Теоретические основы гасителей колебаний трением качения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

РУХОМИЙ СКЛАД I ТЯГА ПО1ЗД1В

УДК [62-567.2/.752.2:621.891]

Л. Н. БОНДАРЕНКО1, С. А. ЯКОВЛЕВ2*, И. Е. КРАМАР3, А. И. ШАПТАЛА4

'Каф. «Прикладная механика», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. акад. В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, эл. почта kvp@dsst.gov.ua, ОЯСГО 0000-0000-0001-6602-2745

2*Каф. «Военная подготовка специалистов Государственной специальной службы транспорта», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. акад. В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, эл. почта sergei_jak@mail.ru, ОЯСГО 0000-0002-6431-4303

3Каф. «Военная подготовка специалистов Государственной специальной службы транспорта», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. акад. В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, эл. почта kramar06@mail.ru, ОЯСГО 0000-0002-8159-209Х

4Каф. «Военная подготовка специалистов Государственной специальной службы транспорта», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. акад. В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, эл. почта shaptala100@mail.ru, ОЯСГО 0000-0003-1675-1450

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ТРЕНИЕМ КАЧЕНИЯ

Цель. В вопросах гашения колебаний существует ряд нерешенных проблем - отсутствие инженерных расчетов для гасителей колебания трением качения, отсутствие доказательств целесообразности их применения. Учитывая данный факт, авторы предполагают доказать, что гасители колебаний, основанные на трении качения, являются близкими по темпу затухания колебаний гидравлическим амортизаторам. В то же время они значительно проще гидравлических по конструкции, а в эксплуатации легко поддаются регулировке, как в автоматическом, так и в ручном режимах. Методика. Фиксированная совокупность приемов практической деятельности по определению амплитуд колебаний амортизаторов привела к заранее определенному результату. Это позволило применить эту теорию при расчете других гасителей колебаний. Результаты. Анализ полученных формул и графиков позволяет сделать следующие выводы и предложения: 1) характер затухания колебаний при гасителях колебаний трением качения близок к их затуханию при вязком сопротивлении; 2) при проведении необходимых экспериментов амортизаторы качения могут быть рекомендованы как альтернатива гидравлическим. Результаты исследований данной задачи позволят ввести новые направления в расчет уменьшения динамических нагрузок в машинах. Научная новизна. С помощью теоретических предпосылок для определения коэффициентов трения качения получены зависимости определения амплитуд колебаний при вертикальном перемещении груза. При этом ранее предложенная аналитическая зависимость для определения коэффициента трения качения содержит только общепринятые механические константы контактируемых тел и их геометрические размеры. Практическая значимость. В связи с имеющимися общеизвестными недостатками гидравлических амортизаторов логичным было бы применять технологически удобные в изготовлении и простые в регулировке темпа затухания амортизаторы. Предложенная теория может быть использована при проектировании амортизаторов качения как альтернатива гидравлическим амортизаторам машин.

Ключевые слова: колебания; затухание; стержень; трение; гашение; качение; амортизаторы

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

Введение

Рассмотрим гашения колебаний сосредоточенных масс стержней с помощью трения качения. В машинах в качестве гасителей колебания чаще всего принимается гидравлические амортизаторы. Считается, что в машинах они наиболее удачно определяют темп затухания колебаний. Это же относится и к гашению колебаний балок.

Однако, необходимо учесть, что эти амортизаторы имеют, по крайней мере, два существенных недостатка: первый - сложность в изготовлении, требования к высокой культуре производства и высокой квалификации рабочих; второй -сложность регулирования темпа затуханий с изменением, например, характера дорожного покрытия.

Анализ последних исследований и публикаций. В связи с указанными недостатками гидравлических амортизаторов логичным было бы использовать технологически удобные в изготовлении и простые в регулировке темпа затухания гасители колебания амортизаторов трением качения. В данной статье сделана попытка доказать, что гасителей колебаний, основанные на трении качения, является близким по темпу затухания колебаний. В то же время они значительно проще гидравлических по конструкции, а в эксплуатации легко поддающиеся регулировке, как в автоматическом так и ручном режиме, в чем легко будет убедиться на представленных ниже схемах.

Однако примечание гасителей с качением было ограничено, по крайней мере, двумя причинами: 1) ошибочное доказательство Рейнольдса [1] о том, что причиной сопротивления качения является трение скольжения в месте контакта; 2) отсутствие инженерной зависимости для определения сопротивления качению.

Ошибка Рейнольдса была доказана только через 90 лет Мэйем [2], который доказал, что скольжение играет незначительную роль в сопротивлении качения. Такое долгое властвование теории скольжении при качении было связано, прежде всего с тем, что опровергнуть ее не позволял авторитет в научном мире самого Рей-нольдса и Англии в целом. Если причина в скольжении, то считалось, что попадание масла в такой амортизатор приведет почти к полному отсутствию сопротивления. Формулы по определению сопротивления качению, полученные многочисленными авторами, как правило, содержат

экспериментальные коэффициенты, определение которых требовало больше средств и времени, чем определение самого сопротивления экспериментально.

Наиболее удачно, на наш взгляд, предложена формула по определению коэффициента трения качения в работе [3]. Однако она содержит коэффициент гистерезисных потерь, несовпадающий с его величиной при растяжении-сжатии и зависящий от значительного количества факторов (нагрузки, модуля упругости, коэффициента Пуассона). Описанный в [4] способ его экспериментального определения требует тонкого физического эксперимента и вызывает чисто субъективное недоверие, поскольку сжатие заменено кручением.

В [5] предложена аналитическая зависимость для определения коэффициента трения качения, которая содержит только общепринятые механические константы контактируемых тел и геометрические размеры.

К нерешенным частям проблемы необходимо отнести: а) отсутствие инженерных расчетов для гасителей колебания трением качения; б) отсутствие доказательства целесообразности их применения.

Цель

Цель статьи - расчет гасителей колебаний амортизаторов и колебания балок, доказать их идентичность гидравлическим.

Методика

Методика определения амплитуд колебаний амортизаторов позволит применить эту теорию при расчете других гасителей колебаний.

Результаты

Рассмотрим несколько задач на влияние сил сопротивления качению при свободных колебаниях тел с сосредоточенными массами. Силы сопротивления качению относятся к неупругим сопротивлениям и их общим свойством является связь со знаком скорости: они всегда направлены против движения, т.е. в любое мгновение времени имеют знак, противоположный знаку скорости. Поэтому положительными будем считать силы, действующие против положительного направления осей.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

Силы трения качения относятся к колебаниям при сухом трении [6], поскольку сила сопротивления направлена противоположно скорости.

1. Ввиду большого разнообразия возможных схем амортизаторов, рассмотрим одну из простейших схем, которая позволяет наиболее просто проследить математическую сторону задания (рис. 1).

P =

BRp2 0,4182 E''

(1)

Коэффициент трения качения с учетом гис-терезисных потерь (экспонента)

к = 0,225Ь ехр(-1,2 ,

где ^ - в метрах.

Сопротивление качению Ж = кр / Яг и с его

учетом дифференциальное уравнение свободных колебаний, возникших после начального возмущенного состояния,

ту + Су ± Ж = 0. (2)

Рассмотрим первый интервал движения, который начинается в момент ^ = 0 . Примем, что у = А,, а у = 0. В этом интервале скорость будет отрицательной, поэтому в (4) должен быть взят знак минус.

Обозначим р2 = с / т; а = Ж / С , тогда

У = p2 y - ap2 = 0.

(3)

Решение этого уравнения при принятых начальных условиях имеет вид

Рис. 1. Простейшая схема амортизатора качения

Fig. 1 The simplest scheme of the rolling shock absorber

Пусть масса m (заштрихована) подвешена на пружину жесткостью C . Часть колебания возникает после какого-либо начального возбуждения. Рассмотрим модель из двух цилиндров длиной B и радиусом R1, которые прижаты к направляющей силами P .

Из теории контактных напряжений [8] найдем максимальную величину силы P :

y = (A - a)cos(pt) + a .

(4)

где с - допустимые контактные напряжение при линейном контакте; Е - модуль упругости материалов направляющей и роликов (цилиндров); здесь принято, что модули упругости одинаковые, а коэффициенты Пуассона равны 0,3.

При известной величине Р полуширина пятна контакта

Ь = 3,65 Ягс

= Е '

Когда аргумент pt становится равным п, скорость у обратится в ноль, и масса m достигнет своего крайнего отклонения вниз. Это отклонение согласно (4) составит

A1 = (A - а) cos п + a = - A + 2a

и по абсолютной величине меньше начального на величину 2a.

Если абсолютная величина | A1 |> W / C1 (или | A1 |> а), то сила упругости больше силы трения качения и масса m начинает двигаться в сторону положительных значений у, и уравнение движения запишется в виде

у + р2у + ар2 = 0 .

Если совместить начало отсчета времени так, что i при t=0, y= A, у = 0, то решение можно записать в виде

y = (A1 + a) cos(pt) - a .

Рассуждая аналогично выше приведенному, легко получить, что для следующего отклонения

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

Л2 = - 4а ,

т.е. за один период колебаний амплитуда уменьшается на одну и ту же величину 4а и, таким образом, последовательность образует арифметическую прогрессию огибающей кривой, которой будет прямая линия.

Естественно, что колебания будут происходить до тех пор, пока С1 | Л1 |> Ж или | Л1 |> а .

Если же отклонение Л1 станет меньше, чем а, то движение массы прекращается, поскольку сила трения качения Ж превзойдет силу упругости пружины С1 у.

Пример:

С1 = 6кн/м; т = 800кг; Е = 2,1 • 10-5 МПа; [с] = 300...1200 МПа Л0 = 0,15м, В = 50мм, Я1 = 20мм.

Зависимости величин, входящих в (1)-(4) от допускаемых контактных напряжений, показаны на рис. 2.

Щ Н Р, кН а, мм

50 10

250 50 и

200 150 40 30 А/ а

100 20 J /

/ Ж ?

$3 *1

50

40 30

20

10

300 600 9001200 [а], МПа

Рис. 2. Зависимость от величины допускаемых контактных напряжений:

1 - допускаемой силы Р; 2 - сопротивления качению двух цилиндров; 3 - полуширины пятна контакта

Fig. 2. Permissible contact stressrate relationship: 1 - permissible power P; 2 - rolling resistance of two cylinders; 3 - half-width of the contact patch

На рис. 3 показаны кривые колебаний в зависимости от величины прижатия цилиндров к направляющей. Кривой 2 показан характер

колебаний груза при вязком сопротивлении исходя из уравнения

у + 2пу + у = 0 ,

где п = К / 2т ; К - коэффициент пропорциональности (при начальных условиях у = У0 = 150мм. и0 = 0).

Из рис. 3 легко убедиться в идентичности.

Рис. 3. Виды кривых колебаний:

1 - при [ С ]= 1100 Мпа ([р]=33кН);

2 - при вязком сопротивлении кривых колебаний 1 и 2

Fig. 3. Types of curves hesitation:

1 - in [ С ] = 1100 MPa ([p] = 33 kN);

2 - when the viscous resistance of curves vibrations 1 and 2

Это дает основание говорить о том, что трением качение можно добиться примерно такого же характера затухания колебаний, как и при взятом сопротивлении. Однако отменим, что в случае двух катящихся цилиндров легко поменять сопротивление W, например, за счет уменьшения расстояния между цилиндрами или меняя силы Р.

2. Рассмотрим задачу, схематически приведенную на рис. 4. Отличия такого амортизатора от представленного на рис. 1 являются: перенос пружины той же жесткости С х к цилиндрам (роликам); изменение положения статического равновесия и величины сопротивления качению за счет, например, винта.

Величину h /2 примем за положение статического равновесия, а жесткость пружин примем такую, чтобы груз удерживался в этом положении за счет сопротивления качению роликов по клину. Радиус роликов найдем для нижнего положения y =-h / 2 , когда контактные напряжения будут максимальными.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

ния

1,28 mg (d2 + h2)

C =

V

BEhR

mg

Vd2 + h2

(6)

а максимальная величина радиуса

r1=0,3 .

1 Bkc3 Нормальное давление ролика на клин

P = ■

C d2

C :(h - 2y).

Wd2 + h2

(7)

(8)

Г (y) =

2,8mg (h/2 - y У h/2 - y hjh

(9)

— < y <2 2

ческого равновесия груза определяется ординатой у=0.

Теперь уравнение колебаний груза на клине не определяется той же формулой (2) при величине Ж определенный из (9). Решение полученного уравнения в замкнутом виде, очевидно, осуществить сложно и необходимо применить какой-нибудь приближенный способ.

3. Решим задачу, аналогично рассмотренной в начале, но при условии, что ролики перемещаются при качении по клину (рис. 5).

Радиус роликов в этом случае

Рис. 4. Расчетная схема клинового амортизатора качения

Fig. 4. Diagram of rolling wedge shock absorber

Вертикальная составляющая сопротивления качению двух роликов по клину

R =

0,4182 E (N + C2 L2)

Bo

1

-L2/ H2

(10)

а величина сопротивления качению при y=0, N=0 [5]

W(y) = J,64ctC2\ y3/2 exp(-1,2Rj). (11)

W = 0,687Qd3(k - 2y) ¡^(h - 2y) (5) ' R(d2 + k2) iBEksid^+h1 '

Величина C1 здесь определяется из выраже-

E^H (L2 + H2)

Если величины R1 и C1 из (7) и (6) подставить в (8), то получим

Напомним, что величина Я1 найдена исходя из величины максимальных контактных напряжений, а С1 из условия, что положение стати-

Рис. 5. Динамическая модель амортизатора с двумя пружинами

Fig. 5. The dynamic model of the shock absorber with two springs

4. Пусть поперечные колебания консольной балки гасятся амортизатором типа рассмотренного в начале статьи (рис. 6).

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету з^зничного транспорту, 2015, № 4 (58)

Рис. 6. Схема консольного стержня с амортизатором качения

Fig. 6. Scheme of a cantilever beam with shock absorbers rolling

Уравнение колебаний

2 W

y (t) + ш2 y(t) = ±—, m

(12)

где ю = //V me /3EJ .

Общее решение этого уравнения запишем в виде

y(t) = Y sin(<a t + ф0) ± 0,547Pal3 /(EJ)E , (13)

где (EJ) - изгибная жесткость трения, при начальных условиях y(0) = y0, y(0) = 0

y (t) = Y cos <at ± 1,64 Pal 3/3(EJ) E . (14)

Когда масса движется вниз, сила трения будет направлена вверх, а колебания будут происходить относительно положения

a = 1,64Pl3/3(EJ)E и амплитуда уменьшится на эту же величину и станет равной y0 = 2 • 1,64Pl3a /3(EJ)E .

Таким образом, уравнение верхней огибающей будет

y(t)b = [y0 -0,54Pl3a/(EJ)EnJ3^t2 ,(15)

me

нижней

me

при периоде колебаний

T = 2n

3( EJ)

me

График движения массы m с учетом амортизатора качения показан на рис. 7. График построен при следующих данных:

m = 600 кг, 1=3 м (при этом T=1 с),

ю = 6,28с-1, у0 = 30 мм,

с = 800 МПа, E = 2,1 -105 МПа - величина

зоны застоя.

Рис. 7. График движения массы m при силе прижатия катка P=10 кН (сплошная линия) и P=30 кН (пунктирная линия), а=2,64 мм

Fig. 7. The graph of mass m when pressing force of the rink P=10 kN (solid line) and P=30 kN (doted line), a=2.64 mm

Если на систему, показанную на рис. 6, кроме сил инерции и сил сопротивления качению действует еще сила P (t), то уравнение (12) для этого случая примет вид

y (t) + <2 y (t) ±W = ™

m m

(18)

y(t)h = [-y0 + 0,54Pl3a/(EJ)EkJ3^2 (16)

(17)

При силе P = const выкладки предыдущего примера повторяется, и решение приведем в сокращенном виде.

При движении массы вниз колебания будут происходить относительно положения, определяемого отношением Wl /3(EJ)- P при амплитуде, равной y0 = Wl3 /3(EJ) + P. В случае движения массы вверх сила трения будет совпадать с силой Р и колебания будут проходить относительно положения, указанного выше, а амплитуда уменьшится на Wl3 / 3(EJ) и ста-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету з^зничного транспорту, 2015, № 4 (58)

нет равной у0 = 2Ж13/3(Е/) - Р . Уравнение верхней огибающей у0 - [2Ж13 / 3(Е/)], а нижней -у0 + [2Ж3 / 3(Е/) + Р].

В случае внезапного приложения силы Р начальными условиями будут t = 0, у(0) = 0, у (0) = 0 и уравнение колебаний примет вид

y (t) = (P ± W )(1 - cos at).

(19)

В случае, когда p(t) = P0cosat (гармоническая сила) уравнение колебаний

2,4 W P0COS 0t

y (t) + a2 y(t) = ±— + -0-, (20)

m m

решение которого при начальных условиях (нулевых)

P ± W

y(t) = — 0 ~ coset. (21)

my](a2 -e2)2

Если P(t)= P0 sin et, то при этих же условиях

P ± W

y(t) =-. 0 ~ sin et. (22)

mj(a2 -e2)2

Научная новизна и практическая значимость

С помощью теоретических зависимостей для определения коэффициентов трения качения получены зависимости для определения амплитуд колебаний при вертикальном перемещении груза.

Предложенная теория может быть использована при проектировании амортизаторов качения как альтернатива гидравлическим амортизаторам машин.

Выводы

Анализ полученных формул и графиков позволяет сделать следующие выводы и предложения:

— характер затухания колебаний при гасителях колебаний трением качения близок их затуханию при вязком сопротивлении;

— при проведении необходимых экспериментов амортизаторы качения могут быть рекомендованы как альтернатива гидравлическим.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Автомобш: тягово-швщшсш властивосп та паливна eKOHOMi4HiCTb / В. П. Сахно, Г. Б. Без-бородова, М. М. Маяк, С. М. Шарай. - Ки!в : КВЩ, 2000. - 174 с.

2. Бондаренко, Л. М. Деформацшш опори в машинах / Л. М. Бондаренко, М. П. Довбня,

B. С. Ловейшн. - Дшпропетровськ : Дншро-VAL, 2002. - 200 с.

3. Гащук, П. М. Зумовлеш зволожешстю дороги, акустичним випромiнюванням та проковзуван-ням шин складовi коефщента опору коченню колеса транспортно! машини / М. П. Гащук,

C. В. НЫпчук // Вюн. нац. ун-ту «Львiвська полгтехшка». - Львiв, 2012. - № 730 : Дина-мша, мiцнiсть та проектування машин i приладiв. - С. 14-21.

4. Гащук, П. М. Теорiя автомоб™: Колесо / П. М. Гащук, Т. Г. Мисьшв. - Львiв : Укр. технологи, 2010. - 254 с.

5. Гащук, П. М. Феноменолопчне й модельне означення поняття «коефiцieнт опору коченню» колеса транспортно! машини / П. М. Гащук, С. В. НЫнчук // Вюн. нац. ун-ту «Львiвська полгтехшка». - Львiв, 2013. -№ 759 : Динашка, мщнють та проектування машин i приладiв. - С. 16-25.

6. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - Москва : Мир, 1989. -510 с.

7. Кузьменко, А. Г. Метод подобия в решении контактных задач для двоякой кривизны / А. Г. Кузьменко // Проблеми трибологи. -

2008. - № 2. - С. 25-55.

8. Кузьменко, А. Г. Пластический контакт тел двоякой кривизны / А. Г. Кузьменко // Пробле-ми трибологи. - 2009. - № 1. - С. 46-64.

9. Кухарь, В. В. Функциональная связь неравномерности деформации с коэффициентом контактного трения при пластической осадке заготовок / В. В. Кухарь // Проблеми трибологи. -

2009. - № 1. - С. 91-96.

10. Умови кочення без проковзування ттл при рiзних схемах дотику / Л. М. Бондаренко, С. О. Яковлев, I. Е. Крамар, О. I. Шаптала // Conduct of modern science - 2014 : Materials of X Scientific and Practical Conf. (30.11-7.12.2014). - Sheffield, 2014. - Р. 12-17.

11. Фуфаев, Н. А. Простейшие теории качения колеса / Н. А. Фуфаев. - Горький : ГГУ им. Лобачевского, 1984. - 27 с.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

12. Reynolds, O. On rulling friction / O. Raynolds // Philosophical Transactions of the Royal Society. -1875. - Vol. 166. - P. 155-174.

13. Mitschke, M. Dynamik der Kraftfahrzeuge / M. Mitschke, H. Wallentowitz. - Berlin : Springer, 2010. - 709 p.

14. Tabor, D. The mechnism of roeling friction: the elastic range / D. Tabor // Proc. of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1955. - Vol. 229. - Iss. 1177. - P. 198-220. doi: 10.1098/rspa.1955.0082.

Л. М. БОНДАРЕНКО1, С. О. ЯКОВЛЕВ2*, I. G. КРАМАР3, О. I. ШАПТАЛА4

1Каф. «Прикладна механжа», Дшпропетровський нацюнальний ушверситет затзничного транспорту 1м. акад. В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дншропетровськ, Украша, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, ел. пошта kvp@dsst.gov.ua, ОЯСГО 0000-0000-0001-6602-2745

2*Каф. «Вшськова тдготовка спещатспв Державно! спетально! служби транспорту», Дшпропетровський нацюнальний утверситет зал1зничного транспорту 1м. акад. В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дншропетровськ, Укра!на, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, ел. пошта sergei_jak@mail.ru, ОЯСГО 0000-0002-6431-4303

3Каф. «Вшськова тдготовка спещатспв Державно! спетально! служби транспорту», Дшпропетровський нацюнальний ун1верситет зал1зничного транспорту 1м. акад. В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дншропетровськ, Укра!на, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, ел. пошта kramar06@mail.ru, ОЯСГО 0000-0002-8159-209Х

4Каф. «Вшськова тдготовка спетатспв Державно! спетально! служби транспорту», Дшпропетровський нацюнальний ун1верситет зал1зничного транспорту 1м. акад. В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дншропетровськ, Укра!на, 49010, тел. +38 (056) 793 19 19, ел. пошта shaptala100@mail.ru, ОЯСГО 0000-0003-1675-1450

ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ ГАСИТЕЛ1В КОЛИВАНЬ ТЕРТЯМ КОЧЕННЯ

Мета. У питаннях гасител1в коливань iснуe ряд невирiшених проблем - вщсутшсть iнженерних розрахункiв для гасителiв коливання тертям кочення; вiдсутнiсть доказiв доцiльностi !х застосування. Враховуючи даний факт, автори передбачають довести, що гасителi коливань, заснованi на терп кочення, е близькими за темпом загасання коливань гiдравлiчним амортизаторам. У той же час вони значно прослше гiдравлiчних за конструкцiею, а в експлуатацп легко пiддаються регулюванню, як в автоматичному, так i в ручному режимах. Методика. Фшсована сукупнiсть прийомiв практично! дiяльностi з визначення амплiтуд коливань амортизаторiв призвела до заздалегiдь певного результату i дозволила застосувати цю теорiю при розрахунку iнших гасителiв коливань. Результати. Аналiз отриманих формул та графМв дозволяе зробити наступнi висновки й пропозицп: 1) характер загасання коливань при гасителях коливань тертям кочення близький до !х загасання при в'язкому опорц 2) при проведенш необхiдних експериментiв амортизатори кочення можуть бути рекомендованi як альтернатива гiдравлiчним. Результати дослiджень дано! задачi дозволять ввести новi напрямки в розрахунок зменшення динамiчних навантажень у машинах. Наукова новизна. За допомогою теоретичних передумов для визначення коефiцiентiв тертя кочення отримат залежностi для визначення амплггуд коливань при вертикальному перемщент вантажу. При цьому ранiше запропонована аналiтична залежнiсть для визначення коефщента тертя кочення мiстить тiльки загальноприйняп механiчнi константи тiл, якi контактують, та iх геометричнi розмiри. Практична значимкть. У зв'язку з наявними загальновщомими недолiками гiдравлiчних амортизаторiв лопчним було б застосовувати технологiчно зручт у виготовленнi та простi в регулювант темпу загасання амортизатори. Запропонована теоргя може бути використана при проектуванш амортизаторiв кочення як альтернатива гiдравлiчним амортизаторам машин.

Ключовi слова: коливання; загасання; стрижень; тертя; гасшня; кочення; амортизатори

L. M. BONDARENKO1, S. A. YAKOVLEV2*, I. E. KRAMAR3, A. I. SHAPTALA4

'Dep. «Applied Mechanics», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 793 19 19, e-mail kvp@dsst.gov.ua, ORCID 0000-0000-0001-6602-2745

2*Dep. «Military Training of Specialists of the State Special Service of Transport», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010,

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

tel. +38 (056) 793 19 19, e-mail sergei_jak@mail.ru, ORCID 0000-0002-6431-4303

3Dep. «Military Training of Specialists of the State Special Service of Transport», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, 4el. +38 (056) 793 19 19, e-mail kramar06@mail.ru, ORCID 0000-0002-8159-209X

4Dep. «Military Training of Specialists of the State Special Service of Transport», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 793 19 19, e-mail shaptala100@mail.ru, ORCID 0000-0003-1675-1450

THE THEORETICAL FOUNDATIONS OF VIBRATION DAMPERS BY ROLLING FRICTION

Purpose. There are some unresolved issues in vibration damping - the lack of engineering calculations for the vibration dampers by rolling friction; the absence of evidence of their application appropriateness. Considering this fact, the authors suggest to prove that the dampers based on rolling friction, are similar in rate of oscillation damping by hydraulic shock absorbers. At the same time, they are easier for the hydraulic design, and easily amenable to manual adjustment, both in automatic and manual mode. Methodology. Fixed techniques of practice in order to determine amplitudes of the oscillations of a shock absorber led to a predetermined result and will apply this theory in the calculation of other vibration dampers. Findings. Analysis of the formulas and graphs leads to the following conclusions and recommendations: 1) the nature of the oscillation damping at vibration dampers by rolling friction is close to their decay in the viscous resistance; 2) when conducting the necessary experiments the shock absorber rolling can be recommended as alternatives to hydraulic ones. The research results of this task will help implement the new trend in reduction of dynamic loads in vehicles. Originality. With the help of theoretical curves to determine the coefficients of rolling friction the dependences for determining the amplitudes of the oscillations in the vertical movement of cargo were obtained. At the same time, the previously proposed analytical dependence for determining the coefficient of rolling friction contains only conventional mechanical constants of the contacting bodies and there geometrical dimensions. Practical value. Due to the existing well-known disadvantages of hydraulic shock absorbers it would be logical to apply shock absorbers that are technologically convenient in manufacturing and easy to adjust the damping rate. The proposed theory can be used in the design of shock absorbers rolling as an alternative to the hydraulic shock absorbers of machines.

Keywords: vibrations; damping; rod; friction; suppression; bearings; shock absorbers

REFERENCES

1. Sakhno V.P., Bezborodova H.B., Maiak M.M., Sharai S.M. Avtomobili: tiahovo-shvidkisni vlastyvosti ta palyvna ekonomichnist [Cars: traction-speed characteristics and fuel efficiency]. Kyiv, Vydavnytstvo «KVShch», Publ., 2000. 174 p.

2. Bondarenko L.M., Dovbnia M.P., Loveikin V.S. Deformatsiini opory v mashynakh [The deformation of the support in cars]. Dnipropetrovsk, Dnipro-VAL Publ., 2002. 200 p.

3. Hashchuk M.P., Nikipchuk S.V. Zumovleni zvolozhenistiu dorohy, akustychnym vyprominiuvanniam ta prokovzuvanniam shyn skladovi koefitsiienta oporu kochenniu kolesa transportnoi mashyny [Components of rolling resistance coefficient of a wheel in a transport vehicle due to road humidity, acoustic radiation and tire scrubbing]. Visnyk Natsionalnoho universytetu «Lvivska politekhnika». Dynamika, mitsnist ta proektuvannia mashyn i pryladiv [Bulletin of National University «Lviv Polytechnic». Dynamics, strength and design of machines and devices], 2012, no. 730, pp. 14-21.

4. Hashchuk P.M., Myskiv T.H. Teoriia avtomobilia: Koleso [The theory of the car: Wheel]. Lviv, Ukrainski tekhnolohii Publ., 2010. 254 p.

5. Hashchuk P.M., Nikinchuk S.V. Fenomenolohichne y modelne oznachennia poniattia «koefitsiient oporu kochenniu» kolesa transportnoi mashyny [Phenomenological model and the definition of «rolling resistance coefficient» of the vehicle wheel]. Visnyk Natsionalnoho universytetu «Lvivska politekhnika». Dynamika, mitsnist ta proektuvannia mashyn i pryladiv [Bulletin of National University «Lviv Polytechnic». Dynamics, strength and design of machines and devices], 2013, no. 759, pp. 16-25.

6. Dzhonson K. Mekhanika kontaktnogo vzaimodeystviya [Mechanics of contact interaction]. Moscow, Mir Publ., 1989. 510 p.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)

7. Kuzmenko A.G. Metod podobiya v reshenii kontaktnykh zadach dlya dvoyakoy krivizny [Method of similarity in the solution of contact problems for double curvature]. Problemy trybolohii - Problems of Tribology, 2008, no. 2, pp. 25-55.

8. Kuzmenko A.G. Plasticheskiy kontakt tel dvoyakoy krivizny [Plastic contact of double curvature bodies]. Problemy trybolohii - Problems of Tribology, 2009, no. 1, pp. 46-64.

9. Kukhar V.V. Funktsionalnaya svyaz neravnomernosti deformatsii s koeffitsientom kontaktnogo treniya pri plasticheskoy osadke zagotovok [The functional relation of non-uniformity deformation with the coefficient of contact friction during plastic upsetting]. Problemy trybolohii - Problems of Tribology, 2009, no. 1, pp. 91-96.

10. Bondarenko L.M., Yakovliev S.O., Kramar I.E., Shaptala O.I. Umovy kochennia bez prokovzuvannia til pry riznykh skhemakh dotyku [Conditions of rolling without slipping of the bodies under various schemes of touch]. Conduct of modern science 2014. Materials of X Scientific and Practical Conf. (30.11-7.12.2014), Sheffield, 2014, pp. 12-17.

11. Fufayev N.A. Prosteyshiye teorii kacheniya kolesa [The elementary theory of rolling wheels]. Gorkiy, GGU im. Lobachevskogo Publ., 1984, 27 p.

12. Reynolds O. On rulling friction. Philosophical Transactions of the Royal Society, 1875, vol. 166, pp. 155-174.

13. Mitschke M., Wallentowiz H. Dynamik der Kraftfahrzeuge. Berlin, Springer Publ., 2010. 709 p.

14. Tabor D. The mechnism of roeling friction: the elastic range. Proc. of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1955, vol. 229, issue 1177, pp. 198-220. doi: 10.1098/rspa.1955.0082.

Статья рекомендована к публикации д.т.н., проф. И. А. Вакуленко (Украина); к.т.н., доц.

В. И. Пантелеенко (Украина)

Поступила в редколлегию 07.04.2015

Принята к печати 21.06.2015