CC BY
8УДК 536.24
Л.А. Узенгер
РАСЧЕТ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССОВ НАГРЕВА МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ИЗДЕЛИЯ В ГАЗОВОЙ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ ПЕЧИ
Рассмотрено решение задачи Штурма-Лиувипля с граничными условиями третьего рода в математической системе MAPLE. В качестве граничной задачи рассматривается уравнение теплопроводности для металлического изделия в контексте математического описания газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов.
Рассмотрим газовую отражательную печь для алюминиевых сплавов как объект с распределенными параметрами. В первом приближении газовую печь представляют как систему, состоящую из однородной излучающей среды (газ), окруженной двумя замкнутыми лучевос-принимающими поверхностями (кладка и металл) [1]. В линейном и одномерном приближении динамика процессов нагрева для металлического изделия будет описываться уравнением теплопроводности
дЛ Т„(х,/) д2Л Тм(х,^)
-------1—I. = а------—-
Ы дх2
при граничных условиях третьего рода на теплообменивающихся поверхностях. Здесь х -координата тела в направлении передачи тепла, отсчитываемая от середины металлического
изделия, а - температуропроводность, г - время, Д71 м {х, /) - абсолютная среднеэффективная температура металлической поверхности.
Для нагреваемого тела (металла) в общем случае следует учитывать конечные размеры. Граничные условия для данной задачи с учетом ограничений имеют следующий вид:
дАГ.ц(х,г)
дх
= 0;
,г=0
3ATM(x,t)
дх
+ aMAT„(xit^R=aMAqeM(t),
где Лн - коэффициент теплопроводности металла;
агн - коэффициент теплопередачи металла;
К - эквивалентная толщина металлического изделия;
Ддаи (/) - тепловой поток, направленный на металл.
Воспользуемся методикой, представленной в [1]. Применив метод разделения переменных (метод Фурье) для данного уравнения теплопроводности, запишем уравнение задачи Штурма-Лиувилля для нагреваемого металла. Уравнение задачи и граничные условия имеют следующий вид:
d<p(ji,x)
dx
=°.^) +^u=°
О)
Нас интересует решение уравнения (1), удовлетворяющее однородным линейным граничным условиям с вещественными коэффициентами. Задача Штурма-Лиувилля всегда имеет не представляющее интереса решение ф{р,х) = 0, называемое тривиальным. Однако нетривиальных решений при данном произвольном /I может и не быть. Поэтому содержанием задачи Штурма-Лиувилля является не только отыскание решений при данном /л , но и определение совокупности значений /I, при которых существуют нетривиальные решения. Всякое 174
нетривиальное решение задачи Штурма-Лиувилля называется собственной функцией данной задачи. При этом параметр ¡л должен принимать некоторые определенные значения, которые называются собственными значениями (или числами) задачи. Данному собственному значению могут соответствовать одна или две (не более) собственные функции. Множество всех собственных значений называется спектром данной задачи.
Решение задачи выполним в системе MAPLE [2]. Введем уравнение Штурма-Лиувилля в систему MAPLE.
> restart:
> eq:=a*diff( phi(x), x$2)=-muA2*phi(x);
еЯ'=а^~2<р{х) =-V2<p{*)-
Находим общее решение заданного уравнения.
> dsol:=dsolve( eq, phi(x)); assign(dsol);
dsol \= (p{x) = Cl sin
f)
л/aj
-^L|+ C2cos
где _C 1 и _C2 - постоянные дифференцирования, которые мы ниже определим из граничных условий.
Введем уравнения граничных условий третьего рода.
> eq__0:=subs( х=0, dif f (phi (х), х) ) =0;
eq_R:=subs( x=R, diff(phi(x),x)+(alpha[m]/lambda[m})*phi(x))=0;
™ n - - C1 C0S(°V - C2 sin(°)^ _ a .
4 *— t— i— ^ ?
V# xa
Cl cos
eq _R:=
yfa >
\ Г /
и _ С1 sin
) . V V
ÉL
Jaj
+ C2cos
Га,
4a
*[a
Формируем матрицу системы и находим ее определитель
> A:=linalg[genmatrix]({ eq_0, eq_R},{ _С1, _C2});
A:=
“(f)' “■*(£
sin
r..»\ r^R\
Га К M
Га
> Delta:=linalg[det](A);
(
sin
Г
<4aj
Г
a„ cost
XD
\\
Д:= —
= 0.
Га *
Приравняв определитель матрицы к нулю, получим характеристическое уравнение.
> f:=6xpand(Delta)=0;
/:=
2 • (f&\ [1 Sin
W a
(pR
u.
a
= 0.
(2)
Введем новые переменные
Ri-a«R *1 - ~г=*о! = —-.
Va
Упростим и преобразуем выражение (2) с учетом новых переменных (3).
> f:=eta*tan(eta)-Ві=0;
f '.-r\ tan (77)- Ві = 0, (4)
где Bi - критерий Био [3].
Найдем корни характеристического трансцендентного уравнения. При этом зададимся значением критерия Био и выведем первые три корня характеристического уравнения.
> К:=3:
ВІ:=0.5:
eta:=аггау(1..К): for і from 1 to К do
eta[і]:= fsolveff, eta, eta=(i-1)*Pi.Л*Pi): end do;
//, := 0.653271187 tj2 := 3.292310021 щ ^ 6.361620392
Решение характеристического уравнения можно также представить графически (см. рисунок). Корни трансцендентного уравнения находятся в точках пересечениях двух кривых.
> plot([ tan(eta). Bi/eta], eta=0..5*Pi, -3..3, color=[ blue, red]).
Графики tan (7) и Bilrf
Рассчитаем параметр дифференцирования Cl из граничного условия eq_0.
> _Cl:=solve( eq_0, _C1); phi(x);
у:=combine(%);
_C1 = 0;
-С1Кй+-С2с“Ш;
у*_С2«^.
Собственные функции имеют вид
> Yn:=unapply( subs(mu=mu[n], select(has,y,x)), x, n);
Yn (x, n) cos
Га)
Вычислим нормирующий множитель нашей системы собственных функций.
> (1/а)*1пМ Уп (х, п) л2, Х=0..И); Еп :=уа1ие (%) ;
1 г (*»*1
- М
а* \4а ,
dx;
Еп
о V 4а j
((1. ([л j—
cos ~=- sin *-*=- л}a +p„R
._ 1УД ) \у/а )_______________
2 ар„
Решением задачи Штурма-Лиувилля являются нормированные собственные функции.
> phi(x,mu[n]):= unapply( Yn(x,n)/sqrt(En), x);
сое
'a*'
Га)
s
i
cos + p„R
Преобразуем полученное уравнение с учетом (3).
Фп(Ж*Vn)~ / -ч cosfTJn —
\RT}n +sm{7i„)cos{r}H) Л Rj
,n = 1,2,...
(5)
Таким образом, решение задачи Штурма-Лиувилля представляет собой нормированные собственные функции (5), основными параметрами которых является переменная х (координата тела в направлении передачи тепла) и цп (корни трансцендентного уравнения (4)).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами: Учеб. по-соб. / Э.Я. Рапопорт; М.: Высшая школа, 2003.299 с.
2. ГолоскоковД.П, Уравнения математической физики. Решение задач в системе Марк: Учебник для вузов. СПб.: Питер, 2004. 539 с.
3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967.560 с.
Статья поступила в редакцию 1 марта 2006 г.
