CC BY
85
УДК 531.44-46
Ю.П. Смирнов, д-р техн. наук, проф., 84872351869, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ОБ ЭФФЕКТАХ ТРЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОМ ШАРНИРЕ
Показано, что в шаровом шарнире модуль силы трения скольжения и модули моментов трения скольжения и верчения зависят от взаимного расположения оси вращения тела и центра давления пятна контакта звеньев. В случае Эйлера главная ось тяжелого тела с наибольшим моментом инерции стремится приблизиться к вертикали. Задача обобщена на случай вращения опоры.
Ключевые слова: шаровой шарнир, пятно контакта, коэффициенты трения.
Приведение сил трения к центру шарнира. Рассматривается тяжелое твердое тело, свобода движений которого ограничена шаровым шарниром радиуса г. Предполагается, что зазор между звеньями отсутствует и в шарнире развивается трение. Контакт звеньев осуществляется по площадке, называемой пятном контакта, причем форма и размеры пятна, а также распределение давлений в нем неизвестны. Естественно считать для однородных изотропных материалов звеньев форму пятна круговой, а распределение нормальных давлений вокруг центра пятна осесимметричным. Размеры пятна определим угловым радиусом а0, а давление вдоль радиальной координаты а полагаем распределенным по закону косинуса п = По соз(атс /2а о). Модуль главного вектора нормальных давлений в пятне N (нормальной реакции опоры) определится выражением
2 а°
N = 2nr n° J sin а cos а cos 0
с \ ап
2а
dа.
Интеграл в этом соотношении обозначим символом h
а0
h = J sin а cos а cos 0
í \ ап
dа =
2а°(пsin2а° - 4а°)
2а ° ) п2 — 16а °
Силы трения, действующие в пятне, можно привести к главному вектору Ф , модуль которого определится выражением
Í \ ап
V 2а °)
(cos а sin у — sin а cos у cos Р^аdp
N h 11---------------------------------------/ Uy 2---------------, (1)
N 0 0 д/1 — (cos а cos y + sin а sin у cos в)
и к главному моменту, приведенному к центру шарнира. Главный момент составится из момента трения скольжения М и момента трения верчения Мв; модули их найдутся из соотношений
387
„ , sin a cos
M f а о 2п
ґ \ ап
^_ = А_ |" I __________________V 2ао )______________________________________________________________________;(2)
1 - (cos С ап Л
2
(sin у-sin a sin у cos р-sin a cos a cos у cos p)dadp
rN nh оо д/l - (cos a cos y + sin a sin у cos P)2
M В f a,0 2rn
2
sin a cos
(sin a cos у - cos a^iny cos p)dadp
2a
= f I I ___________________0) ___________, (3)
В
rN nh go -Jl - (cos a cos y + sin a sin y cos P)2
где f - коэффициент трения скольжения материалов трущихся поверхностей; Р - окружная координата точки пятна контакта; у - угол между осью вращения тела (вектором угловой скорости ю) и радиусом-вектором г, проведенным из центра шарнира в центр давления пятна контакта.
С уменьшением угла у распределение скоростей в пятне приближается к вихревому, что приводит к уменьшению Ф и росту МВ. Наибольшее удаление центра пятна от оси вращения соответствует углу у = п/2.
Правые части формул (1) - (3), представляющие собой приведенные коэффициенты трения, не выражаются в элементарных функциях, поэтому они определяются численно. Интегралы (1) - (3) являются функциями угла Y, зависят от размеров пятна контакта а0 и достигают наибольших значений при у = п/2 и равны нулю при y = 0. Момент верчения равен нулю при y =п/2 и максимален при y = 0.
Аппроксимации приведенных коэффициентов трения, соответствующих интегралам (1) и (2), могут быть записаны, например, так:
f1 = ~ = f (1 - exp(-f*(a0) 'y)); f2 = ~ = f (1 - exp(-f**(a0) 'y)), (4)
N rN
а коэффициент при модуле момента верчения
f3 = = f***(a0) ' f ' exp(-f****(a0) ' y) . (5)
rN
C уменьшением размеров пятна абсолютное значение показателей экспонент в формулах (4), (5) возрастает, а коэффициентf*** в формуле (5) уменьшается.
Таким образом, не решая контактной задачи теории упругости, можно представить действие трения в шарнире вектором силы трения скольжения
Ф =- fN , (6)
|ю х r|
моментом трения скольжения
гг- г Г хюх r
M =- f2 N________ (7)
|ю х r|
и моментом трения верчения
Mb =-f3N' r ' sign(Ю' r) (8)
Для определения приведенных коэффициентов могут потребоваться
388
эксперименты.
Определение реакции опоры в случае Эйлера. Шарнирное соединение может быть конструктивно оформлено в виде двух вариантов: опоры-полости и опоры-шара. Очевидно, что нормальная реакция N связана с вектором г соотношением
— г N=+-N. г
Здесь и далее верхний знак имеет место, когда опора представляет собой тело со сферической полостью, нижний знак - для опоры-шара.
Чтобы вычислить реакцию N, запишем закон движения центра инерции тела
m
-х R + ®хйхR
= P - N
r ,, ЙХ r ±-+/1^—
(9)
v r |ЙХ Г|
dt
и теорему об изменении кинетического момента в осях, жестко связанных с телом
----+йхL = R хP + M + Mв, (10)
dt
где т - масса тела; P - вес тела; R - радиус-вектор центра масс тела, проведенный из центра шарнира.
В общем случае (R Ф 0) для вычисления всех компонент реакции N следует разрешить уравнение (10) относительно компонент вектора — и подставить выражение этого вектора в уравнение (9). К полученному уравнению необходимо добавить условие нормировки
r • r = r2 (11)
и соотношение для определения угла у
— • r (12)
cos y =-----, (12)
—r
где ю - модуль угловой скорости тела.
Система пяти скалярных уравнений относительно неизвестных r, N, у оказывается нелинейной и ее решение возможно искать лишь приближениями. Однако в случае Эйлера (R = 0) левая часть уравнения (9) равна нулю независимо от величины — и, следовательно,
N
Г - — - Л
r ,, йхr
±_ + /11— -
v r —х r|
P . (13)
Значение N можно получить, возведя обе части соотношений (13) в квадрат и складывая
Р
N = , • (14)
л/1 + /]2
Для определения положения центра давления пятна контакта г ум-
ножим скалярно обе части равенства (13) на вектор г :
Р • г = ± Ыг
и на вектор — :
(15)
±ю-г = г(Р-ю)/N. (16)
Система скалярных уравнений (11), (14) - (16) дает возможность вычислить координаты вектора г . Наиболее просто соотношения (14) и (15) можно записать в неподвижных осях
М Pzrz = Nr ; юхгх + юугу + юzrz = г(мРюz),
так как
Рх = 0; Ру = 0;
Р2 =-Р.
Окончательно найдем /іг
гх = +
(— 2 + — у Н1 + /12 /1г
/1 — х — 2 М — у д/ — 2 + — у - ./І2 — 2 | ;
(— 2 + — у Н1 + /\
/1 — у— 2 ± — х л/ — х + — у /1 — 2 I ;
(17)
Г2 = +
1 + /1
Через приведенный коэффициент трения f [ сюда входит пока еще не определенный угол у. Для его определения подставим величины (17) в равенство (12):
cos у = + 1 + /1 .
—
Учитывая соотношение (4), получаем уравнение
( + f 2 (1 - ехр( - !'*(а 0) У) )2),
2
cos у =
2
Г—2
(18)
(19)
V — У
из которого можно находить угол у последовательными приближениями, например, в такой форме:
( + f 2 (1 - ехр(-1~*(а 0) У к) )2 )
0.1
У k+1 =У k +
1+/
2
2 Г — 2 |
с™ Уk -
V — У
(20)
Множитель при фигурных скобках обеспечивает достаточное условие сходимости в области [0; п/2] для любых значений f и у0, причем начальное значение у0 можно брать по формуле
п
У 0
2
г 1 - — 2
V — У
Соотношения (17) и (19) показывают, что положение центра давления зависит только от положения вектора угловой скорости и величины
390
г
коэффициента трения f.
Вектор скорости скольжения центра давления юх г расположен в вертикальной плоскости и направлен по меридиану вниз. Это следует из возможности записать выражение момента трения скольжения в форме
М = г х Ф = - г х Р (21)
и из условия равенства нулю главного вектора сил
Р + N + Ф = 0.
Знаки перед радикалами в формулах (17) выбраны так, чтобы обеспечить проекции скорости центра давления пятна контакта на вертикальную ось отрицательное значение
I 2 2 г2 2
_ч , Vю х + ю у - Л ю z (ю х г) z = - Л1^---------Г=г------
V! + Л12
и отрицательное значение величины мощности сил трения (без учета момента верчения)
Г~2 2 г2 2
д ю х + ю у — /1 ю 2
МО = — Р/1И х 1 2 .
т/1 + /12
Модуль скорости проскальзывания центра давления определяется формулой
I— -I Г~2 2 г2 2
|юх г ю х +юу — Л1 ю- .
Из уравнения (18) следует, что у =п /2 при ю 2 = 0, то есть при горизонтальном положении вектора ю векторы г и ю ортогональны. При вертикальном положении оси вращения (ю 2 / ю = 1) векторы ю иг расположены на одной прямой - имеем случай чистого верчения.
Величина юХХ +юУ — /12ю2 всегда неотрицательна и равна нулю
только в случае чистого верчения.
Описание движения тела. С учетом формулы (21) уравнения движения (10) для случая Эйлера примут вид
+ юх Ь = — г х Р + Мв. (22)
Ж
Момент верчения с учетом формул (5), (8), (12), (18) запишется выражением
— Л р г .
Мв = I = /***(а 0)ехр(—/****(а 0)у )sign(ю 2).
л/1 + л2
Хотя аналитическое решение уравнений движения не представляется возможным, однако они дают возможность установить некоторые зако-
номерности движения тела.
Оценивая модули моментов трения скольжения и верчения, можно пренебречь последним по сравнению с первым, за исключением очень узкой области, где угол у близок к нулю.
Формула (21) показывает, что вектор-момент трения скольжения расположен горизонтально, из чего вытекает сохранение вертикальной компоненты кинетического момента тела
если пренебречь моментом трения верчения.
Поскольку трение скольжения непрерывно уменьшает кинетическую энергию, то тело в своем движении будет стремиться к минимально возможному уровню энергии
где 11 - наибольший момент инерции тела.
Это означает, что главная ось тела с наибольшим моментом инерции устремится к вертикальному положению из любого начального положения, если Lz Ф 0. Верчение вокруг двух других главных осей оказывается неустойчивым, так как малейшее отклонение от вертикали поведет к появлению трения скольжения, которое будет непрерывно уменьшать кинетическую энергию. Величина последней окажется меньше уровней, задаваемых соотношениями
и потому тело не сможет вернуться к верчению вокруг этих главных осей ввиду отсутствия энергии.
В случае шарового тензора инерции имеем уравнения движения
Последнее соотношение показывает, что модуль угловой скорости монотонно уменьшается, а так как ®z = const, то это происходит за счет уменьшения модуля горизонтальной проекции ю, а, следовательно, ось вращения тела монотонно приближается к вертикали. Хотя главная ось с
Lz = const,
2
2
СО x р • Гу1 , СО у р • F-x1 , СО z 0 •
Умножив скалярно векторы О и со , получим
наибольшим моментом инерции и стремится к вертикали, однако у тела может не хватить для этого энергии и оно остановится в любом промежуточном положении, которое нельзя предсказать аналитически. Это вытекает из факта существования малого, но конечного по величине трения верчения, когда ось вращения близка к вертикали. Без трения верчения трение скольжения станет исчезающе малым при вращении около вертикали, и тело смогло бы установить главную ось с наибольшим моментом инерции вертикально.
Отмеченные закономерности движения согласуются с теоремой Аппеля [1] о стремлении материальных систем избегать трения и подтверждаются вычислениями на ЭВМ.
Обобщение задачи на случай вращения опоры. Предположим, что опора вращается вокруг произвольно расположенной оси, проходящей через центр шарнира, с заданной угловой скоростью Юд. Тогда при определении координат центра давления в пятне контакта в формулах (17), (19) и в выражениях для Ф, М и Мв следует полагать вместо ю величину юу
Юу = Ю — Юд,
где юу есть вектор угловой скорости тела относительно опоры.
Движение тела по-прежнему подчиняется уравнению (22), а вектор-момент трения скольжения М по-прежнему остается горизонтальным и потому не меняет вертикальной компоненты кинетического момента тела. Изменение Lz происходит здесь также только за счет момента трения верчения.
При постоянстве угловой скорости Юд система стремится избавиться от трения, то есть ю ^ Юд. Учитывая, что имеет место подвод энергии от внешнего источника, можно утверждать, что главная ось с наибольшим моментом инерции совпадет с осью вращения опоры, ибо такому движению тела соответствует наибольшая кинетическая энергия.
При отсутствии трения верчения (точечный контакт)
Lz = const
и при постоянстве величины Юд главная ось с наибольшим моментом инерции стремилась бы совместиться с вертикальной плоскостью, в которой находится вектор Юд. При этом тело вращалось бы вокруг этой главной оси и опирание имело бы место в самой нижней (или верхней) точке шарнира без проскальзывания. Для этого необходимо, чтобы горизонтальные проекции векторов ю и Юд были бы равны. Однако разница вертикальных компонент угловых скоростей и контакт по площадке непременно вызовут момент верчения, который, изменяя Lz, заставляет вектор
ю совпасть с вектором Юд.
Список литературы
1. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1960. Т. 2.
487 с.
Y.P. Smirnov
SOME FRICTIONAL EFFECT IN A SPHERICAL JOINT
In a spherical joint the friction force module of sliding and the modules of the moments offriction of sliding and rotating depend on a mutual arrangement of an axis of rotation of a body and centre of pressure of a stain of contact. In Euler case the main axis of a heavy body with the greatest moment of inertia comes nearer to a vertical. The task is generalized on a case of a support rotation.
Key words: spherical joint, stain of contact, factors offriction.
Получено 20.01.12
УДК 621.9.06.52-133.2:338
Е.Н. Фролович, д-р техн. наук, (495) 996-58-79,
(Россия, Климовск, ОАО «КБАЛ им. Л.Н. Кошкина»)
АВТОМАТИЧЕСКИЕ РОТОРНЫЕ ЛИНИИ - ОТ СОЗДАНИЯ К СОВРЕМЕННОМУ ЭТАПУ ПРОМЫШЛЕННОГО РАЗВИТИЯ
Рассматриваются исторические этапы создания и развития направления комплексной автоматизации массового производства в промышленности России на основе автоматических роторных линий.
Ключевые слова: комплексная автоматизация, автоматическая роторная линия.
Становление автоматических роторных линий (АРЛ), как основы комплексной автоматизации массового производства в промышленности России, связано с именем академика Л.Н. Кошкина и относится к сороковым годам ХХ века. Это научно-техническое направление, как и многие другие, в те годы, было связано с развитием оборонной промышленности, а именно, с решением задачи коренной модернизации патронной промышленности СССР на основе отечественного технологического оборудования, обеспечивающего массовый выпуск патронов при минимальных затратах.
Патроны для стрелкового оружия - это один из основных видов боеприпасов, применяемых в армии и других силовых структурах государст-
