CC BY
9УДК 536.24
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ НАГРЕВА ЖИДКОГО МЕТАЛЛА В ГАЗОВОЙ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ ПЕЧИ ДЛЯ ПЛАВЛЕНИЯ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ1
Э.Я. Рапопорт, Л.А. Узенгер2
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Исследуются алгоритмы оптимального управления процессом нагрева жидкого металла в газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов с учётом и без учёта фазового ограничения на максимальную температуру.
Ключевые слова: алътернансный метод, оптимальное управление, фазовые ограничения.
В технологии процессов плавления алюминиевых сплавов большое практическое значение имеет задача достижения требуемого конечного температурного распределения жидкометаллической ванны за минимально возможное время. Для решения этой задачи могут быть использованы методы теории оптимального управления с распределенными параметрами.
Математическая модель объекта управления, в качестве которой рассматриваются температурные режимы жидкого расплава в ванне газовой отражательной печи, разработана в [1] на основе взаимосвязанных уравнений внешнего и внутреннего теплообмена в рабочем пространстве и в ванне печи. В общем виде передаточная функция для температурного поля Т(х^) алюминиевого расплава относительно управляющего воздействия £>(г) по расходу газового топлива представляет собой сложную трансцендентную функцию комплексной переменной «р» [1], дальнейшее использование которой в целях синтеза алгоритмов оптимального управления оказывается затруднительным. В работе [2] получены удовлетворительные по точности дробно-рациональные чебышевские приближения этой передаточной функции в следующем виде:
^ Т(х,р) Ьх +Ь2р + Ьъ{х)р2
бЫ р^ + ъ^р+цр2) ’
со следующими расчетными значениями параметров, найденными применительно к характеристикам реальной плавильной печи: Ь\ = 9,515 ■ 10-^ , Ъ2 = 3,408 ■ 10^,
£4 = 5,423-105, 65 -8,977 108, 63(*) =-1,551 107 +1,018 108лс, где х - пространственная координата по глубине ванны.
Для распределённого объекта, описываемого аппроксимирующей передаточной
функцией (1), ищется такое управляющее воздействие £>* (/), стесненное ограниче-
1 Работа поддержана Грантом РФФИ (проект 09-08-00297-а).
2 Рапопорт Эдгар Яковлевич, доктор технических наук, профессор.
Узенгер Алексей Андреевич, старший преподаватель.
ниями I е 0,/°], с заданными предельными величинами
<2тах, которое за минимально возможное время = тш ^{О) обеспечивает
<24<2т,ь
заданную абсолютную точность <| приближения результирующего температурного состояния жидкометаллической ванны к требуемому распределению темпе-
ратур Т*(х) на отрезке х е [0,л]:
(2)
где Я - глубина ванны.
Для отыскания алгоритмов оптимального управления используется альтернанс-ный метод [3] решения краевых задач оптимизации систем с распределёнными параметрами в условиях заданной точности равномерного приближения конечного состояния объекта к требуемому.
В классе определяемых известными условиями оптимальности релейных управляющих воздействий альтернансный метод определяет двухинтервальный
алгоритм оптимального управления (рис.1):
«>* :.1й ®
для диктуемых типичными технологическими требованиями значений £ : £2 < £ < ^1 в (2). Здесь ^1, - минимально достижимые значения Е, при релейных управлени-
ях 0(7) с одним и двумя интервалами постоянства соответственно.
<5(0
Рис. 1. - Двухинтервальноеуправление
Согласно альтернансным свойствам выполняются при управлении (3)
равенства
для результирующих температур 7’(о,/°)= г(о,/р/2) и соответст-
венно на дне х = 0 и на поверхности а = К ванны, которые можно рассматривать как систему уравнений для отыскания параметров и /2 алгоритма (3).
Температурное поле ванны в конце процесса управления находится в форме явной зависимости от параметров ^ и (2 оптимального алгоритма (3) в лю-
бой точке X Є [о, л] определяется здесь сверткой импульсной переходной функцией объекта (1) и управляющего воздействия (3), представляемой после выполнения операций интегрирования в следующем виде:
Т(х,11,12)=Тмо +
+ бшах [кі+к2і2+к3е а‘гсЛ(р■12)+кАе~а‘25й(р *2)]“ [йтах ~ бтіп ] ’ (5 )
•[*і +кг{*г -іх)+к3еМ,-Чі)сЬ{$(і2 ^^))+кАеМ^\к($(12 -/О)]
Здесь а =^~, р = к1=Ь2-Ь1Ь4, к2=Ь1, кг
к4 = 26(*5 и предполагается, что і>4 > 4Ь5.
А2-4*5
В результате численного решения системы уравнений (4), (5) выполненного в среде МаШСасі, получены следующие результаты: ?] = 1245с, ^ ~ 3270с .
Результирующее распределение температуры по глубине ванны в конце оптимального управления представлено на рис. 2. Характер температурного поля в оптимальном процессе иллюстрируется рис. З.а.
О 0.2 0.4 0,6 0.8 1
Р и с. 2. Конфигурация результирующего температурного поля оптимального процесса
Как видно из рис. 3, температура поверхности ванны в оптимальном процессе с управлением (3) превышает допустимый предел Та0Р, что приводит к необходимости решения задачи быстродействия с учетом соответствующего фазового ограничения.
В условиях фазового ограничения на максимальную температуру:
п^(х,,)<.Ттр. (6)
алгоритм оптимального управления найдется в виде (рис. 4):
е‘{'Нбг(')> ММз), (7)
. бтт > (е{*2 >*з)>
где £>т{1) = <?1+<?2'е^У‘ -управление на участке I <5 (?1,?2) движения по ограничению (6), вычисляемое вместе с первым моментом £[ достижения равенства (6) из условия своего определения.
т, к
Р и с. 3. Оптимальный по быстродействию процесс разогрева жидкометаллической ванны I - х/Я = 1; 2- х/Я = 0,8;3- х/Я = 0,6;4- х/Я = 0,
Ь с
Р и с. 4. Оптимальное управление с учетом ограничения на допустимую температуру
т,к
Р и с. 5. Оптимальный по быстродействию процесс разогрева жидкометаллической ванны с ограничением на допустимую температуру).
1 - х/Я = 1; 2 - х/Я = 0,8; 3 - х/Я = 0,6 ; 4 - х/Я = 0 .
Решение задачи оптимального по быстродействию управления с фазовым ограничением на максимальную температуру выполняется также альтернансным методом и сводится к решению подобной (4) системы уравнений, относительно неизвестных /2 > Н '■
П0,^2,/3)-:г»=ч, (8)
ПК,ц,12,ц )-Г*(лМ>
где параметрическое представление результирующего температурного поля Г(*,М2,*з) описывается аналогичной (5) свёрткой более сложного вида:
Т{х,^2,Ь ) = тмо +
+ /бшах • 1^1 -Ф1 + сЛ{р■ /[) + ^зе”а'1 ‘ 'I )]* +
О
+ |(ф1 +Ф2'е~т('2"^1с/1 + (12е~а‘гск(р, • /2)+яу_а'2 5/г(р • /2 )]* + ^
‘1
+ )<2шп *1(^3 -Ф1 + й2е-^ СЛ(Р ■ /3)+аъе-^ ^(р ■ *3)]*.
•г
2ЬгЬ$ - АД -
, и также предполагается, что > 4£>5
В результате численного решения задачи в среде МагСас! получены следующие результаты:?1 =1172 с, /2 =2016 с, *3 =2650 с.
Характер температурного поля в оптимальном процессе с учётом ограничения на максимальную температуру иллюстрируется рис. 5.
На основе полученных результатов может быть выполнен синтез замкнутой системы оптимального управления в виде релейной системы автоматического регулирования в двух различных точках по глубине ванны [3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. УзенгерА.А, Динамические свойства газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов // Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”, №1(19) - 2007, с. 170-174.1991-8542
2. Рапопорт Э.Я., УзенгерА.А. Чебышевская аппроксимация частотных характеристик газовой отра-жаггельной печи для алюминиевых сплавов // Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”, №2(20) -2007, с. 168-174.155К 1991-8542.
3. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука. 2000 - 336с.
UDC 536.24
OPTIMAL CONTROL PROCESS OF HEATING LIQUID METAL IN THE GAS REFLECTIVE FURNACE FOR FUSION OF ALUMINIUM ALLOYS
E. Y. Rapoport, A.A. Uzenger1
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
Algorithms of optimal control by process of heating liquid metal in the gas reflective furnace for aluminium alloys with the account and without the account phase ogra-nichenija on the maximum temperature are investigated.
Keywords: alternansniy method, optimal control, phase restrictions.
Статья поступила e редакцию 5 марта 2009 г.
1 Edgar Ya. Rapoport, Doctor of Technical Sciences, Professor. Aleksey A. Uzenger, Senior Lecture.
