Приближенный синтез управления самолетом для набора высоты с заданной конечной скоростью за минимальное время Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVII 198 6

М 4

УДК 629.735.33.016

ПРИБЛИЖЕННЫЙ СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ САМОЛЕТОМ ДЛЯ НАБОРА ВЫСОТЫ С ЗАДАННОЙ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ ЗА МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ

Н. Б. Прокопец, А. В. Савельев

Рассматривается задача приближенного синтеза управления для полета самолета с большой тяговооруженностью из произвольных начальных в произвольные конечные условия с набором высоты за минимальное время. Для синтеза управления предложен простой алгоритм отслеживания программ, заданных в плоскости высота Н — удельная энергия Е, который в отличие от аналогичных алгоритмов для плоскостей высота Н — число М или высота Н — скорость V не содержит особенностей. На основе закономерностей в структуре оптимальных траекторий, выявленных при расчетах, предложен вариант синтеза кусочно-линейных программ, которые с учетом принятого закона управления обеспечивают полет по траекториям, близким к оптимальным, для широкого диапазона начальных и конечных условий.

Задача оптимизации режима набора высоты и, в частности, набора высоты за минимальное время неоднократно рассматривались в литературе, и различным аспектам ее решения посвящено значительное количество работ [1—9]. Вместе с тем исследование путей практической реализации оптимального управления на борту при произвольных начальных и конечных условиях для самолета с большой тяговооруженностью остается актуальной задачей [7]. Расчеты оптимальных траекторий полета достаточно сложны, требуют больших затрат времени ЭЦВМ и задания большого количества характеристик самолета, поэтому осуществлять их на борту во время полета пока не удается, несмотря на всевозможные упрощения и возросшие возможности цифровой техники. Подход, позволяющий решить эту задачу, связан с разработкой бортовых алгоритмов приближенного синтеза оптимальных управлений или программ, использующих основные закономерности в структуре оптимальных траекторий. Первоначально, в силу ограниченных возможностей аналоговой техники, использовались простые программы, состоящие из участков М = сопз1 и Я = сопэ1, где М — число Маха, Н — высота полета. Такие программы получаются на основе допущения о квазистационарности движения. Для современных самолетов они могут быть далеки от оптимальных [8]. Учет изменения кинетической энергии позволил использовать более точные решения, которые

получаются в классе линейных двумерных задач энергетическим методом [1] и методом Миеле [2] при допущении об отсутствии нормалыного к траектории ускорения (0 = 0) и малости угла наклона траектории (cos 0=1). При этом важен вопрос о том, насколько приближенные решения точны для самолетов с большой тяговооруженностью. В работах [6, 9] отмечается, что отличия от точных решений незначительны, а в [7, 8], наоборот, говорится о недопустимости использования приближенных решений. Кроме того, в работах [7, 9] указывается, что программы зависимости скорости V от высоты полета Я—V(H), полученные в приближенной постановке, могут быть физически нереализуемы и требуют дополнительных корректировок и сглаживаний.

Высокий уровень развития современной вычислительной техники и численных методов оптимизации позволяет решать задачу оптимизации набора высоты в достаточно полной постановке [7]. На основе таких решений, проведенных для семейства траекторий, удается выявить закономерности, которые позволяют синтезировать бортовые алгоритмы, реализующие приближенно оптимальное управление. Этой теме посвящена и настоящая работа, в которой на основе оптимальных решений, полученных численными методами для полной системы уравнений движения центра масс самолета, предложен способ формирования программ в плоскости высота Я — полная удельная энергия Е. В отличие от оптимальных траекторий в плоскостях Я, М или Я, V соответствующие траектории в плоскости Н, Е однозначны, а предложенный алгоритм их отслеживания прост и не содержит особенностей. Приведенный пример показывает, что предложенный алгоритм позволяет обеспечить синтез управления для автоматизированного набора высоты за время, близкое к минимальному, для широкого диапазона начальных и конечных условий полета.

1. Расчет оптимальных траекторий. Движение центра масс самолета в вертикальной плоскости описывается системой дифференциальных уравнений:

V = S (я* — sin е)>

6 = -|L _ cos 6),

/j = Vsin 0,

L=l/cos6,

Л __ *^max се

3600 ’

0)

где V, б, И, й — соответственно скорость, угол наклона траек-

тории, высота, дальность полета и вес самолета, 5 — площадь крыла, <7 — скоростной напор, точка над переменными обозначает дифференцирование по времени, яж = ——^§~сх — тангенциальная

кР

перегрузка, пу = п“ + дах л — нормальная скоростная перегрузка.

В качестве управляющих функций приняты коэффициент дросселирования двигателя к и аэродинамическая составляющая нормальной перегрузки В расчетах принято, что сх — сх(су, М)— коэффициент лобового сопротивления, с* = (М)--производная дсу/да,

л/о Yl

a = —-----1---угол атаки, Ртлх = РШахЩ, М) — максимальная фор-

Ч Су

сажная тяга, се =-се(Н, М) — удельный расход топлива.

На фазовые координаты и управления наложены ограничения

Я>0, |

О ^ Пу ^ Чу шах , i (2)

О < k < 1, J

где %max = min {«у, qScynon/G} — максимальная нормальная перегрузка, Пу — максимальная эксплуатационная перегрузка, суЛОП — макси-

мально допустимый коэффициент подъемной силы. Предусмотрена возможность полета самолета с углом крена, равным 180°, т. е. в перевернутом положении, для чего аэродинамическая поляра доопределена для значений су<^0 симметричным отражением относительно оси сх. Полет с перегрузкой я® < 0 соответствует полету в перевернутом положении с перегрузкой Задача опти-

мизации состоит в том, чтобы найти такое управление n“(t)}, которое за минимальное время приводит самолет из заданного начального Н0, V0, 60 = 0 в заданное конечное состояние Нк, VK, бк = 0 при выполнении условий (2).

При численном решении задачи все характеристики самолета задавались в табличной форме, значения в промежуточных точках вычислялись путем кусочно-линейной интерполяции. Задача решалась двумя методами. Для -Получения решения при условии неизменности веса использовался метод наискорейшего спуска. При этом управление выбиралось в классе кусочно-постоянных функций. Учет краевых условий и фазовых ограничений производился путем введения штрафных функций. Ограничения на управление учитывались методом «срезки»: если в процессе оптимизации управление выходило за ограничение, то оно принималось равным этому граничному значению. Для вариантов с переменным весом решения получены методом проекции градиента [10]. Управление при этом выбиралось в классе кусочно-линейных функций. В обоих случаях расчет градиентов производился с использованием сопряженных систем и с учетом конкретного вида дискретной схемы интегрирования уравнений движения. В качестве начального приближения выбиралось управление самолетом при наборе высоты по известным простым программам, состоящим из участков горизонтального разгона до числа М=0,9, подъема с числом M = 0,9 = const до высоты Я = 11 км, горизонтального разгона до числа М = МК, соответствующего конечной скорости Ук (при Н>-11 км сразу производился горизонтальный разгон до числа М = МК), подъема с числом M = MK = const до высоты Я = ЯК, горизонтального полета на высоте Я=Я„. Для того чтобы избежать попадания в локальные оптимумы, выбирались также и другие начальные приближения.

Расчеты оптимальных траекторий были проведены для 7 вариантов начальных (Я, M)0<, t=l,...,7 и8 вариантов конечных условий полета (Я, М)Кг, i=l,...,8. Время полета по оптимальным траекториям, оказалось в 1,2—2 раза меньше, чем в начальном приближении. Некоторые из полученных оптимальных траекторий показаны на рис. 1. Для удобства сопоставления на этом же рисунке построены также линии постоянных значений удельной энергии Е = const и кривая наилучшей энергетической скороподъемности Е = Ётах, представляющая собой, как извест-

----оптимальные траектории при G = const; -х- оптимальные траектории при G#const; —•-------------------°’9^max

Рис. 1

но [2], множество точек, в которых линии Е = const касаются линий Е = пх V = const при Пу — 1. Там же показана граница окрестности этой кривой, определяемой условием £>0,9£тах- На рис. 1, 3—5 текущие величины Ми Я отнесены соответственно к Мс и Яс, представляющим собой максимальные значения числа М и высоты Я установившегося горизонтального полета.

Для полученного семейства оптимальных траекторий оказались справедливыми следующие свойства.

1. На всех оптимальных траекториях реализуется максималыная форсажная тяга.

2. На всех оптимальных траекториях удельная энергия возрастает, т. е. £'>0.

3. Оптимальные траектории состоят из 4 основных участков: участка входа в окрестность кривой Ётах, участка движения в окрестности этой кривой, участка выхода из ее окрестности и участка, связанного с выходом в горизонтальный полет.

4. Для коротких траекторий, у которых начальные и конечные условия полета расположены достаточно близко, участок движения в окрестности кривой .Етах может отсутствовать.

5. Фазовые траектории Я(М) на участках входа в окрестность кривой Ётятг для одинаковых начальных условий близки. Близки также фазовые траектории на участках выхода из окрестности Етах для одинаковых конечных условий.

6. Изменение начального веса самолета в пределах 15% приводит приблизительно к такому же изменению времени полета и расхода топ-

Характерная зависимость b(t):(H, М)05. (Н. М)к5 Рис. 2

лива. При этом соответствующие оптимальные фазовые траектории в плоскости Я, М изменяются незначительно.

7. Диапазоны изменения угла наклона траектории и нормальной перегрузки составляют соответственно от —40° до 60° и от —2,5 до 4,5 единиц. Движение с перегрузкой ny<0, соответствующее полету в перевернутом положении, реализуется, в основном, на участках выхода в горизонтальный полет и имеет продолжительность до 12 с.

В связи со свойством 6 необходимо отметить, что решения, полученные с учетом расхода топлива методом проекции градиента, являются более точными, поэтому отличия от соответствующих траекторий с G = const, в основном, связаны с меньшей точностью решений, полученных с использованием метода наискорейшего спуска и штрафных функций.

Свойства 1—5 аналогичны полученным ранее для класса линейных двумерных задач [2, 3]. Например, оптимальные траектории, приведенные в работе [3], состоят из 3 участков: снижения с постоянным углом наклона траектории 0 = —90° (или полета на постоянной минимальной высоте); полета по кривой, определяемой уравнением

где F=nxGV, представляющей собой вырожденное решение соответствующей задачи оптимизации, и набора высоты с постоянным углом 0 = 90°. На рис. 2 приведен пример характерной зависимости 0(/) для одной из полученных в настоящей работе оптимальных траекторий, который подчеркивает отличие решений в точной и приближенной постановке. На рис. 1 видно также отличие полученных решений и от «энергетически» оптимальных траекторий [2], состоящих из участков Е=const и Fmax. Для решений задачи в точной постановке свойства 1—4 также являются известными [7]. На рис. 3 приведено семейство оптимальных фазовых траекторий из работы [7]: видно, что результаты расчетов настоящей работы качественно соответствуют результатам работы [7].

2. Реализация оптимальных траекторий. Для реализации оптимальных траекторий полета в памяти бортовой ЦВМ необходимо иметь:

1) алгоритм синтеза оптимальных программ в пространстве фазовых переменных для любых заданных начальных и конечных условий полета;

----оптимальные траектории; ^шах

Рис. 3

2) алгоритм формирования управления для отслеживания синтезированных программ.

В работе [7], например, алгоритм формирования управления основан на использовании семейства оптимальных программ в плоскости (Я, М). Вся плоскость (Я, М) при этом разбивается на семь областей, в каждой из которых участки программ Я(М) являются достаточно плавными и однозначными, а квазиоптимальные траекторйи составляются из частей с постоянными перегрузками. Недостатком этого алгоритма является необходимость интегрирования уравнений движения самолета на его борту.

В данной работе синтез оптимальной программы Н* = Н* (Е) полета производится в плоскости Я, Е.

Монотонность изменения удельной энергии Е на оптимальных траекториях является одним из основных доводов в пользу такого задания оптимальных программ, поскольку оптимальные траектории в плоскости Я, Е (рис. 4) однозначны и сохраняют все описанные закономерности. Управление перегрузкой для отслеживания программ Н*(Е) предлагается формировать таким образом, чтобы нелинейная система (1) обладала свойствами заданной эквивалентной линейной модели. Для этого потребуем, чтобы переходные процессы в системе (1) по высоте совпадали с переходными процессами 6 линейной модели

Н = Н* + Кн{Н* — И) (3)

или

ЬЙ+кнАН = 0,

где ДЯ = Я* — Я; Я — текущая высота полета; Кн — постоянный коэффициент, который выбирается с учетом необходимого быстродействия.

оптимальные траектории; 4 Ятах;-----------0,9£,

Рис. 4

шах

При условии монотонности изменений удельной энергии по времени можно ввести преобразование

Подставляя в формулу (3) вместо Я соответствующую правую часть из системы (1), с учетом формул (4) и (5) можно получить выражение для потребного угла наклона траектории

Следует отметить, что поскольку зависимости Я = Я(У) и Я = Я(М) для оптимальных траекторий в плоскости Я, V или Я, М (см, рис. 1) «еоднозначны, то в законах отслеживания соответствующих оптимальных программ будут содержаться особенности. В предложенном алгоритме особенностей не возникает, так как Я* (Е) — однозначная функция.

Используя аналогичную (3) линейную эквивалентную модель для рассогласования Л0=0П—0 с соответствующим постоянным коэффициентом К6, можно получить выражение для кинематически потребной

перегрузки ПКу\

(4)

Е==пх V.

(5)

(6)

(7)

Для упрощения расчетов в законе управления (7) можно принять A0 = sln0n — sin 0 и бп = 0. При этом (7) принимает вид

nv

V

Кв (sin 6П — sin 6) + cos 6.

(8)

Если для управления использовать информацию о величине Я, то формулу (8) можно переписать в виде

П»

g

(^sinO— Й) + cos 6.

(9)

С учетом ограничений по пу и пу потребная перегрузка /г" определялась по схеме

Чу , Чу min ^ Чу fly max » Пу {t 4” At) == | fly min ! Чу Чу min ,

* * *

Чу max, Чу Чу max*

4*y = 4y(t) +4y(t) M,

kay(t)-

Чу , | Чу | Чу шах>

tty max > | лг* 1 > «у max >

Чу = k„y {tlKy - 4y),

(10)

где ^ — ПОСТОЯННЫЙ коэффициент, At — шаг ПО времени, Чу ты, "ymin и л;max-задаваемые в алгоритме ограничения. Кроме этого, в расчетах было введено дополнительное ограничение на вычисляемую по формуле (6) величину sin 6":

Sinemin<sin0n<slnemax, (И)

где sin 6min и sin 6max также являются задаваемыми в алгоритме параметрами.

Задача синтеза оптимальных программ Н* = Н*{Е) существенно облегчается ввиду наличия свойств 3—6 семейства оптимальных траекторий. Они позволяют свести формирование программы Н*(Е) к независимому заданию трех участков: участка входа в окрестность кривой Ёт&х, который зависит только от начальных условий полета, участка выхода из окрестности кривой Ётах, зависящего только от конечных условий, и участка полета в окрестности Ётах, не зависящего ни от начальных, ни от конечных условий. Приближенный синтез оптимальных программ Н*(Е) должен быть основан на выборе таких аппроксимаций этих трех участков, которые с учетом описанного закона управления обеспечивают движение по траекториям, близким к оптимальным.

В настоящей работе приведен пример формирования программ Я* (Е) в классе кусочно-линейных функций, которые позволяют удов-

летворительно аппроксимировать оптимальные фазовые траектории, представленные на рис. 4. Вид выбранных программ показан на рис. 5: —■ участок входа в окрестность кривой Етах из некоторой точки А задан одним отрезком прямой АВ, причем для начальных условий полета с #0<1,5 км ее наклон выбран нулевым, а для всех «стальных — отрицательным.

программа; ---------отслеживание программы; —х-----------^шах»--------------0,9£тах

Рис. 5

— участок выхода из окрестности кривой Ёщах в некоторые точки D или R задан одним отрезком прямой CD для конечных условий полета, лежащих правее линии EF (точкой Е обозначено начало горизонтального участка программы), двумя отрезками прямых PQ и QR — для остальных конечных условий, причем для всех конечных условий наклоны PQ, QR и CD выбраны одинаковыми,

— участок движения в окрестности Ётах задан тремя отрезками,

— участок выхода в горизонтальный полет задан отрезком горизонтальной прямой.

Такая схема программ Н* (Е) выбрана из соображений их простоты, и ее уточнение не представляет принципиальной трудности. Для плавного перехода с t'-ro линейного участка программы Н* (Е) на (1+1)-й при отслеживании i-ro участка используется значение

max(sinS?, sin 0?+.), (~-\ < (^jr),+1 >

Sil10 ■ fi" ftn \ fdH* \ \ I dH* \ ^

min (sin 0,-, sin 6I + I),

где sin в" и sin 0"+i — потребные значения угла наклона на траектории, вычисленные соответственно для отслеживания t'-ro и (г+1)-го участков программы.

Таким образом, в этом случае полный алгоритм для отслеживав ния программ Н*(Е) включает в себя соотношения (6), (8)— (12).

Результаты расчетов набора высоты предложенным методом для тех же начальных и конечных условий, что и при точной оптимизации, представлены на рис. 5. Следует еще раз отметить, что выбор программ Н*(Е) и значений параметров закона управления производился так, чтобы полученные в результате их использования траектории были близки к оптимальным. Действительно, соответствующие траектории, приведенные на рис. 4 и 5, имеют удовлетворительное совпадение. Полученные путем синтеза 16 траекторий, соответствующих всем комбинациям выбранных начальных (Я, M)oi, t = 1....................4 и конечных ус-

ловий полета (Я, М)Кг, г = 1,..., 4 обеспечивают время полета, отличающееся от оптимального не более чем на 10%. По точности это соответствует результатам для алгоритма, приведенного в работе [7]. Вместе С тем предлагаемый здесь алгоритм является более простым.

ЛИТЕРАТУРА

1. Остославский И. В., Лебедев А. А. О расчете подъема скоростного самолета.—ТВФ, 1946, № 8, 9.

2. Rutowski Е. S. Energy approach to the general aircraft performance problem. — JAS, vol. 21, N 3, 1954.

3. M и e л e А. Оптимальная программа подъема самолета с ракетным двигателем. — В сб.: Исследование оптимальных режимов движения ракет.— М.: Оборонгиз, 1959.

4. М i е 1 е A. General variational theory of the flight paths of a rocket powered aircraft missiles and satellite carriers. — Astronaut. ACTA, vol. 4,

N 4, 1958.

5. Garstoiu J. Minimum time to climb of an aeroplane. — JASS,

I960, vol. 27, N 4.

6. Bryson A. E., D e s a i M. N., Hoffman W. C. The energystate approximation in performance optimization of supersonic aircraft. — AIAA Paper, 1968, N 877.

7. Brflning G., Hahn P. The on-board calculation of optimal climbing paths.— AGARD, CP 242, 1978.

8. Широкопояс В. А. О возможности упрощения дифференциальных уравнений движения в задаче о максимальной скороподъемности самолета.— Ученые записки ЦАГИ, т. XI, № 1, 1980.

9. Федоров Л. П., Козин Р. В., Литвиненко Н. В. Об использовании энергетического метода в механике полета. — Труды ЦАГИ,

1981, вып. 2102.

10. Кюнци Г. П., Крелле В. Нелинейное программирование.—

М.: Советское радио, 1965.

Рукопись поступила 2/IV 1985 г.