Соотношение условий оптимальности стационарного и нестационарного режимов полета в методе сингулярныx возмущений Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ

Том XXVI

ЗАПИСКИ 199 5

ЦАГИ

№1-2

УДК 629.735.33.015

СООТНОШЕНИЕ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО И НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМОВ ПОЛЕТА В МЕТОДЕ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Н. М. Гревцов, О. Е. Ефимов, И. О. Мельц, А. Б. Трубецкой

Показано, что при решении транспортной задачи перелета самолета на достаточно большую дальность с помощью метода сингулярных возмущений на оптимальных программах набора высоты и снижения при стремлении тангенциальной перегрузки к нулю осуществляется асимптотический переход в оптимальный крейсерский режим. Этим обосновывается возможность сопряжения решений для стационарного и нестационарного режимов полета при использовании этого метода.

Для решения транспортных задач перелета самолета из одного пункта в другой конструктивным является подход, основанный на методе сингулярных возмущений. При использовании этого подхода осуществляется декомпозиция общей задачи на три: набор высоты, крейсерский режим, снижение (см., например, [1, 2]).

При решении задач оптимального набора высоты и снижения в качестве управляющих переменных обычно принимаются высота и тяга двигателя, которые вычисляются в результате минимизации и максимизации соответствующей функции цены при фиксированных значениях удельной энергии. В результате определяется оптимальная программа движения в плоскости высота — удельная энергия.

При решении задачи определения оптимального крейсерского режима управляющими переменными являются высота полета и удельная энергия (или скорость полета) при условии, что тангенциальная перегрузка равна нулю.

Таким образом, формально решаются две различные задачи и возникает вопрос о «склейке» их решений. В первую очередь необходимо проверить, принадлежит ли точка крейсерского режима программе набора высоты или снижения.

Известный опыт расчетов для дозвуковых самолетов с использованием такого подхода показывает, что точка крейсерского режима при

достаточно большой дальности полета лежит на оптимальных программах набора высоты и снижения. В связи с этим сопряжение участков набора высоты и крейсерского режима полета, а также участков крейсерского режима полета и снижения получается естественным образом.

Ниже приводится обоснование принадлежности оптимальной крейсерской точки оптимальным программам набора высоты и снижения для задачи четырехмерной навигации и задачи со свободным временем.

1. Постановка задачи. При использовании метода сингулярных возмущений обычно используются допущение о равенстве подъемной силы весу самолета и следующие уравнения движения:

Ё = пх V, х = ¥ + 1У, Т = 1, т = ~/, (1)

где Е — удельная энергия в инерциальном пространстве, связанном с воздушной массой, пх — тангенциальная перегрузка, V — воздушная скорость, х — дальность полета, Ж — скорость ветра, которая для простоты считается постоянной, Т — время, т — масса самолета, / расход топлива в единицу времени. При этом '

Е= Н+ \П/2&> пх = пх (Е, т, Н, Р), /==/(£, Н, Р),

где, в свою очередь, Н — высота полета и Р — тяга двигателя.

Будем рассматривать стандартную задачу определения оптимальной траектории при заданных начальных в момент 7=0

Е (0) = Ео, х (0) = 0, Г(0) = 0, т(0) = то

и конечных в момент / = ^

Е (//) = Ег, X (/у) = X/, Т (0 = 7> (2)

условиях.

Для задачи со свободным временем на фазовую координату Т в момент времени tf ограничений не накладывается.

В качестве функционала, подлежащего минимизации, примем прямые операционные расходы

Ч

/= |(С//+С,)Л, (3)

о

где Cf — стоимость топлива, с, — стоимость времени. При с{ = 0 имеем задачу о минимизации расхода топлива.

' 2. Условия оптимальности. Гамильтониан задачи (1)—(3) запишем следующим образом:

н = / + ХЕпхУ + Хх(У + Ю, (4)

где

} = -Хт)/ +(\т + с{). (4')

Здесь %£, Хт Хх и Хт — сопряженные переменные, соответствующие фазовым координатам Е, т, х и Т.

На оптимальной траектории минимум гамильтониана (4) по управляющим переменным равен нулю.

Если объединить управляющие переменные вектором и, то это условие можно записать как

пип Н = 0, (5)

ие11

где и — допустимая для управляющих переменных область.

Если оптимальное управление и находится внутри допустимой области и функции, входящие в гамильтониан, имеют непрерывные первые производные, то условие оптимальности для расчета управления может быть представлено в виде

I1 = 0. (6)

ди

Уравнения для сопряженных переменных и краевые условия для них имеют вид

•ан у _ дК • ■

кЕ - кт - ~ ’ Т ~ ’

= ^х='°х> ХТ=1>г,

где ье, о* и г»у— три параметра, выбором которых необходимо обеспечить выполнение трех условий (2). Для задачи со свободным временем X х — 0.

Таким образом, имеем стандартную двухточечную краевую задачу принципа максимума. Эта задача при условии (5), как известно, может быть существенно упрощена за счет исключения из вычислительной процедуры одной из сопряженных переменных, которая имеет в гамильтониане отличный от нуля сомножитель.

Покажем это. Запишем гамильтониан (4) в форме

Н = Хц> (и) + у (и), (7)

где X — одна из сопряженных переменных, ср (м) — скалярная функция

фазовых координат и управления и, у (и) — скалярная функция фазовых координат, остальных сопряженных переменных и управления и. В целях упрощения зависимость ср и у от фазовых координат и сопряженных переменных опущена.

Условие (5) имеет вид

тш (Х.ф (и) + у (и)) = 0. (8)

ue.ll

Обозначим решение этой задачи через и* и будем считать, что Ф (и*) * 0. Тогда значение X равно

Х = (9)

ф(«‘)

Минимум выражения (8) по и в точке и, где гамильтониан (7) равен нулю, означает, что выполняется условие

Хер (и + Ли) + \|/ (и + Ли) > О,

где приращение Аи * 0 будем считать произвольным вектором, удовлетворяющим условию и + Аи е II.

Подставляя сюда выражение для X (9), получаем

Это означает, что и , являющееся решением задачи (8), совпадает с решением задачи

Сведение задачи (8) к задаче (11) или (12) избавляет от необходимости вычисления сопряженной переменной X. Это, как отмечалось выше, существенное упрощение, справедливое, однако, лишь при

Ф (и) * 0.

Используя этот результат для рассматриваемой транспортной задачи (с набором высоты и снижением), получаем, что оптимальное управление можно найти из условий

_чФОф(й* + ди^ + \у(и* + Аи) > 0. ф(«’)

При ф (и + Аи) > 0 из условия (10) следует неравенство

ф(ц* + Аи) > \у(и*) <р(и* + Аи) ф(и*)

При ф {и + А и) < 0 из условия (10) получим

(Ю)

4>(и* + Аи) < Ч/(Ц*) ф(и*+Ди) ф(и*)

(И)

и задачи

(12)

(13)

(14)

т=сопЯ

где функция цены С определяется следующим образом:

/ + МГ + Ж) пхУ •

(15)

Здесь компонентами вектора управления и являются Ни Р.

Для крейсерского режима оптимальное управление находится из условия

и вектор управления состоит из компонентов Ни Е.

Отметим еще раз, что переход от исходной задачи с использованием (5) к задаче с использованием (13), (14) и (16) позволяет избежать интегрирования достаточно сложного уравнения для ХЕ и подбора константы Хх, что существенно упрощает решение краевой задачи.

В ряде работ, в частности в [2], отмечается, что в выражении для / можно без существенного изменения результатов положить Хт = 0 и, кроме того, исключить из задачи сопряженное уравнение для ХЕ. При этом остается варьируемый параметр X -р, регулирующий время полета, а краевое условие по дальности полета удовлетворяется за счет выбора длины пути на крейсерском режиме.

Отметим, что сведение общей задачи к трем задачам (13), (14) и

(16) является наиболее важным положением метода сингулярных возмущений применительно к рассматриваемой задаче.

Основным содержанием этой работы является установление близости условий оптимальности общей задачи и частных задач при их-> 0.

Рассмотрим теперь условия оптимальности для крейсерского режима (пх = 0) и режимов набора высоты (пх > 0) и снижения (пх < 0), соответствующие (5) и (6).

2.1. Условия оптимальности для крейсерского режима полета. В качестве управляющих переменных для крейсерского режима полета принимаются высота Н и удельная энергия Е при пх = 0. Считая, что оптимальная высота и удельная энергия для крейсерского режима полета находятся внутри области возможных режимов полета, из (5) и (6) получаем следующие условия оптимальности:

2.2. Условия оптимальности для режимов набора высоты и снижения. В качестве управляющих переменных для режимов набора высоты и снижения примем высоту Н и тангенциальную перегрузку пх. При этом

Хх = - гшп Ссг

ие1/

=>«* при пх = 0,

(16)

т=соп51

где функция цены Ссг равна

V + 1У

Н = / + МК + Ж) = 0,

(17)

(18)

^=*- + Хг^ = 0.

дЕ дЕ х дЕ

(19)

в (4')

/=/(Д, т, Н, пх).

Так как оптимальная высота и тангенциальная перегрузка находятся внутри допустимой области, необходимые условия экстремума на основании (5) и (6) с учетом (3) могут быть записаны как

П = } + ХЕпхУ + Хх(У + ]У) = Ъ, (20)

дн д/ 1 \дУ п

дн~Ш + (Хх + ХЕПх)Ш~°’ (21)

— = + ХЕ V = 0. (22)

дпх дпх ь ’

3. Соотношение условий оптимальности. Обозначим через £’и£* оптимальные значения Е и Н для крейсерского режима полета, соответствующие условиям (17) — (19).

Проверим, можно ли из условий оптимальности (17) — (19) получить решение, удовлетворяющее условиям (20) — (22) при пх = 0,

Е = Е*, Н = Н*. Очевидно, что при пх = 0 (20) совпадает с (17), (21)

совпадает с (18). Условие оптимальности (22) удовлетворяется, если выполняется равенство

^Е=~т,(23) V дп

Таким образом, для того чтобы убедиться, что крейсерская точка (или, с учетом переменности веса самолета, крейсерские точки) может соответствовать решению задач (13), (14), остается показать, что величина ХЕ, определяемая из (13), (14) с учетом условий (17) — (19), удовлетворяет условию оптимальности (23) при Е = Е*, Н= Н* и лх -> 0.

Функция цены в (13), (14), определяемая согласно (15), содержит в знаменателе пх. Пусть значения пх = 0, Н = Н обеспечивают выполнение условий (20), (21) при некотором значении Е = Е\. Разложим числитель и знаменатель функции цены (15) в рад около точки пх = 0, Н = Н при Е = Е\ с удержанием лишь линейных членов разложения:

з/ Д1Г, С- . * (*. дУ

К р ---------------

/ + МГ + И0 +

пхУ

+ Х ■ 8/

дН х дН

\___________________

АН + -У— пх дпх х

пхУ

Отсюда видно, что если условия (17), (18) для некоторых значений массы т самолета и сопряженных переменных Хт> Хх, Хт выполняются в единственной точке Е = Е*, Н = Н*, то равенство (23) справедливо при Е\ = Е*, Н = Н*. Следует подчеркнуть, что переход от условий (20) — (22) к условиям (17) — (19) выполняется при одних и тех же значениях т, Хт, Хх, Хт-

Так как оптимальная высота и тангенциальная перегрузка находятся внутри допустимой области, необходимые условия экстремума на основании (5) и (6) с учетом (3) могут быть записаны как

Н = / + ХЕ пх У + Хх (V + IV) = 0, (20)

ан _ а/ ч дУ _ „

Тн (* Е ’ 04

— = ■%- + ХБ V =. 0. <22)

дпх дпх ь ’

3. Соотношение условий отимальности. Обозначим через Е* и Н* оптимальные значения Е и Н для крейсерского режима полета, соответствующие условиям (17) — (19).

Проверим, можно ли из условий оптимальности (17) — (19) получить решение, удовлетворяющее условиям (20) — (22) при пх = 0, Е = Е*, Н = Н*. Очевидно, что при пх — 0 (20) совпадает с (17), (21) совпадает с (18). Условие оптимальности (22) удовлетворяется, если выполняется равенство

ХЕ =(23) Е V дп 4 '

Таким образом, для того чтобы убедиться, что крейсерская точка (или, с учетом переменности веса самолета, крейсерские точки) может соответствовать решению задач (13), (14), остается показать, что величина ХЕ, определяемая из (13), (14) с учетом условий (17) — (19), удовлетворяет условию оптимальности (23) при Е = Е*, Н= Н* и пх -> 0.

Функция цены в (13), (14), определяемая согласно (15), содержит в знаменателе пх. Пусть значения пх= 0, Н = Н обеспечивают выполнение условий (20), (21) при некотором значении Е = Е\. Разложим числитель и знаменатель функции цены (15) в ряд около точки пх — 0, Н = Н при Е = Е\ с удержанием лишь линейных членов разложения:

7 8/ А„ а/ , („ дУ

I ^, АН н---------------------Лу + /,х V + ——

, дН дпг х \ дН

ХЕ -----------------------------------

/ + \Х(У + ЦГ) +

пхУ

&- + х ^ дН х дН

АН + ^-пх дпх х

пхУ

Отсюда видно, что если условия (17), (18) для некоторых значений массы т самолета и сопряженных переменных Хт, Хх, Хт выполняются в единственной точке Е = Е*, Н = Н*, то равенство (23) справедливо при Е\ = Е*, Н = Н*. Следует подчеркнуть, что переход от условий

(20) — (22) к условиям (17) — (19) выполняется при одних и тех же значениях т, Хт, Хх, Хт-

В действительности для конечной дальности полета величина пх в решении задачи (1) — (3) не может принимать сколь угодно малое значение. Кроме того, масса самолета в процессе-полета уменьшается, и это, как правило, приводит к увеличению значения Е*, т. е. даже на 1фейсерском режиме полета значение пх положительно в соответствии с первым уравнением в (1). Тем не менее при приближении к крейсерскому режиму полета значение пх становится очень малым, и в качестве решения задачи (1) — (3) можно принять Е = Е*, Н = Й*.

Так, для самолета Ту-204 при т = 81 т, с, = = 0, Хт = 0,00202

параметры крейсерского режима определяются значениями: Е* =13 253 м, . Н* = 10 564 м. Решение задачи (1) — (3) при полете на большую дальность для Е\ = 13230 м дает пх = 1,54-Ю-4, Н = 10 541 м. При этом секундный расход топлива / составляет 0,856 кг/с. Замена оптимальных параметров на крейсерские дает /— 0,8523 кг/с, что на 0,4% меньше. В процессе полета Е\ будет приближаться к Е', пх — уменьшаться и погрешность расчета подынтегральной функции (3) будет также уменьшаться.

• Переход при достаточно малых значениях пх от решения задачи (1) — (3) к задаче определения параметров крейсерского режима из условий (17) — (19) обусловлен не только уменьшением размерности задачи, но и вычислительными аспектами. При небольшой дальности полета вблизи крейсерского режима значение пх становится настолько малым, что использование формулы (13) или (14) порождает машинную проблему «деления на 0».

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Zagalsky N. R. Aircraft energy management // AIAA 11th Aerospace Sciences Meeting.—Jan. 10—12, 1973, AIAA Paper N 73—228.

' 2. В arrows J. W. Fuel-optimal trajectory computation // J. of Aircraft,—

1982. IV.'Vol. 19, N 4.

3. Chakravarty A. 4D Fuel-optimal guidance in the presence of winds //

AIAA Guidance and Control Conf., Aug. 15—17, 1983.

Рукопись поступила 6/XII1993 г.