CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Т о м XV 19 84 М3
УДК 629.7.015.075.6
УЧЕТ РЕАЛЬНОГО СИЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ШАРНИРНЫХ УЗЛАХ КРЕПЛЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ СВЯЗАННОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАЗВОРОТА ДВУХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В. А. Ильин
Рассмотрена задача о развороте двух ЛА относительно общих шарнирных узлов крепления при их разделении. Предложена модель силового взаимодействия ЛА в шарнирных узлах крепления, учитывающая основные особенности реального взаимодействия. Выписаны уравнения движения ЛА, разворачивающихся на шарнирных узлах крепления, с учетом сил и моментов сил взаимодействия в этих узлах. Получены формулы для расчета сил и моментов сил трения в шарнирных узлах крепления при распределенном характере сил взаимодействия по области контакта поверхностей «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира. Рассмотрена эффективная итеративная схема расчета связанного движения ЛА при наличии сил и моментов сил трения в шарнирных узлах крепления, основанная на учете относительных порядков малости этих сил и моментов.
При рассмотрении процессов разделения двух летательных аппаратов (ЛА)—носителя и груза или ступеней ЛА — могут применяться две схемы разделения [1, 2]: 1) с одновременной расцепкой во всех узлах крепления; 2) с кратковременной задержкой на части узлов крепления. Программная кратковременная задержка груза на задних (по длине носителя) узлах крепления может быть введена для улучшения процесса разделения в атмосфере [1, ч. II]. Аналогичная схема используется при разделении ступеней ракеты «пакетной» конструкции [2]. Заметим, что при номинально одновременной расцепке во всех узлах крепления может иметь место случайная кратковременная задержка на одном или нескольких узлах крепления. В дальнейшем, для определенности, будем говорить о разделении носителя и груза, имея в виду все возможные случаи разделения ЛА или их ступеней.
При наличии кратковременной задержки после разрыва части связей между грузом и носителем груз получает возможность вращаться относительно носителя либо около одного узла крепления, либо вокруг оси, проходящей через несколько узлов крепления. На участке связанного движения ЛА уравнения движения груза и носителя удобно записать как уравнения твердых тел с учетом сил реакции и моментов сил реакции в узлах крепления [1—3]. При этом узлы
крепления считаются идеальными шарнирами, т. е. силы и моменты сил трения в узлах крепления не учитываются, а силовое взаимодействие между ЛА в каждом шарнире заменяется некоторой сосредоточенной силой — силой реакции, приложенной в некоторой точке, которая при записи уравнений движения изображает узел крепления.
С точки зрения определения движения носителя и груза неучет сил и моментов сил трения в узлах крепления может быть оправдан тем, что силы и моменты, как правило, на порядок меньше сил и моментов, обусловленных реакциями при идеальных связях. Однако отсутствие соответствующих членов в уравнениях движения груза и носителя является постоянным источником методических ошибок. При этом отсутствие адекватной модели силового взаимодействия разворачивающихся ЛА в шарнирных узлах крепления и соответствующих соотношений для определения сил и моментов сил трения не позволяет дать корректную оценку возникающих ошибок. Такое положение принципиально является неудовлетворительным.
Кроме того, в ряде важных практических случаев необходимо знать силы и моменты сил трения в узлах крепления. Примерами подобного рода могут служить задачи разделения носителя и груза, соизмеримых по массе и размерам [1, 2]. При достаточно больших внешних силах и интенсивном связанном относительном движении таких ЛА в узлах крепления развиваются значительные силы реакции и соответственно силы и моменты трения. Знание и учет этих сил и моментов нужны как при исследовании процессов разделения, так и при разработке конструкции узлов крепления.
Отметим, что в теории механизмов и машин вопрос об учете реального силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления, в особенности для сферических шарниров, практически не рассматривается [4, 5].
В настоящей работе предложена модель силового взаимодействия ЛА или их частей в шарнирных узлах крепления. Модель основана на рациональных допущениях, отражающих схематично в основных чертах механизм силового взаимодействия, в частности, механизм трения в шарнирных узлах крепления, относительно которых происходит вращение груза и носителя или частей ЛА. В рамках этой модели рассмотрен метод корректного учета реального силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления в задачах исследования динамики процессов разделения ЛА.
I. Модель силового взаимодействия Л А в шарнирных узлах крепления. Уравнения движения ЛА, разворачивающихся на шарнирных узлах крепления. Предположим, что два ЛА ■—носитель и груз — связаны между собой несколькими узлами крепления. Конструкция узлов и их взаимное расположение допускают относительное вращение носителя и груза вокруг общей точки, связанной с одним узлом, или вокруг общей оси, проходящей через несколько узлов крепления.
Не конкретизируя конструкцию узлов крепления, схематизируем их сферическими или цилиндрическими шарнирами. Шарнирные узлы крепления осуществляют передачу усилия от одного элемента конструкции к другому. Передача усилия осуществляется в процессе контакта поверхностей «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира и деформации этих частей в области контакта. При этом на формирование области контакта и распределение усилий в ней оказывают существенное влияние реальные свойства конструкции шарниров, в частности негладкости поверхностей и люфты. Однако при рассмот-
рении уравнений движения груза и носителя геометрическими отличиями поверхностей от строго цилиндрической или сферической формы, обусловленными деформациями, негладкостью поверхностей и люфтами, вследствие их малости по сравнению с размерами шарниров и, тем более, по сравнению с характерными линейными размерами ЛА, будем пренебрегать. Таким образом, при выводе уравнений движения с учетом усилий в шарнирных узлах крепления будем полагать, что
— поверхности внутренней и внешней частей конструкции шарниров представляют собой цилиндрические или сферические поверхности, плотно прилегающие друг к другу.
Как следует из сказанного выше, необходимая информация для определения силового взаимодействия носителя и груза в шарнирных узлах крепления может быть получена из рассмотрения соответствующих контактных задач теории упругости [6—8]. Вследствие практического совпадения радиусов внутренних и внешних цилиндров или сфер в шарнире контакт между поверхностями упругих тел может распространяться на значительную часть этих поверхностей. Поэтому широко используемое в механике представление силового взаимодействия между телами в виде сосредоточенных сил реакции [3, 9, 10], предполагающего малость размеров области контакта по сравнению с размерами тел, в рассматриваемом случае неприменимо. Вместо этого предполагаем, что
— область контакта поверхностей внутренней и внешней частей конструкции шарнира не мала по сравнению с размерами шарнира. Силовое взаимодействие между грузом и носителем в шарнирном узле крепления распределено по области контакта и, вообще говоря, не может быть заменено сосредоточенной силой реакции.
При развороте ЛА относительно шарнирного узла крепления область контакта перемещается по поверхности шарнира, меняются ее размеры и распределение по ней сил взаимодействия между носителем и грузом. В общем случае силовое взаимодействие между грузом и носителем в заданный момент времени может зависеть не только от сил и моментов, действующих на каждый из ЛА в этот момент времени, но и от силового взаимодействия в предшествующие моменты времени. Пренебрежем последним фактором и используем гипотезу квазистатического упругого взаимодействия:
— положение области контакта на поверхности шарнира, ее размеры и распределение по ней сил взаимодействия между носителем и грузом зависят только от сил и моментов, действующих на каждый из ЛА в тот же момент времени.
Эти предположения лежат в основе предлагаемой модели силового взаимодействия носителя и груза в шарнирных узлах крепления и позволяют корректно учесть это взаимодействие в уравнениях движения груза и носителя.
Обозначим через 5; множество точек области контакта поверхностей внутренней и внешней частей конструкции 1-то шарнира (рис. 1). Пусть точка ^ — элементарная площадка, содержащая точку М, — полная элементарная сила взаимодейст-
вия груза и носителя, приходящаяся на йЭ^М). Условно принимаем, что сила йЯ^М) действует на груз, тогда на носитель через ту же площадку действует сила —^Щ^М).
Уравнения движения груза и носителя, связанных в I узлах крепления, можно записать в следующем виде [1, ч. I]:
?=£. + £ +
/(В 7ш]--Ма + ^
1=1
й.=4г + г-
*^н “I- [«и, *^н ^н] н
(
Здесь /и — масса Л А, У — матрица моментов инерции, V — скорость
центра масс, ш — угловая скорость ЛА, Ра, Ма — соответственно главный вектор и главный момент активных сил (аэродинамических сил и силы тяги), действующих на ЛА, g — гравитационное
ускорение, г,, г1 н — радиус-вектор геометрического центра г-го шарнира относительно центра масс груза О и носителя Он соответственно, (М) — радиус-вектор точки М£Б1 относительно геометрического центра г-го шарнира (см. рис. 1); величины, относящиеся к носителю, отмечены индексом „н“; величины, относящиеся к грузу, записаны без соответствующего индекса. Здесь и далее точкой сверху обозначено дифференцирование по времени.
Каждое из уравнений движения центра масс (1.1) и (1.3) записано относительно некоторой инерциальной системы координат. Каждое из уравнений моментов (1.2) и (1.4) записано относительно связанной центральной декартовой прямоугольной системы . координат 0ЛУ2 или ОнХяУягн соответствующего ЛА, точки О и Он совпадают
аТ^м)
51
1 т2Я«.(Л0, (1.1)
[П/\ + ^(М), с1^{М)\, (1.2)
/=1 (1.3)
у ГГ^ + рДМ), (Ж)]. (1.4)
= 1
с центрами масс, плоскости ОХУ и ОнХнУн являются плоскостями симметрии груза и носителя соответственно.
2. Силы и моменты сил взаимодействия ЛА в шарнирных узлах крепления. Рассмотрим подробнее члены уравнений (1.1) — (1.4), обусловленные силовым взаимодействием ЛА в шарнирных узлах крепления. Для определенности остановимся на этих членах в уравнениях (1.1) и (1.2). Будем рассматривать сферический шарнир, хотя все рассуждения и формулы практически без изменений переносятся на случай цилиндрического шарнира.
Запишем с1Яг(М) в виде
<т1 (М)=аи1п (М) + ля,* (М), (2.1)
где (Л4) и йЯн(М) представляют собой нормальную и касательную к поверхности шарнира в точке М составляющие вектора
<//?г(Ж). Очевидно, что йЯн(М) есть не что иное, как элементарная сила трения, приходящаяся на площадку ^(М).
Для суммарной силы взаимодействия в шарнире имеем
ДО *#,(л*)== я,
где, очевидно,
йв==ДО<Й?/в(М),
5/
£|т=Я й$ь{М).
Отметим, что равнодействующая /?*„ нормальных составляющих сил взаимодействия проходит через центр шарнира.
Суммарный момент сил взаимодействия в шарнире с учетом (2.2) запишем в виде:
ДО [П + ьШ £,]+ Я 1Й(Л0. йКДМ)]. (2.5)
5. 5г
Используя (2.1) и учитывая, что
1(М)\\с1%ЛМ),
получим, что второй член в правой части уравнения (2.5) представляет собой момент Ми от сил трения в шарнире относительно центра шарнира
ж^ДО й, ^(^)]=ДОыл*), «ад. (2.6)
5» 5г
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Таким образом, момент сил взаимодействия в шарнире относительно центра масс груза записывается в виде
+ «/ймнй, £,„+/?*] +Я- (2.7)
Для носителя (уравнение (1.4)) соответственно получим
М, в== | Й „ +1 (Ж), (Ж)] = [7, Н) 4 + ^ ] + Я- (2.8)
5г
Для цилиндрического шарнира все приведенные выше соотношения остаются в силе после замены в них поверхностных интегралов криволинейными интегралами, представляет собой соответствующую дугу окружности, с£г— элементарную дугу, й?/?г(М)—полную элементарную силу взаимодействия, приходящуюся на
3. Силы и моменты сил трения в шарнирных узлах крепления. Поскольку дальнейшие рассуждения одинаковы для любого шарнира, индекс г у соответствующих величин опустим. Общие соотношения
будут выписываться для сферического шарнира, так как соответствующие соотношения для цилиндрического шарнира получаются заменой поверхностных интегралов криволинейными.
Пусть р{М), — вектор нормального давления в точке М
на поверхности той части шарнира, которая связана с грузом. По определению
откуда с учетом (2.3)
Я„ = я/(М)^. (3.1)
Поскольку все элементарные составляющие р(М)сЙ проходят через центр шарнира Ош, равнодействующая Я„ также проходит через центр шарнира (рис. 2). Но тогда, в соответствии с основными положениями контактной задачи теории упругости и в силу наличия осевой симметрии в рассматриваемой задаче силового взаимодействия в шарнире, распределение давления р(М) в области контакта 5 носит
осесимметричный характер, осью симметрии является #„[6—8]. Обозначая угол между осью симметрии (вектором У?п) и нормалью п к сфере в точке через 0, получим, проектируя соотношение (3.1) на
ось симметрии (см. рис. 2),
Я/>(0) соэб с?5 = /?„.
В любом направлении, нормальном к оси симметрии, составляющая равнодействующей сил давления равна нулю.
Решение соответствующей контактной задачи проводится в рамках предположения о линейной упругой связи между приложенной силой и перемещением. При этом условии, как следует из вывода- в [6] основного соотношения, определяющего деформации упругих тел в области контакта, |0|<я/2.
Используем третье предположение в п. 1 о квазистатическом характере силового взаимодействия ЛА в шарнирном узле крепления. Тогда, если считать, что сила задана, с помощью известного общего подхода в рамках контактной задачи теории упругости, можно найти распределение давления р(0){6—:8]. Поэтому в дальнейшем при получении общих соотношений для силы трения /?- и момента сил трения считаем распределение сил нормального давления р(М),
5 в области контакта известным.
Для определения & и Мг воспользуемся общепринятой схемой, согласно которой эти величины получаются суммированием элементарных сил и моментов сил трения, действующих на элементарные площадки в области контакта [4, 11].
В соответствии с законом Кулона на элементарную площадку около точки М действует элементарная сила трения
^ V (М)
где Аи(М)—вектор скорости точки М на рассматриваемой части шарнира, связанной с грузом, относительно другой, связанной с носителем, /с — коэффициент трения, принимаемый для всех точек М£5 постоянным. Суммарная сила трения (2.4), приложенная к грузу в шарнире, равна
ь. —л Я рт <3-2)
5 Д V (М)
Аналогично для момента сил трения относительно центра шарнира
(2.6) имеем
М-_-.
■-А? П Р№
5
Р (М) Д V (/И)
р ’ ДI» (М)
(15,
(3.3)
где р — радиус шарнира.
Заметим, что для вычисления элементарной силы трения могут быть использованы и пекулоновские законы трения [11]. Это приведет лишь к изменению подынтегральных выражений в соотношениях (3.2)
и (3.3). В дальнейшем для определенности ограничимся рассмотрением соотношений (3.2), (3.3), соответствующих кулоновскому закону трения.
Перейдем к определению относительной скорости АV в точках области контакта. Пусть 1 и 2 — две произвольные точки с радиуса-ми-векторами ги г2 относительно центра масс груза, rlIU г2н—относительно центра масс носителя (рис. 3). Используя известные выражения ДЛЯ скоростей Vi, Via, г — 1, 2 этих точек в их движении вместе с грузом и носителем соответственно [3], получим скорость груза в i-й точке относительно носителя:
Д vt = vt — vt н = V— VH + К rt) — [шн, гi н], г = 1, 2, (3.4)
где V, VH и о», шн — скорости центров масс и угловые скорости
груза и носителя соответственно.
Пусть точка 1 — некоторая точка, в которой Aui = 0. Тогда в любой другой точке 2 на основании (3.4)
Д v2 = [ш, г2 — г,] — К, н — Tj „]. (3.5)
Так как (см. рис. 3)
^2 н н — ^*2 ^\>
из соотношения (3.5) получим
Ди2 = [Д 0), к2 — гj], где относительная угловая скорость груза
Дш = <о — шн. (3.6)
Пусть точка 2 находится на сферической или цилиндрической поверхности в шарнире. Относительная скорость Ду2 в этой точке лежит в касательной плоскости к сферической или цилиндрической поверхности в этой точке (рис. 4). Следовательно, вектор г2—/ч лежит в плоскости П, проходящей через точку 2 нормально к сферической или цилиндрической поверхности. Поскольку точка 2 выбрана произволь-
но на соответствующей поверхности, точка 1 должна принадлежать любой плоскости П. Но этим свойством обладает лишь точка, совпадающая с центром сферы или лежащая на оси цилиндра. Следовательно, в качестве точки 1 надо взять центр Ош сферического шарнира или точку на оси цилиндрического шарнира. В результате окончательно получим
Д V (М) — [Д о», р (Ж)]. (3.7)
Формула (3.7) соответствует тому факту, что центром относительного вращения двух плотно прилегающих друг к другу сферических или цилиндрических поверхностей являются их общие центры.
4. Общая схема расчета связанного движения ЛА с учетом сил взаимодействия в шарнирных узлах крепления. На основании (1.1) —
(1.4), (2.2), (2.7), (2.8), (3.2), (3.3), (3.6) и (3.7) выпишем систему уравнений движения груза и носителя, связанных в I шарнирных узлах крепления:
Уш + К Уш]=Жа + 2 Й, £/я + Й*]+2А1<„ (4.2)
1=1 х = 1
+ (й«+йо, (4.з)
/Иц тн I = 1
^ 1 1 -Л + [“н) Л Шн1 = Ма н — ^ [г1 н, т] — 2 ■ М •:> (4.4)
г=1 /=1
где
л.й (4.5)
91 М) А VI (М() рг ’ Дг/г(Л*,-).
д^ (ж;) = [ДаГ, ;(.(ад,
Д (в = со — соц.
аз,
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Здесь индекс I означает, что соответствующая величина относится к г-му шарниру, точка Мг^^г- Формулы (4.5) и (4.6) для определенности выписаны для сферического шарнира.
К системе (4.1) — (4.8) необходимо добавить соотношение, связывающее нормальное давление р<(А?г) с нормальной силой
Л№ = Л(£,„). (4-9)
Конкретный вид соотношения (4.9) может быть получен из решения соответствующей контактной задачи теории упругости [6—8].
Система соотношений (4.1) — (4.9) нелинейна относительно членов, соответствующих силовому взаимодействию ЛА в шарнире. Нелинейность обусловлена следующими факторами:
1) нелинейной зависимостью размеров области контакта и
давления Рг(Мг) от [6—8]; _ ^ _
2) нелинейной зависимостью (4.5) и /Иг, (4.6) от вектора До;
3) нелинейной зависимостью /?,-т (4.5) и Мг- (4.6) от векторов рг(Мг). Из сказанного, следует, что нелинейность силового взаимодействия связана с силами и моментами сил трения в шарнирных узлах крепления.
При расчете движения ЛА, связанных в узлах крепления, с помощью уравнений (4.1) — (4.4) необходимо определить силы взаимодействия В узлах крепления = + - И МОМеНТЫ СИЛ ТрвНИЯ М1х .
Предположим, что узлы крепления выполнены как идеальные шарнирные опоры. Тогда
&т = 0, Л?,т = 0, (4.10)
и в системе (4.1) — (4.4) остаются только «идеальные» реакции К\п, которые линейно входят в эту систему. Если груз и носитель вращаются относительно общей точки или оси, то соответствующие соотношения для определения /?,■„ получаются из условия равенства ускорений этой точки или оси в их движении с каждым из Л А [1, ч. II], [12]. В случае статически определимых соединений груза и носителя такой подход позволяет найти реакции Яш [1, ч. II], [12]. Отдельные компоненты /?гп можно также найти и в частных случаях статически неопределимых систем [12].
Если учитывается трение в узлах крепления, то при наличии
однозначных связей Я1г==Яи(Я1п), /Игх — Ж(т(/?,„) [см. (4.5), (4 6), (4.9)] в принципе приходим к той же ситуации, что и в случае идеальных
шарнирных опор. Фактическое же определение сил и моментов
Ж,ч трения с помощью подхода, аналогичного описанному выше, становится неэффективным и, по-видимому, проблематичным вследствие отмеченной выше нелинейности системы соотношений (4.1)—-
(4.9) и достаточно сложной зависимости и Ж,-т от [см. (4.5),
(4,6), (4.9)].
Однако, как уже отмечалось во введении, силы трения /?/т и
моменты сил трения оказывают гораздо меньшее влияние на
движение ЛА, чем силы и моменты от этих сил. Согласно данным, приведенным в [2, 11], в рассматриваемых технических приложениях коэффициент трения составляет величину порядка /г~0,1 -=-0,01. Принимая здесь верхнюю оценку для /*, получим,
что силы и моменты сил трения относительно центра масс ЛА
Iг,, Ян], \г1п, /&т] на порядок меньше сил и моментов от этих
сил [гл /?/я], [ггн, /?,•„] соответственно. Что касается моментов сил
трения Мн (4.6), то за счет того, что радиусы шарниров рг на порядок и более меньше расстояний г,, г,„ центров шарниров от
центров масс ЛА, моменты сил трения Мпримерно на два порядка
6—«Ученые записки» № 3
81
меньше моментов [г0 Я1п], [г,н, /?гп] от сил Я1п и примерно на
порядок меньше моментов от сил трения относительно центров
масс ЛА \г1г /?;,], [г<н, /?/х]. Это соображение позволяет предложить эффективную итеративную схему учета сил и моментов сил трения. Положим в уравнениях (4.2), (4.4) в первом приближении
Жй = 0, г — 1, 2,-------I, (4.11)
и соответственно введем в систему уравнений (4.1) — (4.4) суммарные силы взаимодействия в шарнирных узлах крепления
й-Йй + Йх, * = 1,2,...,/. (4.12)
С учетом (4.11) и введением сил (4.12) система уравнений (4.1) —
(4.4) приобретает такой же вид, как и в случае идеальных шарнирных узлов крепления [см. (4.10)]. Поэтому для определения в первом приближении реакций можно использовать методы, предложенные в [1, ч. II; 12] для связанного движения Л А вокруг идеальных узлов крепления. _ '
После определения в первом приближении реакций /?4, с помощью
(4.5) и (4.12) определяются в первом приближении силы /?, - и
по следующей итеративной схеме, в начале которой принимается р(°)__В р(°)___о-
*\т —1\1 х —и*
== $°> = о-$!> = я,т(й«)-=я,-Ш- Ш=
= я,, (Яш) - =я, - Ш1 Ш=
= я, г (й«_1)) -> $№ = я,- - • • ■, (4.1 3)
где
$*> = & т (Й*"1»), *=1,2,... (4.14)
представляет собой оператор вычисления силы трения Я\к\ на м шаге по известной силе на предыдущем шаге с использованием
соотношений (4.5), (4.9).
Для оценки сходимости итеративного процесса (4.13) рассмотрим соответствующие соотношения на &-м шаге и положим
д = Ж' - Ш~1) — Я?1 + Я\к-Г1\ к = 1, 2, . . . , (4.15)
где Д Я\кгГ1)/Я?п~1) <С 1; в приводимых ниже рассуждениях можно считать 6=1,2... величинами порядка 1. На основании
(4.14), (4.15) имеем:
#(Д+1) - , (й«_1) + д я\п~])) - л х =,
ДЯЙ^+О (|ДЯЙ“,,Г), А = 1,2,..., (4.16)
/ <^«х
где через —~ \дЪп
д-<к~1)'
К1П
обозначена матрица 3X3 частных производ-
ных компонентов вектора /&х по компонентам вектора вычисленная с помощью соотношения (4.14) на £-м шаге. Можно показать, что для сферического и цилиндрического шарниров при выборе декартовой прямоугольной системы координат ОХУЕ так, что начало системы О совпадает с центром шарнира, ось ОЕ параллельна
вектору Я1п, а вектор Дш лежит в плоскости OYZ, вектор /&х, вычисленный согласно (4.5), имеет только одну ненулевую составляющую по оси ОХ, зависящую от Я1п. В результате в матрице
частных производных д#гх/д/?/л отлична от нуля только первая строка. Из соотношений (4.5) и (3.1) следует, что элементы этой матрицы имеют порядок /х. Тогда из соотношений (4.15) и (4.16) получим:
ЬШ ~/х Д А=1, 2, . . . (4.17)
Записыая ) в виде
Я\п] = $№ + (Ш1 - $?) + ($?.- ЙУ) + • • ■ + (ЯЙ° — Я£_1))
и используя оценку (4.17), устанавливаем сходимость итерационной процедуры (4.13). При этом на каждом шаге итерационного процесса
порядок малости добавки к и возрастает на единицу.
Заметим, что в предельном случае, когда область контактного
взаимодействия ^ стягивается в точку, а сила реакции /?г и ее составляющие и /&х превращаются в сосредоточечные силы
[3, 9, 10], предложенная итеративная процедура (4.13) может быть заменена конечными соотношениями, выражающими /?<л и /?; г не-
-—^ ►
посредственно через заданные векторы Дш и /?г.
После определения в первом приближении сил /?/л /?гх с помощью соотношения (4.6) находятся в первом приближении моменты
М-, х, г = 1, 2, , I. Найденные значения Мгх подставляются в
уравнения (4.2) и (4.4), определяются во втором приближении
реакции по схеме (4.13) находятся во втором приближении силы
#1п и вычисляются во втором приближении моменты ЛГ, Х и т. д.
Отметим, что описанная итеративная процедура включает два итеративных цикла: „внутренний11 (4.13), связанный с определением
сил Я1п и Я/х по известной реакции с помощью соотношения
(4.5), и „внешний11, связанный с уточнением реакции /?г в зависимости от моментов Ж/х- Между указанными циклами имеется существенное различие. Во внутреннем цикле (4.13) итерации происходят по силе /?, х, которая меньше и Я1п на порядок. Во внешнем же цикле итерации производятся по моментам М.1 х, которые на два порядка меньше основных моментов [г,-, /?,], [г/н, #;]• В ре-
зультате выполнение итерации по М^ приводит к уточнению /?; и
Я1п на величины второго порядка малости, а /?гх— на величины третьего порядка малости. Следовательно, на практике можно, по-видимому, без ущерба для точности проводимых расчетов отказаться от проведения внешнего итеративного цикла. Что касается внутреннего цикла, то в нем, как было показано выше, на каждой
—► —>
итерации порядок малости добавки к /?/п и /&, возрастает на единицу. Поэтому и здесь можно ограничиться проведением лишь первого шага: определить по найденной в первом приближении
реакции /?, с помощью соотношения (4.14) силу трения /?(Л’ = /?/, (/?() и нормальную составляющую
Для практического использования предложенной схемы расчета разворота двух «ПА относительно общих шарнирных узлов крепления с учетом особенностей силового взаимодействия в этих узлах необходимо располагать простым и достаточно точным способом вычисления СИЛ Яг х по соотношению (4.5) и, ВОЗМОЖНО, моментов Мг-. (4.6) сил трения в узлах крепления. Эффективное приближенное решение этой задачи может быть получено путем использования простых зависимостей (4.9), аппроксимирующих точные решения соответствующих контактных задач теории упругости [6—8]. Подробное рассмотрение этого вопроса выходит за рамки настоящей статьи и будет проведено отдельно.
Автор выражает признательность В. И. Бирюку, В. В. Демешки-ной и А. П. Леутину за обсуждение вопросов, связанных с постановкой рассмотренной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Демешкина В. В., Ильин В. А., Леутин А. П. Некоторые особенности процессов разделения летательных аппаратов вблизи момента разрыва связей, ч. I, ч. II. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. XI, № 4, № 5.
2. Колесников К. С., Козлов В. И., Кок у ш кин В. В. Динамика разделения ступеней летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1977.
3. Лойця некий Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики.— М.: ГИТТЛ, 1955, т. I, т. II.
4. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. — М.: Наука, 1975.
5. Д и м е и т б е р г Ф. М. Теория пространственных шарнирных механизмов.—М.: Наука, 1982.
6. Ш таерман И. Я- Контактная задача теории упругости.—
М.—Л.: Гостехиздат, 1949.
7. Бондарева В. Ф. Контактные задачи для упругого шара.—
ПММ, т. 35, вып. 1, 1971.
8. Бондарева В. Ф. Контактные задачи для сферы.—В кн.: Развитие теории контактных задач в СССР, гл. 3, § 6.—М.: Наука, 1976.
9. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. I — М.: Наука, 1965.
10. Аппель П. Теоретическая механика, т. I, т. II. — М.: Физ-матгиз, 1960.
11. Крагельский И. В., Добычин М. Н., Комба-лов В. С. Основы расчетов на трение и износ.'—М.: Машиностроение,
1977.
12. Леутин А. П. Об определении системы сил реакций в шарнирных узлах крепления летательных аппаратов при их разделении.— Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 4.
Рукопись поступила 27/V 1983 г.
