CC BY
133
УДК 004.9 ББК 34.41
Тамьярова М.В.
ОПТИМАЛЬНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА АКТИВНОЙ ВИБРОЗАЩИТЫ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Tamyarova M. V.
OPTIMAL STOCHASTIC SYSTEM OF ACTIVE VIBROPROTECTION IN COMPLEX ELECTROMECHANICAL SYSTEM
Ключевые слова: виброзащита, колебания, элемент упругий, элемент демпфирующий.
Keywords: vibroprotection, ripples, element elastic, resilient element.
Аннотация
В статье предложен вариант классификации сосременных средств виброзащиты. Проведен синтез системы активной виброзащиты традиционным методом подчиненного регулирования координат, а также получена передаточная функция оптимального многосвязного регулятора системы виброзащиты прецизионного оптикомеханического комплекса.
Abstract
The article proposes the variant of the classification of the modern means of vibroprotection. The authors conducted the synthesis of the active vibroprotection by the traditional method of the subordinate multivariable controller in vibroprotection system of the precision optomechanical complex.
По мере развития научно-технического прогресса, возрастания сложности и повышения требований к точности позиционирования оборудования возникает задача защиты таких систем от внешних возмущающих воздействий, а также защиты людей от вредных и опасных действий самих систем.
К таким защитам можно отнести средства защиты от механических воздействий, вопросы электромагнитной совместимости, системы виброзащиты. Наиболее существенным фактором, негативно влияющим на функционирование оборудования, являются низкочастотные акустические колебания и вибрации.
Для предотвращения последствий от нежелательной вибрации строят системы виброзащиты, которые могут быть активными и пассивными.
Системы пассивной виброзащиты - недорогие механические устройства, позволяющие решать многие проблемы, связанные внешними воздействиями. Основой всех пассивных систем виброзащиты являются два элемента: упругий и демпфирующий. Первый необходим для «смягчения» ударных воздействий на систему, второй позволяет мягко гасить колебания, возникающие в системе после внешних воздействий. Такие системы эффективно работают в лабораторных и промышленных условиях, когда требуется надежность, простота и неприхотливость в эксплуатации и достаточно гашения колебаний, начиная с частот в 5 - 10 Гц. Однако пассивные системы имеют ряд существенных недостатков. А именно, невосприимчивость к частотам ниже 5 Гц (к таким частотам относятся многие механические колебания), сложность, а часто невозможность, замены механических элементов виброзащиты (например, демпфирующие прокладки в технологическом или строительном оборудовании), невозможность изменения подавляемой частоты и т.п.
В отличие от пассивных, активные системы виброзащиты - это сложные электронномеханические устройства, в состав которых входят акселерометры для обнаружения и
фиксации колебаний, микропроцессорные системы анализа колебаний и формирования управляющих сигналов, а также сервоприводов для активной компенсации колебаний.
Системы активной виброзащиты идеально подходят для работы с прецизионными установками высокого и сверхвысокого разрешения, когда требуется очень эффективная виброизоляция и гашение внешних колебаний, начиная с частот в единицы Герц и ниже. При использовании активной виброзашиты появляется возможность исключения вибраций с точностью до микро- и нанодолей метра.
Важный класс активных систем виброгашения составляют адаптивные системы, в которых параметры системы могут меняться, подстраиваясь под изменения, например режима работы машины, с тем, чтобы обеспечить минимум передачи вибрации.
Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема осуществления виброзащиты прецизионного оборудования, один из способов решения которой приведен в данной работе.
В зависимости от вида исполнительного устройства различают гидравлические, пневматические, электромеханические, электромагнитные системы активной виброизоляции. Выбор типа системы определяется предъявляемыми к ней техническими требованиями. Так, при необходимости обеспечения высокой статической жесткости целесообразно использовать гидравлическую систему. Пневматические системы, позволяют получать малые величины статической жесткости. Электромагнитные системы обладают малой инерционностью и позволяют в широких пределах варьировать амплитудно-частотные характеристики.
Существующие на данный момент виброизолирующие устройства по диапазону частот, в котором достигается виброизоляция, принято разделять на два класса. К первому классу относятся виброизоляторы, защищающие объект, входное воздействие которого представляет вибрацию с максимумом спектральной характеристики в области частот от 10 Гц и выше. Второй класс систем обеспечивает виброизоляцию в диапазоне частот от 1 до 10 Гц.
Так, например, к виброизоляторам прецизионных оптических установок предъявляются такие требования, как подавление низкочастотных и инфранизкочастотных колебаний грунта, вызванные как вибрацией промышленного оборудования, так и прецессией земной полярной оси, температурной деформацией здания и грунта, создающие угловые отклонения. То есть наиболее серьезными причинами ошибок показаний приборов является микросейсмическая активность в диапазоне 2 - 10 Гц, вызывающая движение почвы и её угловые смещения.
В статье рассмотрен прецизионный оптико-механический комплекс, предназначенный для измерений деформаций крупногабаритных изделий. Этот комплекс представляет собой систему источников света и зеркал, расположенную на укрепленной платформе, оптические элементы которой должны находиться на одной оптической оси. На результативность работы оптико-механического комплекса оказывают существенное влияние кинематические возмущающие воздействия, поступающие со стороны фундамента. Перемещения фундамента приводят к перемещению оптических элементов в пространстве, что влияет на достоверность результатов испытаний и качество юстировки ОМК и вынуждает уделять особое внимание вопросам его виброзащиты.
Проведем сравнительный анализ систем активной виброзащиты, построенной с помощью традиционного метода синтеза и при расчете оптимального регулятора.
В результате проведения аналитической и экспериментальной идентификации получена математическая модель виброзащищаемого объекта. Его структурная схема представлена на рисунке 1.
и
упрі,
й * К, 2уі ТзР+1
т,р+1 Т4р2+Тзр+1
т3р
ТзР+1
Рисунок 1
иупр1 - входное усилие, создаваемое электромагнитным приводом;
1 - сигнал рассогласования;
ДZy1 - перемещение, обусловленное изменением объема нижнего резервуара пневмоопоры;
ДZo1 - результирующее вертикальное перемещение опор.
Передаточная функция, описывающая пневмоопору имеет вид
К 1
\¥х(р) =---1— =---------. (1)
7> +1 0,125 + 1 4 7
Передаточная функция, описывающая связь между пневмоопорами через фундамент, имеет вид
(р) -
Т3р + \
0,0345 + 1
Т?р2+Т3р + \ 0,0015 2+0,0095 + 1
(2)
где Т1, Тз, Тз, - постоянные времени, обусловленные физико-химическими и упругими свойствами фундамента;
К1 - соответствующий коэффициент передачи.
Отметим, что в состав объектов нуждающихся в виброзащите в большинстве случаев входит колебательное звено, обуславливающее колебательную реакцию системы на внешние вибрационные воздействия.
Проведем расчет традиционной последовательной коррекции исходной системы при настройке заданного контура на технический оптимум.
Предварительно получим общую передаточную функцию объекта
К-(Т3р +1)
К •Т3р + \
Тогда структурная схема скорректированной системы имеет вид
(3)
Выбираем в качестве желаемой передаточной функции
жф>---------‘-л,---->
- 2-Тр-1р + 1
где Тц - малая постоянная времени, Тц= 0,001с.
Для расчета передаточной функции регулятора вводим в знаменатель передаточной функции объекта апериодическую скобку с малой постоянной времени Тцр+1.
Получаем передаточную функцию регулятора
К • Т3р +1
2-К-Т -р-СзР + 1.
(5)
При проведении структурных преобразований появляется возможность составления уравнений состояния в классической форме Коши.
^ = АХ + Ви
У = БХ.
(6)
Согласно структурной схеме (рисунок 1) порядок системы равен четырем, соответственно введем в рассмотрение четыре переменных состояния, полностью характеризующие состояния объекта.
- вектор переменных состояний;
где X =
Л^п
1\ ~ ^УДР!
U - вектор управляющих воздействий;
V - вектор выходных координат;
A, B, D - числовые матрицы соответствующих размерностей.
По структурной схеме виброзащищаемого объекта (рисунок 1) составим систему алгебраически независимых уравнений
Д71 =_________ТъР + 1________д/
о гт „2 , гт __ . т 1А/У\
т4р + Т3р + \
&У \= 7^4 *
Г\Р + \
/ = и___________ТзР №1
J\ иУП™
ТзР Т3 р + \
(7)
Выразив переменные состояния из системы (2), приведем её к виду (6)
А/0\Р = х\
Т
\ —
Тл 0 Тл
ХР = Л/0 —3 х1 +
ґ \____
V Т ТТ.У
А^+ТК *\- и
"У\ ' гргр У\ Т\Т4
упр\ .
Тз К\ ТТ
и.
упр\
Или в матричном виде
л
йхх
й?/
й? п ~2 Л . ^ Уі ~ Цупи . &
Аг'=|і о о о|х|дг'
где ^4
0 1 0 0 0
1 т3 1 Т3 Тз к Тз Кі
Т* 0 Т< 0 Т* т?< 1 т,тл Кі X хх + ^4 к 1
Ті 1 Т3 ■Л ~ и УПР\ Ті
0 -1 0 0
0 1 0 0 0
1 т 1ъ 1 т 1ъ Тз К1 Тз К1
т Т4 0 ^ О Т Т4 тт 1114 1 ТТ к , в = т,тл К,
Т Т
0 -1 0 1 т Тз 0
с/„
£> = | 10 0 0
Используя полученную математическую модель, можно, используя известные методики, синтезировать оптимальный многосвязный регулятор, защищающий объект от внешних вибрационных воздействий, однако для этого необходимо дополнить уравнение (8) составляющими, рассчитанными на основании реализаций случайных вибраций воздействующих на систему. В этом случае система (6) примет вид
(IX
—— = АХ + ВІІ + СЕ,,
Л (9)
У = БХ
где С - числовая матрица;
£, - векторный «белый шум».
Проведено обоснование критерия качества регулирования натяжения.
Показано, что за критерий оптимальности регулирования натяжения ленточного материала может быть взят средний квадрат
п-1 і Т п-\
■/=1}™7^!<эг=1(я!)=(ягя) (ю)
і=1 "*■ -І о і= 1
Минимизируя функционал (10) для процесса, значения которого распределены по нормальному закону, мы будем минимизировать дисперсию отклонения перемещения опор. В свою очередь, согласно правилу практической уверенности (дополненное «правило трех сигма») мы будем гарантировать малость отклонения перемещения.
При синтезе оптимального многосвязного регулятора перемещения необходимо учитывать ограничения на модуль управляющего воздействия
\и\<и . (П)
Выполнен переход от ограничений на модули к ограничениям на средние квадраты мощности управляющих воздействий
ТТ 2
(и2) = -рг- (12)
Ч
где Ки берется обоснованное значение Ки = 1,645.
Тогда ограничение (5) учитывается согласно правилам решения изопериметрических задач вариационного исчисления путем добавления функционала (3) мощностью управляющих воздействий
; = (нхлн)+(£/'£/), (13)
где X - множитель Лагранжа, подлежащей в дальнейшем определения.
С учетом соотношения (13) функционал (10) можно представить в следующем виде
; = л(«С'7к«г5 + (с/7£/)> (14)
где Д=С']]£>\
Задачу синтеза оптимальной многосвязной системы регулирования можно сформулировать следующим образом: требуется определить передаточную матрицу ОМР в виде
иф>\¥фН<Г, (15)
доставляющего минимум функционалу (14).
Разработан алгоритм синтеза ОМР активной виброзащиты:
1. Дифференцируем выражение (9)
гП-Т
— = В’---= В'А'Х' + В'В'и + В'С'£. (16)
* Л
2. Проводим процедуру редуцирования, т.е. уменьшение порядка вектора переменных состояния X' на к (к - количество базовых электроприводов) и переход к вектору Хо
Х' = П,Х0+П2Н (17)
3. Записываем уравнение стационарного фильтра Калмана
^ = А'Х' + В'ои + К0 & -ЦХ'(18)
где А'0,В'0 - числовые матрицы; N0 - матрица, являющаяся решением соответствующего уравнения Риккати.
Согласно (18), с учетом (17) оптимальному оцениванию (восстановлению) подлежит вектор переменных состояния Хо.
4. Определяем оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (14) и = КХ', (19)
где К - постоянная матрица размерности к х п определяется выражением
К = -<Г^М, (20)
М - квадратная матрица, являющаяся решением следующего алгебраического уравнения Риккати
МАЧ ^'^М + Ж-МВ'0'^М = О.
5. Рассчитываем параметры передаточной матрицы ОМР перемещения
(21)
wp
w„*; w,2*; ^ і*;
'''Ж ^^22 ^ ^ ™2і«.;
wll Wl2*; Wll♦:
(22)
где \УмО
Ь(п-вдРп"' + ... + Ьзіір +Ь2І1Р“ +ь1ІіР + ь
'Зц
2уі
'ІЩІ
1’У
а(п-к)Рп"к + ... + а3р3 +а2р2 +а1р + а0
У=1,2,...р
и перекрестных регуляторов.
передаточные функции сепаратных
Проведя модельные исследования, получаем графики переходных процессов.
Рисунок 4 - Реализация колебаний в традиционной системе регулирования
^ с
Рисунок 5 - Реализация колебаний в оптимальной многосвязной системе регулирования
Использование оптимальных многосвязных систем управления сложными электромеханическими системами позволяет повысить показатели качества регулирования виброзащиты по сравнению с традиционными.
Библиографический список
1. Ильин М.М., Колесников К.С. Саратов Ю.С. Теория колебаний: Учебник / Под общ. ред. К.С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 272 с.
2. Власов А.И., Шахнов В.А. Проектирование активных систем шумоподавления электротехнических установок // Тезисы докладов Всероссийского электротехнического конгресса ВЭЛК-99. - М., 1999. Том II. - С. 366-367.
3. Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В. Фролова. - М.: Машиностроение, 1995. - 456 с.
4. Рассказов Ф.Н., Шварц Г.Р. Синтез оптимальных многомерных систем управления с использованием вероятностных характеристик выходных координат объекта. Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. 9-й межвуз. конф. - Самара, 1999.
