CC BY
33
УДК 539.3/.8
ВЛИЯНИЕ ТРЕНИЯ В ШАРНИРАХ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ СТЕРЖНЕЙ
БОГОМАЗ В. Н.1*, к. ф.-м. н, БОНДАРЕНКО Л. Н.2*, к. т. н, доц., ЩЕКА И. Н.3, к. т. н, доц., СЕМЕНЮК Л. О4, студ.
1 Кафедра военной подготовки, Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, 49010, Днепропетровск, Украина, тел. +38 (056) 793-19-09, e-mail: wbogomas@i.ua,ORCIDID: 0000-0001-5913-2671
2 Кафедра прикладной механики, Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, 49010, Днепропетровск, Украина, тел. +38 (056) 373-15-18, e-mail: bondarenko-l-m2015@yandex.ua,ORCID0000-0002-2212-3058
3 Кафедра военной подготовки, Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, 49010, Днепропетровск, Украина, тел. +38 (056) 793-19-09, e-mail: shcheka1961@mail.ru,ORCIDID: 0000-0002-4608-3898
4 Кафедра прикладной механики, Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, 49010, Днепропетровск, Украина, тел. +38 (093) 532-36-19, e-mail: leo.sam@mail.ru, ORCIDID:0000-0001-7164-6309
Аннотация. Постановка проблемы. Величина критической силы стержня по традиционной методике расчета определяется в предположении идеального шарнира в месте закрепления стержня. В реальных шарнирах существует как сопротивление качению шарнира при повороте концов стержня, так и их перемещение. Таким образом, существует необходимость определения характера влияния этих несовершенств шарнира на величину критической силы. В существующих научных трудах, посвященных похожим проблемам, не учитывалось влияние трения в шарнирах крепления стержня на величину критической силы. При определении устойчивости стержней с учетом неидеальности шарниров трение в них можно учесть эксцентричным приложением нагрузки или приложением момента. Однако при таком подходе достаточно сложно определить величину приложенных силы или момента. Цель статьи - установить влияние трения в шарнире крепления стержня на величину его критической силы в смысле Эйлера, а также построить зависимости для определения критической силы стержня с учетом механических характеристик материалов шарниров. Вывод. Для задачи определения величины критической силы стержня с шарнирным креплением на концах получены зависимости, которые учитывают механические характеристики материлов шарнира. Полученные зависимости позволяют определить более точное значение критической силы для стержней. Приведены примеры расчета цельного стержня и стержня с вырезкой в середине, которые показывают, что значения критической силы, определенные по традиционной методике, являются завышенными.
Ключевые слова: трение, стержень, шарнир, критическая сила, контакт
ВПЛИВ ТЕРТЯ В ШАРН1РАХ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧНО1 СИЛИ СТРИЖН1В
БОГОМАЗ В. М.1*, к. ф.-м. н, БОНДАРЕНКО Л. М.2*, к. т. н, доц., ЩЕКА I. М.3, к. т. н, доц., СЕМЕНЮК Л. О.4, студ.
1 Кафедра вшськово! тдготовки, Дншропетровський нацюнальний ушверситет зaлiзничного транспорту iменi академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, 49010, Дншропетровськ, Укра!на, тел. +38 (056) 793-19-09, e-mail: wbogomas@i.ua, ORCIDID: 0000-0001-5913-2671
2 Кафедра прикладно! механжи, Дншропетровський нацюнальний уншерситет зaлiзничного транспорту iменi академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, 49010, Дтпропетровськ, Укра!на, тел. +38 (056) 373-15-18, e-mail: bondarenko-l-m2015@yandex.ua, ORCID0000-0002-2212-3058
3 Кафедра вшськово! тдготовки, Дншропетровський нацюнальний уншерситет зaлiзничного транспорту iменi академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, 49010, Дтпропетровськ, Укра!на, тел. +38 (056) 793-19-09, e-mail: shcheka1961@mail.ru, ORCIDID: 0000-0002-4608-3898
4 Кафедра прикладно! мехашки, Дншропетровський нацюнальний уншерситет зaлiзничного транспорту iменi академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, 49010, Дншропетровськ, Укра!на, тел. +38 (093) 5323619, e-mail: leo.sam@mail.ru, ORCIDID:0000-0001-7164-6309
Анотащя. Постановка проблеми. Величина критично!' сили стрижня за традицшною методикою розрахунку визначаеться в припущены щеального шарнра в мющ закршлення стрижня. У реальних шарнрах юнуе як ошр коченню шаршра при поворот шнщв стрижня, так i !х перемщення. Таким чином, юнуе
необхщшсть визначення характеру впливу ще! недосконалостi шарнiра на величину критично! сили. В юнуючих наукових працях, присвячених схожим проблемам, не враховувався вплив тертя в шартрах крiплення стрижня на величину критично! сили. Для визначення стшкосп стрижшв з урахуванням неiдеальностi шарнiрiв тертя в них можна врахувати ексцентричним прикладенням навантаження або прикладенням моменту. Проте за такого тдходу досить складно визначити величину прикладених сили або моменту. Мета cmammi - встановити вплив тертя в шарнiрi крiплення стрижня на величину його критично! сили в сена Ейлера, а також побудувати залежносп для визначення критично! сили стрижня з урахуванням мехатчних характеристик матерiалiв шарнiрiв. Висновок. Для задачi визначення величини критично! сили стрижня з шаршрним крiпленням на кiнцях одержано залежносл, як1 враховують механiчнi характеристики матершв шарнiра. Одержанi залежностi дозволяють обчислити точшше значення критично! сили для стрижшв. Наведено приклади розрахунку цiльного стрижня i стрижня з вирiзкою у серединi, як1 показують, що значення критично! сили, обчислеш за традицiйною методикою завищенi.
Kro40Bi слова: тертя, стрижень, шартр, критична сила, контакт
INFLUENCING OF FRICTION IN HINGES ON CRITICAL
FORCE SIZE OF BARS BOHOMAZ V. N.1*, Cand. Sci. (Phys.Math.), BONDARENKO L. N.2*, Cand. Sci. (Tech.), Ass. Prof, SHCHEKA I. N.3, Cand. Sci. (Tech.), Ass. Prof, SEMENYUK L. O.4, Stud.
1 Department of Military Preparation, Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after academician V. Lazaryan, Lazaryan str., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 793-19-09, e-mail wbogomas@i.ua, ORCID 0000-0001-5913-2671
2*Department of Applied Mechanics, Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after academician V. Lazaryan, Lazaryan str., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 373 15 18, e-mail bondarenko-l-m2015@yandex.ua, ORCID0000-0002-2212-3058
3*Department of Military Preparation, Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after academician V. Lazaryan, Lazaryan str., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 793-19-09, e-mail: shcheka1961@mail.ru, ORCIDID: 0000-0002-4608-3898
4*Department of Applied Mechanics, Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after academician V. Lazaryan, Lazaryan str., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (093) 5323619, e-mail: leo.sam@mail.ru, ORCIDID: 0000-0001-7164-6309
Abstract.Formulation of the problem. The size of critical force of bar on the traditional method of calculation is determined in supposition of ideal hinge in the place of fixing of bar. There are both a hinge resistance at the turn of bar ends and their moving in the real hinges. Thus, there is the necessity of influencing character determination of these hinge imperfections on the size of critical force. In the existent scientific labours is devoted the alike problems, influencing of friction in the hinges of bar fastening on the size of critical force was not taken into account. At determination of bars stability with no ideality of hinges friction in them it is possible to take into account by the eccentric appendix of loading or appendix of moment. However at such approach it is difficult enough to define the size of attached force or moment. Purpose. To set influencing of friction in the hinge of bar fastening on of his critical force size in sense of Euler, and also build dependences for determination of bar critical force taking into account mechanical descriptions of hinges materials. Conclusion. For the task of determination the size of bar critical force with the joint fastening on ends are got the dependences which take into account mechanical descriptions of material hinge. The received dependences allow to define more exact meaning of critical force for bars. The examples of calculation of whole bar and bar with undercuting in the middle are resulted that values of critical force, certain on a traditional method are overpriced.
Keywords: friction, bar, hinge, critical force, contact
Постановка проблемы. Величина критической силы стержня («ломающей силы», по выражению профессора А. Феппля [11]) по традиционной методике расчета определяется в предположении идеального шарнира в месте закрепления стержня. В реальных шарнирах существует как сопротивление качению шарнира при повороте концов стержня, так и их
перемещение. Поскольку при повороте концов стержня возникает сопротивление качению шарнира и вследствие этого его перемещение, существует необходимость определения характера влияния этих несовершенств шарнира на величину критической силы. В существующих научных трудах [2; 3; 5; 7; 8-10; 12; 13; 14], посвященных похожим проблемам, не
учитывалось влияние трения в шарнирах крепления стержня на величину критической силы.
При определении устойчивости стержней с учетом неидеальности шарниров трение в них можно учесть эксцентричным приложением нагрузки или приложением момента. Однако при таком подходе достаточно сложно определить величину приложенных силы или момента.
Цель статьи - установить влияние трения в шарнире крепления стержня на величину его критической силы в смысле Эйлера, а также предложить способы приведения расчетов сложных
механических систем к более простым с точки зрения реализации расчетов стержней с учетом механических характеристик материалов шарниров.
(dy/e/x)R
S
S
Va
s
Vi
У / X
а ~у Т
С V
■ и Ж
А а
Л / Ж
\ , я
Рис. 1. Расчетная схема стержней: а - классическая; б - с учетом реального шарнира
Материал исследований. Рассмотрим две известные задачи проф. А. Феппля [11], посвященные продольному изгибу стержней.
Первая задача состоит в следующем: стержень прямоугольного сечения длиной I = 1,5 м со сторонами 30 и 50 мм, имеющий свободные вращающиеся концы, сжимается силами Р, приложенными в точках А и В (рис. 1 а). Кроме того, в точках С и Б действует еще нагрузка Q, заставляющая среднюю часть работать на сжатие.
Необходимо определить величину критической силы («ломающего груза») Р для случая, когда Q=0,5Р и Е = 2105МПа.
При исследованиях А. Феппля [11] уже была построена теория контактных деформаций, полученная Герцем, однако он в своих работах принял идеальный шарнир, пренебрегая как изменением геометрии шарнира, так и напряжениями в месте контакта. Для учета их влияния рассмотрим шарнир со схемой касания, показанной на рисунке 1 б (схема цилиндр-плоскость).
Дифференциальное уравнение упругой линии стержня для ветви I с учетом его реальности имеет вид: с12у
~^ + Ру = Рк с1х2 , (1)
EI
где к - коэффициент трения качения (рис. 1 б).
Если материалы стержня и плоскости одинаковые, а коэффициент Пуассона их материалов равен 0,3, то связь между радиусом R закругления стержня и силой Р будет иметь следующий вид [4]:
0Д75 РЕ
R= Bu2 . (2)
Величина коэффициента трения качения может быть найдена как часть статической полуширины пятна контакта Ъ:
Ъ = °'ЫТа (3)
При первоначальном линейном контакте и величине R < 50 мм коэффициент трения качения находится по формуле [1; 6; 15]:
fc= 0,225b = 0,1435^ (4)
Таким образом, формула (1) принимает
вид:
Р2
Ру = ОД 435-
(5)
Решение этого уравнения запишем в
виде:
Р
уЛ = A sin ах + D cos ах + 0,1435^=^.
■ 1 Ва (6)
Отметим, что в решении Феппля второй и третий члены правой части уравнения (6) отсутствуют.
EJ
d2y dy2
Постоянные А и D найдем из выражения (6) при граничных условиях
у =
у(0) — 0 и \йх) , указывающие на перемещение всего стержня за счет качения.
Подчинив уравнение (6) указанным граничным условиям, получим
У1 - ОД435
РЕ = ж2Е1/12. В нашем случае критическая сила имеет значение:
Во{1 — COS ЙТ)^
где ' El.
Прогиб стержня в точке С
(7)
а = 0Д435 — Í1 -
i
COs-G 3
(8)
Для ветви II примем за ось х линию I, а за начало координат точку С. На этом участке уравнение упругой линии находится
аналогично [1
У 2 =
а
1-01 р
и его решение имеет вид:
eos J sin
1 -
Sill
/Зх
р =
где
Однако,
fp—Q
в этой задаче необходимо соблюсти еще одно условие, а именно то, что обе ветви должны иметь в точках С и Б общий угол наклона касательной к упругой
линии, т.е.
¿Уц ¿у 2
dx K=L dx
t = 0
(10)
Подставляя в (10) первые производные от выражений для У г и У г, после некоторых преобразований приходим к уравнению:
а\.
а . I psina3 =
1 - cos-
í)
COS J 1
I
sin
pi
(11)
которое существенно отличается (по структуре) от уравнения, полученного Фепплем. Отметим, что, положив Q = 0, а следовательно а = в, Фепплем для критической силы получил формулу Эйлера
Р
(12)
что на 4,5
меньше значения,
полученного Эйлером РЕ = п
Перейдя к конкретной задаче, получим,
а
Р = —
что при О = 0,5Р и V 2 и уравнение для а принимает вид:
. (13)
Вычисление методом последовательных
приближений дает, что сб/ = 4,9 м или
_ 2,45л 2£7
+ cos (Зх — (9)
Таким образом, от присоединения силы Q постоянная а увеличивается в 4,9 : 3 = 1,6 раза.
Если использовать данные, приведенные в начале, получим, что значение критической силы по Эйлеру составит РЕ = 150 кН, а Р*Е = 140 кН и.
Если в решении Феппля величина Peo превышает Ре на 3 %, то в нашем случае эта разница составляет 1,6 раза.
(dy/cóc)R
Рис. 2. Расчетная схема стержня с ослаблением
Далее рассмотрим еще одну задачу, решенную А. Фепплем в [11] с учетом условий, принятых в первой задаче. Если середину стержня ослабить вырезкой, сделанной на небольшой длине I c моментом
его инерции, составляющим 1/4...1/5 от основного сечения, то это ослабление оказывает такое же действие, как если бы сечение стержня оставалось без ослабления на длине /" = (/ - /')/'//". Это явление автор объясняет тем, что части стержня, непосредственно прилегающие к среднему участку, не могут сразу работать полным сечением, а края, граничащие с вырезкой вначале, остаются ненапряженными. К такому выводу Феппль пришел после экспериментальных исследований.
Частично поддерживая эту мысль, мы все же считаем, что главной причиной этого явления является дополнительный момент, появляющийся в результате качения шарнира, например, по плоскости.
Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси для каждой части стержня. Будем считать координату Х] от конца В стержня, а для Х2 - от точки сопряжения нижних участков
(15)
(16)
Введя обозначения Р
Ы~а1 иЕГ~L"2 запишем интегралы этих уравнений
Р
уг = А1 sin «., хл + Вг sin «., хг + 0,1435-g^;,
Р
Уг sin "2 Х2 + &2 "2 Х2 + ^4435
(17)
Граничные условия по концам и в точке сопряжения участков:
¿Уг _ dy2 dy2
U -> I — и
(18)
(dxj(0 (dx2K0); dx2{¡2)
Если правая часть равна нулю, то выражение слева тоже должно быть равно нулю, что соответствует идеальному шарниру.
Положив в правой части /2 = 0, что соответствует sina1/] = 0, получим формулу Эйлера.
Положив в (20) А = /, получим:
ОТ! ¡1 -ОД435щ1д(а1
а2гд{а212) =-=-
-ОД.43(2])
Расчеты, проведенные по данным первой задачи, показывают, что величина критической силы, полученная по формуле (21) и в случае классического шарнира, например, при /-> = 2 м составляет
Е V
Е/ - 0,2
соответственно 76 и 97 (при т. е. отличаются почти на 30 %.
Из этих условий находим:
р р
А1 = sin «j ¡J = В2 +0,1435 — eos a-, i Б1 = -0/1435 — В(Т Вс,
Р
eos a-^í-L + 0/1435 sin Kj^i = Л2а2
Л2 cos a2¡2 = s'n a2l2-
Используя эти уравнения получим: А±(а2 siaa1l1tga2l2 ~ «i созЦа:^) =]
- 0 1435 F
Ва(а1 sin а^ + а2 cos i_a1tga2l2)_
. (20)"
Рис. 3. Классическая (а) и реальная (б) схемы расчета послекритического поведения стержня
Конечно, нам не известно, какое опирание концов стержня было в опытах Феппля, но очевидно, что причина расхождения величин критической силы состоит в том, что не учитывались моменты, возникающие в шарнирах. Таким образом, при предположениях Феппля о неполной напряженности краев большого сечения значение критической силы автором завышено.
Для выяснения поведения систем, которые ведут себя после достижения критической силы иначе, чем при
классическом постановке, рассматривается следующая задача (рис. 3 а) [15].
Абсолютно жесткий стержень длиной l
шарнирно (идеальный шарнир, в котором
отсутствуют трение и перемещение)
закреплен на нижнем конце, а пружина
удерживает стержень в равновесии. При
отклонении стержня от вертикали на угол а
восстанавливающий момент М = са. Если к
концу стержня приложена вертикальная
сила Р, то отклоненное состояние возможно,
если выполняется условие:
с а с
L sin а I.
Как отмечается в [15], этот пример относится к конструкциям, носящим «модельный характер», и служит для исследования более сложных реальных упругих систем, поскольку позволяет воспроизводить на простом примере сложные конструкции.
Показанный на рисунке 3 а классический шарнир относится к кинематическим парам третьего порядка (уничтожает три поступательных движения), с чем трудно согласиться, ибо это предполагает абсолютное равенство диаметров шарниров стержня и основания.
В действительности при радиусе шарнира стержня R¡, а основания R2, при повороте стержня на небольшой угол а (sina«а; cosa «1) произойдет смещение шарнира стержня по горизонтали на расстояние aR¡ (рис. 3 б).
При отклонении стержня от вертикали на указанный угол а появится восстанавливающий момент:
М = PR± sin c¿± 4 Рк cos c¿2 =
= PR^i + Pk= PRX + Pk.
(22)
где к - коэффициент трения качения. Если к концу стержня приложена вертикальная сила Р, то отклоненное состояние возможно при выполнении уравнения равновесия:
PI sin а = PRt sin аг + Рк cos а2 (23) или приближенно:
ñi
la = fí, а — + к
(23 а)
Таким образом, отклоненное состояние
(рис. 3 б) возможно при угле а:
к
а =
R1 R-,
О каких-либо
(24) величинах
конкретных угла а можно судить при наличии не менее конкретной величины коэффициента трения качения.
Примем сначала, что схема касания в шарнире цилиндр-цилиндрическая впадина с параллельными осями. В дальнейшем для сокращения формул будем полагать, что модули упругости материалов шарнира одинаковые, а их коэффициент Пуассона равен 0,3. При известных длине В шарнира и силе Р, радиус шарнира стержня должен быть [4]:
Д1 = -
0Al82PER,
0,41з2РЕ + ВВ2[о]2 (25)
где - допустимое давление на
площадке контакта по линии. Полуширина пятна контакта:
Ь = 1,522
Р RtR7_ ^ BE if2 — Ri
Если R¡ и R2 связаны зависимостью
R2 =
Rt + А
(26) (27)
то
А 0.7 РЕ
' | 07РЕ
J В Д
,(28)
и
Д,
А
0,7 РЕ BÍ&p)
- 1
(28а)
Найдем равновесное состояние в зависимости от материала шарнира (допускаемого давления при его среднем значении от приводимых в [4] значений).
Примем, что Р = 50 кН, / = 2м;
Е = 2,1- 105 МПа, а М изменяется от 900 МПа (сталь 30) до 1 500 МПа (сталь
15ХФ); ширину шарнира В примем В = 10 мм.
Зависимость Я] (при I1=0,2 мм) от М показана на рисунке 4; здесь показаны зависимости коэффициента трения качения и угла наклона стержня при равновесном положении.
*f, к,
ММ мм
<Х,граВ Q004Q ЦО0Э5 0,003а
0,0025,
о, ао2я
\>
\ ч О 2 ч,
ч ч ^
к \
V < /
3
б ц /г
5 0,11
4 цю 3 qo9 г 008
1 0,07
9QO ftoo то fsoo [¿Ij, 1215 148* /755 2025№]Т
Рис. 4. Зависимость величины R± От допускаемого давления на площадке контакта: 1 - радиус шарнира;
2 - коэффициент трения качения;
3 - угол равновесного положения стержня (цифры со штрихами - линейный контакт, без штрихов - точечный контакт)
Естественно, что положение стержня, показанного на рисунке 3 б, возможно в том случае, когда коэффициент трения скольжения f в месте контакта будет удовлетворять условия
f>ai1 + JT)
\ 2/, (29)
при стали 30 f ■> 0,0 04з ^ а ПрИ схали 15ХФ / >0,003з .
Очевидно, что из формул (24), (25) и (29) может быть найдена величина такой силы Р, при которой произойдет мгновенный срыв контакта в шарнире
Р >---^-
C учетом, что R1=R2, а f>>R1 и А является малой величиной
Р >
8,5зВ£72/2Д
Ч (30а)
Далее рассмотрим шарнир в виде схемы касания шар - сферическое углубление. В этом случае радиус шарнира стержня определяется из выражения:
R = 0,058
pe2R2
(Д2Ы3 -0,058Я£2)(1+)
+ '1 +
ДЕ I Р
°'34п хгт Ы '¿Ы
А
/
■ м' - ■ 0.058РЕ2
(31)
Дальнейшие расчеты остаются аналогичными предыдущим, однако необходимо помнить, что величина при точечном контакте в 1,3...1,4 раза больше, чем при линейном.
Приняв значение допускаемых давлений в 1,34 раза большими, чем в предыдущем примере, получим значения Р], к и а. Их величины в зависимости от показаны на том же рисунке 4.
Коэффициент трения качения точечном контакте определялся зависимости [1]:
к = ОДб а полуширина пятна контакта
при
из
(32)
Ь = 0.554S
[р r±R7
(33) при
| Е —
Точно так же решается задача других схемах качения.
Сила, соответствующая мгновенному срыву контакта в шарнире:
Р >-у
R2Ri
или приближенно
143о/3Е/3А
(34)
Р >-
(34а)
Рассмотрим еще одну аналогичную задачу, рассматриваемую в [4] с той же целью - упрощения перехода к реальным упругим системам типа оболочек с целью численного их расчета на ЭВМ.
Точно так же ведущий себя в шарнире стержень возвращается в роусходное
вертикальное сопротивления R пропорциональна
положение силой
(рис. 5 а), которая горизонтальному
перемещению u конца стержня: R = cu. Поскольку u = /sina«la, уравнение равновесия записано в виде:
PI sin а = cl2 sin a cos а Предположим теперь, что стержень из положения, определенного углом ао (рис. 5 а) при помощи силы R стремится возвратиться в вертикальное положение при реальном шарнире.
Ы^г/nâ
Рис. 5. Схема стержня, возвращаемого в исходное вертикальное положение силой на конце (а) и зависимость возвращающей силы от угла отклонения стержня (б) (1'- линейный контакт;
1 - точечный контакт). Уравнение равновесия для данного случая:
Pl sin а0 - Rl eos а0 - РЯг sin tr0 Д1 +
к2
+Pkcosa0 = o, , (35)
откуда приближенно R = + i/l(k - (ДА1Т2)/Д42 ].
(36)
Зависимость R от ао при данных предыдущей задачи показана на рисунке 5 б.
Выводы. Для задачи определения величины критической силы стержня с шарнирным креплением на концах получены зависимости, которые учитывают трение в шарнирах. Полученные зависимости позволяют определить более точное значение критической силы для стержней. Рассмотрен пример расчета критической силы стержня, который показывает, что ее величина примерно на 5 % меньше той, которая получается по традиционной методике Эйлера.
Аналогичные зависимости для определения критической силы получены для стержней, ослабленных вырезкой в середине. Приведен пример их применения, который показывает, что значения критической силы, определенные по методике Феппля, явно завышены.
Для задач устойчивости стержней с нижней шарнирной опорой при схемах контакта "шар-сферическое углубление" и "шар-цилиндрическая впадина" построены графические зависимости коэффициента трения качения, радиуса шарнира стержня и угла наклона стержня при равновесном положении от допустимого контактного напряжения.
Таким образом, обоснована
необходимость учета геометрических размеров и механических характеристик материалов шарнира при решении задач об упрощенном поведении сложных упругих систем на примере стержней.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бондаренко Л. М. Визначення практичних залежностей коефщента тертя кочення / Л. М. Бондаренко, В. Д. Бондаренко // ТЪеогейса1 ЮиМаИош of civil engineering : Proc. Polish-Ukrainian-Lithuanian Transactions (conference), Warsaw, June, 2006 / Ed. by W. Szczesniak. - Wаrsаw-Vi1nius, 2006. - № 14. - P. 521-524.
2. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики : в 2 ч. / Н. Н. Бухгольц. - 10-е изд., стер. - Москва ; Ленинград : Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 2009. - Ч. 1 : Кинематика, статика, динамика материальной точки. - 467 с. ; Ч. 2 : Динамика системы материальных точек. - 332 с.
3. Гафаров Р. Х. Что нужно знать о сопротивлении материалов / Р. Х. Гафаров, В. С. Жернаков. - Москва : Машиностроение, 2001. - 275 с.
4. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. - 5-е изд., перераб. и доп. - Москва : Высш. шк., 1989. - 624 с.
5. Джавадов И. Понятная физика / И. Джавадов. - Санкт-Петербург : Написано пером, 2014. - С. 52-64.
6. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - Москва : Мир, 1989. - 510 с.
7. Иноземцев В. К. Общая устойчивость сооружений на неоднородном нелинейно деформируемом основании : монография / В. К. Иноземцев, Н. Ф. Синева, О. В. Иноземцева. - Саратов : Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. -242 с.
8. Крагельский И. В. Коэффициенты трения : справ. пособие / И. В. Крагельский, И. Э. Виноградова. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - Москва : Машгиз, 1962. - 228 с.
9. Миролюбов И. Н. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов : [для втузов] / И. Н. Миролюбов, С. А. Енгалычев, Н. Д. Сергиевский. - 5-е изд., перераб. и доп. - Москва : Высш. шк, 1985. - 399 с.
10. Стрельникова К. А. Устойчивость системы «высокий объект - основание» с учетом жесткости основания / К. А. Стрельникова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. -№ 1(52), вып. 1. - С. 29-35.
11. Феппль А. Техническая механика / А. Феппль ; пер. с нем. А. Н. Обморшева. - Москва ; Ленинград : ОНТИ. Глав. ред. техн.-теорет. лит., 1937. - Т. 3 : Сопротивление материалов. - 332 с.
12. Эрдеди А. А. Теоретическая механика / А. А. Эрдеди, Н. А. Эрдеди. - 2-е изд., стер. - Москва : Кнорус, 2012. - 203 с.
13. Bazant Z. P. Stability of structures: elastic, inelastic, failure and damage theories : Oxford University Press / Z. P. Bazant, L. Cedolin. - 3rd ed. - New York : World Scientific, 2010. - 1011 p.
14. Hibbeler R. C. Engineering Mechanics: Statics & Dynamics / R. C. Hibbeler, Ashok Gupta. - 11b ed. - New York : Pearson Education, 2009. - 852 р.
15. Tabor D. The mechanism of rolling friction / Tabor D. // Proceedings of the Royal Society. Series A : Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - London, 1955. - Vol. 229, part 2 : The elastic range - Р. 198-220.
REFERENCES
1. Bondarenko L.M. and Bondarenko V.D. Vyznachennia praktychnikh zalezhnostei koeffitsienta tertia kochennia [Determination of practical dependences of coefficient of rolling friction]. Theoretical Foundations of Civil Engineering. Warsaw-Vilnus, 2006, no. 14, pp. 521-524. (in Ukrainian).
2. Bukhgolz N.N. Osnovnoj kurs teoreticheskoj mekhaniki [The Basic course of theoretical mechanics]. Moskva; Leningrad: Ob'ed. nauch.-tehn. izd-vo NKTP SSSR, 2009. ( in Russian).
3. Gafarov R.G. and Zhernakov V.S. Chto nuzhno znat' o soprotivlenii materialov [What you need to know about the strength of materials]. Moskva: Mashinostroenie, 2001. 275 p. (in Russian).
4. Darkov A.V. and Shpiro G.S. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moskva: Vysshaya shkola, 1989, 22 p. ( in Russian).
5. Dzhavadov I.D. Ponyatnayafizika [Understandable physics]. Sankt Peterburg: Napisano perom, 2014, рр. 52-64. (in Russian).
6. Jonson К. Mekhanika kontaktnogo vzaimodejstviya [Mechanics of contact cooperation]. Мoskva: Mir, 1989, 510 p. (in Russian).
7. Inozemtsev V.K, Sineva N.F. and Inozemtseva O.V. Obshchaya ustojchivost' sooruzhenij na neodnorodnom nelinejno deformiruemom osnovanii [General stability of building on the heterogeneous non linear deformed base]. Sarat. gos. tekhn. Universitet [Saratov State Technical University]. Saratov, 2008, 242 p. (in Russian).
8. Kragelsky I.V. and Vinogradova I.E. Koeffitsienty treniya [The coefficients of friction]. Moskva: Mashgis, 1962, 228 p. ( in Russian).
9. Mirolyubov I.N., Engalychev S.A. and Sergievsky N.D. Posobie k resheniyu zadach po soprotivleniyu materialov [The manual for the solution of problems on strength of materials]. Moskva, Vysshaya shkola, 1985, 399 p. (in Russian).
10. Strelnikova К.А. Ustoychivost' sistemy «vysokij ob'ekt - osnovanie» s uchetom zhestkosti osnovaniya [Stability of the system "A high object is a base" taking in to account in flexibility of base]. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Saratov Sate Technical University]. 2011, no. 1(52), vol. 1, pp. 29-35. (in Russian).
11. Feppl' A. Tekhnicheskaya mekhanika [Technical mechanics]. Мoskva, Leningrad: ONTI. Glav. red. tehn.-teoret. lit., 1937, 332 p. (in Russian).
12. Erdedi A.A. and Erdedi N.A. Teoreticheskaya mekhanika. [Theoretical mechanics]. Moskva: Knorus, 2012. 203 p. (in Russian).
13. Bazant Z.P. and Cedolin L. Stability of Structures: Elastic, Inelastic, Failure & Damage Theories. New York: World Scientific, 2010, 1011 p.
14. Hibbeler R.C. and Gupta A. Engineering Mechanics: Statics & Dynamics. New York: Pearson Education, 2009, 852 p.
15. Tabor D. The mechanism of rolling friction. Proceedings of the Royal Society. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. London, 1955, vol. 229, part 2: The elastic range, pp. 198-220.
Рецензент: д-р т. н., проф. Заренб1н В. Г.
Надгйшла до редколеги: 03.03.2016 р. Прийнята до друку: 03.03.2016 р.
