CC BY
11На рис. 6 приведен пример аппроксимации рассматриваемой в данной статье плотности вероятностей (гистограмма на рис. 2) степенным рядом 10-го порядка. Среднеквадратическая погрешность аппроксимации составляет 0.004882. Если сравнить с погрешностями при аппроксимации полиномами Чебышева (рис. 5), то аппроксимация степенными рядами точнее, чем классический метод (с.к.о. ~ 0.006585), но немного менее точна, чем нейросетевая аппроксимация полиномами Чебышева (с.к.о. ~ 0.004564).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Осоеский С. Нейронные сети для обработки информации: Пер. с польского И.Д. Рудинского, М.: Финансы и статистика, 2002.
2. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов. Самара: Самарский государственный аэрокосмический университет, 2001.
3 Прохоров С.А , Солдатова И.В., Лёзин И.А, Автоматизированная система аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов // Надежность и качество: Тр. междунар.о симпозиума / Под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Ненэ, гос. ун-та, 2004,
УДК 62-40 Э.Я. Рапопорт
Самарский государственный технический университет
ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ АЛЬТЕРНАНСНОГО МЕТОДА ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ПО ПРИНЦИПУ ГАРАНТИРОВАННОГО РЕЗУЛЬТАТА
Для достаточно широкого круга параметризуемых задач управления динамическими объектами по принципу гарантированного результата рекомендуется процедура точной редукции к специальному классу негладких задач математического программирования, формулируемых в терминах функций максимума. Предлагается конструктивный метод их решения, базирующийся на алътернансных свойствах искомых экстремалей и априорной информации о конкретных закономерностях исследуемых процессов, диктуемой знаниями соответствующей предметной области. Возможности развиваемого подхода иллюстрируются применительно к ряду типичных задач идентификации и управления в технических системах.
Parametrized problems of the optimization of control systems are reduced to non-smooth mathematical programming problems (NPMP) with infinite number of constraints. Computational algorithm is developed for solving of the NPMP. This algorithm is based on special (alternate) properties are a consequence of the total theory of extremum necessary conditions in NPMP. Examples ofparametric optimization problems are considered which demonstrate the possibilities of the alternance method.
1. Параметризация управляющих воздействий и модели полубесконечной оптимизации
Для достаточно широкого круга задач оптимального управления динамическими системами (ЗОУ) известные условия экстремума, например, в форме подходящего принципа максимума. либо исходные требования допускают конечномерное параметризованное представление искомых управляющих воздействий с точностью до некоторого вектора п параметров
Д = (А, ), / -1 ,п, позволяя тем самым осуществить без каких-либо погрешностей в рамках исследуемых моделей процедуру редукции ЗОУ к соответствующей задаче математического программирования (ЗМП).
При этом в целом ряде случаев, представляющих самостоятельный интерес подобные ЗМП, в силу сохранения принципиальных особенностей прикладных постановочных аспектов, существенно отличаются от стандартных.
Пусть используемые модели управляемых процессов позволяют найти в явной форме оценки /^(у, Д) оптимизируемых (далее, для определенности, - минимизируемых) показателей 346
качества и F(x, Д) для функциональных ограничений, формирующих условия принадлежности конечных состояний системы заданному целевому множеству G*, на прямых произведениях G„xLr или Gn xQm фиксированных множеств G„ сЕа, LT <= Е\ Qm с Ет значений ДgG„ искомых параметров и некоторых "промежуточных" переменных yeLr, хеПт, природа которых определяется конкретным содержанием задачи в рассматриваемой предметной области.
В роли у и х могут, в частности, рассматриваться временной, частотный или пространственный аргументы управляемой функции состояния объекта, а также параметризуемые факторы, определяющие его интервальные неопределенности.
В конечном итоге проблема сводится к отысканию конечномерного решения Д° е Gn специальной ЗМП с бесконечным числом "частных" критериев эффективности F0(_y, Д) и (или) бесконечным числом функциональных связей F(x, Д) для каждого из фиксированных значений у и л, непрерывно изменяющихся на заданных множествах Lr и От (задача пояубесконечной оптимизации (ЗПО) [1-3].
При естественном в подобных условиях подходе к свертыванию целевых функций и ограничений в обобщенные показатели с позиций гарантированного результата ЗПО формулируется в терминах функций максимума по переменным х и у, формируемых на Lr и Пт, и представляет собой, таким образом, негладкую минимаксную ЗМП с континуумом ограничений [1-3]:
/(A) = max{F0(y,A):>'eIr <z£r} ^min, AsG„ с (1)
0(A) = max{F(jc,A):*enffl c£m}<s; е £ej$n = inf{®(A):A eG„}. (2)
Эта задача имеет решение только в том случае, когда заданный допуск е>0, характеризующий допустимые отклонения от желаемого конечного состояния системы в пределах G *,
удовлетворяет неравенству в (2) для минимакса е^п ,
К подобному виду могут быть приведены и более сложные ЗПО, для которых F0 и F в (1), (2) заменяются их векторными аналогами.
Обычно условия оптимальности позволяют найти оптимальное управление лишь с точностью до р-мерного аргумента Д^ = (л^)е intGp с Ер, / = 1,р на замкнутых множествах
Gp = {д(р): Af £/,, i = 1,р} , где нефиксируемое заранее число р может принимать любое значение из множества {1,2,...Д Л S оо и /( - некоторые заранее фиксируемые числа (часто равные нулю [1-3]).
Пусть далее каждой точке Д^ для р < Л можно сопоставить такую точку Д^ е G0 при р + 1 < и < Ь, где Д(о): Д^> = Af >/ = 1,р; Д^и) =/„ i = р + 1,о , что Дср))= /^{у, Д(и)) и
Д^^ ДСо>). Из сказанного, в частности, следует, что G] cG2c... с Gh, и следова-
тельно, минимальные значения е^п допусков е в (2), характеризующие минимально достижимые погрешности приближения к заданному конечному состоянию системы в классе управлений, представимых вектором Л(р), составляют невозрастающие (в типичных ситуациях строго убывающие) последовательности неравенств:
emin >emin >->emin =Einf *0. (3)
Здесь ejnf - точная нижняя граница достижимых на множестве всех ре{1,А} значений е, большая или равная нулю соответственно для объекта, неуправляемого или управляемого относительно требуемого в идеале конечного состояния.
При Д = £&п\ 1 <rt<h задача (1), (2) формулируется с точностью до размерности п вектора Д, которая должна быть установлена вместе со значениями Д,-, i = 1,л, искомых параметров.
К ЗПО вида (1), (2) сводится целый ряд представляющих самостоятельный интерес прикладных задач управления в технических системах [1-9].
2. Альтернанснын метод параметрической оптимизации
Абстрактная постановка ЗПО вида (1), (2) без какой-либо конкретизации закономерностей поведения функций Fq (,у, Л) и F(x,A) допускает ее решение лишь с помощью специальных численных методов недифференцируемой оптимизации, отличающихся высоким уровнем сложности.
Другой возможный подход (альтернансный метод [1-4]), позволяющий установить основные качественные свойства искомых решений и связанный с использованием альтернансных свойств искомых экстремалей, являющихся аналогом известных условий экстремума в теории нелинейных чебышевских приближений, оказывается эффективным именно в прикладных задачах оптимизации, для которых на базе знаний соответствующей предметной области, как
правило, удается получить дополнительную информацию о свойствах зависимостей F0 (v, Д) и ^(*,Д) и предложить на этой основе эффективные вычислительные алгоритмы.
В [i-З] установлены альтернансные свойства решений Д° ЗПО (1), (2), выполняющиеся при некоторых предварительных допущениях о характеристиках функций максимума в (1), (2), ослабленных по сравнению с известными альтернансными формами условий экстремума и, как следствие, малостеснительных для большинства прикладных задач оптимизации.
Согласно этим свойствам минимальные числа Rx и Ry точек = XjJ = 1,2,..., Rx и
у = jVv ,v = 1,2,..., Ry максимума функций F(x, Д^) и Д°), в которых достигаются, соответ-
ственно, значения Ф(Д°), равные заданной величинее, и 7(Д°):
^0,Д0) = Ф(Д°) = е, j = 1,2,...,^; (4)
^<>°,Д0) = /(Д0)^ = \,2,-Лу, (5)
в случаях, когда Rx > 2, Ry > 2, связываются с числом п искомых параметров
Д°, / = 1,2,...,п следующими соотношениями:
Rx + Ry = п +1, если еЩ, < е < £ ; б = Ф(Д),Д = arginf{/(A) А е G„}; (6)
Rx = n + \, если е = Е^п; (7)
Ry = п +1, если е > Ё; (8)
Rx=n, если е > е« и F0(y, А) = F0( Д) = 1(A) , (9)
устанавливающими равенства между Rx, Ry или суммой Rx + Ry и числом п или п + 1 всех
искомых неизвестных, включая Д°, минимакс е^п по (2) в случае (7) и оптимальное значение
целевой функции /(Д°) в случаях (6), (8).
Тем самым, альтернансные свойства (6)-(9) порождают замкнутые относительно указанных выше неизвестных системы соотношении (4), (5) или (4) и (5) при е = е^п,е>ё или
^mili <z<£ соответственно.
В ситуациях /?л=1 или (и) Ry = 1 дополнительные соотношения, замыкающие систему (4), (5), определяются обобщенным правилом Лагранжа для ЗПО (1), (2) [1-3].
Для характерного частного случая v, Д) = Fq (у, Д)| и F(x,A)~ F*(x, Д)| с одномерными
распределениями F$(y,Д°) и Д°), обладающими чебышевскими свойствами на отрезках
L, = [й0,і0] э у и £2} - [а, Ь]э х , точки Xj, j = l,Rx и yv, v = \,R , число которых удовлетворя-
ет соотношениям (6)-(9), образуют чебышевский тьтернанс, и система (4), (5) конкретизируется условиями знакочередования значений и Fq (_у®, Д°) в точках альтернанса:
^*(4>д°) = ^("1УФ(А0) = м/(-1Ув;ч/ = +1; j=\,Rx; а < jcf < <... < x°Ri <frt (10)
7?о(^,Д0) = Ч'оН)’'ЛА°);Ч'о =±]; v = l,/IJI; а0 < у? < у% <... < у\^ <й0. (И)
Для подобной одномерной задачи, рассматриваемой в условиях F0(y, Д) = ^0(Д) = 1(A) при некоторых практически очень часто выполняющихся допущениях, заранее не фиксируемая
размерность п вектора Д° определяется в соответствии с (3) простым соотношением [2]:
п = и для всех е: <g <1 й и < А, (12)
которое во многих ситуациях остается справедливым и за рамками данного частного случая [2, 5].
При наличии достаточной априорной информации о характере оптимальных распределений функций FQ(y,A0) и F(x, Д°) на множествах Lr э у и Пт э х, определяемой закономерностями оптимизируемых процессов в конкретной предметной области рассматриваемой задачи, порождаемая альтернансными свойствами замкнутая система соотношений вида (4), (5),
дополненная условиями существования экстремума /^(^Д0) и F(x,Д°) в точках максимума, принадлежащих int Lr и int Q.m, однозначным образом редуцируется к соответствующей системе уравнений, разрешаемой стандартными способами относительно всех неизвестных, включая априори неизвестные координаты точек е inti,., х® е intOm [1-3].
Специфическая проблема реализации указанной процедуры редукции может быть сравнительно просто решена для многих представляющих практический интерес ситуаций с использованием соответствующей базы знаний либо исчерпывающим образом непосредственно для всего возможного интервала изменения £ в (2), либо только для некоторых характерных значений Е с последующим переходом к заданным величинам £ на основании непрерывности
зависимости Д° от g [2].
Задача существенно упрощается в случае (10), (11), в значительной мере предопределяющем форму кривых F0*(y,A°) и F*(x,A°) на отрезках [а0,й0] э у и \а,Ь\ эх .
Заметим отдельно, что возможность попутного вычисления альтернансным методом значений минимаксов в последовательности неравенств (3) при е = е^п в (2) имеет самостоятельное значение, позволяя определить предельные возможности по абсолютной точности приближения к требуемому конечному состоянию управляемой системы в классе управляющих воздействий заданной структуры.
3. Альтернансный метод в задачах идентификации и управления
техническими системами
Предлагаемая методика параметрической оптимизации обладает рядом преимуществ по сравнению с известными методами, позволяя получить алгоритмически точные, технически реализуемые решения и установить их качественные свойства, имеющие очевидное физическое содержание, применительно к ряду типичных задач прикладной теории управления и аналитической идентификации управляемых объектов.
Оптимизация систем с распределенными параметрами (СРП)
Целый ряд характерных задач оптимального управления объектами с пространственно распределенными управляемыми величинами формулируется в условиях заданной точности е равномерного приближения конечного состояния системы к требуемому на заданной области Q(„ изменения пространственной координаты xeQm . Если искомые управляющие воздействия представимы вектором А = (Д,-), / = 1,и конечного числа параметров (с помощью известных условий оптимальности или согласно исходным требованиям) и в рамках используемых математических моделей могут быть получены явные зависимости критерия оптимальности и ре-
349
зультирующего состояния объекта от пространственных координат и Д, то такие задачи часто сводятся к ЗПО вида (1), (2), где в роли целевой функции (1) фигурируют указанные зависимости для функционала качества, а в роли ограничения (2) - требования к допустимым отклонениям конечного состояния СРП от заданного, оцениваемым по величине е.
В частности, характерная задача оптимального по быстродействию управления нестационарными температурными полями укладывается в схему (1), (2) с линейной целевой функцией
для частного случая (Д) = /(Л) [2, 5]:
Здесь Д/7 / = 1,« - длительности п интервалов постоянства управляющих воздействий релейной формы; 0(лс,Д) и 0^(дг) - результирующее и заданное температурные распределения, первое из которых моделируется решением соответствующей краевой задачи нестационарной теплопроводности.
Предлагаемый алътернансный метод решения подобных ЗПО успешно апробирован при решении ряда задач параметрической оптимизации процессов технологической теплофизики
Применительно к типичным задачам оптимального по быстродействию управления одномерными температурными полями фундаментальные закономерности процессов нестационарной теплопроводности позволяют установить все возможные варианты формы кривой пространственного распределения температуры в конце оптимального процесса, что обеспечивает элементарный характер процедуры редукции альтернансных свойств решения ЗПО к системе
уравнений для вычисления Д° [2, 5].
Полученные результаты распространены на значительно более широкий круг задач управления нестационарными процессами тепло- и массопереноса, отличающихся выбором различных технико-экономических критериев оптимальности, видом управляющих воздействий, учетом фазовых ограничений и неопределенностей характеристик объекта, а также усложнением его моделей, описываемых в общем случае системами нелинейных и многомерных уравнений математической физики [2, 5].
Альтернансный метод позволяет получить здесь с требуемой точностью алгоритмы оптимального управления, имеющие простую структуру для обычных в технических приложениях значениях допуска г в (14) и обеспечивающие существенный выигрыш по функционалу качества при той же величине е по сравнению с известными приближенными методами [2].
Робастная параметрическая оптимизация динамических систем
с интервальными неопределенностями
В качестве робастно оптимальных алгоритмов управления динамическими системами в типичных условиях интервальной неопределенности их характеристик часто можно рассматривать решения соответствующей минимаксной задачи оптимизации поведения ансамбля траекторий процесса, порождаемого всеми возможными реализациями вектора у неопределенных факторов в пределах известных границ заданных множеств Ьг ъ у их изменения [6].
При возможности предварительной параметризации этих факторов и управляющих воздействий, а также при наличии явных зависимостей функционала качества процесса /^(у.А) и заданных оценок конечного состояния системы Р(у,А) для каждой реализации у от вектора параметров Д, характеризующего искомые управления, подобная задача робастной оптимизации в условиях заданной абсолютной точности £ достижения требуемой конечной точки для всего ансамбля траекторий сводится к ЗПО вида (1), (2) в частном случае х = у,Пт = [2]:
Г=1
[1,2, 5].
1(А) = тах{/г0(>', Д) :у б1г}->тт, Де£„; Ф( Д) = тах^Су, Д): у е } й 8.
Такая постановка соответствует стратегии гарантированного результата по критерию оптимизации в естественных условиях оценки в равномерной метрике требований по попаданию в заданную область конечных состояний системы при любых допустимых реализациях у е L .
В частности, задача робастной оптимизации по критерию быстродействия (13) при управлении температурным полем может быть сформулирована путем замены ограничения (14) условием
Ф(Д) = шах {| 8(/, Д) - вк (*)[ :/ = (*, JO е Vm+r = Пт х Lr с Ея+Г} < в, (16)
где в роли ^Су,Л) в (15) фигурирует max{[ 0(/, Д) — 0А(jc)| '.xeClm } ; в качестве у выступают, например, такие интервально неопределенные факторы, как начальная температура или уровень тепловых потерь, и должна быть задана в явной форме зависимость 9(/, Д) результирующего температурного поля от управляющих параметров Д, пространственных координат х и неопределенных факторов у во всей области их определения.
Возможности распространения алътернансного метода на ЗПО вида (13), (16) и его преимущества иллюстрируются на некоторых примерах в [2, 5, 6].
Параметрический синтез Н^-оптимальных систем автоматического управления
Многие задачи параметрического синтеза линейных систем автоматического управления
могут быть сформулированы в терминах Н°°-норм |Жв(/7,Д)|| и W°(p,A) передаточных
Еоо
матриц We(p, Д) и W°(p, Д) системы соответственно по возмущающему и управляющему воздействиям, зависящих от комплексного аргумента р и искомого вектора Д параметров, определяемого на параметрически заданном множестве G„ с Еп стабилизирующих регуляторов фиксированной структуры [2, 7]. В частности, характерная задача минимизации реактивности системы по отношению к аддитивным возмущениям при заданных ограничениях на степень ее грубости и качественные показатели сводится в условиях неполной информации о частотном спектре внешних воздействий к виду (1), (2) в частном случае х = у = ю е [0, ад) с использованием представления Н°°-норм в форме максимума на оси частот ад е [0,<») максимальных сингулярных чисел ст[-] соответствующих матриц [2, 7]:
т = И w,(р, Д)^ = max{a[wt (М А)]:ш е Ц = [0,«)} -> min, Д е G„; (17)
сХ>(Д) = | И^°(/),Д)| = max {а [рГ°(усо,Д)]:сз е ^ =[0,оо)}йр. (18)
Здесь величина р определяется по заданным качественным показателям функционирования замкнутой системы и требуемой степени ее робастной устойчивости в условиях учета ограниченной по Н^-норме неструктурированной мультипликативной неопределенности характеристик модели объекта управления. В [2, 7] приведены примеры решения альтернансным методом типовых задач (17), (18) параметрического синтеза стандартных ПИ- и ПИД-регуляторов, существенно использующие известные закономерности поведения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) систем автоматического регулирования.
Получаемые результаты определяют регулярную процедуру поиска оптимальных настроек Д° регуляторов заданной структуры, обеспечивающую достижение предельных показателей качества по критерию (17), и фиксируют оптимальную форму АЧХ ^(уа^Д0)] и Ж°(усо,Д°)|,
Структурно-параметрический синтез последовательных корректирующих
устройств
Классическая задача выбора параметров А последовательных корректирующих устройств может быть сформулирована в терминах Н°°-норм как задача наилучшего равномерного приближения к нулю на подходящем действительном отрезке [0Д]э£,0<£ <3, разности характеристик мнимых частот (вещественных изображений) разомкнутой системы £?(&, Д) и желаемого эталона 2Э(5), получаемых путем замены комплексной переменной р в выражениях для передаточных функций £>(р,А) и Qэ(p) на действительную переменную 8 [2, 7]:
/(Д) = тах {| 0(5, Д) - 0Э(5)|; 5 е [0,5, ] }-> пип, Д е Еп. (19)
Задача (19) представляет собой частный случай ЗПО (1) без функциональных ограничений при у-Ь,т = \,Ь[ =[0,6*] ■
Здесь (2(р,А) определяется для заданной передаточной функции Qн (р) неизменяемой части системы и дробно-рациональной структуры корректирующего устройства минимальной сложности, выбираемой по виду Qи(p) и (Зэ(р) [2, 7]. В [2, 7] приведены примеры решения задачи (19) предлагаемым способом, существенно использующие установленную идентичность формы кривой £?(5,Д)-£?э(5) и поведения на отрезке [0,6*] многочлена Чебышева первого рода «-ной степени.
Дробно-рациональная аппроксимация передаточных функций
Представляющая самостоятельный интерес задача наилучшей в равномерной метрике аппроксимации передаточной функции №(р) сложного динамического звена более простым дробно-рациональным выражением 1УА(р,Д), заданным с точностью до вектора параметров
Де£"\ после замены комплексного аргумента р на действительную переменную 5 может быть сведена к виду (19)[2, 8]:
/(Д) = тах{[ ИУА(Ь, А) - Ж(5)| :8 е [0,5*]}—> пип,Д е Ем. (20)
В [2, 8] показано, что соответствующий оптимальный набор параметров Д°, определяемых альтернансным методом, обеспечивает, в частности, при достаточно простой структуре ВгА(р,А) весьма малые погрешности аппроксимации сложных трансцендентных выражений для передаточных функций объектов с распределенными параметрами.
Параметрическая идентификация математических моделей
по экспериментальным данным
Формализация задач параметрической идентификации исследуемых объектов по экспериментальным данным часто приводит в вариационной постановке к специфическим задачам оптимального управления, рассматриваемым на классе достаточно гладких функций, соответствующих идентифицируемым воздействиям. Характерным примером, имеющим большое самостоятельное значение, является идентификация граничных условий в обратных задачах теплопроводности (ОЗТ). Модельная граничная ОЗТ может быть сформулирована как задача минимизации на временном интервале идентификации [0,1к]э{ температурной невязки между экспериментальной зависимостью для температуры б' (?), измеряемой в фиксированной точке х* по объему тела, и расчетным решением краевой задачи для одномерного температурного поля 0(.т ,1) в классе рассматриваемых управлений.
Выбор в качестве ограниченного по величине управляющего воздействия второй производной №(/) < №тах , I е [0,/А. ], идентифицируемой плотности граничного теплового потока ы(/)
автоматически гарантирует условно-корректную постановку проблемы идентификации на компактном множестве гладких функций и(г), ограниченных вместе со своими первыми производными [9].
Последующее применение процедуры принципа максимума Понтрягина приводит к параметризации искомого управления №0(О> определяемого в классе релейных функций с точно-
стью до длительностей Д;> I = \,п-1, интервалов его постоянства на уровне ±^тах при заданной величине ^ , и соответствующему параметризованному представлению температурной за-
висимости 0(я ,?) = 0(* ,/,Д), где вектор искомых параметров Д включает кроме Д,, / = 1,и-1 величину )и'шач| и начальные значения и(0), и'(0).
В итоге при оценке температурных невязок в равномерной метрике проблема сводится к минимаксной задаче вида (1) без ограничений при у = 1, г= 1, Ьг=[ 0,**]:
I(Д) = шах{ е(лг*, (, Д) - е*(о|:/ е [О,/* ] }-> тт, Д е вп+2 с Еп+2, (21)
представляющей собой задачу нелинейного чебышевского приближения разности
9(лг\/,Д)-8*(Г) к нулю на действительном отрезке [0,^] [9]. Решение граничной ОЗТ с требуемой точностью обеспечивается путем решения последовательности задач (21) для возрастающего ряда значений и вплоть до величины и0, отвечающей значению минимакса в (21), согласованному с погрешностью задания 0*(г).
Возможности эффективного использования альтернансного метода для отыскания решения задачи (21) демонстрируются в [9].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рапопорт Э.Я. Альтернансные свойства оптимальных решений и вычислительные алгоритмы в задачах полу-бесконечиой оптимизации управляемых систем // Изв, РАН, Теория и системы управления. 1996. № 4. С. 84-95,
2. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.; Наука, 2000. 336 с.
3. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в задачах полу бес конечной оптимизации / В сб. «Нелинейная теория управления и ее приложения: динамика, управление, оптимизация Н Под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. М.: Физматлит, 2003. С. 164-200.
4. Рапопорт Э.Я. К развитию прикладной теории управления // Мехатроника, автоматизация, управление, 2004. № 6. С. 2-14,
5. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. 278 с.
6. Рапопорт Э.Я. Робастная параметрическая оптимизация динамических систем в условиях ограниченной неопределенности//Автоматика и телемеханика. 1995. № 3. С. 86.-96.
7. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод параметрического синтеза Н°°-оптимальных систем автоматического управления Н Изв, РАН. Теория и системы управления, 2000. № 1. С, 79-90.
8. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. М.: Высш. шк,, 2003. 299 с.
9. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Специальные методы оптимизации в обратных задачах теплопроводности И Изв. РАН. Энергетика. 2002. № 5. С. 154-165.
УДК 330
В. К. Семены чев
Самарский государственный аэрокосмический университет
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ
ВРЕМЕННЫХ, «НЕВРЕМЕННЫХ» И ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ
РЯДОВ
Приведены примеры реализации единого подхода к идентификации моделей временных, «невременных.и пространственно-временных рядов на основе Z-преобразования
Provided examples of implementation of unified approach to models identification of temporal, nontemporal and spatio-temporal series on the basis of Z-transformation.
Около тридцати лет тому назад впервые было показано применение в теории и практике управления цифровыми системами, при анализе сигналов на фоне шумов и в ряде других случаев моделей авторегрессии отсчетов временного ряда с постоянными коэффициентами [1].
При этом модели авторегрессии предлагались либо как соответствующие решения разностных уравнений, описывающих объект управления, либо исходя из условия адекватности порядка и параметров авторегрессии анализируемым данным, например, по методу наименьших квадратов (МНК).
В первом, достаточно редком для практики случае коэффициенты авторегрессии функционально связывались с параметрами разностного уравнения, что позволяло после их МНК-оценивания провести расчет параметров объекта управления.
Второй, более часто встречающийся и более адекватный практике анализа и управления случай приводил к непараметрическим моделям авторегрессий, которые позволяли осуществлять прогноз значений временного ряда, фиксировать его «разладку», не отвечая на вопрос о том, что было её причиной - смена параметров модели или смена её типа. При этом никоим
