CC BY
103
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
С. В. ЕЛИСЕЕВ
доктор технических наук, профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения
С. В. КОВЫРШИН кандидат технических наук, доцент, Иркутский государственный университет путей сообщения
Е. А. ПАРШУТА
Иркутский государственный университет путей сообщения
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ. ОБОСНОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ ПОДХОДОВ*
Задачи защиты оборудования, приборов, аппаратуры и человека от вибраций и ударов являются важной научно-технической проблемой, значимость которой связана с необходимостью обеспечения динамического состояния в технических регламентах с целью надежного выполнения определенных функций, а также комплексов движений.
Особый интерес представляет создание адекватных математических моделей и методик оценки эффективности систем виброзащиты. В статье рассматривается возможность интерпретации задач виброзащиты и виброизоляции объектов как процесса изменения динамического состояния системы. Определяются свойства исходной системы передаточной функцией, которая позволяет находить соответствующие динамические реакции между опорной поверхностью и объектом защиты. Предлагается методическая основа для корректного формирования реакций связей и динамических реакций, описания свойств элементов системы. Представлены методы оценки виброзащитных систем через специальные коэффициенты эффективности и предложены рекомендации по их использованию. Применение предложенной методической базы позволяет делать более глубокий анализ разрабатываемых математических моделей средствами развитых теорий систем автоматического управления и теории цепей.
Ключевые слова: виброизоляция; системный анализ; оценка эффективности виброзащиты.
S. V. ELISEEV
Doctor habil. (Engineering), Professor, Irkutsk State Railway University S. V. KOVIRSHIN PhD in Engineering, Associate Professor, Irkutsk State Railway University E. A. PARSHUTA Irkutsk State Railway University
SOME ISSUES OF VIBRATION ISOLATION THEORY. RATIONALE OF STRUCTURAL APPROACHES
Tasks of equipment, devices, apparatus and a person's protection against vibrations and shocks is an important scientific-technical problem whose significance is connected with the necessity of securing dynamic state in technical regulations in order to perform certain functions and motion patterns in a proper way. Creation of adequate mathematical models and methodics of efficiency assessment of vibroprotection systems is of particular interest.
* Работа выполнена при финансовой поддержке проекта ФБ-40 «Современные информационно-телекоммуникационные технологии в управлении социально-экономическими и технологическими процессами» (номер регистрации в ФГНУ ЦИТиС 01201356932).
© С. В. Елисеев, С. В. Ковыршин, Е. А. Паршута, 2013
УДК 62-52 ББК 34.41
The study deals with the possibility of tasks interpretation of vibroprotection and vibroisolation of the objects as a process of change of the system' dynamic state. The authors determine the properties of the original system by transfer function that allows finding relevant dynamic reactions between a bearing surface and an object of protection and suggest a methodical basis for an adequate formation of constrait and dynamic reactions and for the description of system components properties. The article presents assessment methods of vibroprotection systems through specific efficiency coefficients and gives some reccomendations on their use. The application of the proposed methodical basis allows performing a more profound analysis of developing mathematical models through the developed theories of automatic control systems and the theory of chains.
Keywords: vibration isolation; system analysis; efficiency assessment of the protection against vibrations.
Задачи виброзащиты и виброизоляции в своем конкретном содержании определяются спецификой конструктивно-технических форм объектов защиты и условий взаимодействия с вибрационным окружением. Вместе с тем, выделение силовых и кинематических возмущений носит достаточно условный характер и может быть сведено к обобщенным представлениям о действии внешних возмущений на технические объекты [1]. Система электромеханических аналогий, развитая в теории электрических цепей, также создает определенные возможности для расширения представлений о механических колебательных системах в рамках структурной теории виброзащитных систем [2]. Последнее предполагает, в частности, рассмотрение механических колебательных систем как электрических цепей со всеми особенностями, которые проявляются при учете свойств источников энергии (или возмущения), формирования входных и выходных сопротивлений, условий прохождения сигналов через цепи и др. [3].
В общем случае в расчетной схеме виб-розащитной системы всегда можно выделить три основных части: источник возмущения, объект защиты и, собственно, виброзащит-ное устройство или ту часть механической колебательной системы, которая выполняет функции снижения уровня воздействий.
В простейших случаях, когда расчетная схема описывается одной или несколькими независимыми координатами, источник и объект могут считаться твердыми телами. Для дальнейшего рассмотрения выбраны поступательные движения вдоль некоторой оси у (рис. 1), хотя это могут быть и вращательные движения с возможностями получения тех же результатов. Вместе с тем, вращательные движения обладают некоторыми харак-
терными особенностями, что требует учета эффектов, возникающих при определенных условиях (например, гироскопического).
Виброзащитное
устройство
Q.
Источник
R
ВЗУ
R'
Объект
а
Q(t), ВЗУ R Объект R' / '
\ у
в
Рис. 1. Принципиальная схема
виброзащитной системы с одной степенью
свободы: а — общий случай;
б — силовое возмущение;
в — кинематическое возмущение
(Р — представляет собой реакцию связи)
Виброзащитное устройство находится между источником возмущения и объектом защиты [4]. В большинстве случаев масса одного из тел системы — источника или объекта — существенно превышает массу другого тела — соответственно объекта или источника. Тогда движение тела «большой» массы может считаться не зависящим от движения тела «малой» массы. Если, в частности, «большую» массу имеет объект, то его обычно считают неподвижным, движение системы вызывается в этом случае приложенными к источнику внешними силами, представляющими силовое возбуждение Q = Q(t) (см. рис. 1б). Если «большую»
у
б
массу имеет источник, то закон его движения z = z(f) можно считать заданным; это движение играет роль кинематического возбуждения системы, а точнее — объекта (см. рис. 1 в). В обоих случаях тело «большой» массы называют несущим, или основанием, а тело «малой» массы — несомым. При рассмотрении защиты зданий, сооружений, перекрытий или фундаментов от динамических воздействий, возбуждаемых установленными на них машинами с неуравновешенными движущимися частями или иным виброактивным оборудованием, используют силовое возмущение (см. рис. 1 б), а в задачах виброзащиты приборов, аппаратов, точных механизмов или станков, т. е. оборудования, чувствительного к вибрациям и устанавли-ваемого на колеблющихся основаниях или на движущихся объектах — кинематическое возмущение (см. рис. 1в). Можно предполагать, что источник возмущения представляет собой форму взаимодействия с некоторой системой, обладающей несопоставимо большими энергетическими возможностями. Предположим, что парциальная система М, к01, к02 отражает свойства источника силового возмущения (рис. 2).
Поскольку в расчетах действия вибраций силовое возмущение считается независимым от нагрузки, то источник силового воздействия можно представить в виде контактов с
\\\>\\\
Шк
т
м
к
Уо
колебательной системой М, к01, к02, совершающей незатухающие свободные гармонические колебания. При этом выполняется условие М >> т, что позволяет рассматривать действие парциальной системы М, к01, к02 только по связи I, что формирует силу
О = к02у0, приложенную к объекту массой т. В силу условия М >> т обратное воздействие по связи II можно считать пренебрежимо малым.
Задача исследования заключается в обосновании подходов, позволяющих разработать обобщенную методику определения реакции связей, что необходимо для динамических расчетов виброзащитных систем.
Такой подход создает возможность в дальнейшем учитывать ограничение по мощности источника силового возмущения. Важным для последующих исследований является то обстоятельство, что силовое возмущение реализуется как сила, прикладываемая к объекту (см. рис. 2б, точка Л). Кроме того, существование такого вида возмущения связано с признанием несимметричности действия связей I и II между парциальными системами М, к01, к02 и т, к01, к. При кинематическом возмущении схема формирования воздействий происходит по такому же принципу (см. рис. 2б), но кинематическое возмущение (см. рис. 2а) будет прикладываться к точке В (рис. 3).
0!
а б
Рис. 2. Схема формирования силового возмущения в виброзащитной системе: а — расчетная схема с учетом существования источника энергии;
б — структурная схема виброзащитной системы с источником силового возмущения
Рис. 3. Принципиальная схема формирования кинематического воздействия
У
к
02
У
В отличие от силового возмущения (см. рис. 2б) смещение действует через элемент жесткостью к02. В этом случае также предполагается, что связь II не влияет на движение парциальной системы М, к01, к02. Сравнение двух форм внешних воздействий на рис. 2б и рис. 3 показывает относительность соображений о разделении внешних возмущений на силовые и кинематические. На самом деле, они могут приводиться друг к другу. Последнее, в конечном итоге, послужило основой для обобщенных подходов [1].
Виброизолирующее устройство представляет важнейшую часть виброзащитной системы, его назначение состоит в создании такого режима движения, инициируемого заданными возмущениями, при котором реализуется цель защиты объекта. Во многих случаях это оказывается достижимым при использовании безынерционного виброизолирующего устройства, которое для схем, изображенных на рис. 1, может представлять одноосный виброизолятор. Для такого виброизолятора реакции № и №' совпадают по величине (№ = №'). Таким образом, в простейшем случае реакцию № можно считать пропорциональной смещению и скорости смещения объекта
(1)
где к — коэффициент жесткости; Ь — коэффициент демпирования.
В данном случае, предполагается, что виброизолятор имеет простую конструкцию, в которой движение объекта защиты формирует динамическое состояние виброизолятора (рис. 4).
Рис. 4. Расчетная схема виброзащитной системы с параметрами т, к, Ь с одной степенью свободы
Зависимость (1) описывает линейную характеристику простого безынерционного виброизолятора: при Ь = 0 — упругого элемента (пружины); при к = 0 — вязкого демпфера. Таким образом, модель виброизолятора с
характеристикой (1) можно представить в виде параллельного соединения пружины и демпфера (см. рис. 4). Коэффициент жесткости к виброизолятора с линейной характеристикой (1) определяет собственную частоту системы, а также статическую деформацию уот (осадку) виброизолятора
I ■
Демпфирующие свойства системы (см. рис. 4) характеризуются коэффициентом демпфирования
---
1
и относительным демпфированием
соп
\/
При V = 1 в системе реализуется критическое демпфирование [4]. Его влияние, в общем случае, имеет разнообразные формы и существенно изменяет свойства вибро-защитных систем.
Под эффективностью виброзащиты понимается степень реализации виброзащитным устройством целей виброзащиты. При силовом гармоническом возбуждении
где О0 и ю — соответственно амплитуда и частота вынуждающей силы.
Цель защиты может состоять в уменьшении амплитуды №0 силы, передаваемой на неподвижный объект,
Q0y|^[+4n^(a^
ч/(ю0 -ю2)2 + 4п2ю2
что следует из рассмотрения уравнения кинетостатики для элемента т при z(t) = 0:
■ Ьу + ку = Q.
Используя преобразования Лапласа [1], найдем, что
(2)
В свою очередь, уменьшение амплитуды установившихся вынужденных колебаний объекта при действии силы определяется по формуле
■
-ю2)2 + 4п2ю2
Передаточная функция системы при входном сигнале и выходном имеет следующий вид:
:
1
так как
■ bp + k
(3)
(4)
Отметим, что реакция связи определяется из формулы (2)
*о = У (ЬР + к) = Q - тР2У.
Полагая, что находится из выражения (4), получим
Ri : Q -
■ bp + к
п
- -
■ bp + к
или — .
что совпадает с выражением (3), т. е. в виброзащитной системе с одной степенью свободы передаточная функция WR(p) определяет отношение величины реакции связи , к приложенной к объекту защиты внешней гармонической силы . Вопрос заключается в том, можем ли мы определять WR(p) непосредственно из структурной схемы, приведенной на рис. 5, которая соответствует расчетной схеме на рис. 4.
Рис. 5. Структурная схема виброзащитной системы с одной степенью свободы
Отметим, что структурная схема (см. рис. 5) является графическим аналогом математической модели виброзащитной системы в виде дифференциального уравнения, которое может быть получено известными способами [1].
Кинематическое возмущение z(t) характеризует движение основания и передается на объект защиты, что можно описать с помощью передаточной функции y bp + k
- — Т~ 7 (5)
Физический смысл (5) заключается в том, что оно соответствует отношению амплитуды вынужденных колебаний объекта к амплитуде колебаний основания. Выражения (3) и (5)
совпадают, что свидетельствует о возможности находить \У№(р) через определение \У(р)г, используя структурную схему на рис. 5. В данном случае можно иметь в виду возможности эквивалентности действия двух внешних возмущений, так как справедливо
О = kz. Отметим, что при и
О(^ = 0 цель вибрационной защиты может заключаться в уменьшении амплитуды абсолютного ускорения (перегрузки) объекта
V
к = і-------------------,
пер ^(ю2 -ю2)2 + 4п2ю2 а также в уменьшении амплитуды колебаний объекта относительно основания, т. е. в системе координат у' = у - z:
:
Таким образом, для каждой цели виброзащиты можно выбрать безразмерные коэффициенты эффективности. Такие коэффициенты определяются соответствующими передаточными функциями исходной структурной модели (см. рис. 5).
При силовом возмущении:
кч = К (р)| = (р)|; ку = кут;
:
; kR kz ;
I
В случае кинематического воздействия рассматриваются следующие соотношения: к
о - '
2
,
к,: y!.
y Zo
В технической литературе [4] к№ называется коэффициентом виброизоляции, а ку — коэффициентом динамичности. Если ввести безразмерный параметр
-■ I
--- ---------- --------
соп
то
:
соп
V(1-Y2)2 + 4v2y2 '
:
____Y ==
При расчете простейших виброзащитных систем условие эффективности по критериям кц, ку, ку, формируются в виде неравенств:
(6)
Поскольку указанные коэффициенты зависят от частоты, можно рассматривать эффективность виброзащиты на данной частоте у или в заданном частотном диапазоне 71 < 7 < у2. Анализ соотношений (6) позволяет сделать ряд выводов:
1. Эффективность виброзащиты по критерию к№ < 1 обеспечивается при любом уровне демпфирования в частотном диапазоне
V (7)
При любом 7 из диапазона (7) эффективность тем выше, чем слабее демпфирование; наилучшей эффективностью обладает идеально упругий виброизолятор (V = 0).
2. Эффективность виброзащиты по критерию ку < 1 также обеспечивается в диапазоне (7) при любых значениях V: при
/у/ — виброзащита эффективна во всем
диапазоне частот 0 < у < да; при имеет место в диапазоне у >^/2(7-2у2); при фиксированной величине у — эффективность повышается с ростом демпфирования.
3. Виброзащита по критерию ку, < 1 эффективна во всем частотном диапазоне, если
/V , а при : 1/72 — в диапазоне
1
Степень эффективности на фиксированной частоте 7 повышается с ростом демпфирования; в наихудшем случае (при V = 0) диапазон эффективности соответствует полосе
ц.
Зависимости
при фиксированных V можно рассматривать как амплитудно-частотные характеристики исследуемой системы по соответствующим входу и выходу. Разночастотные характеристики виброзащитной системы соответственно определяются как
є = агсід------------------^; (8)
3
(9)
^2(1-27)'
и представляют зависимость фазовых сдвигов процессов (8) и №(^, (9)
относительно возмущений О(^ и z(t).
4. Виброизолирующее устройство часто выполняют в виде соединения нескольких виброизоляторов, образующих сложный виброизолятор. При определенных условиях реакция № такого соединения может аппроксимироваться зависимостью (1), где 5 — деформация соединения в целом. Тогда рассматриваемый сложный виброизолятор эквивалентен (в смысле воздействия на источник и объект) простому, характеристики Ыэ и Ьэ которого могут быть названы эквивалентными коэффициентами жесткости и демпфирования [2].
Список использованной литературы
1. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко, А. А. Засядко. — Иркутск : Изд-во ИГУ, 2008. — 523 с.
2. Елисеев С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. — Новосибирск : Наука, 2011. — 394 с.
3. Хоменко А. П. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев, Ю. В. Ермошенко. — Иркутск : ИрГУПС, 2012. — 274 с.
4. Вибрации в технике : справ. : в 6 т. — М. : Машиностроение, 1978.
References
1. Eliseev S. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P., Zasyadko A. A. Dinamicheskiy sintez v obobshhennykh zadachakh vibrozashhity i vibroizolyatsii tekhnicheskikh obektov [Dynamic synthesis in generalized problems of vibration protection and vibration isolation of technical objects]. Irkutsk, IGU Publ., 2008. 523 p.
2. Eliseev S. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P. Mekhatronnye podkhody v dinamike mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem [Mechatronic approaches in the dynamics of mechanical vibration systems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2011. 394 p.
3. Khomenko A. P., Eliseev S. V., Ermoshenko Yu. V. Sistemnyy analiz i matematicheskoe modelirovanie v mekhatronike vibrozashhitnykh sistem [System analysis and mathematical modeling in mechatronics of vibroprotection systems]. Irkutsk, IrGUPS Publ., 2012. 274 p.
4. Vibratsii v tekhnike [Vibration in engineering]. In 6 vol. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978.
Информация об авторах
Елисеев Сергей Викторович — доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, e-mail: eliseev_s@inbox.ru.
Ковыршин Сергей Владимирович — кандидат технических наук, доцент, кафедра управления техническими системами, Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, e-mail: sergkow@mail.ru.
Паршута Евгений Александрович — соискатель, Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, e-mail: parshuta@mail.ru.
Authors
Eliseev Sergey Victorovich — Doctor habil. (Engineering), Professor, Honored Scientist of the RF, Director, Recearch and educational centre of modern technologies, system analysis and modeling, Irkutsk State Railway University, 15 Chernyshevsky st., 664074, Irkutsk, Russia, e-mail: eliseev_s@inbox.ru.
Kovyrshin Sergey Vladimirovich — PhD in Engineering, Associate Professor, Department of Management of Engineering Systems, Irkutsk State Railway University, 15 Chernyshevsky st., 664074, Irkutsk, Russia, e-mail: sergkow@mail. ru.
Parshuta Evgenii Aleksandrovich — candidate for PhD degree, Irkutsk State Railway University, 15 Chernyshevsky st., 664074, Irkutsk, Russia, e-mail: parshuta@mail.ru.
