CC BY
9ление согласно [7] следует принимать на уровне <и2><0,37 ... 0,45. Указанному ограничению соответствует значение множителя Лагранжа т^=3, При этом <jt02>ssO,O843> т.е. значение среднего квадрата отклонения в замкнутой системе с оптимальном регулятором будет составлять примерно 8% от мощности возмущения. Полученную эффективность подавления возмущений для измерительного комплекса можно считать вполне удовлетворительной.
С точки зрения технической реализации получение сигналов, пропорциональных регулируемой координате, а также первой и второй производным от нее, при построении АВЗС не вызывает затруднений. Эти сигналы формируются с помощью стандартных датчиков ускорения и оптоэлектронных датчиков скорости. Получение сигнала, пропорционального третьей производной, связано с необходимостью реализации операции идеального дифференцирования. Установлено, что для рассматриваемого конкретного ОУ упрощение регулятора за счет отказа от использования третьей производной приводит к приемлемому ухудшению критерия J на 10 ...15%.
Результаты выполненных на ЭВМ экспериментов, в ходе которых проводился расчет показателей качества регулирования, достигаемых в АВЗС с синтезированным упрощенным регулятором, свидетельствуют о том, что при близких значениях собственной частоты ОУ и параметра р корреляционной функции, что может иметь место в реальных условиях, АВЗС обладает достаточно высокой чувствительностью к вариациям указанных параметров. В связи с этим целесообразно периодически производить расчет параметров оптимального регулятора и их поднастройку.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Фролов КВ., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброэащитных систем. М.: Машиностроение, 1980. 131 с.
2. Елисеев С.В, Структурная теория виброзащитных систем, Новосибирск: Наука, 1978. 224 с.
3. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. 320 с.
4. Мятое Г.И. Математическая модель кинематических возмущений, действующих не прецизионный испытательный комплекс Н Сб. науч. статей Севастопольского гос. тех. ун-та. Севастополь, 1997. С. 24-25
5. Мятое Г.Н. Математическая модель объекта управления системы активной виброзащиты // Оптимизация производственных процессов: Сб. науч. статей Севастопольского гос. тех. ун-та. Севастополь, 1997. С. 81-84.
6. Абдулаев И.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатом из-дат, 1985. 240 с.
7. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. 292 с.
8 Gregory W Neat, James W. Melody, Member, IEEE, and Boris J. Lurie 1998 IEEE Transaction son control systems
technology, Vol. 6, No. 6, November. P. 689-699. Vibration Attenuation Approach for Spacebome Optical Interferometers.
Статья поступила 9 ноября 2004 г.
УДК 536.24; 621-52
Ф.Н. Рассказов, А.В. Тамьяров, М.В. Парпуц
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ НАТЯЖЕНИЯ ПОЛИМЕРНОГО МАТЕРИАЛА НА ПОТОЧНЫХ ЛИНИЯХ С МНОГОДВИГАТЕЛЬНЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ
Разработана методика синтеза оптимальной многосвязной системы регулирования натяжения полимерного материала с учетом вероятностных характеристик возмущающих воздействий. Получена передаточная матрица оптимального многосвязного регулятора натяжения. На основе применения чебышевского приближения проведена аппроксимация передаточных функций высокого порядка полиномами третьей степени. Разработана иерархическая структура системы управления многодвигательным электроприводом поточной линии.
Многодвигательный электропривод линии по получению полимерного материала функционирует в условиях как детерминированных, так и случайных возмущений.
Несмотря на значительный объем исследований в области синтеза систем регулирования натяжения ленточного материала на поточных линиях с многодвигательным электроприводом,
остается нерешенным ряд вопросов, связанных с идентификацией многодвигательного электропривода линии по получению полимерного материала с учетом случайных возмущений. Актуальной является задача прямого синтеза взаимосвязанных оптимальных систем управления электроприводами при случайных возмущениях. Следует отметить, что оптимальные регуляторы обеспечивают максимально возможную точность стабилизации натяжения при наличии возмущающих воздействий случайного характера.
Переход от традиционных ПД- и ПИД-регуляторов к оптимальным регуляторам, реализуемым на микропроцессорах, требует нового подхода к проектированию систем управления.
В статье рассмотрена методика синтеза оптимального многосвязного регулятора (ОМР)
натяжения полимерного материала с учетом вероятностных характеристик возмущающих воз-
действий. При этом используются результаты, полученные в [1, 2].
На основании базовых структур многодвигательного электропривода поточной линии составлены уравнения состояния взаимосвязанной электромеханической системы натяжения, содержащей «л» электроприводов, с учетом случайного характера возмущений
— = А'Х' + В'и + С'£ ^
А
Н = 0'Х', (2)
где и - вектор управляющих воздействий;
Н - вектор регулируемых координат (натяжения материала);
X' - расширенный вектор переменных состояний;
£ - векторный «белый шум»;
а1, в'. С, о' - числовые матрицы соответствующих размерностей.
Проведено обоснование критерия качества регулирования натяжения.
Показано, что за критерий оптимальности регулирования натяжения ленточного материала может быть взят средний'квадрат
Минимизируя функционал (3) для процесса, значения которого распределены по нормальному закону, мы будем минимизировать дисперсию отклонения натяжения полимерного материала. В свою очередь, согласно правилу практической уверенности (дополненное «правило трех сигма») мы будем гарантировать малость отклонения натяжения.
При синтезе ОМР натяжения необходимо учитывать ограничения на модуль управляющего воздействия
<4>
Выполнен переход от ограничений на модули к ограничениям на средние квадраты мощности управляющих воздействий
и'
тах
к»
(5)
где для берется обоснованное значение: Кц- 1,645.
Тогда ограничение (5) учитывается согласно правилам решения изопериметрических задач вариационного исчисления путем добавления в функционал (3) мощности управляющих воздействий
1 = (НТДН) + (С/Г1/), (6)
где X - множитель Лагранжа, подлежащий в дальнейшем определении..
С учетом соотношения (2) функционал (6) можно представить в следующем виде:
] = л({Х')тК{Х')) + (ити), (7)
где Д = (0'У£)\
Задачу синтеза оптимальной многосвязной системы регулирования натяжения можно сформулировать следующим образом: требуется определить передаточную матрицу ОМР в виде доставляющего минимум функционала (7).
и(р) = \У(р)н(р). (8)
Разработан алгоритм синтеза ОМР натяжения ленточного материала, включающий следующие операции.
1. Дифференцируем выражение (1):
^. = 0'— = 0'АХ + 0'В'и + 0'С'£ . сК Л
2. Проводим процедуру редуцирования, т.е. уменьшение порядка вектора переменных состояния X на к (к - количество базовых электроприводов) и переход к вектору Х$ ;
X' = П,Х0 +П2Н. (10)
3. Записываем уравнение стационарного фильтра Калмана:
ах
&
=а;х'+в'и+ыДн, - о,х')
(П)
где А^Вп - числовые матрицы; - матрица, являющаяся решением соответствующего уравнения Риккати.
Согласно (И), с учетом (10) оптимальному оцениванию (восстановлению) подлежит вектор переменных состояния Хо.
4. Определяем оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (7):
и = КХ', (12)
где К - постоянная матрица размерности к х п определяется выражением
К = -(В'}ТМ, (13)
М — квадратная матрица, являющаяся решением следующего алгебраического уравнения Риккати
ма'+(а')тм+ж-мв'(в')тм = о. (14)
5. Рассчитываем параметры передаточной матрицы ОМР натяжения
™„(р)
™м(р)
к(р)
™Лр)
**(р)
(15)
где W (р1) = Ь|-к”Р + -• •+ Ь^р3 + Ь-иР? + Ь|1р +
а(П*)Р""1‘ + ... + а3р’ +а1р1+а|р + а„ * передаточные функции сепаратных и перекрест-
2г '
ных регуляторов.
При этом передаточные функции отдельных регуляторов для двухсвязной электромеханической системы натяжения будут иметь вид
Ш (п> ^12.73^0‘10Р1,-»-^-10Уч-7,14-10^р1 + 1.92-10гтрЧ
и(р) . 8)67,10-уо +4)5.1о-»р’ + 6,39-!0-7р’ + 9,] ■10'У +
+ 3,14 10^р6 + 3,84-10~5р} + 2,07 Ю^р4 + 1,24-10'4р3 + 2,2 10~3р; +0,4р + 1 + 2,56 - Ю^р6 + 4,36Ю'!р* + 4,98- Ю^р4 + 3,2 - 10"*р3 + 0,098р2 + 0,34р +1
*,,0»)- Wи(p) = 7,б34Ь^ШY:3■45,0:p:+9,64,0:p; + 2,18-lГp- +
8,67■ 10 р +4,5 10 р +6,39-10 р + 9,1 -10 р +
+ 5,34 ■ 10^рй + 4,14-10V+2,67-10У +1,4'10У+0,0134р;+0,24р + 1 + 2,56-10"* р‘ + 4,16-10'5р* + 4,98- + 3,2-10чр* +0,098р! +0,34р + 1
где №22 ~ передаточные функции сепаратных регуляторов;
^12, ^21 ~ передаточные функции перекрестных регуляторов.
Однако регуляторы (16) имеют высокий порядок, и их практическая реализация затруднена. В настоящее время разработан целый ряд аналитических способов аппроксимации моделей объектов с передаточными функциями высокого порядка.
С развитием современной вычислительной техники созданы условия для использования разработанных ранее способов аппроксимации. Одним из таких способов является аппроксимация Чебышева [3]. Рассмотрим её подробнее.
Параметры Д], Д2,аппроксимирующих передаточных функций Я^х(х,р) вида
і+ Хд.Мр-*1
д = (д1>д2,...,дЛ^1;лг>^, + 1
(17)
могут быть найдены из условий минимизации погрешности приближения к точному выражению для ПФ в существенной области изменения комплексного аргумента. В частности, здесь могут быть использованы отвечающие типовым динамическим звеньям кусочно-линейные аппроксимации логарифмических амплитудно-частотных характеристик минимально-фазовой части аппроксимируемых ПФ,
Достаточно эффективным может оказаться способ, заключающийся в переходе от передаточных функций г¥х{х,р) к вещественным изображениям 1¥х(х,Ь) (характеристикам мнимых частот (ХМЧ)) путем простой формальной замены комплексной переменной «/»> на действительную переменную «б» в выражениях для точной и аппроксимирующей ПФ с последующим решением относительно искомых параметров Лп я = 1, N задачи минимизации абсолютной ошибки /(*, Д) приближения IVх (х, р, д) к (*,<?) (задачи равномерного приближения) в области существенных значений <5е[о,£*] для каждого фиксированного значения координаты
Д*,Л) = шах!^(*,р,Л)- IV, (л\5)(->тщ.
5еКТ 1 д-Ю (18)
Переход от ПФ к ХМЧ существенно упрощает задачу равномерного приближения, а правомерность такого перехода обосновывается однозначно устанавливаемой связью между амплитудно-фазовыми характеристиками (АФХ) и ХМЧ, обеспечивающей малые погрешности аппроксимации АФХ при достаточной близости соответствующих ХМЧ.
При этом минимизация именно абсолютной ошибки приближения обеспечивает равномерное распределение погрешности по кривым переходного процесса.
Задача дробно-рациональной аппроксимации (17), (18) представляет собой классическую задачу чебышевского приближения.
Ее решение ДО (т.е. оптимальные значения Д^, Д^, Д^ искомых параметров) обладает следующим замечательным свойством. При Д = ДО разность 1¥^(х,р,Д0)-^ (*,£) достигает чередующихся по знаку максимальных значений, равных ± /(х, Д°), в последовательно расположенных на отрезке [о,£* и образующих так называемый чебышевский альтернанс в
точках 5], 52, ..., 5П: 0 < <5] < 52 <... < <5^+1 , общее число которых оказывается на единицу
большим числа искомых параметров и, следовательно, равно А^+1 (рис. 1).
мнимых частот точной и аппроксимирующей передаточных функций объекта управления
Указанное свойство приводит к системе 7^+ 1 равенств
1ГХА (х, 8Ц, А)- (г, *,)={-1У /(г, Д° ) д = 1,2, + (19)
где \|/ = 1 или 1|/ = -1.
Вместе с условиями существования экстремума во внутренних точках 6Ч отрезка [0,5*], в которых
А
д8
^х,6ч,а)~1Ух (*,£,)]= О для всех 5Я е [0,8 *],
(20)
эти равенства при известной форме кривой У^хА(х,р,Ад)-^х (ж, 5) на отрезке [о,£*] превращаются для каждого из рассматриваемых фиксированных значений х в систему уравнений, которая может быть решена относительно искомых N параметров Д0П и = Т, N ; величины /(*, Д°) и промежуточных неизвестных координат экстремальных точек из числа 8д. Чаще всего при хорошем качестве приближения в число точек 5д входят как границы отрезка 5=5д=0;
5=8]^+] =5*. так и все точки 82 > 0, §2, ..., < 8* экстремума разности №х4(х,р,А°^-1¥х (х,8),
общее число которых равно ЛЧ. Тогда соотношения (19) и (20) образуют систему <#+ 1)+(ЛГ-
1) = 2Л^уравнений с 2Nнеизвестными Д^}, Д^, ..$2> 83, .и Дх,Л0)
На основании изложенных положений можно провести аппроксимацию передаточных функций любого порядка.
Например, были выполнены расчеты передаточных функций оптимального двухсвязного регулятора натяжения полимерного материала на поточных линиях с многодвигательным электроприводом. Напомним, что, как сказано выше, ПФ регуляторов имеют 10-й порядок (16). Используя приближение Чебышева, аппроксимируем передаточные функции оптимального многосвязного регулятора натяжения.
Положим #1=4,^= 7 в (17) и будем искать приближение
ЬпцРП+Ьп-1і]РП'1+-" + Ь0у
Од
аоРп +ап-іРп1 +... + а0
(21)
в виде
W,
,(^.ЛД0)=
А; + Л2р + А3Р + А^ 1 + Д5р + Д6р2+Д7р3
Тогда задача аппроксимации конкретизируется следующим образом:
/(*,А)=:
шах
ЬпііРп+Ь0.1ііРп'і+--- + Ь^
а>рп+ап.,р‘'1+... + а0 д
1 + Д5р + А6р2 + Д7р3 Д (Др Д2? Д3 ? Д4, Д^} Д^, Д-^ ^
Ее решение при 0 < 81 < 82 < 83 < 84 < 85 < 86 < 81 < <58 <, 8* сводится к решению системы четырнадцати уравнений типа
Д, + А28ч + Д35ч2 + Д45ч3 ЬПІІ5ЧП +Ьп.|у5д"'1 + ... + Ь0ц _
1+Д35ч+Д65ча+Д75ч3 Ч = 1,2,3,4,5,6,7,8;
а^’Ча^Л'
А
ав
А, +Д25д+Д35С|2+А48(13 ЬПц8(1п+Ьп.1и5()п~1+... + Ьои
1 +д5&ч +Д68Ч2 +д78ч ап8ч” +3^5,,"' +... + а0
= 0;
q = 2,3,4,5,6,7
относительно четырнадцати неизвестных - оптимальных значений
Д°],Д02>Д°з,ДС14,Д05,Д06,А(>7 семи искомых параметров аппроксимации; шести точек максимума 82,.83, 84, 8$, 36 ,§! абсолютного значения разности IV * (ж, р, А°)- №х (х, £) внутри отрезка
И и минимума этого максимума /(л,Д°).
Для двухсвязной электромеханической системы регулирования натяжения оптимальные значения искомых параметров аппроксимации будут равны:
для передаточных функций сепаратных регуляторов
Д°1 =0.107
Д°2 -2.328-10-2
Д°з =9.492-10'5
Д°4 = 2.878 10“6
Д°5 =0.318
Д°б =4.655-10“3
Д°7 = 1.47-10-3
- для передаточных функций перекрестных каналов управления
Д°1 =6.8 1(Г2
Д^2 =2.716-10 2
Д°з =1.965-10“4 Д°4 =1.025-10-5
Д°5 =0.318
Д°б =4.655-10~3
Д°7 = 1.47-10“3
Таким образом, передаточная матрица оптимального многосвязного регулятора примет вид
2,878-1(ГУ+9.492-10'У + 2.328-10'гр + 0.107 1,025- Ю'У +1-965 ■ 10~У + 2.716- Ю'ар + 0.068
1,47-10"3р3 + 4.655-10*3рг + 0,318р + 1 1,47 ■ 103 рэ + 4.655 ■ 10Э р2 + 0,318р+ 1
1,025-10'5р3 -»-1.965 10'4р2 + 2.716-10"2р + 0.068 2,878 10‘6р3 +9.492-10‘5р2 +2.328-10'2р + 0.]07
1,47 ■ 10'3 р3 + 4.655 * 10'3 рг + 0,318р+1
1,47 ■ 10'У + 4.655 • 10'3 р2 + 0,318р + 1
Проведенный сравнительный анализ реализаций выходных координат в системах с «полным» регулятором (рис. 2) и аппроксимированной передаточной функцией регулятора (рис. 3) свидетельствует об увеличении среднеквадратичных отклонений натяжений на 3-5%, что является удовлетворительным результатом.
Р и с. 2. Переходные процессы двухсвязной системы регулирования с оптимальным многосвязным
регулятором натяжения
Р и с. 3. Реализация выходных координат электромеханической системы регулирования натяжения, замкнутой регулятором с аппроксимированной передаточной матрицей
Выполненная аппроксимация позволяет упростить практическую реализацию оптимального многосвязного регулятора натяжения полимерного материала без значительных потерь в качестве регулирования выходной координаты.
Отметим, что использование аппроксимации Чебышева на всех уровнях управления позволяет ускорить процесс настройки и пуска автоматизированной системы управления технологическими процессами.
Функциональная схема управления автоматизированным многодвигательным электроприводом поточной линии выполнена по принципу иерархического управления и приведена на рис. 4.
V, V, V,
Модуль ввода аналоговых сигналов
КОНТРОЛЛЕР
; 1 Г Ч 1 \ ' !- II 2 Я
ЭВМ Центральный процессор
N V ■ 1 1 , г
Модуль вывода аналоговых сигналов
Р и с. 4, Функциональная схема автоматизированного много двигательного электропривода
Первым уровнем является непосредственно управление базовыми электроприводами со своей системой подчиненного регулирования координат. Управление на этом уровне заключается в поддержании заданного соотношения скоростей электроприводов.
Второй уровень - микропроцессорная система ОМР натяжения полимерного материала.
Третий уровень - ЭВМ, является высшим органом управления, выполняет функции:
- управления электромеханической системой натяжения полимерного материала;
- сбора статистических данных о функционировании объекта регулирования;
- придания адаптивного характера системе автоматического регулирования натяжения полимерного материала.
Введение такой многоуровневой системы регулирования дает позволяет:
- собирать и обрабатывать статистические данные о работе установки и благодаря этому своевременно реагировать на аварийные и проблемные ситуации (используя накопленный опыт);
- контролировать параметры многодвигательного электропривода и при изменении их на величину больше заданной, используя САПР для расчета оптимального многосвязного регулятора натяжения, изменить управляющую программу, хранимую в память микроконтроллера;
- выполнять функцию мониторинга с применением специализированных программ;
- внедрять ЭСАВА системы;
Использование оптимальных многосвязных систем управления многодвигательным электроприводом позволяет повысить показатели качества регулирования натяжения полимерного материала по сравнению с традиционными.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: Учеб. пособ. / Ю.П.Петров; Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. 292 с.
2. Рассказов Ф.Н., Шварц Г,Р. Синтез оптимальных многомерных систем управления с использованием вероятностных характеристик выходных координат объекта // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. 9-й межнуз. конф. Самара, 1999.
3. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами: Учеб. пособ. М.: Высш. шк., 2003. 299 с.
Статья поступила в редакцию 29 октября 2004 г.
