CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м IV 197 3
№ 6
УДК 519.95
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СЕМЕЙСТВА ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЕТА
В. Ф. Илларионов, В. Т. Пашинцев
В рамках энергетического метода рассматривается задача оптимизации управления полетом самолета на заданную дальность с минимальным расходом топлива. Ранее авторами было указано на возможность существования среди семейства экстремалей особых точек, положение, а также тип которых целиком определяется соответствующими стационарными точками некоторой функции <р, характеризующей расход топлива на единицу дальности полета в режиме установившегося движения (когда тяга двигателей равна сопротивлению самолета). В статье указывается способ, позволяющий с помощью функции <р определить на плоскости скорость — высота геометрическое место точек, соответствующих моментам реализации на экстремалях мгновенных установившихся режимов полета с оптимальной тягой и установить направление движения изображающей точки. Кроме того, устанавливается связь между свойствами функции <р и направлением движения, а также положением и типом особых точек семейства экстремалей на режиме максимальной тяги.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу минимизации функционала вида [1], [2].
/ = ^/(Я,А, Р)<й, (1)
характеризующего собой расход топлива при полете самолета на заданную дальность 1к при фиксированных начальном и конечном
значениях удельной механической энергии Е = п , изменяю-
щейся в соответствии с уравнением
Е(1о) = Е<» ^(2)
Подынтегральная функция в (1) имеет вид
£ / Г> С и\ - Ре, (Р> Е, К)
/ (Г, С., П)— у (Я) й)
и характеризует собой расход топлива на единицу дальности I. 58
Здесь Р—тяга двигателя; се — удельный часовой расход топлива; h, v — высота и скорость полета. Аэродинамическое сопротивление х(Е, h) определяется в соответствии с полярой самолета из условия равенства подъемной силы весу самолета G (G ^ const). Предположим, что управляющие функции Р и h ограничены неравенствами
0<Р<Ршах (Я, h), /1>0. (3)
Указанная задача рассматривалась в работе [3], где в предположении непрерывности функций /их вместе с их частными производными по Е, h и Р было показано, что семейство экстремалей, реализуемых на открытом множестве допустимых значений управляющих функций h и Р, может включать в себя особые точки, положение и тип которых целиком определяется соответствующим положением, а также типом стационарных точек некоторой функции
?(£, h)=f(P, Е, К)\р-х (г?. К) •
При фиксированных значениях Е и h функция <р характеризует собой известный параметр дальности Бреге Q = 1/ср. Параметр Бреге играет важную роль при изучении установившихся режимов движения самолета и может быть достаточно просто определен заранее по известным характеристикам самолета и двигателя. В данной работе проводится дальнейшее изучение свойств поля экстремалей с использованием свойств функции <р (Е, Л).
2. Режим Промежуточной оптимальной ТЯГИ (P=Popt < Лпах (E,h)).
Рассмотрим семейство оптимальных траекторий или их отдельных участков, на которых величина оптимальной тяги не превышает максимально допустимого значения. Воспользуемся полученными в работе [3] условиями оптимальности управляющих функций /iopt и Popt, определяемых на открытом множестве их допустимых значений,
Л (Р, Е, h) = fh-\-fpXh = 0; (4)
^fPP(fHh + fpXhh)-fPH> 0; (5)
fhH+fpXhh> о; (6)
fPP> 0, (7)
а также первым интегралом вида
Ф (Р, Е, h) = fp (Р, Е, h) \Р-Х (Е, h)] - / (Р, Е, h) = С. (8)
Нижними индексами обозначено дифференцирование по соответствующим переменным.
Здесь и в дальнейшем, так же как в работе [3], будем предполагать, что на экстремалях всюду выполнены как необходимые, так и достаточные условия максимума по Р и h функции Гамильтона [4].
Соотношения (4) и (8) выделяют в пространстве переменных Р, Е, h однопараметрическое свойство экстремалей с параметром С.
Введем в рассмотрение на плоскости Eh линию L, являющуюся геометрическим местом точек экстремалей, в которых оптимальная тяга равна сопротивлению. По определению линия L разделяет в плоскости Eh области, в которых на экстремалях
реализуется соответственно разгон (Ё>0) и торможение (Ё <0); в каждой точке Ь совместно с условием оптимальности (4) выполняется равенство
Рор1-Х = 0. (9)
Определение линии Ь с помощью стандартной процедуры энергетического метода [2] является достаточно громоздким. Поэтому укажем более простой способ ее построения, опирающийся лишь на знание функции <р (Е, Л).
-----линии дида <р (f>h) = const
-—я линия L (Фл ~ О)
• особые точки паля зкстремалей
Фиг. 1
Анализируя соотношения, определяющие одновременно стационарные точки функции <р (Е, К) и особые точки поля экстремалей [3],
Popt-* = 0; (10)
— (11)
fB+fpXB-0, (12)
устанавливаем, что равенства (4) и (9), выделяющие на Eh линию L, совпадают с условиями (10) й (11) стационарности функции <Р (Е, h) вдоль линий Е = const. Следовательно, L совпадает с геометрическим местом стационарных точек функции <р (Е, К), вычисляемой вдоль линий Е — const,
?(£, Л)А = 0. (13)
Таким образом, в каждой точке L кривые <р (Е, h) = const касательны к линиям Е = const. В то же время, согласно формулам (2) и (9), в точках линии L имеем dE/dl = 0, что соответствует условию касательности экстремалей к линиям £=const. Из сказанного следует, что в точках пересечения с L экстремали имеют общую касательную с кривыми вида f (Е, h) = const й Е = const (фиг. 1),
Возникает вопрос о взаимном расположении относительно линии L областей разгона и торможения. Введем в рассмотрение
на плоскости Eh линию нулевой оптимальной тяги L, являю-
щуюся геометрическим местом точек поля экстремалей, в которых
выполняется условие Р0& — 0> Подставляя в условие оптимальности (4) величину
Л=0)„'р>
при Popt = 0 будем иметь
А (Р, Е, ft)|popt=0 — fp\pntyi=o-^h
Xh = 0.
opt-
(14)
(15)
С учетом того, что /р\Р-(цфО, на основании условия (15) получаем следующее уравнение линии нулевой оптимальной тяги
X (Е, h)H = 0.
(16)
у-функция ip, вычисляемая fdtMb линии /
■ отрезки зкстремалей
—*—линия L (Ф^ уъ = О)
• особые точки поля экстремалей —о— линия L
&
\ <*■ V-
N <5>
Рт*Х(Е,Ъ)
'opt
Фиг. 2
В результате оказывается, что линия нулевой оптимальной
тяги совпадает с геометрическим местом точек стационарности функции X (Е, h), вычисляемой вдоль линий Е = const. Линия L подобно L может быть достаточно просто построена по известным аэродинамическим характеристикам самолета. Она всегда целиком расположена в области Popi<CX (Е, К) и не пересекается с линией L, поскольку всегда X (Е, /г)>0. Следовательно, области разгона и торможения в плоскости (Е, К) могут быть достаточно просто определены по взаимному расположению линий L и L (фиг. 2).
Покажем теперь, что используя функцию ср, можно заранее
определить направление движения изображающей точки без построения экстремалей. С этой целью исследуем в точках линии L
производную (Popt — X). В соответствии с условиями (4) и (8)
величина Popt может быть представлена как функция переменных Е и h. В частности, из условия (4) следует
р __ -^h
А — А ’
АР
где
Ah —fhh + fphXh-\-fp Xhh\
AP = fhp^r fPPXh.
В то же время, согласно [3],
(17)
(18 a) (18 6)
(19)
61
Следовательно, при условиях (2), (9), (17) и (19) в точках линии I имеем:
Popt = *
(20)
Из условия постоянства на экстремали функции Ф (Е, К) с уче том (2), (4), (9) и (13) следует также равенство
д/р dh0p^ дИ
d<&
poPt=x
dl
popt~*
(21)
где
dfp
pp Ph,
д/і ~ $Рк ?1 /е + /р^Я=?£-
С использованием соотношений (5), (17) и (18) выражение можно преобразовать к виду
д/р о
дк А„ '
(22)
(23) (22)
(24)
В результате подстановки (23) и (24) в (21) с последующим исключением из (20) и (21) величины й?Лор4/^/ получаем условие, связывающее направление движения изображающей точки со свойствами функции ? (Е, Л):
dl
(Р opt-*)
poPt=x
=0
(25)
В соответствии с равенствами (17), (22) и (24) величина 8 в (25) имеет вид
Ъ=-ирнАр-/РрАн]. (26)
Исключив из (19) и (26) величину Ан, с учетом равенства (18 6), а также неравенств (5) и (7), получим
5 + А1
—r-L>о•
j рр
(27)
На основании условия (25), а также неравенств (5) и (27) окончательно устанавливаем следующее свойство:
л
sign
dl
где
'Ря=сРе1<рл=о-
(28)
(29)
Знак величины срБ в равенстве (28) определяется достаточно просто, поскольку, согласно (13) и (29), <рЕ представляет производную по аргументу Е от функции <р (Е, к), вычисляемой вдоль линии /.. Таким образом, если в точках пересечения экстремалей с линией А знак величины сря положителен, то изображающая точка на плоскости {Е, к) переходит вдоль экстремалей из области Р0р\ — *>0 в область Рор1— *<0 и наоборот (фиг. 2).
3. Режим максимальной тяги (Р = Ртах {Е, /г)). Рассмотрим теперь семейство оптимальных траекторий или их отдельных участков, на которых реализуется максимально допустимая тяга.
В соответствии с процедурой принципа максимума Л. С. Понт-рягина [4], условия оптимальности управляющей функции Л на ре-
ЖИМ6 Р ==: Ршах
(Е, Л) принимают следующий вид:
Из соотношений (30) и (32) получим уравнение однопараметрического семейства экстремалей с некоторым параметром С:
С учетом (30), (33), (35 а) и (35 в) условие оптимальности (31) преобразуется к виду
Запишем условия стационарности функции Ф (Е, Л) с учетом обозначений (35):
Из решения системы уравнений (37) с учетом (36) следует, что особым точкам семейства экстремалей на режиме Р = Рт^(Е,К) соответствует одновременное выполнение равенств
Введем в рассмотрение на плоскости Е, к линию Ьи являющуюся геометрическим местом точек, в которых на экстремалях реализуется равенство (38 а). Если под величиной Рор4 понимать функцию Р (Е, /г), удовлетворяющую условиям (4)—(8), то исходя из очевидного неравенства, справедливого на режиме максимальной тяги, Рорі(Е, Л)>Ртах(£', /г), следует, что полет на режиме Р=Ртах всегда реализуется в области избытков оптимальной тяги над сопротивлением (Рорі — *>0).
Покажем, что соотношение (38 б) совпадает с условием стационарности функции ®(£, Л), вычисляемой вдоль линии
Н/г — 1* (/л "Ь/р Ртах л) Н" Фі д (Ртах Л X ^— 0, (30)
Нал — ф (/а "Ь /р ^тах л) -|- фі ~о~ (Ртах АЛ *лл) 0. (31)
где
Н == ф/ + Фі -д- (Ртах — X) = СОПЭ^ ф = сопві<0.
тах
(32)
(33)
Ф (Е, Л)
(Яшах -X)-f= -С.
(34)
Введем следующие обозначения;
Я — ,/л “Ь /р Ртах Л , Ь — Ртах А X/1>
С =/є +/р Ртах Б, ^ — Ртах Е X£ ,
(35 а) (35 6)
(35 в)
(36)
**=(?...—Г)-И-(г)
(37)
Ртах (^ Л) = X (Е, Л),
(38 а)
а с
(38 6)
Введем следующие обозначения:
?1 —?1 Ртах{Е, /1) = Х(Е, >1)> ?1Е = И
С учетом (39) в точках линии имеем
*1Е~?Е + 9НШ\гтшх=х ' где, согласно (38а) и (35),
dh_
dE
d
Т~
(39)
(40)
(41)
Исходя из определения функции <р, выражения для <?„ и <ря в (40) можно преобразовать к виду
9h = a —fP b\ Че —c—fpd. После подстановки (41) и (42) в (40) получим
ср iE=C
° л
~Td-
(42)
(43)
В результате, на основании условий (38) и (43), устанавливаем,, что особые точки поля экстремалей на режиме Р = Ршах совпадают со стационарными точками функции у(Е, К), вычисляемой вдоль линии Ьи поскольку в этих точках
?1 Е = 0.
Проанализируем теперь связь между типом особых точек и типом стационарных точек функции <?1. Вычислим коэффициенты квадратичной формы разложения функции Ф (Е, К) в окрестности особых точек при условии (38а):
Ф кн = Ь-д 1а
Ф
ЕЕ 1
2 d
w(f) +
dh\b' а д
Ь дЕ d дЕ С’
Фа е = d
а
dh I b
Ф
Eh
дЕ
{т) + а
_д^
dh I Ь
а \ , а д ,
-t + T¥rf'
dh
с.
(44)
Детерминант квадратичной формы
флл е ®Eh Ф^Я
д =
с учетом (41), (43) и (44) преобразуется к виду
Д = —ф1ЯЯ
где подобно (39) использовано обозначение
<?iee = ?ee\p -х •
(45)
(46)
На основании (36) и (45) окончательно устанавливаем следующее свойство:
sign Д = — sign ср! ее ■
Следовательно, точки минимума функции <?(Е, А), вычисляемой вдоль линии ($1 ££>0), соответствуют особым точкам экстремалей типа „седло14, а точки максимума (<р1&Е<0) соответственно особым точкам типа „центр11.
Для установления направления движения изображающей точки вдоль экстремалей в момент пересечения последних с линией /-1 как и прежде воспользуемся постоянством функции Ф (Е, А). С учетом (37) будем иметь
' (47)
dh
~di
*Рі Е
-х _д_ і а dh Ь
Подставляя равенство (47) в выражение d(Pma-X)
dt
fifA0pt
: ш~
с учетом неравенства (36) окончательно получим
d (Рmax X) dl
~ № - ?1 £ї
Лпа*=* Т1"Н ПН ’
& \ п
гден^>°-
Следовательно, если в точках пересечения экстремалей с линией Ьх знак величины ері я положителен, то изображающая точка на плоскости Е, А переходит вдоль экстремалей из области Ртах— —^<0 в область Ртах— X > 0 и наоборот.
Таким образом, как на режиме промежуточной тяги, так и на режиме максимальной тяги свойства соответствующего семейства экстремалей, а также характер их поведения на плоскости £, А можно определить с помощью введенной выше функции у(Е, А).
ЛИТЕРАТУРА
1. Остославский И. В., СтражеваИ, В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М., .Машиностроение", 1969.
2. М i е 1 е A. Flight mechanics and variational problems of a linear type. JAS, v. 25, No 9, 1958.
3. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. О свойствах поля экстремалей в одной задаче оптимального управления. Докл. АН СССР, т. 200, № 6, 1971.
4. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-зе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1961.
Рукопись поступила 291X11 1972 г.
5—Ученые записки ЦАГИ № 6
