CC BY
46
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XX 1989
УДК 629.735.33.016
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННО ОПТИМАЛЬНЫХ КРЕЙСЕРСКИХ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА САМОЛЕТА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
О. В. Балабанов, В. Т. Пашинцев
На основе энергетической модели управляемого движения самолета переменной массы проведен приближенный синтез оптимальных режимов управления тягой двигателей и высотой полета. Получено семейство приближенно оптимальных траекторий полета на заданную дальность с минимальным количеством расходуемого топлива.
Приведены модификации приближенного синтеза, связанные с необходимостью учета изменяющейся с высотой составляющей скорости ветра, а также дополнительного ограничения на величину конечного времени полета.
1. Постановка задачи. В рамках Энергетического метода [1] проблема определения оптимального режима полета самолета на заданную* дальность (/к) с минимальным количеством расходуемого топлива [(?т(/к)] сводится к минимизации функционала
1к
От = //(£, к, Р)сИ (1>
при дополнительном условии связи
"4т ~ ~7Г\Р — X (Е, А, <3)1, Е(10) = Е0, Е(1К)=ЕК, (2>
Рс (£ ]% Р~\ кг
где/=—еу д’вдо’——-----------расход топлива, приходящийся на единицу
дальности полета, се — удельный часовой расход топлива, Е — удельная
механическая энергия [ Е = к-\- к, V (Е, к)—высота и скорость-
полета, Р — суммарная тяга двигателей, X — аэродинамическое сопротивление, соответствующее режиму квазистационарного полета, С = = й0—От(/) —: текущая масса самолета.
Управляющими функциями (управлениями) в (1), (2) являются Р и к, область и допустимых значений которых ограничена неравенствами вида
к > 0, Рш1п (Е, А) < Р < Ртах (Е, к). (3>
В предположении постоянства массы самолета (G== const) качественный анализ свойств поля экстремалей в задаче (1), (2) был проведен в работах [2, 3]. Из [2], в частности, следует, что точки на плоскости Е, h, в которых при G = const = G* реализуется минимум по h, Е функции
f(E, h, G*)Af(E, h, P)\P=xlEtktG.)t
являются седловыми особыми точками поля экстремалей, параметром которого при фиксированных значениях Е0 и G* является величина /к. Геометрическое место седловых особых точек, соответствующих различным значениям G*, образует линию L, которая на практике традиционно принимается в качестве простейшего приближенно оптимального профиля полета самолета переменной массы на большие дальности, именуемого обычно полетом по «крейсерским потолкам».
Зависимости hKV(G) и £Kp(G), соответствующие параметрическому заданию линии L, могут быть определены заранее по известным аэродинамическим характеристикам самолета, а также высотно-скоростным и дроссельным характеристикам силовой установки.
Процедуру отслеживания профиля полета по «крейсерским потолкам» (с учетом переменности массы самолета) можно представить так, что в процессе интегрирования системы уравнений движения используются математические модели автопилота и автомата тяги, с помощью которых вырабатываются команды в виде потребного значения угла наклона траектории 6П, а также избытка потребной тяги Ри над сопротивлением (Рп>^0, обеспечивающих ликвидацию невязки Ah(l) = = h(l)—hKP(G). В кач'естве простейшего способа определения потребных значений 0П и Рп можно, например, принять соответствующий следующим соотношениям:
EKr,(G) — E(l)
Pn(l) = G(l)~ крl ( ) +Х(Е, h, О),
а „ч *4,(0)-А(/) v(l)Mc2 ’
где А/— шаг интегрирования, сь с2 — постоянные коэффициенты, подбираемые в каждом конкретном случае задания начальных рассогласований &E0 = EKV(G0) — Е0 и Д/г0 =/гкр (G0)— hQ. Заметим, что линия L не удовлетворяет уравнениям движения, поскольку каждая ее точка соответствует оптимальному крейсерскому режиму полета лишь при Р = Х, G = const. Следовательно, линия L заведомо не может быть включена в состав семейства экстремалей самолета переменной массы. Заметим также, что значительная протяженность интервала интегрирования (/к—/0) системы уравнений движения, а также седловой характер особых точек, принадлежащих линии L, затрудняют практическую реализацию непрямого метода оптимизации управлений, опирающегося, например, на использование формализма принципа максимума Л. С. Понтрягина [4].
Учитывая сказанное, обратимся к приближенному синтезу оптимальных управлений Popt(E) и h0Vt(E) с учетом того обстоятельства, что экстремали достаточно большой протяженности (по I) проходят в малой е — окрестности соответствующих седловых особых точек {hKp(G*), £,Kp(G*)}eL в 'момент достижения текущей массы G(/) = G*.
2. Условия оптимальности. Согласно принципу максимума Л. С. Понтрягина условиям оптимальности управлений Р и h в (1), (2) соответствуют [4]:
(Popt, ^opt} = arg inf H(X, E, h, P, O), (4)
{P,h)<iU
dH dH dPT9 d\a dH da /C4
(5)
dl dE dP dE ’ dl ~ dG dGT ’
где
H (X, E, h, P, G) = lE nx (E, h, P, G) + X0 f(E, h, P) + \„ (6)
p__x
tlx=----Q— , Х={ХЯ, XG, Xe} — вектор сопряженных переменных,
Ртр (Е, h) — одно из реализуемых в (3) граничных значений тяги,
X; = const < 0, Хо(/к)>0. (7)
Знаки величин X, и Х0(/к), назначаемые в (7) с учетом (4) и (6), со ответствуют условию „взаимности“ задач минимизации От(/„) при /к = fix и максимизации 1К при GT(/K)==fix. Поскольку согласно [4J на экстремалях справедливым является первый интеграл вида
inf Н(Х, Е, Aopt, Popt, G) = О,
{p,h}^U
то с учетом (7) условию оптимальности (4) соответствует следующее:
l0(E,G)= sup [(1 — lE-nx)lf], (8)
{р. ь)аи
wT» = flfr- Ic-wr-
Условие оптимальности (8) является более удобным по сравнению с (4), поскольку оно позволяет исключить необходимость интегрирования в (5) дифференциального уравнения для сопряженной переменной Хв-
Заметим, что условию оптимальности (4) можно также поставить в соответствие следущее:
¡■е(Е, G) = [sup (1 — lof)!nx] sign/г, <0. (9)
{P. h)iU
Однако в сравнении с (9) использование условия (8) позволяет более точно вычислять оптимальные значения P0pt и /iopt в области крейсерских режимов полета, где при /гж->-0 имеем (1 —Х9/) -*- 0 \2\.
3. Режим промежуточной тяги. Приближенный синтез. В открытой области U условию оптимальности управления Р соответствует
— 4 = -d/-.G. (10)
\а дР к
С учетом (10) первое уравнение в (5) может быть представлено в виде
-U(/E+fP-xE), (11)
dl
где f f A JL
1 де JE — dE , Ip — dp
Учитывая, что при G = const в седловых особых точках семейства экстремалей должны выполняться условия [2]
Пх = о, fE + fp-XE = 0, (12)
на основании (8), (10) — (12) устанавливаем, что по мере приближения экстремалей к седловым особым точкам
(А(/), E{l))o^o.-»{hKV{G% Екр (G*)} £ L
будем иметь
{»- ^г)
-»о, Х01 0_0* -» Х0 (<3*) = —. (13)
0-*-0* ?кр(^кр> ^кр* О)
С учетом (10) и (13) приближенную зависимость Хе(6) в е — окрестности линии Ь можно представить следующим образом:
хЕ(0) _x£kp(G) - ( сг’п -&£-)
где
(Е, h, Р) = Р-св, Р = *кр [Екр(G), Лкр(G), О],
Я=Екр(0), й=Лкр (О)
(14)
Кт.п = - у- °гг~\ ~ аэродинамическое качество в условиях горизонталь-
-^Кр
ного полета, в — текущее значение массы.
В результате использования в (8) функции Х^ (в), вычисляемой из (14), приходим к приближенному синтезу, согласно которому процедура последовательного вычисления из (8) приближенно оптимальных управлений Р0Р1 и ¡1о& в е — окрестности неустановившихся крейсерских режимов сводится к следующему:
Г Ъ — К (G)-пх(Е, Л, Р, G) Р0pt (Е, A, G) = arg sup -----------!Е-
рг L f{E. h. Р)
£==flx, G=fix
(15)
|1 A^. (G) • и* [Я, h, PqPx(E, h, G) G]]
Aopt (E, G) = arg sup --------p --------
Agi/I /[£, h, Popt(E, h, G)] J£=fix, o-fix
Тривиальное решение в (15) вида POpt = 0 на режиме разгона
dE ^ Л
-¿j- >01 исключается.
Замечания:
а) зависимость (G) может быть определена заранее одновременно с построением линии L;
б) при необходимости учета попутной либо встречной составляющих скорости ветра W(h), в качестве нового аргумента в (1), (2) следует принять переменную I, удовлетворяющую при 0 — 0 уравнению [5]
dl ■ = V (Е, К) ■ х (Е, К) = 1/пут [Е, A, W (А)],
м — V ", V пут
где ?—текущее время полета, %(Е, А) = 1 + ’ ^пут — пУтевая
скорость.
В качестве производной от удельной энергии в левой части урав-
л ЛЕ 1 ЛЕ
нения (2) при этом будем понимать величину —— =-----------------
Л1 х Л1
В таком случае (с учетом ветра) геометрическое место седловых особых точек Екд(\(г) (линию Е{'Ш)) следует определять из
условия
¿(^): ТкрС^кр, Лкр, 0)=1п1 <р(£, /г, О) —
1
к, Е1
.(£. А)]
(16)
а функцию Х- (б), используемую в (8) вместо XЕкр(0), из соотно-
шения
кр
% (0) = -
кр
^г.п дея
се дР
Е=Екр' *=*кр- Р=*кр
(17)
С учетом (16) и (17) модификация условий приближенного синтеза (15) сводится к следующему:
Рорг(Е, А, б) = а^ вир
б^а^ядр и(Е, К) -
л<Е£/
‘ 1-1- (0)-пх(Е, Л, Р, 0) ' £кр
1 /(£, А, Р) ) £=Йх, 0 = Ах
1-А~ (<?)-п*[£. А, Р0Р1(£. Л, 0)0] 1
\ -кр
(18)
/[£, А, Р0^(Е, А, О), О] 1^, I
0 = Нх )
в) при необходимости дополнительного учета фиксируемой величины конечного времени полета ¿к, вместо %е достаточно принять функцию
\ («О ^пут)-------• V (Е, Н, о),
V 3 "I 0=0'
V пух I
Х1_=_А_>0) • а
^пут ^пут
где V (Е, Л, о) = а + (о — 1)
дополнительный параметр (0-<о<;1), регулирующий величину .
С учетом замечания б) по аналогии с (16) — (18) геометрическому месту седловых особых точек (линии Ь(№, а)), а также приближенному синтезу будут соответствовать следующие условия.
¿(Г, а):
Ч<°' „)=-[,(£, А,
0 = Нх, а = С01181
Е=Екр' Н=Нкр' р = хкр’
(19)
[-
Чр (О, а) - X (О, а)-ях(Е. А, Р. О) Яор4(£, л, о, в) = а^8ир'------------------------кр
/(£. л, Р)
}.
-|£=Нх,
чКр(С, о) — (О, а) пх(Н, Р, О)
А<чЛ£, О, а) = а^зир Ь(£, А)---------------—..... кр ----.
1 /[£» Л, Р0р{(Е, Л, б, <з)] ]£=ЙХ,
0=Ах )
где О = const, VKp (G, а) = з +
І^пут \EKp, hKp, W (hKp)]
V'nyxn = V2g(EKp - AKp) ± W(hKV).
4. Режим граничной тяги. Приближенный синтез. Рассмотрим случай, когда режим управления тягой двигателей является заданным по высоте и скорости полета либо соответствует граничному в (3) значению
Ргр(Е, /г) = Ргаах(£, Л).
Исходя из условия стационарности вида д
dh
Н[Х, Е, А, Ртр{Е, A), G]E=fіх = 0,
применительно к случаю учета ветра при фиксированном конечном времени полета вместо (10) будем иметь [3]
Тп + 7р-Рт9Н±Жн 1
/2
G Ргр h Xh
А(Е, h, G, °) = =^--^т = -------—=----------- -----(21)
где 7—/• .
В рассматриваемом случае геометрическому месту седловых особых точек (линии L(W, о) соответствует выполнение условия
Ргр(Екр, ^кр) — Х(Екр, Лкр, G).
Следовательно, линия L(W, а) при a = const достаточно просто может быть построена заранее в результате варьирования параметра G. С учетом (21) по аналогии с (19) вдоль линии L{W, а) будем иметь
G=fix
uw. .): »)=
кр
A=ftKp (О), Ргр = *кр №)
(22)
tu Ъ СЛк' ЯП>>X{fl' G)
где ср (A, G)_ V(Л)-3600
Prp=*
В результате приближенный синтез оптимального управления высотой полета при граничном значении тяги в области неустановивших-ся крейсерских режимов сводится к следующему:
{ ^кр (О, °) — (б. “) Ядг (£. О)
Аор4 (£■, С, а) = аг|8ар I* (Е, А)----------------------------
B=fix,
G=fix
где 0=const; в отличие от (20) функция ~Ке (G, о) вдоль линии
Кр'
L(W, а) определяется из второго равенства (22).
5. Анализ численных результатов. Расчеты проводились применительно к гипотетическому дозвуковому самолету без учета ограничения на конечное время полета, а также без учета возмущающего воздействия ветра.
Таблично заданные аэродинамические, дроссельные и высотно-скоростные характеристики аппроксимировались сплайнами, равно как и зависимости hKV(G), E^P(G), (G), предварительно рассчитанные
Кр
при различных значениях G = const.
При построении семейства приближенно оптимальных траекторий с использованием приближенных условий оптимальности (15) варьировались начальные значения G0 и Е0.
Результаты расчетов, представленные на рис. 1, 2, показывают, что траектории, удовлетворяющие условиям (15), образуют непересе-
—о— линия L (h«p(G))
------ результат примиренного синтеза
Рис. 2
кающееся семейство, которое можно условно разделить на два класса траекторий в зависимости от того, пересекают они линию Ь или не пересекают.
Что касается траекторий, пересекающих линию Ь, то характерным для них является резкое падение высоты полета после пересечения Ь, что является типичным для поведения экстремалей в окрестности седло-вой особой точки.
Общим же характерным свойством семейства траекторий, удовлетворяющих условиям (15) и различающихся параметрами <2о, Е0, является существование огибающей. При этом огибающая семейства, не совпадающая с линией Ь, является немонотонной кривой по высоте и скорости полета.
Заметим, что каждая из кривых семейства приближенно оптимальных траекторий получена при свободном правом конце траектории. В связи с этим для выполнения, например, краевых условий Е(1К)=ЕК> С(1Н) = СК (накладываемых в задаче максимизации дальности полета (/к) на каждой из траекторий должна быть дополнительно определена соответствующая точка схода, принимаемая в дальнейшем в качестве начала участка торможения со снижением.
Сравнение непродолжительных (по /) участков траекторий типа «разгон — набор высоты», полученных с использованием приближенного синтеза и принципа максимума Л. С. Понтрягина, показало, что они являются достаточно близкими в плоскости к, V и различаются лишь моментом схода с режима максимальной тяги. Из этого факта следует, что предлагаемый приближенный синтез с приемлемой точностью может быть использован для построения траекторий разгона с набором высоты, непрерывно переходящих в участки неустановивше-гося крейсерского режима, в широком диапазоне значений стартовой массы б0, начального значения Е0 и располагаемого запаса топлива Ст = О0—¿к.
Заметим, наконец, что в рассмотренном примере огибающая семейства приближенно оптимальных траекторий оказывается достаточно близкой к линии Ь лишь при значениях текущей массы 0(/)>170т. При 170 т>б(/)>140 т указанная огибающая отклоняется от Е в сторону меньших значений V и лишь при б(/)<140 т она вновь приближается к Ь при одновременном увеличении высоты полета Н (см. рис. 2). Для иллюстрации на рис. 2 приведена также зависимость
(б) , вычисленная вдоль линии Ь.
_
Возникает вопрос о сравнении эффективности использования огибающей семейства приближенно оптимальных траекторий вместо полета по крейсерским потолкам (отслеживания линии Ь) при больших запасах расходуемого топлива.
Будем считать, что отслеживание как линии Ь так и «огибающей» осуществляется в равных условиях с использованием точной системы уравнений движения, учитывающей энергетические затраты на разворот вектора скорости в вертикальной плоскости. В качестве исходной точки режима отслеживания примем точку ¡А, ]/}о=ш>т траектории разгона, полученной с использованием условий (15) при стартовой массе самолета б0=206 т. Расчеты показывают, что при отслеживании «огибающей» увеличение дальности полета (по сравнению с отслеживанием линии Ь) возрастает по мере уменьшения массы самолета до величины С? (¿) —140 т. Максимальная величина эквивалентной экономии топлива при этом составляет АСТ~450 кг. Заметим, однако, что конечные высоты, реализуемые при Ст=140 т в результате отсле-
живания линии Ь и «огибающей», являются различными. В связи с этим выигрыш в общей дальности полета (с учетом участка торможения со снижением) может быть несколько уменьшен в зависимости от используемого режима торможения.
ЛИТЕРАТУРА
1. О с т о с л а вс к и й И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1969.
2. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. О свойствах поля экстремалей в одной задаче оптимального управления. — ДАН СССР, 1971, т. 200, № 6.
3. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. Качественное исследование семейства экстремалей в одной задаче оптимального управления движением самолета. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, № 6.
4. Понтрягин Л. С., Болтянский В.- Г., Гамкрели flee Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Физматгиз, 1961.
5. Burrows James W. Fuel optimal trajectory computation. — J. Aircraft, 1982, vol. 19, N 4.
Рукопись поступила 27/VI 1986 г.
