CC BY
72
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIX
198 8
№ 3
УДК 629.7.015.075.6
СИЛА ТРЕНИЯ И МОМЕНТ СИЛ ТРЕНИЯ В ШАРНИРНЫХ УЗЛАХ КРЕПЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ ОТ ДАВЛЕНИЯ
Получены соотношения для расчета силы и момента сил Мх кулоновского трения в сферическом и цилиндрическом шарнирах с учетом распределенного по области контакта 5 силового взаимодействия связанных в шарнире двух тел и зависимости коэффициента трения от давления в области контакта. Для сферического шарнира приведены результаты расчета безразмерных функций, учитывающих влияние указанных эффектов на связь между ЛГХ и величиной нормальной составляющей си-
лы реакции в шарнире (сжимающей силы) Яп, при произвольном угловом размере 5 и произвольной взаимной ориентации вектора относительной угловой скорости Дм связанных в шарнире тел и Яп. В случае сферического шарнира для указанных функций представлены точные аналитические результаты: при ортогональности векторов Дм и /?„ — в виде быстросходящихся рядов и интегралов от эллиптических интегралов, при коллинеарности векторов Д<о и Дп и максимальной области контакта — в конечном виде. В случае цилиндрического шарнира получены аналитические конечные соотношения между #Х) Мт и величиной Яп.
В [1] предложена модель реального силового взаимодействия двух твердых тел, в дальнейшем называемых «носитель» и «груз», в шарнирных узлах крепления при их развороте относительно этих узлов, учитывающая распределенный по области контакта «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира характер этого взаимодействия. С использованием закона Кулона для элементарных сил трения получены следующие формулы для силы трения и момента сил трения
Здесь 5 — область контакта поверхностей «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира; 5 — текущая точка области контакта, р(М) — нормальное давление в точке М;
В. А. Ильин, А. П. Леутин
— вектор скорости точки М части конструкции шарнира, связанной с грузом, относительно той же точки на части конструкции, связанной с носителем, Ди (М) = | До|; Дю — угловая скорость груза относительно носителя; р(М)—радиус-вектор точки М относительно геометрического центра шарнира Ош; Р=|Р'(-М)|—радиус шарнира, /т (М)—коэффициент трения.
В предположении^ постоянства коэффициента трения /х и приближенных зависимостей для распределения давления по области контакта [2] в рамках указанной модели вычислены /?т и Мт в цилиндрическом [2] и сферическом [3, 4] шарнирах.
В [3] отмечена возможность обобщения основных результатов из [2—4] на случай учета зависимости коэффициента трения от давления р и величины относительной скорости Ли в зоне контакта [5, 6]. В некоторых задачах, связанных с разворотом твердых тел или их частей относительно общих шарнирных узлов крепления |[2], значения А и невелики и не превышают величин порядка 0,1—1 м/с. В то же время давление р может изменяться от нуля на границе области контакта до значительных величин в центре области контакта. Поэтому можно ограничиться учетом зависимости /- от давления р. В этом случае коэффициент трения равен {5, 6]
/*=/? + -£-. (0.3)
где /х°, А — постоянные для данной пары соприкасающихся тел; величина А характеризует сцепленность соприкасающихся в зоне контакта тел.
Оценки с использованием численных значений величины А [6] показывают, что член А/р (в 0.3) может быть соизмерим с членом /?• Поэтому вычисление /?х и Мт для зависимости (0.3) представляет не только теоретический, но и практический интерес.
1. Сила трения и момент сил трения в сферическом шарнире. Вычислим силу трения /?г и момент сил трения М~ для зависимости (0.3), следуя основным положениям работ [3, 4] (рис. 1). Векторы /?-и задаются своими проекциями на оси декартовой прямоугольной правой системы координат ОХУ2: начало системы О совпадает с центром шарнира Ош, ось OZ направлена из точки О в точку А первона-
Рис. 1
чального касания «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира; вектор лежит в плоскости ОУ1 и составляет с осью ОУ угол а,
виден со стороны оси ОХ происходящим против часовой стрелки.
Части конструкции шарнира, относящиеся к грузу и носителю, сжимаются в точке А нормальной составляющей силы реакции в шарнире /?„; сила /?„ параллельна оси ОЛ и принимается положительной, если она приложена к грузу. Картина контактного взаимодействия является симметричной относительно оси OZ. В сферической системе координат Оpц)Z (см. рис. 1), где угол ф отсчитывается в плоскости ОХУ от оси ОХ, угол 0 отсчитывается от оси 01, радиальное расстояние р фиксировано и совпадает с радиусом шарнира, область контактного взаимодействия 5 представляет собой сферический сегмент
Вследствие осесимметричного характера контактной задачи распределение давления по области 5 (1.1) имеет вид [2]
где р(0)—монотонно убывающая непрерывная при 0е{О, 0О] функция, удовлетворяющая условию квазистатического равновесия
0о соответствует границе области контакта: р(00) ==0.
При вычислении /?г и М-. используются приближенные зависимости для распределения давления (1.2) по области контакта (2]:
Р (0) ==* /^2 (60) (С05 в — СОБ 0О) =/»2 (0О) (9) , р (6) — соэ 6 сое 0О. (1.5)
Коэффициенты р-я(0о), £== 1, 2 определяются при заданной величине /?п из условия (1.3), которое запишем в виде
Из общих соотношений (0.1), (0.2) с учетом (0.3) получим [3]
|а|<—; при а>0 поворот от Ай> к оси 02 на наименьший угол —--------а
2 2
5:Р=//х, 0<6<60) О<0о< —
, 0<?<2іс. (1.1)
р — Р (®) , О<0<0,
(1.2)
0О 2іс
(1.3)
О 0
Р (0) = Рх (во) сов б =Рі (в0) р (0), р (0) = сов 0
(1.4)
(1.6)
где
в0
/о (0О) == | | р (0) соэ 0 віп 0 й?0 с/ср =
о о
(1 — сов3 0О) для (1.4),
О
(1.7)
~ СОв 0О + -у- сов3 0О| для (1.5) .
ЯХ(0О, а) = -//°ргрг(бо)/(0о> а), /=1,2, (1.8)
М* = -/?Р3 Рі (в0»ІУ 1 (ео> + (в0. «)]. .¿=1,2, (1.9)
где
9« 2я
/(6°’ “)= / I [/?(9) +
ПР1 (во)
1
Дг» (а, 0, <рУ
(СОБ а сов б
о о
вт а вт б з!п <р) эт 0 ¿6 ¿ср , ¿=1,2;
(1.10)
0л 2тс
J( в,
/»(в)
/> (во)
о о
Дс/ (а, 0, <р)
б (/б ¿9, ¿=1, 2 ;
^сов а (1 — эт2 б • вт2 <р) — (1.11)
в» 2х
К (00
о о
Р (0) + Тб' ;
/- Р1 (во)
э1 п а эШ2 б
Дг; (а, 0, ф)
— сов а вт 29 з1п ср ^ з1п 6 г/0 ¿/<р , ¿=1,2.
(1.12)
В (1.9) - (1.12) Дг» (а, б, ?) -
Дг/
Дсор
1 — СОЭ2 а ЭШ2 б БШ3 <р — ЭШ2 а СОЗ2 б —
\ 1/2
вт 2а вш 20 81п <р ,
(1.13)
¿, у, к — орты осей координат ОХ, ОУ, 0Z соответственно.
Следуя [3] и используя (1.6), (1.8) — (1.13), представим /?т и Мх через Яп. С учетом двучленного вида первого сомножителя в подынтегральных выражениях (1.10) — (1.12) получим
—¿[/°Ял*(0о, а) + Лр*/'(0о, «)] ,
М^ = — р \j\ARnay (б0, а) +Лр2У'(60, а)] + + *[//?„», (во. «) + Лр2/С'(0о,«)]},
где
/° (00. «)
Г (в0, «)
*(6о> «)— Уо(6о) . °у (®о> ®) /о(6о)
. °Л0О. а);
А:°(вр, а) /о (во)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Здесь /°, /°, /(°— интегралы, получающиеся соответственно из (1.10), (1.11), 0.12) заменой первого сомножителя в подынтегральных функциях на р(0);
Г (У°, К°) = 1 (У, /С) при замене ** ' А
Р(*) +
f-.Pi (в0)
/7(0); (1.17)
/', /С' — интегралы, получающиеся соответственно из (1.10), (1.11),
(1.12) заменой первого сомножителя на 1:
Г (У', К') — I (У, К) при замене
Р (6) +
f-.Pl (во)
1. (1.18)
При предположении /т = const в области контакта S имеем А — 0 и приходим к случаю, рассмотренному в [2—4]. Функции (1.16) подробно исследованы в работах [3, 4].
Интегралы Г (60, я), J'(6, а) и К' (6, а) (1.18), как и функции
(1.16), определены в области
Г={0<60<-^, —(1.19)
В области Т эти функции обладают следующими свойствами: а) Г, К' непрерывны всюду в Т (для Г, J' — отличие от поведения
х, Оу в точках 0о=О, а= + ~
б) при 0о=fix /', 1' являются четными функциями а, a К' — нечетной функцией а (аналогия с поведением функций (1.16) [3]);
в) для предельного случая точечного контакта при 0О—>~+0
Г (0О = 0, а) = 0, J' (0О = 0, а) = 0, К'(60 = 0, а) = 0 (для /', J' — отличие от поведения х, ау при б0 -»■ + 0 [3] ).
Отметим, что аналогия в свойствах /?т и М- для случаев Д = const и fz — fT(p) (0.3) обусловлена одинаковой зависимостью подынтегральных выражений в соответствующих интегралах /°, /°, К°
(1.17) и Г, J', К' (1.18) от ф и а [3]. Различие же в свойствах интегралов '/', J', К.' и функций (1.16) следует из отсутствия в подынтегральных
выражениях для Г, J', К' множителя /?(0), который входит в подынтегральные выражения для /0, Г, /°, К° и при 0о->-+О превращается в ô-функцию [2].
2. Вычисление интегралов Г (0О, a) J' (0О, а) и К' (0Л, <*) при произвольной взаимной ориентации векторов Д<о и R„. Интегралы I' (0О, a), J' (0О> а) и К’ (00, “) (1.18) таковы, что получение точных аналитических соотношений для них во всей области Т (1.19), по-видимому, невозможно. Исключение составляют участки границы области Т.
Кроме случаев, рассмотренных в [3, 4], указан еще один случай: 0О= -у,
|а|<!-у- (см. раздел 3).
В силу отмеченного выше свойства б) при изучении интегралов Г, J', К' (1.18) можно ограничиться частью области Т (1.19), соответствующей значениям 0, -у- • Значения интегралов Г (0О, a), J' ©о, а)
и К' (0О, ®) в области Т (1.19) при вычислялись на ЭЦВМ
2
БЭСМ-6 с использованием метода трапеций по каждой переменной 0 и
0
ф. Шаги интегрирования по 0 и ф принимались равными: А 0 = ^ ^ >
Дер = Т^~. Время вычисления каждого варианта интеграла составило
около 8 минут. Исключение точек, в которых Аи = 0, проведено аналогично [4]. Сравнение результатов расчетов с точными значениями интегралов, полученными аналитически (см. раздел 3) и полученными путем уменьшения шагов интегрирования, дает основание полагать, что в представленных результатах пять значащих цифр являются верными.
Результаты расчетов интегралов Г, J' и К' приведены в табл. 1—3 и на рис. 2—4.
І' (бо. “)
\ а в0\ 0 10° О О сч О О со 40° СЛ о о 60° 70° 00 о о 90°
10° 0,095 0,095 0,095 0,095 0,095 0,095 0,094 0,092 0.081 0
to О о 0,373 0,373 0,372 0,371 0,369 0,365 0,354 0,320 0,182 0
СО о о 0,813 0,812 0,809 0,802 0,791 0,767 0,704 0,518 0,271 0
40° 1,378 1,375 1,365 1,345 1,305 1,214 0,986 0,685 0,350 0
сл о о 2,023 2,015 1,990 1,936 1,820 1,555 1,211 0,826 0,418 0
о О 2,688 2.670 2,612 2,479 2,188 1,812 1,390 0,940 0,474 0
о О t"- 3,302 3,266 3,136 2,834 2,441 1,996 1,520 1,023 0,514 0
о О 00 3,780 3,702 3,423 3,037 2,591 2,107 1,599 1,074 0,539 0
90° 4 3,838 3,514 3,104 2,641 2,145 1,625 1,091 0.548 0
Таблица 2
Г (В0, а)
0 1 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
10° 0,095 0,095 0,095 0,095 0,095 0,095 0,094 0,092 0,081 0
20° 0,373 0,373 0,372 0,371 0,369 0,365 0,355 0,321 0,185 0
30° 0,814 0,813 0,810 0,804 0,793 0,770 0,711 0,533 0,282 0
40° 1,386 1,383 1,374 1,355 1,319 1,237 1,028 0,730 0,378 0
50° 2,051 2,044 2,022 1,975 1,877 1,651 1,324 0,924 0,474 0
60° 2,769 2,755 2,709 2,606 2,378 2,041 1,613 1,116 0,570 0
70° 3,504 3,479 3,389 3,180 2,853 2,421 1,899 1,307 0,666 0
80° 4,230 4,185 4,022 3,731 3,319 2,797 2,184 1,497 0,761 0
90° 4,935 4,860 4,637 4,274 3,780 3,172 2,467 1,688 0,857 0
Таблица 3
К' (в0, «)
\ я е0\ 0 10° 20° О О СО О О 50° 60° 70° 80° 90°
10° 0 0 0 0 0.001 0,001 0,001 0,002 0,005 0,011
to о о 0 0,002 0,004 0.007 0,010 0,014 0,021 0,036 0,071 0,087
о о СО 0 0,010 0,021 0.034 0,049 0,072 0,112 0,194 0,260 0,285
О о 0 0.032 0,066 0,106 0,157 0,237 0,381 0,519 0,613 0,646
50° 0 0,076 0,159 0,257 0,395 0,619 0,847 1,033 1,№3 1,195
О 8 0 0,156 0,327 0,545 0,867 1,203 1,502 1,734 1,880 1,930
О О 0 0,286 0,617 1,061 1,526 1,958 2,323 2,600 2,770 2,829
Оо О о 0 0,501 1,105 1,727 2,315 2,836 3,266 3,586 3,783 3,849
О о 0 0,857 1,688 2,467 3,172 3,780 4,274 4,637 4,860 4,935
5—«Ученые записки» № 3 65
Рис. 2
Рис. 4
3. Точные аналитические результаты для сферического шарнира при ортогональности (а=0) и коллинеарности ja = 4:-yj векторов Дсо
и Rn и максимальной области контакта ^ 90 = y-j . Следуя работам [3, 4], вычислим интегралы /'(Эо, а), /'(0о, а), /('(Оо, а) (1.18) и их производные по а при а = 0 и а=±у. Для исключения особенностей в этих интегралах, обусловленных наличием в области интегрирования (1.1) при 0 — —“ и 0 = 0 точек, в которых Дг»=0, воспользуемся указанным в [3] приемом. Положим соответственно
0<в0<у--е, e<e0<-í-, (3.1)
где е>0 малая величина, и примем, что а меняется в таких малых
окрестностях значений а = 0 и а=±-^, так что в области интегрирования по 0 и ф (1.1) нет точек, в которых Дг> = 0. При этих условиях к рассматриваемым интегралам применимы теоремы о непрерывности и дифференцируемости по параметру а [7, т. II]. После вычисления этих
интегралов и их производных по а при а = 0 и а— ± ~ обосновывается возможность предельного перехода е —>-+0 и справедливость полученных соотношений во всей области О<0о<— .
2
Поскольку Г, ]', К' (1.18) отличаются от соответствующих интегралов Г, ]°, К° (1.17) только не зависящим от а и ф множителем р(0) в
подынтегральной функции (см. п. 1), окончательные результаты этих вычислений получаются из приведенных в п. 2.3 работы {3] интегралов подстановкой в них р(0) = 1.
Случай а=0. Случай ортогональности векторов Д<о и Rn
имеет важное практическое значение: он соответствует развороту носителя и груза в их общей плоскости симметрии.
При а=0 из (1.10) — (1.12) получим
во 2*
/' (0О, а = 0) — Г f eos =dbdf, (3.2)
40 ' J J V 1—sin* 0 sin* у т ’
о о
во 2п ________________
/ (90, a = 0) = jj ]/1 — sin* 0 sin2 tp sin 0 d0 d<? , (3.3)
o o
.*'(00, а = 0)=^ (в„, a = O) = ^(0o, « = 0) = 0, (3.4)
Oa óa
во
2£'(«„«=0)=f f-------------511116 to"’< did,. (3.5)
da V0 ’ J J (1 — sin*0 Sin3<p)3/2 т v '
o o
Равенства (3.4) аналогичны соответствующим равенствам для интегралов /°, /°, К° (1.17) [3].
Интегралы (3.2), (3.3), (3.5) не выражаются через элементарные функции. Разложим иррациональные множители подынтегральных функций (3.2), (3.3), (3.5) при условии sin3,0-sin2q><l (см. (3.1)) в равномерно сходящиеся ряды по степеням (sin2 0• sin2 ф)m, m = 0, 1, 2,...,. и почленно проинтегрируем ряды подынтегральных функций [7, т. I]. В результате с использованием известных формул [8, стр. 383] получим:
/'(0О, а = 0)= 2 1т (6о) >
т= о
где
/' ífi \ _ [ (2/и—І)!!]2 sin2m+2е0
т( о) 2 [ (2/я)Н ]2 2/и+ 2 ’
(3.6>
(3-7)
при т = 0 в (3.7) надо формально положить (2т— 1)!! = 1; ряд (3.6),.
(3.7) сходится при sin2 0 • sin2ф = 1, т. е. при 0О=-^-,в чем можно убедиться, если (3.2) в результате интегрирования по 0 представить в виде
2it
/'(»„, *=0)=j
О
со
J'(90, а = 0)=£ Jm (в0) ,
(3.8)
т— О
где
Jm (в0) =
т
п_ (2т — 3)1! (2т-1)11 /_іч*+і pk (cos 9)^+1
[ (2m)!!]2 ¿J ' ' 2k+l
к-О
/ге >2;
(3.9)
при т=0, 1 в (3.9) надо формально положить (2т— 3)!!=(—1)‘т+1, при т = 0—(2т—1)!! = 1; ряд (3.8), (3.9) сходится при 5т20-эт2ф= 1,
т. е. при 0О= ;
д К'
да
(.„,« = 0)=£ (f (90)
(3.10)
/72=0
где
(^<4=
т + \
п (2/и+1)П (2/и —1)!! yi (_л\к+\ Гк (eos 6)2ft+1 ~~2 [2/и!!]2 (2/и -j- 2) ¿J ^ ' m+l 2k
2k + 1
да> 1 (3.11)
при т = 0 в (3.11) надо формально положить (2т—1)!! = 1.
Полагая в (3.7), (3.9) и (3.11) 0о=-у, получим (применяя в (3.9), (3.11) при интегрировании по 0 известную формулу [8, стр. 383]):
2ж [(2/п-1)!!]2
2/я+ 2 [(2/и)!!]2
, Ш >1; (3.12)
л,(Ч=^)=2«, а(*.=-!-)—-1-.
(3.13)
у;/б0 = —) = —2и -I2-”--3).!'- , те > 2;
\ 2 ) 2т\\(2/га-(-1)
_А„, («7в>_ м\ =2,-^.Ч" ,
\ Л* \ 0 2 / /о 3 \ да \ 0 2 I }т 2т!!(2/и + 3)’
т>1. (3.14)
Поскольку величины 1т (60) (3.7), ]т (0О) (3.9) и (60)) (3.11) при
\ да /т
мажорируются соответствующими величинами (3.12)—(3.14^
из сходимости рядов (3.6), (3.8), (3.10) при 0О = — следует равномерная сходимость этих рядов и соответственно непрерывность интегралов (3.2), (3.3), (3.5) в промежутке 0о(;|о, — о! (установле-
дкг
ние этого свойства существенно для —-^-(0О, а = 0); для/'(0о, а = 0)
да
и У' (б0, а = 0) оно следует непосредственно из того, что интегралы (3.2), (3.3) при = являются собственными).
Ряды (3.6)—(3.11) по своей структуре аналогичны соответст-
дК°
вующим рядам для интегралов /°(0О, а = 0), У°(0О, а = 0)и —— (0О,
да
а = 0), рассмотренным в [3, 4]. Они характеризуются достаточно быстрым убыванием их членов. Поэтому практически приемлемые
дК'
приближенные выражения для /'(0О, а = 0), У'(0О, а = 0) и —~ (0О,
да
а = 0) можно получить, если в этих рядах удержать первые два или три члена (см. конец раздела 3). Заметим, однако, что при
А0<С-^- с ростом т сильно возрастает громоздкость окончатель-
ных выражений для Ут(0о) и (-^-(0ОИ
\ да J,
Интегралы (3.2), (3.3) и (3.5) сводятся к интегралам от эллиптических интегралов. Выполняя в (3.2), (3.3) интегрирование по <р, получим
во
/г (в0, а = 0) — 4 J AT(sinO) cos 0 sin 0 db, (3.15)
о
К
У' (0О, а = 0) = 4 j Е (sin 0) sin 0 db ; (3.16)
о
здесь K(k), E(k)—соответственно полные эллиптические интегралы первого и второго рода, k — модуль эллиптических интегралов [8].
Подстановкой & = sin0 интеграл (3.15) сводится к табличному ([8], стр. 640):
*0
/'(00, <Х = 0) = 4 J K(k) kdk = i [E(k0)-k02-K(k0)\ ,
о
где 60 = sin60, k0 = cos 0O. При 0O =получаем:
шах /'(60, a) = W60 = -i- , a=o) = 4. (3.17)
{во, «}бг \ 2 /
Интеграл (3.16) подстановкой & = cos0 преобразуется к виду
1
У'(0О, a = 0) = 4 j E(k')dk, (3.18)
cos 90
где k' — У 1 — k2 — дополнительный модуль эллиптических интегралов. Интеграл вида (3.18) через эллиптические интегралы в конечном виде не выражается, его значения в справочной литературе
приведены лишь при 0О = , cos60 = 0, для которого [8, стр. 651]
/ E(k')dk=Y . (3.19)
О
На основании (3.18) и (3-19) получим:
шах У'(60, а = 0) = У' (ь0 = — , a = o\ —— -4,935 . (3.20)
{во.«} 6 г \ 2 / I
Случай До> ]| Rn, a = + -^-. В случае коллинеарности векторов
До) и Rn эффект трения соответствует трению верчения; для интегралов Г, У', К' и их производных по а получаются точные достаточно простые результаты [3]. Имеем из (1.10)—(1.12):
/ (б0, « = + -у-) = -/'(6о, « = ±-у)-0, (3.21)
К’ (6о> a = ± y) ^ s*gn а u (е0 — !!5|®£) , (3.22)
— (^б0, а=+— ) =— signа-тг-sln0О, (3.23)
да \ 2 /
^.(^0О, а= ±-yj =—signa.7t.0o, (3.24)
f(e- — ±т)-°- (3-25>
Соотношения (3.21) — (3.25) аналогичны соответствующим соотношениям, приведенным в [3].
Случай произвольной ориентации векторов До» и Rn при максимальной области контакта 0О= Интегралы Г, J', К' (1.18) зависят
только от распределения скоростей Дг> в области контакта. Введем наряду с областью контакта 5 область S', симметричную S относительно центра шарнира. Вследствие симметрии в распределении Д® по S и S'
интегралы /', К' по 5' совпадают с интегралами К! по 5; интеграл Г по Б' совпадает по величине, но отличается знаком от интеграла Г
по 5. При 0о=-у- область 5' дополняет 5 до полной сферы. Из сказанного следует, что
У'(ео=Т’ в)"т у,(е0 = ^а)> *'(6о~Т’ “) =
= 4“ ^ (®о = *.«), (3-26)
где У'(0о = ?г, а), К'(Ъй = к, а)—интегралы У' (0О, а), К' (0О, а) в пределах от 0 = 0 до 0 = тс. Интегралы У'(0о = 1г, а) и /С'(0о = тс, а) можно рассматривать как соответствующие проекциям на оси У и Z суммарного момента сил трения, вычисленного при условии равномерного распределения давления по всей сфере (р(Ь)~ 1, О<;0<>). Интеграл, определяющий (аналогично У', К') величину этого момента, в силу центральной симметрии подынтегральной функции не зависит от ориентации вектора Дш. Поэтому при его вычислении ось Z удобно совместить с вектором Дю, что соответствует случаю верчения. Тогда согласно (3.21), (3.22), (3.26) величина указанного интеграла
Я'(0О = *, а = -^)=2/Г' (0О = ^- , « = -=-) = **. (3.27)
В рассматриваемом случае вектор суммарного момента сил трения направлен противоположно вектору До>. На основании сказанного с учетом (3.26), (3.27) окончательно получим
Г (е° = Т ’ “) = Т с08а’ к' (6° = Т ’ а) = т 8{па‘
Полученные выше точные значения /'(0О=-^-,а=0) (3.17) и
У'(0О=—, а = 0) (3.20) были использованы для контроля точности результатов численных расчетов (пункт 2) и для оценки необходимого числа членов, удерживаемых в рядах (3.12), (3.13) для получения
приемлемой ТОЧНОСТИ. При 0о=— с учетом первых трех членов в (3.12),
(3.13) получаем
/'(б 0 = -у, « = о)~* (1 +^- + ±^3,682; (3.28)
У'(0О = ^-, а = 0)*2«(1—1__^5,079. (3.29)
I
Сравнивая (3.28), (3.29) соответственно с точными значениями (3.17) и (3.20), видим, что ряд для /' характеризуется несколько лучшей сходимостью, чем для /'; это аналогично отмеченной в [4] более быстрой сходимости ряда для ау(0о, а = 0), чем для х(0о, а = 0).
4. Сила трения и момент сил трения в цилиндрическом шарнире.
Следуя работе [2], под цилиндрическим шарниром будем понимать его сечение одной из плоскостей, нормальных к вектору угловой скорости груза относительно носителя Дю; вектор Дм коллинеарен оси шарнира.
Сила трения и момент сил трения заданы своими проекциями на оси декартовой прямоугольной правой системы координат ОХУ! (рис. 5), аналогичной соответствующей системе для сферического шарнира (см. п. 1 и рис. 1): начало системы О совпадает с центром шарнира Ош; ось ОI направлена из точки О в точку А первоначального касания «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира; ось О,У параллельна вектору Ды; плоскость 0X1 совпадает с плоскостью шарнира.
Части конструкции шарнира, относящиеся к грузу и носителю, сжимаются нормальной составляющей силы реакции в шарнире /?„, проходящей через точку Л; сила /?„ принимается положительной, если она приложена к грузу.
Картина контактного взаимодействия является симметричной относительно оси 01. Введем угол 0, отсчитываемый в плоскости ОХХ от оси 01 к оси ОХ (см. рис. 5). Область контактного взаимодействия 5 представляет собой дугу
5: -0о<е^ео, О<0о<^- . (4.1)
Распределение давления р = р(0) по области контакта 5 (4.1) представляет собой четную непрерывную монотонно убывающую с ростом 101 функцию, удовлетворяющую условию квазистатического равновесия
р Г р (0) СОБ0-Й0 = /?Л .
-00
(4.2)
Для приближенных зависимостей (1.4), (1.5) соотношение (4.2) перепишем в виде (см. (1.6), (1.7))
где
+90
/о(во) = / Р (6) cos 6 dB
рМ0о)/о(во) = Яя, (4-3)
60 + cos6o-sin9o для (1.4),
60 — cos 60-sin 0О для (1.5) .
Из общих соотношений (0.1), (0.2) с учетом (0.3) получим [2]
Rz = — i fi?Pt (0О) /(0О). Mv = — j ft?1 Pi (0O) J (0O). 1 = b 2> (4-4)
где
-Ho
/ (во) = j [/>(9)
— Bo
+ 0q
-/ (во) = j [P(«)
A pi (во)
A Pi(во)
cos 0 dft ,
dB .
, ¿ = 1,2. (4.5)
Как и в п. 1, используя (4.3) —(4.5), представим Rz и М-. через /?„: Rz — — i {f Rn+Ap 2sin 0O) ,
M.—j? [/:./?па(0о) + ЛР20о] ,
где (см. [2])
(во) —
2sin 0О
в0 + cos в0 sin 0О
2 (sin 0О — 0О cos в0) в0 — cos 60 sin в0
для (1.4) , для (1.5) .
При /т = const в области контакта полагаем Л = 0 и получаем результаты, приведенные в '[2].
Полученные в работе результаты вместе с результатами, приведенными в [2—4], дают всю необходимую информацию для расчета силы и момента сил трения в сферических и цилиндрических шарнирах при учете зависимости коэффициента трения от давления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В. А. Учет реального силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления при расчете связанного относительного разворота двух летательных аппаратов. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15 № 3.
2. И л ь и н В. А. Сила трения и момент сил трения в шарнирных узлах крепления при развороте двух летательных аппаратов относительно этих узлов, ч. I — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 3.
3. Ильин В. А. Сила трения и момент сил трения в шарнирных узлах крепления при развороте двух летательных аппаратов относительно этих узлов, ч. II. Сферический шарнир. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 1.
4. И л ь и н В. А., И с т о м и н Н. А., Л е у т и н А. П. Численное и аналитическое исследование силы трения и момента сил трения в сферическом шарнире. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 1.
5. Артоболевский И, И. Теория механизмов и машин. — М.: Наука, 1975.
6. Крагельский И. В., Добычин М. -Н., Комбалов В. С. Основы расчетов на трение и износ. — М.: Машиностроение, 1977.
7. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, т. I, т. II. — М.: Высшая школа, 1973.
8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1962.
Рукопись поступила 9/1 1987
