Сила трения и момент сил трения в шарнирных узлах крепления при развороте двух летательных аппаратов относительно этих узлов. Ч. I Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XVI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

1985

№ 3

УДК 629.7.015.075.6

СИЛА ТРЕНИЯ И МОМЕНТ СИЛ ТРЕНИЯ В ШАРНИРНЫХ УЗЛАХ КРЕПЛЕНИЯ ПРИ РАЗВОРОТЕ ДВУХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТИХ УЗЛОВ. Ч. I

В. А. Ильин

На основе модели силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления, учитывающей распределенный по области контакта характер этого взаимодействия, проведено исследование силы трения и момента сил трения в цилиндрическом и сферическом шарнирах.

В ч. I рассмотрены общие соотношения для расчета силы и момента сил трения в шарнирных узлах крепления при развороте двух летательных аппаратов относительно этих узлов. Приведены приближенные зависимости для распределения давления по области контакта, использование которых позволяет эффективно вычислить силу и момент сил трения без решения соответствующих контактных задач теории упругости.

В рамках общего подхода рассмотрен широко используемый в механике предельный случай точечного контактного взаимодействия. В случае цилиндрического шарнира получены аналитические формулы для расчета силы и момента сил трения в шарнире, аналогичные соответствующим формулам для точечного взаимодействия. Показано, что конкретный вид зависимости для распределения давления по области контакта не влияет на величину силы трения и слабо сказывается на величине момента сил трения.

Имеется ряд задач, связанных непосредственно или косвенно с динамикой полета летательных аппаратов (ЛА), в которых представляет интерес учет трения в шарнирных узлах крепления. В качестве первого примера приведем задачу разворота двух разделяющихся ЛА относительно общих шарнирных узлов крепления с учетом реального силового взаимодействия в этих узлах [1]. Вторым примером может служить задача исследования динамики полета самолета с крылом изменяемой стреловидности с учетом работы механизма поворота крыла. В качестве третьего примера укажем на различные экспериментальные исследования по динамике и нестационарной аэродинамике с использованием стендов на шарнирных опорах.

Для первых двух из указанных задач, кроме целесообразности учета трения для устранения методической ошибки при расчете движения ЛА, характерно развитие значительных сил реакции в узлах креп-

ления и соответственно сил и моментов сил трения [1, 2], знание которых необходимо при разработке конструкции узлов крепления. В третьем из приведенных выше примеров учет сил и моментов сил трения в шарнирных опорах необходим как при проектировании экспериментальных установок, так и для разработки методики определения исследуемых величин.

Общий подход к учету в задачах динамики полета эффектов, обусловленных трением в шарнирных узлах крепления ЛА, предложен в работе [1]. В основу этого подхода положен известный из соответствующих контактных задач теории упругости факт того, что при значительных нагрузках силовое взаимодействие между «внутренней» и «внешней» частями конструкции шарнира распределено по области их контакта, размеры которой не малы по сравнению с размерами шарнира [3—5]. Для расчета силы трения и момента сил трения в шарнирных узлах крепления в [1] получены общие формулы в виде криволинейных (цилиндрический шарнир) и поверхностных (сферический шарнир) интегралов.

Целью настоящего исследования является получение достаточно полного качественного и количественного представления о силах и моментах сил трения в шарнирных узлах крепления на основе вычисления указанных интегралов. Основная трудность здесь обусловлена тем, что необходимая для этого информация о распределении сил нормального давления по области контакта может быть получена путем решения соответствующих контактных задач теории упругости [3—6]. Для преодоления этой трудности предложено использовать простые зависимости для сил нормального давления в области контакта, аппроксимирующие соответствующие точные зависимости.

В случае сферического шарнира (см. ч. II настоящей работы) существенной трудностью является весьма сложный вид подынтегральных функций в рассматриваемых интегралах при произвольной взаимной ориентации векторов равнодействующей нормальных сил в области контакта и относительной угловой скорости вращения ЛА или их частей вокруг шарнира. Для получения качественного представления о силах и моментах сил трения рассматриваются характерные частные случаи взаимного расположения этих векторов, когда возможно точное или приближенное аналитическое вычисление соответствующих интегралов. Отметим, что в теории механизмов и машин вопрос об учете трения в сферических шарнирах практически не рассматривается [7, 8].

Для определеннности все исследование проведено применительно к задаче разворота двух ЛА—груза и носителя-—относительно общих шарнирных узлов крепления. Полученные результаты могут быть использованы для учета эффектов трения в шарнирных узлах крепления при движении любых тел или их частей относительно этих узлов.

1.1. Общие соотношения для расчета силы и момента сил трения в шарнирных узлах крепления при развороте двух ЛА относительно этих узлов. В предложенном в [1] подходе учтены основные особенности реального силового взаимодействия двух ЛА — носителя и груза — в шарнирных узлах крепления при их развороте относительно этих узлов:

1°. Практическая неизменность геометрических форм шарниров.

2°. Реализация силового взаимодействия через область контакта 5 поверхностей «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира. Размеры 5 в общем случае сравнимы с размерами шарнира (см.

разд. 1.2), поэтому принципиально невозможно заменить распределенное по ней силовое взаимодействие сосредоточенной силой реакции.

3°. Положение области контакта, ее размеры и распределение усилий по ней в каждый момент времени определяются внешними и инерционными силами и моментами, действующими на ЛА в тот же момент времени.

Пусть/; (М), Б — вектор нормального давления в точке М на поверхности той части шарнира, которая связана с грузом. Силовое взаимодействие в каждом шарнирном узле крепления эквивалентно сосредоточенной силе /?и

(1.1)

проходящей через центр шарнира, силе трения Ях, представляющей собой равнодействующую распределенных по 5 касательных сил, моменту от суммы /? = /?„ 4- /?т относительно центров масс ЛА и моменту распределенных по 5 касательных сил относительно геометрического центра шарнира Л,. Условно принято, что силы /?„, /?, и момент М, приложены к грузу.

С использованием закона Кулона для элементарных сил и моментов сил трения в области контакта в [1] получены следующие формулы для /?т и Мт:

(1.2)

Mr-

(1.3)

Здесь (рис. 1.1)

Д®(М)=[Дю, р(М)] (1.4)

есть вектор скорости точки Ж части конструкции шарнира, связанной с грузом, относительно той же точки на части конструкции шарнира, связанной с носителем; Ао> — угловая скорость груза относительно носителя; р (Ж) — радиус-вектор точки М относительно геометрического центра шарнира Ош, р = |р(УИ)|— радиус шарнира; /- — коэффициент трения,/т = const в области S.

Рис. 1.1

Соотношения (1.1) — (1.3) выписаны для сферического шарнира. В случае цилиндрического шарнира поверхностные интегралы по сферической области 5 следует заменить криволинейными интегралами по дуге окружности 5 (см. разд. 1.4).

6—«Ученые записки ЦАГИ» № 3

81

Заметим, что для вычисления силы Rz и момента jWt могут быть нспользованы и некулоновские законы трения, учитывающие зависимость коэффициента трения ft от давления р(М) и модуля относительной скорости Av{M) в области S [9]. Это приведет лишь к изменению подынтегральных выражений в (1.2), (1.3). Более подробно данный вопрос рассмотрен в конце ч. II настоящей работы. В дальнейшем для определенности ограничимся рассмотрением соотношений (1.2), (1.3), соответствующих кулоновскому закону трения при fx = const.

1.2. Приближенные зависимости для распределения давления по области контакта в шарнирном узле крепления. Согласно предложенной в [1] итерационной процедуре учета трения в шарнирных узлах крепления при расчете движения JIA можно считать, что в каждом узле крепления задана сила Rn (1.1).

Входящая в формулы (1.1) — (1.3) сила нормального давления р(М), М £ S при известной силе Rn может быть найдена из решения соответствующих контактных задач теории упругости [3—6] для случаев «цилиндр в цилиндрической полости» [3] и «сфера в сферической полости» [4, 5] при почти совпадающих радиусах внутреннего тела и полости. В этом случае при указанных условиях контакт между поверхностями упругих тел может распространяться на значительную часть этих поверхностей. Последнее обстоятельство существенно отличает эти контактные задачи от рассматриваемых в классической теории Герца [3] и приводит к тому, что контакт между поверхностями упругих тел может распространяться на значительную часть этих поверхностей.

В соответствии с основными положениями контактной задачи теории упругости в силу наличия осевой симметрии в рассматрваемых задачах контактное взамодействие в цилиндрическом и сферическом шарнирах носит осесимметричный характер, осью симметрии является Rn. В этом случае сила нормального давления р (Ai) в области контакта S зависит только от угла 6 между векторами Rn и р (рис. 1.1)

р(М)=р(в), Mes. (2.1)

Размер области контакта 5 определяется углом 0О (рис. 1.1):

Р (ео) = 0, | 0 I < V (2.2)

Точное решение контактной задачи сжатия упругих тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями, радиусы которых почти равны, дано в [3]. Рассмотрение проводится в рамках предположения о линейной упругой связи между приложенной силой и перемещением. При этом условии, как следует из вывода в [3] основного геометрического соотношения, определяющего деформации упругих тел в области контакта,

о<е0<^-. (2.3)

При заданных радиусах и упругих постоянных сжимаемых тел 8о зависит только от Rn и монотонно возрастает с увеличением Rn-

Для определения р(0) в [3] приведена также известная приближенная формула

Р{Ъ)=РхФо) cos 6, (2.4)

предусматривающая контакт сжимаемых тел по цилиндрической поверхности заданного радиуса в области значений полярного угла

- е0 <6 < ео-

При заданной конструкции шарнира коэффициент p^{Qo) зависит только от или соответственно от 0о (см. ниже). В [3] показано, что при немалых 0О (0о>ЗО°, см ниже) формула (2.4) дает достаточно хорошее совпадение значений р(0) с точными.

Перейдем теперь к случаю сферического шарнира. Для этого, аналогично тому, как это сделано в [3], рассмотрим сжатие двух упругих тел, ограниченных сферами, радиусы которых почти равны. В каждой плоскости, проходящей через ось симметрии, геометрическая картина контактного взаимодействия упругих сферических тел будет в точности совпадать с соответствующей картиной для цилиндрических тел. Однако при получении линейной упругой связи между перемещениями соприкасающихся поверхностей и приложенной силой необходимо использовать известные решения для деформации сферического тела и бесконечного тела со сферическим вырезом под действием сосредоточенной силы давления на поверхности этих тел [6]. Учитывая отсутствие принципиальных отличий этих решений от аналогичных решений для цилиндрических тел [3], можно ожидать, что решения соответствующих контактных задач будут давать качественно схожие зависимости. Приведенные в работах [4, 5] решения задачи о контакте весомого шара со сферическим основанием близкого радиуса подтверждают это соображение.

Из проведенного рассмотрения следует, что в качестве зависимости, аппроксимирующей точное распределение нормального давления в области контакта для сферического шарнира, можно использовать ту же формулу (2.4), где угол широты 0 (рис. 1.1) изменяется в пределах

Соотношение (2.4) по отношению к точному решению соответствующей контактной задачи обладает очевидным «дефектом»: оно не удовлетворяет условию (2.2). Этот дефект можно устранить, если вместо (2.4) рассмотреть формулу.

где коэффициент р2(0о), так же как и (во) при заданной конструкции шарнира, зависит только от или соответственно от 0О (см. ниже). Зависимость (2.5) качественно ближе к точному решению, чем (2.4)

В дальнейшем угол 0О, определяющий размер области контакта 5 1см. (2.2), (2.3)], считаем заданным параметром.

Коэффициенты /?1('0)ов (2.4) и р2(ео) в (2.5) определяются из условия квазистатического уравновешивания внешней сжимающей силы /?„ силами давления р(6) в области контакта. Проектируя (1.1) с учетом {2.1) на ось симметрии /?„, получим

В любом направлении, нормальном к оси симметрии, составляющая равнодействующей сил давления р(0) равна нулю. Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.6), получим:

для цилиндрического шарнира (см. разд. 1.4)

О<6<0,

Р=Р2 (ео) (соб е — сое е0),

(2.5)

(см. [3]).

(2.6)

0) =

= 1

р 00 + сое 60 8)П 60 '

(2.7)

р в0 — СОЭ 0О 81П е0 '

(2.8)

для сферического шарнира (см. ч. II)

в»_з_

рлк)--

рМ-

р2 2к (1 — сое3 60) 3

3 1

2л [ 1 — — со* 60 + — сое3

во)

(2.9) (2.10)

Очевидно, что при 0О = — зависимости (2.4) и (2.5) совпадают

и рх—рг. При малых 90 в точке 8 = 0 получим:

в случае цилиндрического шарнира из (2.4), (2.5), (2.7), (2.8)

/7(0 = 0),

ЕпА-

Р 20о

для (2.4),

-41для

Р 4 0О

(2.11)

в случае сферического шарнира из (2.4), (2.5), (2.9), (2.10)

для (2.4),

/7(6=0):

Р2 11 ео

для (2-5).

(2.12)

Ра

Из сравнения зависимостей^-^, /= 1, 2 для ЦИЛИШфИЧеС-

^л

Р1 (0) Р2

кого шарнира и —5-, ¿=1, 2 для сферического шарнира [см.

п

рис. 1.2 и (2.11), (2.12)] видно, что с уменьшением 80 различие между зависимостями (2.4), (2.5) усиливается.

р(В)р

Яп

Цилинбрическии шарнир

1>щг

\

г,о

■р=р2(Ва)(шв-тв0)

2,0 -

\

Сферический шарнир

Отметим важное для дальнейшего обстоятельство: использование для вычисления интегралов (1.2), (1.3) формул (2.4), (2.5), несмотря на отмеченное различие, должно приводить к близким результатам.

В самом деле, при больших 0О, когда cos 0о<1, зависимости (2.4) и (2.5) мало различаются между собой. В случае малых областей контакта, когда 0О<1, для любого осесимметричного распределения давления (2.1) получаются результаты, близкие к соответствующим результатам для точечного контакта (см. разд. 1.3).

В проведенном рассмотрении, как и в [1], не учитывается влияние касательных сил на картину контактного взаимодействия в шарнире. Оценки показывают, что это влияние невелико и в рамках используемой модели силового взаимодействия им можно пренебречь [9].

1.3. Точечное контактное взаимодействие. Предположим, что размеры области S контактного взаимодействия в шарнире малы по сравнению с радиусом шарнира. Для анализа силового взаимодействия при этом предположении естественно рассмотреть предельный случай, когда область контакта стягивается в точку. В результате составляющие Rn (1.1) и Rx (1.2) силы реакции R превращаются в сосредоточенные силы, а момент М- (1.3) —в момент от силы R-. Хотя такое представление силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления при больших нагрузках на эти узлы в принципе неприменимо [1], модель точечного силового взаимодействия между телами широко используется в механике [10—12] и применяется при исследовании связанного относительного движения JTA [13].

В настоящей работе случай точечного взаимодействия в шарнирных узлах крепления рассматривается для сопоставления со случаем распределенного по области контакта взаимодействия и используется при исследовании силы /?т и момента Mz для сферического шарнира во всей области возможных значений 0О (2.3) (см. ч. II).

Обозначим через А точку, в которую стягивается область контакта S при точечном взаимодействии носителя и груза (рис. 1.3). Согласно сказанному в разд. 2, точка А представляет собой точку пересечения оси симметрии картины контактного взаимодействия, проходящей через центр шарнира Ош параллельно вектору Rn, с областью контакта S.

Перейдем в соотношениях (1.1) — (1.3) к пределу при условиях dim S -> + 0, a£s.

Рис. 1.3

При этом распределение давления р{М), как это следует из (1.1), стремится к б-функции [см. (2.11), (2.12)]. Выражения (1.2), (1.3) примут соответственно вид

м

р (А) Д*> (Л)

= [рИ). Я*]-

(3-2)

Найдем связь между векторами р (Л) и /?„. Обозначим через Я„ нормальную составляющую силы реакции в шарнире (1.1), направленную от центра шарнира Ош к точке А (рис. 1.3). Согласно сказанному в разд. 1 сила реакции /?„, сжимающая груз и носитель в точке Л, принимается положительной, если она приложена к грузу. Если «внутренняя» часть конструкции шарнира связана с грузом (рис. 1.3, а), то

Яп =+/?„. (3.3)

Если же с грузом связана «внешняя» часть конструкции шарнира (рис. 1.3,6), то

/?;=-/?„. (3.4) На основании (3.3), (3.4) имеем

Используя (3.5) с учетом (1.4) в (3.1), (3.2), получим

[А», Я'п]

--/•с Яп

/тр

[А«. Яп] I /?„, [Дм, /?„] ]

I [А». *«] I

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Введем декартову прямоугольную правую систему координат ОХУЕ (рис. 1.4): начало системы О совпадает с центром шарнира Ош, ось ОХ параллельна Ди(Л) = [Д<о, р(Л)], ось ОЕ параллельна /?„. Вектор До» лежит в плоскости ОУЕ и составляет с осью ОУ угол а, |а|< ; при а>0 поворот от Дш к Яп на наименьший

[дш,й]

'X

4

,А \ Т |

1/

л 1а Ш

\ 1 Г У

\ 1 / / / У 6) Рис. 1.4

угол —--а виден со стороны оси ох происходящим против часовой стрелки.

Как следует из формул (3.6), (3.7), при |а|<-у R~ и М~. не

зависят от а, при |а| = -^- (Дю||/?„) имеем & = М-. = 0. В проекциях на оси системы координат OXYZ

-/,/?„/ при ,

Я,

О

при I а I = •

(3.8)

М.=

"Л Rn Р j = /?т Р J При I а | < ~

(3.9)

О

при | а | = -

где / и ]— орты осей ох и о у соответственно.

Для цилиндрического шарнира (см. разд. 1.4) Дю_]_/?„, я = 0 и формулу (3.9) можно переписать в виде

Mz = —f-, Rn р

Дю I Aw I

(3.10)

В рассматриваемом случае точечного контактного взаимодействия предложенная в [11, разд. 4] итеративная процедура определения по известной суммарной реакции

R — /?„ Лх

(3-11)

составляющих Rn и R■z заменяется конечными соотношениями, выражающими Rn и Rz непосредственно через заданные векторы Д ю и /?.

Представим Rn в виде разложения по правой тройке векторов Дю, R и [Дю, /?]*:

/?„ = сх Дю -f c2R + с3 [Дю, /?]

(3.12)

Рассмотрим сначала случай, когда имеет место (3.3) (рис. 1.4, а). Зададим векторы Дю, R и Rn своими проекциями на оси системы ox yz:

Дю={ 0, Дш cos а, Да) sin а), (3.13)

/?={-# sinт, 0, r cost}, (3.14)

/?„={ 0 , 0, r cos-f} , (3.15)

где угол у между векторами R и R„ определяется соотношением

0<т<^-. (3.16)

* Целесообразность подобного представления была отмечена В. В. Демешки-

Умножая (3.12) скалярно на векторы До (3.13), R (3.14) и [До», /?], найдем из полученных соотношений

с _R_ cos ft sin21 1 До» Sin2ft ' \ • '

cos8 a eos2 7 /о io\

=-, . ' , (3.18)

Sin2 P

COS a sin T eos 7 /о 1 n\

c* = —-—-- . (o. 19)

Дсо sin2 P

В (3.17) — (3.19) (3— известный угол между векторами До) и R, связанный на основании (3.13), (3.14) с определяемым углом a и заданным углом (3.16) соотношением

cos р = sin a cos f) T = P (a== = = —T- (3.20)

В случае когда имеет место (3.4) (рис. 1.4, б), у векторов R (3.14) и Rn (3.15) меняет знак третья компонента. В результате для сх и с2 получаются те же соотношения (3.17), (3.18), для с3—соотношение (3.19) с обратным знаком и вместо (3.20) —

COS Sin a cos 1, -r = p( a= ——= —) = (3.21)

2 / \ 2 .

Определив коэффициенты си с2 и с3, из (3.11), (3.12) находим /?, = /?-/?„=-Дю+(1—с2)/?-с3[Дь), /?], (3.22) где на основании (3.18), (3.20), (3.21)

(3.23)

2 вт2 р 4 '

Соотношения (3.12), (3.17) — (3.23) позволяют по заданным векторам До) и /? найти векторы Rn и /?. и перейти к рассмотрению задачи в системе координат 0ХУ2.

1.4. Сила трения и момент сил трения в цилиндрическом шарнире.

В случае цилиндрического шарнира вектор До) направлен по оси шарнира. В любой плоскости, нормальной к Д о> и проходящей через область контакта, картину силового взаимодействия можно считать одной и той же. Поэтому силовое взаимодействие в области контакта заменяется эквивалентным силовым взаимодействием в одной из указанных плоскостей. В дальнейшем для простоты изложения под цилиндрическим шарниром будем понимать его сечения этой плоскостью.

Как и в разд. 1.3, введем силу,/?„> направленную из центра шарнира Ош в точку А первоначального касания «внутренней» и «внешней» частей конструкции шарнира [см. (3.3), (3.4) и рис. 1.3], и декартову прямоугольную правую систему координат ОХУ1 (рис. 1.5): начало системы О совпадает с центром шарнира Ош, ось ОУ параллельна вектору До>, ось OZ параллельна вектору /?„> плоскость совпадает с плоскостью шарнира.

Введем угол 0, отсчитываемый в плоскости 0X1 от оси ОЪ к оси ОХ (рис. 1.5). Область контактного взаимодействия представляет собой дугу

-0О<6<'

<

(4.1)

Положение любой точки определяется углом 0. Распределе-

ние давления р=р(0) по области контакта 5 представляет собой чет-

Рис. 1.5

ную функцию 0, удовлетворяющую при заданной величине соотношению [см. (2.6)]

[ р (9) cos 6 р d 0 = Rn.

(4.2)

-К

В рассматриваемом случае формулы (1.2), (1.3) для вычисления силы /?- и момента Мг трения принимают вид

— во

j l р Д v (0)J

(4.3)

(4.4)

Задавая векторы Дм и р (0) их проекциями на оси системы координат OXYZ, найдем

——= / cos 0 — k sin 6, (4.5)

Д и (в)

(4-6)

[Р (9) Д Р (9)1 = •

L Р ' Af(9)J

где I, j, Л — орты осей ОХ, ОУ, 02 соответственно.

Подставляя (4.5) в (4.3), находим для любой четной функции р(0) с учетом (4.2)

R

'if* j°p(е)cos0 рrfе = -/т/?пi.

(4.7) 89

Таким образом, для цилиндрического шарнира связь между и /?„ не зависит от конкретного распределения давления р(0) по области контакта и имеет тот же вид, что и в случае точечного контактного взаимодействия [см. (3.8)]. Из этого следует, в частности, что итерационная процедура определения по суммарной реакции Я = Яп + составляющих /?„ и /?т [1, разд. 4] заменяется простыми конечными

соотношениями (3.12)—(3.23), в которых надо положить а = О, Р = .

Подставляя зависимости (2.4) и (2.5) в (4.2), (4.4), получим с учетом (4.6):

для (2.4) для (2.5)

tfn=A(0o)p(eo + cos6osin6o), (4.8)

Л1т= —/тр2/?1 (6„) 2 sin еоу; (4.9)

Rn = Р2 (во) Р (во - cos е0 sin в0), (4.10)

м, =- /, р2 р2 (в0) 2 (sin е0 - 60 cos 0О) j. (4.11)

Заметим, что Mz (4.9), (4.11) направлен по той же оси, что и при точечном контакте [см. (3.9), (3.10)].

Выразим, как и в случае точечного контакта, Mz через Rn или Rz. Умножая и деля (4.9), (4.11) на зависящий от 0О множитель соответственно в (4.8), (4.10), получим: для зависимости (2.4)

Ait=/cp/?na1(eo) = p/?,a1(0o), (4.12)

где

«1 (о0) = я _,_2si"eo- , ; (4-13)

60 + cos 60sin 0О

для зависимости (2.5)

Ai, == /, р /?„ о2 (0О) = р а2 (в), (4.14)

где

g2 (60) = 2S'n 6о — Оо cos е0 (4Л5)

0О — cos в0 sin 90

Функции ai(0o), t=l, 2 учитывают отличие в величине Mz (4.12), (4.14), обусловленное характером распределенного по области (4.1) силового взаимодействия, по сравнению со случаем точечного взаимодействия (см. разд. 1.3). Нелинейность зависимости Mz от Rn (или Rz) проявляется в том, что 0О зависит от Rn (см. разд. 1.2 и [3])^ Из (4.13), (4.15) находим

lim аг(0о) = 1, ¿ = 1,2,

е„-+о

что соответствует, очевидно, переходу к точечному взаимодействию. Поскольку при 0о = л/12 зависимости (2.4) и (2.5) совпадают, имеем также

(9°=т)!

— ^ 1,273, г == 1, 2.

я

Графики функций = аг (60), 1 = 1, 2 приведены на рис. 1.6. Полученные результаты показывают, что конкретный вид зависимости для распределения давления р(0) в области контакта при качественно правильном виде этой зависимости и выполнении условия

(4.2) равновесия нормальных составляющих слабо сказывается на величине МПоскольку во всем возможном диапазоне значений во от О до 90° величины а*(6о) меняются в относительно небольших пределах, можно, зная ориентировочно диапазон изменения 0О в данной за- 15 даче, заменить точное значение б,,бг

(6о) некоторым средним значением а,(80). Если во всем возможном диапазоне 806[0> 90°] заменить ог (б0) его

1 , 2

средним значением о,=--1--яг

2 К /0 о о

1,137, то относительная ошибка в 0 30° 50 во определении Мт будет не более Рис. 1.6

— 12%.

Учитывая сказанное, а также отсутствие явной зависимости Н-от 0О [см. (4.7)], приходим к выводу, что в случае цилиндрического шарнира величина 6о, определяющая размеры области контакта, является, при соответствующем выборе значения о,(во), несущественным параметром. В результате учет трения в цилиндрических шарнирах при решении соответствующих задач механики полета может быть проведен с достаточной точностью без привлечения дополнительных теоретических или экспериментальных данных о связи во и Яп из контактных задач для упругих цилиндрических тел. Отмеченное обстоятельство существенно облегчает практическое применение полученных результатов.

Автор выражает признательность В. И. Бирюку и И. А. Ляховенко за обсуждение вопросов применения полученных в контактной задаче теории упругости результатов к рассмотренной задаче.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А. Учет реального силового взаимодействия в шарнирных узлах крепления при расчете связанного относительного разворота двух летательных аппаратов. — Ученые записки ЦАГИ, 1984 т. XV, № 3.

2. Д е м е ш к и н а В. В., Ильин В. А., Л е у т и н А. П. Некоторые особенности процессов разделения летательных аппаратов вблизи момента разрыва связей, ч. I, II. — Ученые записки ЦАГИ, т. XI. 1980. № 4, 5,

3. Ш т а е р м а н И. Я- Контактная задача теории упругости. — М.—Л., Гостехиздат, 1949.

4. Бондарева В. Ф. Контактные задачи для упругого шара. — ПММ, 1971, т. 35, вып. 1.

5. Бондарева В. Ф. Контактные задачи для сферы. В кн.: Развитие теории контактных задач в СССР, гл. 3, § 6. — М.: Наука, 1976.

6. А л е к с а н д р о в А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости, гл. II.—М.: Наука, 1978.

7. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин.—М.: Наука, 1975.

8. Диментберг Ф. М. Теория пространственных шарнирных механизмов.— М.: Наука, 1982.

9. Крагельский И. В., Добычин М. Н., Ком балов В. С. Основы расчетов на трение и износ. — М.: Машиностроение, 1977.

10. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики, т. I, II,— М.: ГИТТЛ, 1955.

11. Бухгольц А. А. Основной курс теоретической механики, ч. I. — М.: Наука, 1965.

12. Аппель П. Теоретическая механика, т. I, И.—М.: Физматгиз,

1960.

13. Колесников К. С., Козлов В. И., Кокушкин В. В. Динамика разделения ступеней летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1977.

Рукопись поступила 11/IV 1984 г.