Динамические эффекты в сферических шарнирах с сухим трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦЛГИ

Том XXXI 2 000

М3—4

УДК 629.7.015.075.6

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В СФЕРИЧЕСКИХ ШАРНИРАХ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

А. П. Леутин

С учетом зависимости коэффициента сухого трения от контактного давления определены действующие в сферическом шарнире полные сила и моменты. Показано, что они выражаются в виде суммы интегралов от соотношений, содержащих полные эллиптические интегралы; в частных случаях получены аналитические зависимости — точные и приближенные. Установлен динамический эффект, при котором сухое трение в области контакта при наличии поворота и верчения «превращается» в жидкостное трение, как если бы в шарнире появилась жидкая смазка. Дана наглядная интерпретация, поясняющая возникновение этого явления. Получены приближенные аналитические соотношения для силы и моментов трения при произвольной ориентации сжимающей силы и относительной угловой скорости тел. Развита итерационная схема расчета движения системы «носитель + грузы», соединенных сферическими шарнирами.

Одной из задач динамики полета является моделирование движения составных объектов, состоящих из нескольких связанных между собой летательных аппаратов (ЛА) и их ступеней [1]. На практике применяются летательные системы, состоящие из центрального тела и нескольких шарнирно соединенных с ним периферийных тел, которые могут совершать относительный разворот. Широко известными примерами таких систем являются космические ракеты-носители типа «Союз» и «Энергия» [2]. Другими примерами подобных систем являются самолеты со стартующими с них по направляющим ракетами, крылатые ракеты с отделяющимися стартовыми ускорителями, космические ЛА с раскрываемыми панелями солнечных батарей, а также различные роботы-манипуляторы и механизмы [3].

В современной авиационно-космической технике широко используются твердые антифрикционные покрытия (на основе олова, свинца, фторопласта и др.), которые, в отличие от традиционных жидких смазок, сохра-

няют высокую работоспособность узлов связи при больших контактных давлениях, низких температурах и в разреженной атмосфере [4].

В связи со сказанным является актуальным учет сухого трения в узлах соединения тел. В. А. Ильиным и автором разработана соответствующая модель реального силового взаимодействия твердых тел (ниже они называются носитель и груз) в шарнирных узлах связи [5]—[7]. Модель учитывает реальные законы распределения контактного давления по области взаимодействия в шарнирах. С использованием закона Кулона для сил сухого трения получены соотношения для векторов полной силы Ят и момента трения Мт:

Лт=-|/т(М)/7(М)^, Мх

5

Здесь 5” — область контакта «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира; р{М) — контактное давление в точке М;

Ао(М) = [Дю,р(М)] — вектор

скорости точки М внутренней части шарнира, связанной с грузом, относительно той же точки на внешней части, связанной с носи-Д У{М)

телем; Ди(М), е„ = —1—- — со-Ду(М)

ответственно абсолютная величина и орт скорости Д»(М); До — угловая скорость груза относительно носителя; р(М) — радиус-вектор точки М относительно центра шарнира Ош; р = |р(М)| — радиус шарнира; /Х(М) — коэффициент трения (рис. 1).

В задачах, где относительные скорости поверхностей шарнира невелики, можно ограничиться простейшей зависимостью коэффициента трения от давления — /т = /т° + —, где /т°, А — постоянные для данной па-

Р

ры соприкасающихся материалов (параметр А характеризует их «сцеплен-ность»).

Ниже рассмотрен наиболее сложный и интересный случай сферического шарнира (простой случай цилиндрического шарнира описан в [5]).

1. Сила и моменты сухого трения. Сферический шарнир моделируется упругой сферой («головка» шарнира), которая вставлена с малым зазором в сферическую полость, находящуюся внутри упругого пространст-

= -р \ММ)Р{М)

р(М)

»

03 (1)

Рис. 1

ва (внешняя часть шарнира), и вдавливается в него силой Rn, приложенной в центре «головки». Определим векторы интегральной силы Rx и момента трения Мх для принятой зависимости /т. Векторы задаются своими проекциями на оси прямоугольной системы координат OXYZ, связанной с силой Rn и относительной угловой скоростью Леа следующим образом. Начало системы О совпадает с центром «головки» шарнира Ош, ось OZ направлена из точки О вдоль вектора Rn в точку А касания «головки» и внешней части шарнира; /,/, к — орты осей координат; вектор Аб> лежит в плоскости OYZ и составляет с OY угол а (см. рис. 1). В сферических координатах Орф0 область контакта S имеет вид: p = fix,

Я

О<9<00, 0О<--, 0<ф<2л. Как следует из известных решений этой

контактной задачи, распределение давления по области контакта S представляет собой монотонно убывающую функцию р=рф), удовлетворяющую условию уравновешивания сжимающей силы Rn:

©о 2к

Р2 J ^(0)00808^0^ = ^, (2)

О о

где 0о — угловой размер контактной области.

При вычислении RT и Мх используются приближенные зависимости для распределения контактного давления, представляющие собой аппроксимации решений контактной задачи:

р{Щ- Р\ (©о)cosQ = p\(Qq)p(Q), р(в) = COS0, (3)

(0) = /?2 (0О )(cos 0 — cos ©о ) = /?2 (0О (0) ^ P(0) = COS0-COS0O. (4)

Коэффициенты pj(Qо), /= 1, 2 определяются при заданной величине силы Rn из уравнения равновесия (2), которое запишем в виде

P2A-Wo(6o) = V (5)

Из основных соотношений (1)—(5) получаем

ДТ(0О, а) = ~if?p2pi{%)l (0о, а) t (6)

Л/т=-/т°р3А(0о)[^(ео,а)+Л^(0о,а)], (7)

где а — угол между осью OY и вектором До».

Выражения для двойных интегралов /о(0о), /(0о>°0> -/(©О’<х) ^(0О,а) приведены в [7]. Используя (5)—(7), с учетом зависимости

/т = /т° + — представим векторы Яа и Мх через величину сжимающей Р

силы Яп:

Мх = - р

= -<‘[/х°Л«Х(во. а) + Лр2 /'(00.а)]. Л/тО/?«ау(0О. а)+ Лр2 Д0О, а)]-

<

+ Л [/х°Дпа2(е0, а)+Лр2 А:'(0О, а)]. где коэффициенты силы и составляющих момента трения

,Л ч /°(0о,а) /л ч У°(в0,а) ,А ч /С°(0О)а)

х(0о.°О= Т > (00■а)= ~Т /п\ ’ ог(90,а) = -- 4 0 Л

(8)

(9)

/о(0о)

/о(0о)

/о(0о)

(10)

Рис. 2

Рис. 3

о

30° 60° а

Рис. 4

Здесь /°, /°, АГ°, /', J', —двойные интегралы, получающиеся соответ-

ственно из общих интегралов /(00,а), У(00,а), А"(©о,а) [7].

Векторы силы Лт и момента трения Мх показаны на рис. 2. Примеры коэффициентов и интегралов трения, полученных численно, даны на рис. 3, 4 сплошными линиями (соответствующие таблицы приведены в [7]).

2. Аналитическое вычисление силы и моментов трения с использованием эллиптических интегралов. Характерной особенностью полученных выше соотношений для силы и моментов трения является наличие в них эллиптических интегралов и интегралов от них. Покажем, что это вызвано использованием закона Кулона для сухого трения [3], [4].

Вначале рассмотрим случай произвольной взаимной ориентации векторов сжимающей силы и относительной угловой скорости — 0 < а < 90°.

В двойных интегралах /°, и Г,^,К' внутренние (по углу ф) инте-

гралы имеют вид

Дюр

ке М [7]. Раскладывая квадратный (по sin ф) трехчлен, стоящий в знаменателе под знаком квадратного корня в выражении для Ау, на множители и

где Да (а, 0, ф) =---- — безразмерная относительная скорость в точ-

-ф

применяя подстановку t - tg---------

, получим интегралы вида

оо

где

l +sina2 ’ l-sina2

При т - 0; 1 интегралы сводятся к линейным комбинациям полных эллиптических интегралов первого рода К{к) и третьего рода П(и, к), где модуль к и параметр п определяются соотношениями [10]:

0 < к, п< 1.

л/о + 8та])(1 -вто^) 1-зта2

При т = 2 выведена отсутствующая в справочниках формула:

К(к) - 62(и + 1)П(и, к) +

дп

дп метру п.

5П(и, к) где —^--------

частная производная интеграла третьего рода по пара-

Следовательно, в общем случае сила и моменты трения представляются в виде сумм интегралов по углу 0 от выражений, содержащих эллиптические интегралы указанных типов. Конечные аналитические выражения для столь сложных интегралов неизвестны [10], [11]. Поэтому представить силу и моменты трения в общем случае как замкнутые аналитические функции определяющих параметров (сжимающей силы, геометрии шарнира, коэффициентов трения, углов 0О и а) не представляется возможным. Вместе с тем в частных случаях автором получен ряд точных решений [7].

В практически важном случае а = 0, соответствующем относительному развороту груза и носителя в их общей плоскости симметрии, внутренние интегралы по углу ф содержат полученный из величины скорости Ли квадратный корень д/1 -5т20зт2ф . Для силы трения получаются полные эллиптические интегралы первого рода К, для момента — интегралы второго рода Е [7]. Из сравнения общего (а>0) и частного (а = 0) решений для момента трения получаем тождество (оно проверено численно):

Окончательно сила и моменты трения представляются в виде интегралов от эллиптических интегралов. Такие интегралы «берутся» в конечном виде для очень узкого класса подынтегральных функций степенного вида [10], [11]. Для величин 0^(00, а. = 0) и /'(0о,а = О) аналитическое интегрирование легко удается довести до конца при произвольном угле контак-

Е (к) = (1 - £)П (п,к)- 2к

\-к)2дП(п,к)

1 + к) дп

где к - вш 0, к =

2 у[к _ 2к

-—п =-—-

1 + к 1 + к

та 0Q и получить линейные комбинации интегралов К(ко) и Е(ко), где &0 = sin 00. В остальных случаях точные значения коэффициентов и интегралов определяются лишь при наибольшей области контакта — 0О = 90°.

1 f ris >f\ *\

Это объясняется присутствием интегралов типа И f >k2ndk

к0

{к()~ cos00), где к'-4\-к2 —дополнительный модуль; и = 0; 1. Аналитическое выражение этих интегралов в конечном виде через какие-либо специальные функции (обобщенную гипергеометрическую функцию и т.д.) не установлено; в справочниках значения интегралов приводятся лишь в пределах от 0 до 1 [10], [11].

Из-за наличия у эллиптических интегралов логарифмических особенностей обычные степенные ряды сходятся медленно и их использование неэффективно [7]. Для практического вычисления эллиптических интегралов наиболее выгодно использовать быстросходящиеся ряды, содержащие логарифмические множители Inлг, где переменная х=\-к2 [12]. В инженерных расчетах можно рекомендовать простейшие аппроксимации [13], коэффициенты которых получены по методу наилучшего равномерного (чебышевского) приближения (максимальная относительная погрешность -0,003):

К (х) = 1,3863 + 0,1845* - (0,5 + 0,0879х) In *,

£(*) = 1 + 0,5708л: - 0,1948л: In х.

Использование этих формул дает возможность получить аналитические

V Г £(*')]

соотношения для интегралов типа j < > к dk и с помощью микро-

*0

калькуляторов рассчитать значения силы и моментов трения.

Наконец, в простейшем случае а = 90°, соответствующем «чистому верчению» (сжимающая сила параллельна относительной угловой скорости вращения тел), сила трения становится равной нулю, эллиптические интегралы вырождаются в тригонометрические функции и момент трения верчения легко определяется аналитически [7].

3. Эффект «превращения» сухого трения в жидкостное. Зависимости силы и моментов сухого трения от угла а, характеризующего взаимную ориентацию векторов Rn и До, достаточно хорошо аппроксимируются функциями cos а и sin а; автором установлены точные соотношения [7]:

=-^-,aj = ^-cosa, ^'^00 =^-,aj-^~sina.

Покажем, что эти простейшие соотношения получаются и для шарнира с жидкой смазкой. В этом случае в области контакта на элементарную площадь в окрестности точки Мдействует сила вязкого трения (1К'Х, которая направлена против относительной скорости До(М) и при ее малой величине пропорциональна ей: =-кхА1>(М)с18, где кх —размерный

коэффициент вязкого трения, зависящий от контактного давления. Принципиальное отличие жидкостного трения от сухого состоит, как известно, в отсутствии трения покоя (при Д» = О (Ш'х = 0), тогда как элементарная сила сухого трения носит «релейный» характер [3], [4]. Подставляя (Ш'х в (1) и (2), получим для величины полной силы жидкостного трения ^ и составляющих М'ху, М'Х2 вектора момента М'х интегралы, аналогичные 7(00, а), 7(©о,а) и £(00,а)- Однако в знаменателе отсутствует величина относительной скорости Аи(М), являющаяся источником появления «небе-рущихся» эллиптических интегралов (пункт 2). Члены, содержащие внут-

^2т1

jsin ф dq> = 0

и легко получаются

ренние интегралы, обращаются в нуль

V о

простые соотношения: = i^(0o,a = O)cosa, М'ху=М'ху(®o,a = 0)x

xcosa, M'xz =M^0q,a = -^js’na •

Таким образом, качественно различные законы сухого и жидкостного трения при вращении сферического шарнира приводят к тому, что интегральное действие сухого трения становится аналогичным жидкостному. Подобный динамический эффект изучен к настоящему времени лишь для случая движения пластин различной формы по шероховатой плоскости [8], [9]. Ниже приведены результаты исследования нового пространственного эффекта [14].

4. Механизм «превращения» сухого трения в жидкостное.

4.1. Рассмотрим вначале случай малой контактной области S 71 'N

0Q «—J. Она может быть аппроксимирована кругом радиуса

г0 = psin 0О ~ р0о с центром в точке А (| О А | = pcos0o « р); плоскость круга перпендикулярна оси OZ (рис. 5). Внутри контактного круга движение точки М части шарнира, принадлежащей грузу, относительно части, принадлежащей носителю, складывается из двух движений: скольжения — поступательного движения точки А со скоростью Av(A) и верчения — вращения вокруг оси OZ с угловой скоростью Дсо^А . Таким образом, относительная скорость точки М

Av(M) - Av(A) + [Д&zk, г(М)],

где г(М) = АМ\

Av(A) = Av^i = Дсоj^| ОА11 ® Дюур/.

Векторы силы и момента трения (относительно точки А) определяются аналогично (1):

Лс = - \МрЖМ)е0<К, М'х = -г0 \Мр)р(М)

КМ)

'•о

Элементарные силы трения, действующие в плоскости контактного круга, создают интегральный момент, препятствующий верчению вокруг оси 02\ М'х = -М'Х2к. Введем в плоскости круга прямоугольную систему координат АХ У' (оси АХ', А У параллельны ОХ, ОУ соответственно) и полярную систему координат АгШ. С учетом осевой симметрии контактной задачи из (11) получим, что сила трения направлена против скорости Аи(А):

Лг=-Л1/,

Г<>2пг Мр(гЩ // ,

= Ртах [[------—^-^-{АьА-А(йгГ5тЧ>)г(іг(^>. (12)

' * Ьи{М)

Величина момента трения верчения равна

г02я/х(р(г))р\ у Кг=Лпах 11----------—"У — - Дх>А5ІП & №. (13)

о о Аи(М)

Здесь Аи(М) = ^Аи2-2АьдАв>2г$тх¥ + А&\г2 — относительная ско-

рость в точке М; р{г)~РтьхР^У^ — функция распределения контакт-

ного давления; ртах — наибольшее контактное давление в точке А, определяемое из условия уравновешивания сжимающей силы:

Г°2п ( \

Ртах Цр(Уц )гс1г<Н' = Кп- (И)

О О

Относительно центра шарнира (точка О) создается момент трения Мх = -М\ +[р(Л), Л,-] = -(Мтуу + Мхгк), его проекции равны Мху =\ОА\Я1 ® « рЯх, Мт2 = •

Сила трения скольжения Кх препятствует скольжению одной части шарнира относительно другой и направлена против вектора А»(А) (см. рис. 5). Векторы Ях и Мх взаимно ортогональны. Момент трения скольжения -Мхуу вызван действием этой силы относительно центра шарнира и направлен против составляющей угловой скорости Лю у у .Момент трения верчения -Мх%к направлен против «своей» составляющей Лсо^А:. Из сравнения рис. 2 (случай произвольного угла 0О) и рис. 5 видим, что механическая интерпретация, справедливая при малых значениях 0О, остается в силе и в общем случае. Таким образом, интегральное действие трения в сферическом шарнире в полном соответствии с его физической природой препятствует относительному вращению контактирующих тел.

Из размерных параметров Ду^Дю^! и г§, определяющих относительное движение точек контактного круга, получим безразмерную комбинацию —- параметр подобия г| = —, представляющий собой от-

|Лсо2|г0

ношение скорости скольжения АиА к максимальной окружной скорости |Дос>2 |г0 ’ вызванной верчением круга. Параметр г| характеризует поле линейных относительных скоростей точек круга. При г| = 0 реализуется «чистое верчение». При т) = со имеет место «чистое скольжение»: точки круга движутся со скоростью Аь(А).

Соотношения (12), (13) для силы /?т и момента трения верчения Мх1 преобразуются к двучленному виду, аналогичному (8), (9):

= /т°Я«ХмХ(л) + Лг02/Мх'(л) > О 5)

Мх2 = Кп^7.ч^7М) + Аг{)К^'г^)\ (16)

Здесь Хм> а2и — максимальные значения коэффициентов силы и момента трения верчения %, аг соответственно; 1М,КМ —наибольшие значения интегралов, соответствующих интегралам К' в (8) и (9). Из теории

подобия следует, что безразмерные коэффициенты х, а2, %', значения которых заключены внутри отрезка [0, 1], являются функциями параметра подобия г). Для момента трения скольжения из формулы (15) получаем: MxY «P^t=p[/t°^XmX(ti) + ^o2/mX'(ti)]-

4.2. Аналитическое определение коэффициентов трения Yt^z>X'^'z в (15)—(16) осложнено тем, что внутренние интегралы по углу Ч* сводятся к эллиптическим (пункт 2). Покажем, что при выбранных законах распределения контактного давления (3), (4) коэффициенты трения приближенно выражаются в аналитическом виде через полные эллиптические интегралы первого и второго рода Достаточно рассмотреть случай /т = const, поскольку слагаемое А/p в законе Кулона после умножения в подынтегральных выражениях (12) и (13) на давление р соответствует простейшему случаю р = const.

Учитывая, что при малых размерах контактной области г « р0, г0 ~ р0о, и раскладывая cos 0 и cos 0О в ряды по степеням углов 0 и 0О, получим, что при 0, 0О I—> 0 функции (3) и (4) переходят в p(U) = р\тт и p(U) =

- /?2max(l ~U2), где U = — «—; наибольшие значения контактного дав-

г0 ео

27?

ления равны />2шах = 2/?imax «—. С помощью приемов, подробно

прЩ

описанных в [9], двойные интегралы (12) и (13) преобразуются к одномерным по переменной U. Задача тем самым сводится к аналитическому вы-

*01 г ) "I

числению табличных определенных интегралов J k2n+xdk\

(kQi = г|] < 1) и k~2^n+^dk (&q — Л - 0 ПРИ и = 0; 1; 2 [11]. В ре-

*о

зультате для зависимостей Х2 и ^2Z ПРИ постоянном коэффициенте трения получаем соотношения:

Х2

16

• [- 52л3 (l - Л2)- (2Л 4 - 7л 2 - 3)ВД - (л2 + з)^'(л)],

А5ш\

-^-[(ЗЛ? + Н -2)£(л1)-2(зл?

45 л

а2Z

15л

Л5[(23л? -23л? +8)£(л,)-(15л? -19л? +8^'(Л,)], -[-25л3(8л4 -5л2 - 8)-(92л4 + 48л2 -2з)е(л)-

-2(23л2+4)г(л)].

Выше приняты обозначения: К'{ц) $= (1 АГ'(г1|) = (1 — Г|^).йГ(г13),

г)] = г)-1. Модули эллиптических интегралов принадлежат отрезку [0, 1].

Вторые слагаемые в (15) и (16), пропорциональные коэффициенту трения А, как отмечено выше, соответствуют случаю р = р\тах, рассмотренному А. И. Лурье [8]. Отсюда следуют тождества: у! = %\, = о

Для удобства анализа коэффициенты момента трения верчения построены как функции величины Г|], обратной параметру подобия г) (рис. 6). Коэффициенты Х1,2(Л) и 22^У\\) обращаются в нуль при нулевых

значениях своих аргументов. Сухое трение при таком движении проявляется подобно жидкостному (исчезает сила трения покоя и появляется небольшой линейный участок).

Сущность этого явления наглядно проявляется на примере электрополотера, опирающегося на круговые щетки [9]. Если включить вращение щеток, то он начнет легко скользить по полу даже при небольшом усилии: возникает иллюзия, что на поверхность пола нанесли жидкую смазку, резко уменьшившую трение. Это объясняется тем, что при малых значениях параметра г| основную роль в распределении скоростей точек контактного круга играет верчение. Действие силы трения при наличии верчения ослабляется, и сухое трение проявляется подобно жидкостному.

Таким образом, параметр подобия г|, введенный выше как кинематический, представляет собой важнейшую динамическую характеристику сферического шарнира с сухим трением и является своеобразной мерой взаимного ослабления трения скольжения и верчения [14].

4.3. В сферическом шарнире кинематические параметры Av/^ = Дсоу | О А | и Лю ^ являются тригонометрическими функциями угла а (см. рис.1, 5). При малых размерах контактной области получаем приближенную зависимость параметров г) и г| | от углов 90 и а (в радианах):

'Г1(ео,а)»л(0о»а) =

Лак

I 10о

Из сравнения соотношений (8)—(11) и (15)—(16) следует, что для получения аппроксимационных зависимостей для силы и моментов трения при произвольных значениях углов 0О и а могут быть использованы выражения (8) и (9), куда вместо значений коэффициентов %, ау, о? и интегралов подставляются их табличные максимальные значения [7],

умноженные на соответствующие зависимости хСп) и Oil) с заменой аргументов их приближенными значениями rj и rf i. В результате получаем аппроксимационные соотношения (/=1, 2):

Х/(0О, а) = Х((е0> а = °Шп), 5,-у = <У/к(0О. а = 0Шл), siZ =aiz(eO>a = j)°/z(ni)signa, = a = 0)xi(n).

7' = J'(Q0»a = 0)Xi (n), к' = > a = j a,z(rf j) sign a.

Примеры сопоставления результатов расчета коэффициентов и интегралов по аппроксимационным формулам (штриховые линии) с их точными значениями [7] приведены на рис. 3, 4 для наиболее сложного случая — Р = Р2 (90)(cos 0-cos 0q). Видно, что предложенная выше модель взаимодействия трения скольжения и верчения правильно объясняет поведение кривых; отличия, имеющиеся при больших значениях углов 0О, обусловлены сферичностью контактной области.

5. Расчет связанного движения тел с учетом трения в шарнирах. При расчете движения систем тел (ступеней или частей ЛА, роботов, механизмов) из условий их связи в шарнирах получаются линейные соотношения для определения неизвестных моментов трения Mix и полных сил реакций Д(, равных суммам сжимающей силы Rin и перпендикулярной ей силы трения Rix в каждом из шарниров (i=\,...,L) [2]. Моменты трения Mix, как показано выше, нелинейным образом зависят от неизвестных сжимающих сил Rin. Преодолеть возникшую трудность — своеобразный «замкнутый круг» — можно, перенеся моменты трения в правые части указанных соотношений и используя вычислительный алгоритм с двумя итерационными циклами [6].

Во внешнем итерационном цикле по заданным значениям моментов трения Mix определяются полные силы реакций Rj во всех L шарнирах; в начале движения системы тел в качестве первого приближения полагаем шарниры идеальными — Mix - 0. Затем во внутреннем цикле производится разложение полученных значений полных сил на сжимающие силы и силы трения. Неизвестная сжимающая сила Rin в каждом шарнире опре-

деляется как катет силового треугольника, гипотенуза которого равна полной силе реакции Я,. В соответствии с (8) угол между векторами полной и

На первой итерации внутреннего цикла коэффициент силы трения и интеграл /• рассчитываются в зависимости от угла 0(о, определяемого величиной полной силы Я/, радиусом и зазором шарнира и упругими свойствами его материалов [6]. Угол аг вычисляется по соотношениям, аналогичным полученным в [5] для случая точечного контакта. Из известного свойства прямоугольных треугольников, имеющих общую гипотенузу Л,,

следует, что концы векторов Яполучаемых в итерациях (£= 1,...), находятся на поверхности сферы, описанной около вектора /?, как вокруг диаметра. После достижения во внутреннем цикле заданной точности расчета векторов Яш управление алгоритмом передается во внешний цикл, где определяются соответствующие им уточненные значения моментов трения Мгт и полных сил реакций /?г [2].

Описанный вычислительный процесс повторяется до достижения заданной точности определения моментов трения и полных сил реакций во всех шарнирах. Расчеты показали высокую скорость сходимости итераций: даже при больших значениях коэффициента кулонова трения с учетом «сцепленности» контактирующих поверхностей шарниров приемлемая точность ~ 1 % достигается при 3—5 итерациях.

В заключение отметим, что приближенные значения эллиптических интегралов и полученные в [13] на этой основе соотношения для интегралов от них могут найти применение в различных областях прикладной механики: теории винтов самолетов и вертолетов, упругости конструкций и в других инженерных задачах.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить И. А. Ляховен-ко, Ю. А. Брычкова и Г. С. Теслера за эффективную помощь в работе над статьей.

Автор посвящает статью памяти В. А. Ильина, в творческом содружестве с которым был написан ряд основополагающих работ по данной тематике и другим научно-техническим направлениям.

1. Леутин А. П., Демеш кина В. В. Разделение ступеней авиационно-космических систем//Авиакосмическая техника и технология.— 1998, № 2.

2. Леутин А. П. Движение летательных систем, состоящих из носителя и связанных с ним грузов//Авиакосмическая техника и технология.— 1999, № 1.

3. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин.— М.: Наука.—1975.

4. КрагельскийИ. В., ДобычинМ. Н., КомбаловВ. С. Основы расчетов на трение и износ.— М.: Машиностроение.— 1977.

сжимающеи сил определяется соотношением

ЛИТЕРАТУРА

5. И л ь и н В. А. Сила и момент трения в шарнирных узлах крепления при развороте летательных аппаратов относительно этих узлов. Ч. Н//Ученые записки ЦАГИ.— 1986. Т. XVII, № 1.

6. Ильин В. А. Метод учета реального силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления при расчете связанного относительного разворота двух тел//Машиноведение.— 1988, № 2.

7. Ильин В. А., Л е у т и н А. П. Сила и момент трения в шарнирных узлах крепления с учетом зависимости коэффициента трения от давле-ния//Ученые записки ЦАГИ.— 1988. Т. XIX, № 3.

8. Л у р ь е А. И. Аналитическая механика.— М.: Физматгиз.— 1961.

9. КонтенсуП. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка.— В сб. «Проблемы гироскопии».— М.: Мир.— 1967.

10. ПрудниковА. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Ч. 1. Элементарные функции.— М.: Наука.— 1981; Ч. II. Дополнительные главы.— 1986.

11. ГрадштейнИ. С., РыжикИ. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Физматгиз.— 1962.

12. П о п о в В. А., Т е с л е р Г. С. Вычисление функций на ЭВМ.— Киев:

Наукова думка.— 1984. ■

13. Леутин А. П., Ковешников А. С. Приближенное вычисление полных эллиптических интегралов и интегралов от них в инженерных задачах.— В сб. «Оборудование летательных аппаратов». Вып. 1.— Киев: Изд. КВВАИУ.— 1987.

14. Л еу ти н А. П. «Превращение» сухого трения в жидкостное в сферических шарнирах//Проблемы машиностроения и надежности машин.— 1999, №6.

Рукопись поступила 18/1Х1999 г.