типа «Space — Shuttle» и «Энергия — Буран» в последние годы активно разрабатываются многоразовые воздушно-косми-ческие системы горизонтального старта. Одно из перспективных направлений создания указанного типа космических систем, рассматриваемое в данной статье, предполагает использование крылатого одноступенчатого воздушнокосмического самолета (ВКС) с комбинированной двигательной установкой (КДУ), включающей в себя контур воздушно-реактивных двигателей (ВРД) и контур ЖРД.
Характерным для указанного типа ВКС является использование в контуре ВРД гиперзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя (ГПВРД), обладающего в широком диапазоне гиперзвуковых скоростей полета в плотных слоях атмосферы более высоким значением удельного импульса по сравнению с ЖРД и ПВРД с дозвуковым горением [1]. На начальном этапе предварительного разгона ВКС до чисел М, минимально необходимых для включения ГПВРД, предполагается использование газотурбинного двигателя (ГТД).
Момент выключения ГПВРД может определяться либо условием полного расходования располагаемого запаса топлива ВРД, либо результатом существенного уменьшения коэффициента тяги ГПВРД в Диапазоне больших гиперзвуковых скоростей полета. Очевидно, что в первом из указанных случаев при последовательной работе ГПВРД и ЖРД задачей оптимизации
управления движением ВКС с точки зрения максимизации конечной массы на орбите является реализация к моменту выключения ГПВРД таких значений фазовых координат, которые обеспечивали бы на последующем участке траектории минимум потребного расхода топлива ЖРД
Что касается второго случая, то здесь проб’лема оптимизации управления движением ВКС может быть связана с вопросом рационального распределения фиксированного запаса горючего между контурами ВРД и ЖРД с целью максимальной экономии общего расхода топлива.
Проблема оптимизации управления движением ВКС может быть связана также с- вопросом о выборе рациональных тягово-расходных характеристик ЖРД, например, в случае зависимости массы ЖРД от величины его пустотной тяги. Поскольку в этом случае максимизируемаяч масса полезного груза, выводимого на околоземную орбиту, будет зависеть от конечной массы ВКС и от величины пустотной тяги ЖРД (Р„). то в области существенного уменьшения коэффициента тяги ГПВРД при относительно малых значениях Р„ может оказаться эффективным использование совместной работы ГПВРД и ЖРД. обеспечивающей реализацию к моменту выключения ГПВРД более благоприятных по высоте и углу наклона траектории начальных условий для последующего участка автономной работы ЖРД.
Задача оптимального выведения на околоземную орбиту максимальной конечной массы одноступенчатого летательного аппарата с ГПВРД, не обладающего аэродинамической подъемной силой, при заданных начальных условиях движения в момент выключения ГПВРД рассматривалась в работе [2]. Применительно к крылатому одноступенчатому ВКС, использующему в комбинированной двигательной установке ГПВРД, подобная задача в приближенной постановке исследовалась в [3]. В [4] оптимизация управления движением при разгоне крылатого летательного аппарата с ГПВРД в плотных слоях атмосферы проводилась в рамках использования метода сингулярных возмущений. Оптимизация управления режимом работы ГПВРД в работах [2] — [4] не рассматривалась.
В данной работе применительно к задаче выведения на низкую околоземную орбиту максимальной массы полезного груза с использованием крылатого одноступенчатого ВКС с КДУ предлагается инженерная методика построения приближенно оптимального управления углом атаки и режимом работы ГПВРД, предусматривающая использование «полной» системы уравнений движения и строго оптимального управления движением на участке автономной работы ЖРД.
1. Уравнения движения. Плоское движение центра масс одноступенчатого ВКС с КДУ в скоростной системе координат будем описывать следующей системой дифференциальных уравнений без учета вращения Земли:
V = ёО ‘ Ях § ' вШ 0,
е = (1/*0 • [£о • пу — (ё — О2/Г)СО8 0], ^ (!)
А= V • вт 0, <3 = — Я, Се; /3600, ^
где — гравитационное ускорение на уровне Земли; I — порядковый номер последовательно используемых в КДУ двигателей; Я,, С*(. — тяга и удельный часовой расход топлива 1-го двигателя; пх, пу — продольная и нормальная перегрузки; А, V, 0 — высота, скорость и угол наклона траектории; ё = ёо • (/?!/г2), г = /?3 + А, /?3 — средний радиус Земли;
пх(Р, а) = (Рх,— сХ1д5)/0, 1 (2)
пу (Р, а) = (Ру. — сух яБ)/в, J
<7 = р • V2/2 — скоростной напор; б, 5 — масса и характерная площадь ВКС, а—угол атаки.
Применительно к интегральной компоновке ВКС, предусматривающей использование общего для ГТД и ГПВРД внутреннего тракта КДУ, а также общего для ВРД (ГТД + ГПВРД) и ЖРД сопла, коэффициенты «обобщенных» аэродинамических сил сХ1, сУ1 составляющие силы тяги Рг., РУ1 в (2) будем определять следующим образом:
где 6c(w) — угол отклонения вектора выходного количества движения на срезе сопла, б = const — угол установки ЖРД, F = Fa/S', F0, <р — площадь входа и полный коэффициент расхода воздухозаборника, сх, су — коэффициенты внешних аэродинамических сил; Ас*, Лсу — поправки, связанные с учетом поворота вектора количества движения во внутреннем канале контура ВРД при несимметричном входе и истечении потока [2].
Независимой переменной в (1) является время /.
Остаковимся на принимаемых математических моделях ГПВРД и ЖРД.
а) ГПВРД. Тяга и удельный часовой расход топлива Се вычисляются по формулам
/Уд(Моо> «2. “к.с) — удельный импульс (м/с), Ьо — стехиометрический коэффициент, акс — коэффициент избытка воздуха в камере сгорания, <р=ЛпХ X ^„(М^, а2) — коэффициент поджатая струи в воздухозаборнике,
М1 (Мос, а2) — местное число М потока на входе в воздухозаборник, а2 = а + ®о. «о — угол установки воздухозаборника; М«,— скорость и число М невозмущенного потока.
Зависимости /^(М», с^, а^), *„(М„, а2), <р'(М1), М, (М., а2), бс (о) задаются таблично.
Коэффициент избытка воздуха акс может рассматриваться в качестве управления, регулирующего режим работы ГПВРД.
б) ЖРД. Основными характеристиками ЖРД являются зависимость удельного импульса / [с] от давления атмосферы р* на высоте Л при заданном отношении секундных расходов окислителя и горючего кт: /(А) = = / (рн, кт), а также зависимость тяги от высоты полета Я (А).
Тягу и удельный часовой расход топлива ЖРД будем определять следующим образом:
где Рп, /„ — пустотные значения тяги и удельного импульса при А ~ оо.
2. Постановка задачи. Рассмотрим следующую расчетную модель:
— отдельные контуры КДУ (ГТД, ГПВРД, ЖРД) работают последовательно;
— изменение массы ВКС определяется лишь расходом топлива (сброс элементов конструкции отсутствует);
cxz = Сх + Ас*, сУг = су + Асу.
Ас* = 2<pF • [ 1 — cos (а + 6С)], Асу — 2<рF • sin (а + 8С), * (3)
Сх = cxmin (М) + А (М) • [Су — сУ1 (М)]2, су = суо (М) + с? (М) • а,
для ВРД:
для ЖРД:
Рх = Р • cos (а + 8С), Ру= Р • sin (а + 6С),
Рх = Р • cos (а +6), Ру= Р • sin (а + 6),
Р — ср • q^Fo, Се — go ’ 3600//уд, где qx — скоростной напор невозмущенного набегающего потока,
ср — (2/уд<р)/(Ок.с^-о • «»),
(5)
(6)
Р (А) = Р„ • / (А)//п> С (А) = 3600// (А),
(7)
— масса располагаемого запаса топлива ВРД, расходуемого в ГТД и ГПВРД, является фиксированной;
— допустимые траектории полета удовлетворяют ограничению по скоростному напору q (А, у)<^тах;
— фазовые координаты в момент включения ГПВРД (t=t^), реализуемые в результате предварительного разгона с ГТД по заданной программной траектории, являются известными;
— после выключения контура ГПВРД влияние внутреннего сопротивления на тяговые характеристики КДУ не учитывается;
— режим работы ЖРД является фиксированным.
В соответствии с принимаемой расчетной моделью в качестве условия, определяющего промежуточную точку траектории (/ = /*), в которой происходит выключение ГПВРД и последующее включен::.: ЖРД, примем следующее:
где С* — масса ВКС в момент полного расходования располагаемого запаса топлива ВРД.
Пусть конечная точка траектории (t=tк) выведения ВКС на околоземную орбиту при свободном конечном времени / = 1К характеризуется терминальными условиями:
где ук, Лк, 0К — заданные величины.
В качестве кусочно-непрерывных управлений примем угол атаки и коэффициент избытка воздуха в камере сгорания ГПВРД акг.
Ставится задача оптимизации управлений a(t), t£[t 1; /к] и а кс (/), ^6 [Л; f*\, обеспечивающих достижение максимума конечной массы GK — = G (tK), выводимой на околоземную орбиту.
Трудности строгого решения поставленной вариационной задачи при таблично заданных характеристиках ВКС и наличии разрыва правых частей уравнений движения в промежуточной точке траектории t* являются общеизвестными. В связи с этим формирование инженерной методики приближенной оптимизации управлений будем проводить с использованием некоторых упрощений.
Прежде всего воспользуемся тем обстоятельством, что в случае свободного правого конца траектории разгон летательного аппарата с ГПВРД является наиболее экономичным при условии выдерживания максимально допустимой величины скоростного напора qmax [2]. Исходя из этого, а также учитывая ограниченные возможности использования ЖРД в плотных слоях атмосферы, будем полагать, что траекторию разгона с ГПВРД в общем случае условно можно представить состоящей из основного «маршевого» участка разгона вдоль ограничения по скоростному напору и последующего переходного участка разгона при q<Lqmax, предшествующего моменту включения ЖРД (см. рис. 4). Оптимальный момент схода с ограничения по скоростному напору (t=tcx) при этом будет зависеть от используемых тягово-расходных характеристик (ЖРД) и заданного располагаемого запаса топлива ВРД. Последнее обстоятельство, в частности, приводит к тому, что максимально допустимое значение параметра /сх должно быть ограничено неравенством G (tcx) ^ G*.
Указанное выше упрощение позволяет рассмотреть вопрос оптимизации режима работы ГПВРД на маршевом участке разгона независимо от назначаемого момента схода tcx с ограничения по скоростному напору. При каждом допустимом значении /сх = fix может быть выделена также задача оптимизации управления движением в открытой области текущих значений фазовых координат (q (Л, v) < qmax, t ^ /сх).
G (t*) — С* = О,
(8)
V (*к) = О», k (О = Ак. в (/к) = 0К,
(9)
3. Оптимизация режима работы ГПВРД на маршевом участке разгона.
Будем полагать, что момент включения ГПВРД Ї совпадает с началом маршевого участка разгона ВКС, осуществляемого вдоль линии максимально допустимого скоростного напора.
Из результатов предварительных расчетов следует, что разгон ВКС по ограничению q (Л, v) = qmax с использованием ГПВРД осуществляется в режиме, близком к квазистационарному (0 ~ 0), с практически постоянным значением угла атаки, слабо зависящим от назначаемого программного закона
управления акс=с(кс(М) (рис. 1). Первый из указанных фактов позволяет задачу оптимизации акс(М) на маршевом участке разгона с ГПВРД приближенно рассматривать в рамках использования «энергетического» метода (при допущении 0 ~ 0, 0 ~ 0) как задачу минимизации расхода топлива GT, потребного для достижения заданной величины удельной механической энергии Е = А + v2/2g0 [5].
Поскольку исходя из (1) имеем Ё = v ■ пх, то с учетом дополнительно установленного условия a(/) = const, *6[/ь fcj, указанная задача сводится
к максимизации по ак с величины (1/3600) dE/dG\m^ = [ v • пх/РСе] при каждом текущем значении Е^Е (tex):
“к с opt (£) = агё sup [v • Пх/РСе] а = соти , = ,тах- (10)
к ®к.с
С использованием соотношений (2), (4) — (6) в (10) будем иметь
V • Пх/РСе = V cos (a + 6С)[ /уд (М, а*.с, а) —
— сХЕ(М, а) иЬ0(хкс/2ф(М, а) FJ/3600g0-G, (11)
где <р (М, а) = ф cos (а + 6С).
С учетом (11) условию (10) эквивалентно следующее:
Ок.сорі(£) = arg sup[ /УД(М, о^ с) — Ф(М, а) • акс]
(12)
а= const
Я=Ят ах
где Ф(М, а)=^ сх1и(Е) /,о/2^*<р(М, а).
Вытекающее из (12) необходимое условие оптимальности в открытой области допустимых значений к.с
д1уд (М, ак с)/5ак.с = Ф (М, а)
имеет простой геометрический смысл. Так, если при а = const с использованием таблично заданных характеристик ГПВРД вычислить значения Ф(М,) для некоторого набора чисел М, и построить зависимость /уд/ (а*,., М,) по оьк.с то при оптимальном значении aKCOpt(M,) наклон касательной к кривой ^уд (®ч.с1м=м, должен определяться величиной Ф(Му).
Таким образом, в результате интегрирования уравнений движения (1) вдоль ограничения по скоростному напору q (Л, v) = <7тах при оптимальном законе управления otKCOpt(£) могут быть определены фазовые координаты v (*сх)> Л (tcx), 0 (tcx), G (tcx) в любой из назначаемых (в процессе параметрической оптимизации) моментов схода tcx с ограничения по скоростному напору.
4. Условие оптимальности в открытой области фазовых координат.
Обратимся к анализу условий оптимальности на участке траектории вы-
ведения после схода с ограничения по скоростному напору (t £[icx\ fK]). Величину tcx будем рассматривать в качестве варьируемого параметра.
Воспользуемся формализмом принципа максимума Л. С. Понтрягина и введем в рассмотрение функцию Гамильтона [6]:
Н (к, х, и) = К (go-nx — g• sin 0) + A.e[g0-rtj, — (£ — y2/r) cos ®]/v +
+ k„ • v sin 0 - XaPi -£,/3600, (13)
где u = {a, o^J — вектор управлений, x=\v, 0, h, G}—вектор фазовых координат, A, = {X„, ke, А*, A0}— вектор сопряженных переменных, удовлетворяющий уравнению
К= — \хН(к,х,и). (14)
Необходимым условием оптимальности кусочно-непрерывного управления “opt (0. t е [ tcx, у при к0 (О < 0 является
“opt= arg inf Н (к, X, и). (15)
С учетом (15) необходимые условия оптимальности допустимых на KxJ Q траекторий (условия трансверсальности) сводятся к следующему:
— в соответствии с терминальными условиями (9) сопряженные переменные А,в, А* и |А,0| на правом конце оптимальной траектории при свободном конечном времени iK являются свободными, однако удовлетворяющими краевому условию Н (tK) = 0;
— при каждом фиксированном моменте схода tcx с ограничения q = qmax сопряженный вектор X (/сх), а также функция Гамильтона Н (tcx) на левом конце оптимальной траектории (t= tcx) являются свободными;
— с учетом (8) в промежуточной точке t* оптимальной траектории, соответствующей моменту разрыва правых частей уравнений движения, для сопряженной переменной ка должно выполняться «условие Скачка» при условии непрерывности функции Гамильтона:
kt (t*) = kg (t*) + (1, = const,
H+ (t*) = H~ (t*).
На основании приведенных выше необходимых условий оптимальности устанавливается следующее:
1) В силу автономности уравнений движения (1) из условия непрерывности фазовых координат и функции Гамильтона, а также из краевого условия H{tk) = 0 вытекает существование на оптимальной траектории первого интеграла вида
Н (к, х, uopt) = 0. (16)
2) Если в промежуточной точке траектории t* для определения величины ц воспользоваться условием непрерывности //(/*), то с учетом (16) при интегрировании уравнений (1), (14) в прямом направлении необходимо на фиксированном левом конце траектории (/„ = fix) подобрать начальные значения трех сопряженных переменных, обеспечивающие при u = uopt(t),
^к] выполнение краевых условий (9) и А,с(/К)<0 (одно из условий в (9) может быть принято в качестве признака конца траектории).
3) С учетом необходимости оптимизации параметра tcx краевая задача построения на [^сх; /к] оптимальной траектории является четырехпараметрической.
Остановимся на некоторых аспектах проблемы «склеивания» в промежуточной точке траектории t* оптимальных участков выведения, соответствующих этапам разгона ВКС с использованием ГПВРД и ЖРД. Поскольку в соответствии с (7) на этапе автономной работы ЖРД Рсе = const, то в (14) будем иметь Ах (РСе) = 0. В связи с этим при фиксированном режиме работы ЖРД на отрезке времени [/*; дифференциальные уравнения в (14), соответствующие сопряженным переменным kv, А.в и А*, оказываются не зависящими явно от переменной Хв. В таком случае при интегрировании в прямом направлении процедура определения ja из условия непрерывности Н+ (/*) = = Н~ (/*) оказывается формальной в том смысле, что она согласно (13) не оказывает влияния на последующее оптимальное управление движением
Исходя из сказанного, устанавливаем, что в случае фиксированного режима работы ЖРД оптимальное управление на [/*; /к] при любых допустимых значениях фазовых координат в промежуточной точке траектории t* может быть построено в результате решения задачи на быстродействие, поскольку при X0(tK) = 0 функция Гамильтона в конечной точке траектории согласно (16) должна удовлетворять условию #(£„)>• 0, и следовательно, правая часть уравнения (13) при неизменном условии оптимальности (15) формально может быть дополнена величиной А,/ = const >0.
Таким образом, если в (1) режим работы ЖРД не регулируется, то при любом фиксированном моменте схода с ограничения t„ решение трехпараметрической краевой задачи должно обеспечить реализацию таких значений фазовых координат в промежуточной точке траектории t*, при которых продолжительность оптимальной на [ t*\ /к] траектории движения, удовлетворяющей терминальным условиям (9), является минимальной.
5. Приближенное условие оптимальности момента переключения с ГПВРД на ЖРД. Воспользуемся тем обстоятельством, что после схода с ограничения по скоростному напору последующий участок разгона с ГПВРД в открытой области допустимых значений фазовых координат является непродолжительным. В связи с этим будем полагать, что на отрезке времени [/сх; /*] влиянием изменения массы ВКС можно пренебречь. В таком случае при 6 (t) ~ 0, /6[/сх; /*] приближенно оптимальные управления aopt (f) и aKCOpt(<) на [/сх; t*] согласно (15) должны определяться из условия максимума «укороченной» функции Гамильтона вида
AH (ос, aK.c) = go-[«x(a, ак.с) + Х-пу(а, акс)], (17)
где Х = Xe/V-K, Н = н/к.
Относительно необходимости поиска максимума величины АН поясним следующее. Исходя из вариационного принципа взаимное™, задаче максимизации конечной массы GK = G (iK) при ик = fix можно поставить в соответствие задачу максимизации конечной скорости v (tK) при GK = fix. В таком случае условию оптимальности (15) должно соответствовать краевое условие вида А.„(/к)<0, и следовательно, в случае_ знакопостоянной функции А,„ (t) <j0, / ^ /сх, будем иметь sign Н = — sign АН.
Учитывая, что в соответствии с (5) оптимальная тяга ГПВРД зависит от управлений а, акс и величины скоростного напора, а тяга ЖРД определяется текущей высотой и величиной пустотной тяги Рп, введем в рассмотрение следующие обозначения:
Pi (и) = РгпВРД (aopt> aK.c.opt> 4)1 ^*2 (Рп) =^>ЖРд(^>п> Л).
Учитывая, что согласно (2) и (4) тяга двигателей КДУ в (17) входит линейно, воспользуемся следующей линейной комбинацией граничных значений Pi (и) и Р2 (Р„) :
рАх.[Р1 (и) - Р2 (Рп)] +Р2(РП), Хб [0; 1]. (18)
Будем говорить, что в открытой области текущих значений фазовых координат неособое оптимальное управление xopt соответствует рациональному использованию граничных значений Р\ (и) и Р2 (Рп) с точки зрения максимума по х величины АН (и, х):
Х= |" 1 при Рopt = Р, (и),
(.о при Рор,= Р2(Рп).
С учетом (2), (4), (17) и (18) в окрестности промежуточной точки траектории t* условие оптимальности управлений aopt (t) и xopt (/), t* — е < ■< t <Zt* + e может быть представлено в следующем виде:
{«opt; ’«opt} = arg sup {(cos a + X sin a)[ x(P,(u) — Р^РП)) + Рг(Рп)] +
a,x
+ [ c^(a) •x — c^(“) Qs]} * (19)
где
d= fa+bc(v) при t<t*,
I. a-f б при t > t*.
Ниже в п. 6 будет показано, что при aopt (t*) > 0 и q (t*) < qmax в промежуточной точке экстремали должно выполняться неравенство
cos dopt (t*) + sin dopt (/*) > 0. (20)
Характерно, что в разреженных слоях атмосферы (где заведомо Pi (и) < <Р2(РП)) неравенство (20) с учетом (19) соответствует необходимому условию оптимальности в (1) максимальной тяги ЖРД (*opt = 0)- В плотных же слоях атмосферы при Pi (и) > Р2 (Рп) оно является необходимым условием строгой оптимальности в (1) тяги ГПВРД (xOEt= 1). Итак, с учетом (20)
из (19) устанавливаем, что при q (t*) <Сqmax, aopt(/*)>0 в промежуточной
точке траектории t* в качестве необходимого условия оптимальности неособого управления х приближенно может быть принято следующее:
Ход/*)= Г 1 при Р, (/*) >Р2(/*), (21)
°Р I 0 при Р, (/*)<Р2(/*).
Из (21) следует, что в рамках допущения G (t) ~ 0, t £[tcx\ t*] в случае использования нерегулируемого режима работы ЖРД в промежуточной точке экстремали t*, определяемой моментом полного расходования располагаемого запаса топлива ВРД, при q(t*)<Lqтах, aopt (/*);> 0 на экстремали приближенно должно выполняться условие равенства величин тяг ГПВРД и ЖРД Р1 (/*) « Р2 (t*), что строго соответствует условию оптимальности в задаче быстродействия.
Указанное приближенное условие оптимальности момента переключения последовательно работающих ГПВРД и ЖРД может быть эффективно использовано для оптимального подбора свободно варьируемого параметра
/сх в том случае, когда к моменту /сх = tcxo„t располагаемый запас топлива ВРД оказывается недорасходованным (G(tcx)>G*).
Так, если в силу предполагаемой в (19) сравнительно малой продолжительности отрезка [tfcx; <*] дополнительно воспользоваться аппроксимацией управлений aoptm и а^сорцо’ *£[*сх'> **] соответствующими постоянными значениями а* и о£с, то в процессе оптимизации указанных параметров поиск приближенно оптимального момента схода tcxopl необходимо всякий раз осуществлять исходя из условия одновременного выполнения равенств
PY{t*) = P+(t*), G (/*) = G* (22)
при любых допустимых значениях а*с и а*. Характерно, что указанная
процедура итерационного поиска /схор( ограничивается необходимостью интегрирования уравнений движения лишь на отрезке времени [/сх; /*], а построение на [<*; ?к] оптимальной траектории полета с ЖРД (с целью определения ajpt и a*copt) оказывается необходимым лишь после очередной процедуры определения величины /схор( при a* = fix, a*c=fix.
Из (21) также следует, что если в каждой точке траектории разгона по ограничению q (Л, v) — qmax (t ^сх]) оптимальная по акс величина тяги ГПВРД не превышает максимальную тягу ЖРД вплоть до момента t = /* полного выгорания располагаемого запаса топлива ВРД, то в случае нерегулируемого режима работы ЖРД переключение с ГПВРД на ЖРД должно осуществляться непосредственно в момент схода с ограничения, т. е. когда G(tcll)=G*, (/„ = /*).
6. Оптимальное управление углом атаки на участке траектории полета с ЖРД. В открытой области допустимых значений а условию оптимальности (15) при q (Л, и) < qmax на отрезке [ t*\ fK] соответствует условие стационарности дН/да— 0, из которого с учетом (2) и (13) следует, что величина otbp, должна быть корнем трансцендентного уравнения
, (23)
Р cos otgpt + ^qS
где
с% = 2А-[(суо - c¥l) + cja]су + }
+ 2 F {(Зф/За) [ 1 — cos (а 6С)] + ф - sin (a + 8С)},
cyz = су + 2F [(Зф/За) sin (а + 8С) + ф-cos (а + 6С)(.
Отметим важное обстоятельство, вытекающее из (23). Если учесть, что > 0, > 0, то при aopt (t) = aopt (/) + 6 > О на соответствующем участке
оптимальной траектории полета с ЖРД при q (Л, v) <Cqmax согласно (23) должно выполняться неравенство Х(/)>»0, а следовательно, и неравенство
cos doplit) + X (t) sinaopt (/) > 0.
Кроме того, из условия непрерывности на [/сх; /к] фазовых координат и сопряженных переменных А,е (t) и к0 (t), а следовательно, и непрерывности на [/„; /к] функции X (t), следует Х+((*) = Х~ ((*). С учетом сказанного выше при aopt (/*) >0 и q (t*) < qmax в момент переключения с ГПВРД на ЖРД на экстремали должно выполняться неравенство
cos aopt (/*)+* (t*) sin dopt {t*) > 0,
которое было использовано при выводе приближенного необходимого условия оптимальности (21).
д Заметим далее, что если воспользоваться дополнительным обозначением Y = kh/kv, то с учетом справедливости на [/*; ?„} условия А* (PC) = 0 система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных (14) может быть преобразована к удобному для использования виду:
Я (X, Y) = X‘\Xq/Xe — ko/\v — v/v), (25)
t(X, Y) = Xh/K- Y-K/K,
J
где ijke = f(X, Y), kv/kv = f(X, Y), ih/Xv = f(X).
Характерно, что при использовании обратного интегрирования в (23) и (25) можно принять q (tK) ж 0, а физическую величину а(/к) рассматривать в качестве варьируемого параметра, определяющего конечное значение функции X (<к):
X (fK)L,=0 = tga(/K).
В таком случае в качестве дополнительных варьируемых параметров на правом конце траектории следует рассматривать a(/K), Y (tK) и G (/к).
Численные результаты показывают, что хорошие начальные приближения для параметров G (tK) и Y (tK) могут быть определены соответственно исходя из формулы Циолковского
G (tK) ж G* • exp ( — Av/go • /),
где Au = i/K — v*, /« const = /„, и условия Y (tK) ж g- (R3 + Ак), справедливого в рамках допущений q (tK) ~ 0, — 0.
Следует заметить, что использование на [/*; ?к] обратного интегрирования уравнений движения является наиболее целесообразным в том случае, когда на заключительном этапе работы ГПВРД (<£{/сх; /*]) поиск приближенно оптимальных управлений aopt (t) и a* copt (t) осуществляется в классе постоянных значений ос* и а£с, а /схор, определяется с учетом (22). В таком случае в результате интегрирования уравнений движения (1) для каждого допустимого набора параметров a*, а*с, tCiopi фазовые координаты в момент t=t* оказываются известными. В результате же последующего решения на [/*; /к] двухточечной краевой задачи с использованием (23) при достаточно хороших начальных приближениях для параметров a(/K), Y (/J, G (tK) могут быть построены строго оптимальные заключительные участки траекторий полета с ЖРД. Использование указанного приема позволяет существенно упростить процедуру покоординатной оптимизации параметров а* и
0?.с-
Анализ численных результатов. Будем полагать, что на этапе использования ГТД предварительный разгон ВКС заданной стартовой массы Gо обеспечивает достижение максимально допустимой величины скоростного напора qmax при Mi = 6.
Будем также полагать, что в результате интегрирования уравнений движения вдоль программного профиля разгона с ГТД (М^б) и ГПВРД (М^б) в любой из назначаемых моментов схода с ограничения по скоростному напору /сх определены фазовые кбординаты v (<сх), 0 (fcx), А (/сх), G (U-
Воспользуемся аппроксимацией управлений a (t) и акс(<) на [<сх; /*] в классе постоянных значений а* и а*с
Численные расчеты будем проводить с использованием следующих значений основных параметров:
Р„ — 150 т, /п = 470 с, ао = 3°, б = 0, qmax = 7500 кг/м2,
G* = G*/Go — 0,715, Лк = 90 км, 0К =0, ик = 7600 м/с.
д*=3600кг/мг; Ьсх-свободно; сх*~иаг
Ограничимся рассмотрением оптимизации параметров а* и /сх при допустимом значении а£с = 0,2 и воспользуемся тем обстоятельством, что при а? = Пх, о£с=Пх оптимальному моменту схода с ограничения <схор, должна соответствовать некоторая оптимальная величина скоростного напора <7*,,, реализуемая в точке /* при й (<*) = й*. В связи с этим в отличие от (22) при любых допустимых значениях параметров а* и я* момент схода с ограничения *сх будем определять из условия одновременного выполнения равенств
0(/1)= О*, я(П = Я*. (26)
где <7* рассматривается в качестве оптимизируемого параметра.
Результаты варьирования параметра а* при <7* = 3600 кг/м2 с последующим построением на [/*; /к] строго оптимальных участков траекторий полета с ЖРД представлены на рис. 2. Видно, что при оптимальном значении о£р1, обеспечивающем при й (<*) = б*, <7 (/*) = <7* реализацию максимума величины б* 4= О (О/Со, продолжительность полета с ЖРД А^ Шк — оказывается минимальной. Последнее подтверждает то, что участок экстремали
/к] соответствует решению задачи быстродействия. При а* = а*р, минимальной является также невязка Ап* (**)4.п+^*) _ п7(**), а условию оптимальности параметра а* приближенно соответствует следующее (рис. 2):
= агд тах п^л). (27)
а
Из результатов последующего варьирования в (26) параметра <7* (рис. 3) следует, что при а* = с^р1 оптимальному значению <7* = <7?р1 (либо <сх=<сх0р|) соответствует установленное в (22) приближенное равенство
РТ(П * РНП- (28)
t„ - свободно, q'-mr) a*pt~агатах nx(tM)
7i,(t>(i*),r| G,
Ofi
■ 100
L 100
-Q335
- КГ
5\
1 Sf
- Pi it*)
(^ех)
nl(t)
, «yfc*)
3000 4000 9*кг/мг
Рис. 3
h,KM 100 лгврка “Ufa, ; <•*], ot*nt"arr mgx лж (t„) • " 7(*>•')"?*•*»>av“uq>*rt(M) —■ u\
ГПВРД / ЖРД
50 ГТД [программная траектория) hU) *(*«)\
Маршевый участок разгона
• t 1
0 5 10 15 f 20 М
Пример траектории разгона ВКС до / = /сх с последующим выведением на орбиту
Рис. 4
Использование условий (27), (28) для определения приближенно оптимальных значений с£р, и /схор1 при а£с = fix позволяет ограничиться лишь однократным построением оптимальной траектории полета с ЖРД, осуществляемым в результате решения на [**; соответствующей краевой задачи. Характерно, что в случае f* opt Ф t* на заключительном этапе работы ГПВРД (/€[*сх; **]) реализуется существенно неустановившийся маневр типа «горка» при 6 (/„)»• 0 (рис. 4).
На рис. 5 показано, что при заданных характеристиках ГПВРД по мере уменьшения параметра G* &JG*/Go (увеличения располагаемого запаса топлива ВРД) максимальная конечная масса ВКС возрастает, а момент схода с ограничения по скоростному напору становится более поздним. В связи
с этим следует заметить, что при неизменных аэродинамических характеристиках рассматриваемой компоновки ВКС допустимое увеличение располагаемого запаса топлива ВРД может быть ограничено лишь предельно допустимым объемом бака для горючего.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ferri A. Review of problems in application of supersonic combustion.— Journal of the Aeronautical Society, 1964, vol. 8, N 645.
2. Д e н и с о в В. Е. Оптимальное выведение на орбиту аппарата с ГПВРД. — Труды ЦАГИ, 1968.
3. N g u е n . Н. N. Trajectory characteristics of horizontal takeoff stage single to orbit vehicle. — A1AA Paper, 1987, N 448.
4. Chic h k a D. F„ Shankar U. J„ Cliff E. M„ Kelley H. J.
Cruise-Dash-Climb Analysis of an Airbreathing Missile.— Journal Guidance, 1988, vol. 11, N 4. „
5. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика . полета. Траектории летательных аппаратов. — М': Машиностроение, 1969.
6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-з е Р. В., М и щ е н к о Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Физматгиз, 1961.
Рукопись поступила 28/VIIII 1990г. Переработанный вариант поступил 13/Х1 1991 г.
