Формирование управления самолетом для отслеживания траектории в задаче четырехмерной навигации Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

______ 2000

№1—2

УДК 629.735,33.015

ФОРМИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ САМОЛЕТОМ ДЛЯ ОТСЛЕЖИВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ В ЗАДАЧЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ НАВИГАЦИИ

Н. М. Гревцов, А. В. Тегин

Рассматривается отслеживание траекторий, полученных при решении задачи четырехмерной навигации с использованием энергетического подхода. Исходные оптимальные траектории рассчитываются как с применением метода сингулярных возмущений, так и без его применения. При формировании управления углом атаки и тягой силовой установки применяется линейная эквивалентная модель, в которой рассогласование между потребным и фактическим значениями параметров траектории убывает по апериодическому закону. Приводятся результаты отслеживания оптимальных траекторий полета дозвукового среднемагистрального самолета.

В статье рассматривается формирование управления для отслеживания траекторий полета самолета, рассчитанных при решении задачи четырехмерной навигации. Эта задача рассматривается в ряде зарубежных (см., напр., [1], [2]) и отечественных работ, в частности, в [3] — [6]. Оптимизация траекторий осуществляется с использованием энергетического подхода [7], который предполагает малость угла наклона траектории и равенство нулю его производной.

Для расчета траекторий достаточно большой дальности обычно применяется метод сингулярных возмущений [1]. В соответствии с этим методом производится оптимизация трех отдельных участков траектории, вместе составляющих единый профиль полета: набор высоты, крейсерский режим и снижение. На участках набора высоты и снижения управлениями являются тяга двигателей и высота полета, а на крейсерском режиме — высота и скорость самолета.

Применение метода сингулярных возмущений обусловлено не только упрощением расчетов, но и высокой чувствительностью траектории к сопряженным переменным (см. [6]). Последнее обстоятельство требует большой точности расчетов. «Сквозная» оптимизация (без разбиения тра-

ектории на участки), осуществляемая вычислительной программой, написанной на языке «С» с описанием формата переменных с плавающей точкой как «double» (это обеспечивает точность мантиссы до 15 значащих цифр), возможна для траекторий с дальностью не более 1100 — 1200 км.

В результате решения оптимизационной задачи можно получить программу полета в виде зависимостей дальности, высоты, скорости полета от времени. При использовании энергетического подхода одной из управляющих переменных является высота, на темп изменения которой не накладывается ограничений. Кроме того, применение метода сингулярных возмущений допускает скачкообразное изменение высоты при переходах между стационарным и нестационарными участками траектории. В связи с этим возникает вопрос о возможности следования самолета вдоль полученной траектории. Если такое следование осуществимо, пусть и с небольшими погрешностями, то можно сделать вывод о целесообразности применения энергетического подхода для решения рассматриваемой задачи. В противном случае возможность использования энергетического подхода требует дополнительного обоснования, например, путем решения оптимизационной задачи в полной постановке.

Основным требованием к алгоритму формирования управления является обеспечение выполнения краевых условий. При этом различие в расходах топлива на траектории, полученной в результате отслеживания, и на исходной траектории должно быть минимальным.

В задаче отслеживания достаточно рассматривать уравнения движения центра масс самолета в вертикальной плоскости. В качестве управляющих переменных принимаются тяга силовой установки и угол атаки. Отслеживание программы полета осуществляется с использованием алгоритма, формируемого на основании линейной эквивалентной модели [8]. Все расчеты выполняются для среднемагистрального пассажирского самолета Ту-204.

1. Уравнения движения. Задача о перелете самолета из одного пункта в другой за заданное время с минимальным расходом топлива (задача четырехмерной навигации) подробно сформулирована в [6] в рамках энергетического подхода. При использовании метода сингулярных возмущений траектория разбивается на три участка: набор высоты, крейсерский режим и снижение. Для коротких траекторий (с дальностью в несколько сотен километров) крейсерский участок может не существовать, и они могут вычисляться с помощью «сквозной» оптимизации.

В результате расчетов определяется программа полета, которая представляет собой совокупность зависимостей дальности, высоты, скорости полета от времени. При моделировании отслеживания этой программы используются уравнения, описывающие движение центра масс JIA в вертикальной плоскости:

V = g(”x-sin0), (1)

к = V эт 0 , (3)

Ь - V соб 0 , (4)

>й = -£, (5)

где V — скорость самолета, 0 — угол наклона траектории к горизонтальной плоскости, пх — тангенциальная перегрузка, пу — скоростная нормальная перегрузка, к — высота полета, Ь — текущая дальность полета, т — масса самолета, О, — секундный расход топлива, g — ускорение свободного падения.

Значения пх и пу вычисляются по следующим формулам:

Рсоэа - 0,5 р К 2

пх=--------------(6)

тё

Рэта + 0,5р ¥28су

пу=-------------------у~, (7)

т

где а — угол атаки, су = су (а, М) — коэффициент аэродинамической подъемной силы, сх -сх(су, М)— коэффициент аэродинамического сопротивления, М — число Маха, р — плотность воздуха, £ — площадь крыла.

При отслеживании заданной программы в качестве управляющих переменных, подлежащих выбору, принимаются угол атаки и тяга силовой установки Р.

2. Формирование управления. В законах управления для отслеживания программных параметров траектории применяется линейная эквивалентная модель, которая предполагает экспоненциальный характер убывания рассогласования между потребными и фактическими значениями отслеживаемых параметров [8]. В этом случае при отслеживании высоты рассогласование Д/г = Ип (/) - й(г) должно удовлетворять уравнению

АА + к^АИ = 0, (8)

где к/, [1/с] —параметр, характеризующий динамику процесса отслеживания, индекс «п» обозначает потребные значения высоты (в данном случае они равны программным).

При изменении рассогласования АЛ согласно условию (8) производная высоты по времени выражается формулой

й-йп+к^ А А. (9)

Подставив выражение (9) в уравнение (3), можно получить потребное значение угла наклона траектории 0„:

51п,д = »,+ц*,-*) (|0)

Как показывают расчеты, при формировании закона управления углом атаки целесообразно величину Лп принять равной нулю, а величину Лп взять с прогнозом, т. е. Лп - Лп (/ + А/), где дЛ — время прогноза.

Потребную величину угла наклона траектории будем отслеживать таким образом, чтобы рассогласование Аэтб = зт0п -втб удовлетворяло уравнению

—(Азш0) + А:9А8т0 = 0, (И)

Л

где к& [1/с] — постоянный коэффициент.

Отсюда можно получить значение временной производной угла наклона траектории:

• 1 Л

COS0

—(sin в п) + ко Asin 0 dt

Подставив эту формулу в (2), после преобразования получим выражение для расчета потребного значения скоростной нормальной перегруз-

ки Пуп :

пуп = COS0 + -

r d Л —(sin 0 п) + к$ (sin 0 п -sin0) dt

(12)

gCOS0

Подставив в (12) выражение (10) и положив 0П = 0, найдем потребную перегрузку

Hvn=cos0 + ———(kuAh-V sin©). (13)

У gCOS0

Анализ закона управления (13) с учетом уравнений (2), (3) показывает, что для удовлетворительного отслеживания программной высоты коэффициенты и kh должны удовлетворять следующему неравенству:

к& >4кк.

Для формирования управления скоростью полета самолета также применяется линейная эквивалентная модель, в соответствии с которой желательно, чтобы рассогласование Д У = УП-У методу потребным Уп и фактическим значениями скорости удовлетворяло уравнению

Отсюда можно вычислить производную скорости полета по вре-

Потребная скорость в момент / рассчитывается с учетом программных значений скорости Упр и дальности полета Ьп в соответствии со следующим алгоритмом:

АУ^ = 2 м/с.

Если подставить значение V (14) в уравнение (1), то после соответствующих преобразований получим потребную величину тангенциальной перегрузки:

Как показывают расчеты, при формировании закона управления тягой целесообразно величину Уп принять равной нулю.

Значения угла атаки и тяги можно найти из выражений (6), (7), полагая пх = пт, Пу = пуп. Если ограничения на величину тяги не нарушаются, то

после исключения тяги из уравнений (6), (7) получается следующее нелинейное уравнение относительно а:

АУ + куАУ = 0.

мени V:

У = Уп+куАУ.

(14)

Гь, еслиГпр(0-Гь <АУЬ, Уп=<Упр+АУь, еслиКпр(0-Кь<-Д^, ¥пр - АУ1, если ^пр (О -у1> >

где

т, 1п(* + Д/)-£(/)

У\ —---------------------

ь Д/

-Cjctga ,

/

(16)

где ад =ао(М)—угол атаки при нулевой аэродинамической подъемной силе, Су =с“(М) — производная коэффициента подъемной силы по углу атаки, сх = сх (су (а, М), М).

Уравнение (16) может быть использовано для нахождения угла атаки методом итераций. Начальное приближение для величины а можно получить, если в этом уравнении принять = а. В этом случае

Для сходимости итерационного процесса необходимо выполнение условия

Расчеты показывают, что данное условие выполняется. В частности, для траектории с дальностью 900 км, продолжительностью 4360 с и начальным весом самолета 73,5 т значение левой части неравенства не превосходит 10'2.

; После вычисления значения а и коэффициента сх величину тяги можно рассчитать по формуле

Если вычисленное таким образом значение тяги нарушает условие

согласно (16), нельзя получить тангенциальную перегрузку, равную потребному значению (15). При этом тяга полагается равной граничному значению, а угол атаки определяется из условия пу = пуи. Его значение

может быть найдено из решения нелинейного уравнения

а =

2mgny п + a0CypV2S

2mgnxn+(cx+c*)pV2S

/ \

1____ 2»xu^g , „ , дсх

р nxnmg + 0,5pV2Scx

cosa

^min(^’ v)<P< Pmax (h, v), это означает, что при угле а, рассчитанном

(17)

методом итераций. Начальное приближение величины а можно получить, если в этом уравнении принять эта = а. После соответствующих преобразований получим

2т^ п +а0с“рК2£

а =------—-^---------■

2Р + с“р^2£

Итерационный процесс сходится, если выполняется условие

2-Pcosoe <

CyPV2S

В процессе отслеживания программы это условие удовлетворяется. Например, для упомянутой выше траектории левая часть неравенства не превышает 0,03.

Вообще говоря, после ограничения величины тяги значение угла атаки, полученное из (16), можно и не вычислять заново. При этом значение пу отличается от пуп, но погрешность в отслеживании высоты незначительна.

В описываемых случаях ограничения на величину угла атаки можно не рассматривать, так как получаемые значения а находятся в допустимом диапазоне.

3. Результаты расчетов. Рассмотрим вначале отслеживание траектории, оптимизированной с использованием энергетического подхода без разбиения на участки. Как было сказано выше, в силу специфики задачи четырехмерной навигации оптимизация без разбиения на участки возможна только для траекторий сравнительно небольшой дальности. Для первого случая дальность полета была принята равной 900 км, начальный вес самолета — 73,5 т. Время полета не задавалось; в результате оптимизации оно получилось равным 4360 с. Шаг интегрирования при оптимизации был принят равным 5 с. С таким же шагом задавалась программа полета.

Отслеживание программы выполнялось при следующих значениях параметров алгоритма: к§ =0,4 с'1, kh =0,1 с'1, ку =0,1 с'1, At = 5 с (т.е.

значение At совпадало с шагом дискретизации программы полета). Интегрирование производилось с использованием метода Эйлера первого порядка с шагом 1 с. В связи тем, что значения шагов дискретизации программы и интегрирования при ее отслеживании различались, в последнем случае программные параметры вычислялись путем линейной интерполяции. Отметим, что удовлетворительная точность расчета траектории при отслеживании обеспечивалась и при интегрировании с шагом 5 с. Итоговые результаты расчетов представлены в табл. 1.

Расход топлива, кг Время полета, с

Программа 34911 4360

Отслеживание с шагом 1 с 34919 4360

Отслеживание с шагом 5 с 35019 4356

Отметим, что расход топлива, подсчитанный при интегрировании с шагом 1 с, превышает значение, полученное для оптимальной траектории, всего на 0,02%.

В процессе отслеживания значения угла наклона траектории сравнивались с программными значениями впр, вычисленными в точках дискретизации по формуле

0пр(У) = аг^

Л(/ + А^)-£(0 Ц1+д^)-1(о

где Д ^— шаг дискретизации программы.

Отличие между программными значениями угла наклона траектории и полученными в результате отслеживания максимально на начальной стадии набора высоты составляет 2,9°. На участке снижения максимальное отличие составляет 3,3° и достигается на конечной стадии участка. На остальной части траектории указанное отличие в среднем равно приблизительно 0,01°.

Рис. 1 иллюстрирует начальный участок набора высоты. На нем приведены участок оптимальной траектории и соответствующий ему участок отслеживания. Начиная с дальности приблизительно 8 км обе кривые на графике практически совпадают.

Программа полета в плоскости «скорость — высота» показана на рис. 2. На графике представлены оптимальная программа полета и результаты отслеживания. На участке снижения обе зависимости почти совпадают.

4

6

в

0

150

160

170

180

190

200

210

220 ЦмЬ

Рис. 2

Рассмотрим теперь отслеживание траекторий, рассчитанных с применением метода сингулярных возмущений. В этом методе траектория полета разбивается на участки и производится их сопряжение друг с другом. При этом крейсерский режим рассматривается как стационарный и, как правило, сход непосредственно с него на нестационарные участки не может быть реализован. Поэтому для схода с крейсерского режима назначается некоторое отрицательное по знаку приращение энергии. Величина приращения выбирается такой, чтобы, с одной стороны, итоговые величины суммарных значений дальности, времени полета, расхода топлива мало отличались от соответствующих значений, полученных при «сквозной» оптимизации траектории (в тех случаях, когда такое сравнение возможно), с другой стороны, чтобы в расчетах получался устойчивый переход к нестационарному режиму. В расчетах скачкообразное изменение энергии при переходах между нестационарными участками (набор высоты или снижение), с одной стороны, и крейсерским, с другой, приводит к скачкам в значении оптимальной высоты, так как скорость полета практически не меняется. В программе абсолютная величина этих изменений высоты существенно превышает разность между значениями высоты в соседних точках дискретизации.

В процессе отслеживания участков со скачкообразным изменением высоты производится предварительное сглаживание программы. Связанная с этим модификация алгоритма отслеживания заключается в следующем. При отслеживании набора высоты выбирается ее значение, заведомо меньшее крейсерского. Начиная с этой высоты, осуществляется проверка неравенства

т. е. модуль приращения высоты в соседних точках программы сравнивается с величиной АЛ , которая позволяет установить наличие скачка высоты

(18)

(значение Ah можно принять на 10 м меньшим, чем изменение высоты в скачке).

Если на наборе высоты неравенство (18) в некоторый момент времени t удовлетворяется, то, начиная с этого момента, потребное значение угла наклона траектории определяется соотношением

■а -а* М0-М^_Л0 sin0n=sm0 = ——-----------------.

п VAt

Одновременно с этим по формуле (10) рассчитывается значение

sin 0П (?). Как только оно становится меньше значения sin9 , потребный

угол наклона траектории определяется согласно (10).

Таким путем осуществляется плавное изменение угла наклона траектории при переходе от набора высоты к крейсерскому режиму.

После перехода с участка набора высоты на крейсерский режим проверка справедливости неравенства типа (18) производится с временным опережением т:

|/гп(? + х + Д^)-Лп(? + х)|>Д/г*. (19)

Величина т выбирается такой, чтобы было обеспечено своевременное распознавание скачка высоты для сглаживания участка перехода с крейсерского режима на снижение. Здесь значение х принимается равным 50 с. Соотношение (19) проверяется до появления скачка в изменении высоты. Когда в некоторый момент t неравенство (19) оказывается выполненным, вычисляются следующие величины:

hn{t + x + 2Atd)-hl 0 =arctg——---------------^----5j-,

Ln(t + i + 2Atd)-Lu

К-но

0 =arctg

L*n-L{t)

где

Лп (? + х + Д?^ ) ,

— (? + х + Д?<^) •

В дальнейших расчетах величины 0*, /г„ и Ь*п фиксируются. Если удовлетворяется неравенство

зт0**< вт©’,

то на каждом шаге до перехода на участок снижения полагается

втбп = втв**.

В противном случае для расчета величины зт0п применяется выражение (10). Таким образом, модификация численной схемы отслеживания высоты заранее учитывает ее будущее скачкообразное изменение и сглаживает программу.

Ниже приводятся результаты отслеживания траектории достаточно большой дальности, оптимизированной с использованием метода сингулярных возмущений. Дальность полета равна 4500 км, начальный вес самолета — 85 т. Время полета принималось свободным. Приращение удельной энергии при переходе от набора высоты к крейсерскому режиму задавалось равным 50 м, а с крейсерского режима к снижению равным — 180 м. Значения расхода топлива и времени полета, полученные в результате расчетов, приведены в табл. 2.

Суммарный расход топлива на траектории, полученной в результате отслеживания, на 0,38 % больше, чем расход на оптимальной траектории, полученной с использованием энергетического подхода.

Таблица 2

Расход топлива, кг Время полета, с

Программа 16411,1 19990

Отслеживание 16 472,8 19990

На рис. 3 показано отслеживание перехода между набором высоты и крейсерским режимом в виде зависимости высоты полета от текущей

Рис. 3

1,5'

0,5

260

программа

отслеживание

280

300

320

340

360Ь,км

Рис. 4

дальности. Для того же участка на рис. 4 приведено изменение по дальности угла наклона траектории для программы и полученного в результате отслеживания. Аналогичные зависимости, иллюстрирующие переход от крейсерского режима к снижению на рассматриваемой траектории, показаны на рис. 5, 6. Из графиков видно, что угол наклона траектории и высота полета, претерпевая скачок в исходной программе, в процессе отслеживания ведут себя плавно. Это иллюстрирует обоснованность использования описанного выше алгоритма сглаживания.

Были выполнены расчеты по оптимизации и отслеживанию траектории полета на дальность 2000 км за время 9300 с для начального веса самолета 90 т. Свободное время полета для указанных дальности и начального веса составляет 8995 с. Расход топлива на оптимальной траектории равен 8425,4 кг, при отслеживании — 8478,9 кг, т.е. суммарный расход топлива увеличился на 0,64 %.

Рис. 5

Рис. 6

Рассмотрим теперь пример, в котором для тех же значений дальности и начального веса требуемое время полета меньше, чем в задаче со свободным временем, и составляет 8850 с. Расход топлива на оптимальной траектории составляет 8394,2 кг, при отслеживании — 8462,4 кг. Расход топлива при отслеживании увеличился на 0,81%.

В заключение отметим, что разработанный алгоритм формирования управления углом атаки и тягой силовой установки позволяет отслеживать программы полета, полученные при решении задачи четырехмерной навигации в рамках энергетического подхода. Алгоритм обеспечивает плавный переход с участка набора высоты на крейсерский участок и с крейсерского участка на участок снижения, т.е. в окрестности точек, где возможно скачкообразное изменение программы, связанное с применением метода сингулярных возмущений. Анализ расчетов показывает, что исходная программа отслеживается с удовлетворительной точностью и краевые условия на траекториях отслеживания практически совпадают с заданными; Эти результаты подтверждают возможность использования энергетического подхода для оптимизации траектории полета неманевренного самолета в задаче четырехмерной навигации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Chacravarty A., Vagners J. Application of singular perturbation theory to onboard aircraft trajectory optimization // AIAA 19th Aerospace Sciences Meeting, St. Louis, Missouri.— January 12 — 15, 1981.

2. Burrows J. W. Fuel optimal trajectory computation // J. Aircraft. — 1983. Vol. 19, №4.

3. Косминков К. Ю. Оптимальный режим полета дозвукового пассажирского самолета при заданных дальности и времени перелета // Труды ЦАГИ, —1984. Вып. 2231.

4. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. Качественный анализ семейства оптимальных траекторий в задаче полета самолета на максимальт ную дальность // Труды ЦАГИ. — 1974. Вып. 1591.

5. Гревцов Н. М., Ефимов О. Е., Мельц И. О., Трубецкой А. Б. Соотношение условий оптимальности стационарного и нестацио-

нарного режимов полета в методе сингулярных возмущений // Ученые записки ЦАГИ —1995. Т. XXVI, № 1-2.

6. G г е v t s о v N. М., М е 11 s I. О., Т е g і n А. V. Analysis of optimal trajectories in 4-D navigation problem. - Aviation - 2000. Prospects. International Simposium Proceedings. Zhukovsky.— August 19-24, 1997.

7. Z a g a 1 s k у N. R., I г о n s R. P., S с h u 11 z R. L. Energy state approximation and minimum-fiiel fixed range trajectories // J. Aircraft — 1971. Vol. 8, No. 6.

8. M e л ь ц И. О., Г о л ы ш к о В. Т., П о л и щ у к М. Г. Формирование траєкторного управления самолетом с использованием линейной эквивалентной модели // Труды ЦАГИ. — 1980. Вып. 2049.

Рукопись поступила 18/ІП1999 г.