CC BY
74
УДК 531.44
А.А. Киреенков1, С.В. Семендяев2
1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Связанные модели трения скольжения и верчения: от теории к эксперименту
Представляется принципиально новый подход к моделированию сухого трения в условиях комбинированной кинематики, отличительная черта которого состоит в построении моделей трения, удобных для использования в дифференциальных уравнениях движения. Процедура построения моделей состоит в замене точных интегральных представлений для силы и момента трения соответствующими разложениями Паде. Приближенные модели сохраняют все свойства точных интегральных моделей и корректно описывают поведение силы и момента трения, а также их первых производных в нуле и на бесконечности. Более того, коэффициенты моделей могут быть определены из экспериментов. Следовательно, модели, основанные на разложениях Паде, могут интерпретироваться как феноменологические модели комбинированного сухого трения. Описывается экспериментальная установка, разработанная для проверки теоретических моделей, и эксперименты по определению силы трения действующей на тяжелый диск, скользящий с вращением по шероховатой плоскости. Полученные результаты подтверждают корректность развиваемой теории поликомпонетного сухого трения.
Ключевые слова: поликомпонентное сухое трение, разложения Паде, экспериментальное исследование.
I. Двумерные модели трения
Сухому трению в научной литературе посвящено большое число работ, простое перечисление которых заняло бы не одну страницу. В большинстве публикаций авторы используют одномерную модель сухого трения по Кулону, считая силу в точке контакта направленной против относительной скорости скольжения и не зависящей от ее модуля:
F = -Fo signv, (v = 0);
-Fo ^ F ^ Fo, (v = 0);
Fo = fN,
здесь v — скорость относительного поступательного перемещения трущихся тел, F0 = fN — сила трения трогания, f — коэффициент сухого трения, N — сжимающая тело сила (рис. 1).
F
г 0
V
“Г 0
Рис. 1. Сила трения по Кулону
Независимость силы трения от скорости в случае прямолинейного поступательного скольжения трущихся тел была установлена Кулоном экспериментально на основании многочисленных опытов, проведенных им в 1781-1821 годах [1]. Методика экспериментов, выполненных Кулоном, была одновременно проста и оригинальна. На плоскую поверхность экспериментального стола помещались образцы различных материалов, к которым через блок прикреплялись грузы различной массы и два ассистента засекали время, за которое образец проходил заданное расстояние (рис. 2).
і
Рис. 2. Схема экспериментов Кулона
Из полученных зависимостей было установлено, что все движения для одних и тех же материалов трущихся поверхностей начинаются при строго определенной массе грузов и происходят с постоянным ускорением. Из последнего факта Кулон и сделал вывод, что сила трения не зависит от скорости и определяется только прижимающей силой и свойствами трущихся материалов. Установленную зависимость он записывал в следующей форме: = N, где впервые введенный им
коэффициент £ принимал значения больше единицы и был обратно пропорционален используемому в настоящее время коэффициенту трения.
В случае комбинированной кинематики, когда трущиеся тела участвуют одновременно в движениях скольжения и верчения, условия, в которых осуществлялся эксперимент Кулона, нарушаются, и закон трения претерпевает существенные изменения.
Одна из первых попыток описать взаимосвязь трения скольжения и верчения в случае неточечного контакта движущихся тел была предпринята П. Контенсу (Con.ten.sou Р.) [2]. Предполагая, что обе соприкасающиеся поверхности локально сферические, а распределение контактных напряжений внутри пятна контакта определяется законом Герца:
а{г) =
_3* Д_ Н
2тгД2 V К2 ’
(1)
где Я — радиус пятна контакта, N — сжимающая сила, а г — радиус-вектор элементарной площадки внутри площадки контакта (рис. За). Контенсу численно получил зависимость модуля силы сухого трения от отношения к = ь/(Яи) скорости скольжения V к линейной скорости вращения Яш (рис. Зб).
Рис. 3. а) Схема пятна контакта. б) Сила трения по Контенсу
Принципиально новое развитие теории Кон-тенсу было дано В.Ф. Журавлевым в [3]. Используя перенос начала системы координат в мгновенный центр скоростей, он получил точные аналитические выражения для силы и момента трения в элементарных функциях для круговых площадок контакта в предположении, что распределение контактных напряжений в пятне контакта подчиняется закону Герца. Для удобства использования этих функций в задачах динамики Журавлев построил их соответствующие аппроксимации Паде:
| V | + а\и\
, М = Мп
|и| + т^\'
Ео = Е(и^)\и=п, Мп = М(и^)\у=п,
1 |м| 8Р 1 |г;| дМ
а Еп дv у=п' т Мп ди
коэффициенты которых могут быть вычислены аналитически или определены экспериментально.
(2)
и=П
Наиболее ярко эффекты комбинированного сухого трения проявляются при наличии протяженных площадок контакта. Одним из классических примеров, демонстрирующих закономерности сухого трения в условиях комбинированной кинематики, является задача о скольжении по шероховатой плоскости тяжелого вращающегося диска. Исследование динамики тяжелого диска с учетом взаимосвязи трения скольжения и верчения было начато в [4] в предположении равномерного распределения давления диска на плоскость. Изучение проблемы при более корректной модели распределения давления диска на плоскость долгое время было затруднено громоздкостью проводимых вычислений. Только появление теории Журавлева позволило достигнуть существенного прогресса в изучении динамики диска при более реалистичных предположениях о распределении нормальных контактных напряжений внутри пятна контакта.
В предположении, что распределение контактных напряжений распределено по закону Галина [5]:
а(г) = (3) где Я — радиус диска, N — сжимающая сила (вес диска), а г — радиус-вектор элементарной площадки внутри площадки контакта (рис. 3а), в работе [6] были получены точные аналитические выражения для главного вектора и момента сил трения и построены их дробно-линейные аппроксимации Паде, имеющие вид (2), отличающиеся только значениям соответствующих коэффициентов. С их помощью были получены новые качественные результаты о динамике диска, свободно скользящего с верчением по горизонтальной плоскости. В частности, было показано, что в момент остановки мгновенный центр скоростей находится точно на границе диска и что движение заканчивается за конечное время.
Одно из принципиальных отличий задач, изученных в [3, 6], состоит в том, что сначала строятся точные выражения для главного вектора и момента сил трения, а уже на их основе — аппроксимации Паде, которые и применяются для исследования динамики. Данный подход, как и большинство использованных ранее, требует вычисления кратных интегралов по пятну контакта, что возможно только для ограниченного числа видов распределений контактных напряжений, а получаемые в результате интегрирования выражения крайне громоздки и неудобны при решении задач динамики. Более того, в реальных задачах законы распределений контактных напряжений априори неизвестны и зачастую могут быть получены только эмпирически. Многие авторы пытались решить данную проблему, однако все попытки ограничивались либо упрощенными представлениями
о законе трения, либо разложениями в ряды Тейлора подынтегральных выражений [7], в зависимо-
V
и
сти от соотношения между скоростями скольжения и вращения. Для решения данной проблемы была разработана методика прямого построения аппроксимаций Паде, минуя вычисления соответствующих интегралов [8-9].
Удобство использования аппроксимаций Паде, позволяющее описывать эффекты комбинированного сухого трения для всего диапазона угловых и линейных скоростей, привело к созданию принципиально новых моделей трения на их основе, которые могут рассматриваться как феноменологические, так как их коэффициенты могут быть определены из экспериментов. С помощью дробно-линейных аппроксимаций Паде в [9] впервые были аналитически получены границы «зоны застоя» (рис. 4, линия II) — геометрической области на плоскости в осях сила-момент, наглядно иллюстрирующей эффект уменьшения силы трения при появлении сколь угодного малого момента сил трения. Доказательство в работе [10] свойства выпуклости зоны застоя, нарушаемого при использовании дробно-линейных аппроксимаций Паде, привело к необходимости привлечения для моделирования комбинированного сухого трения аппроксимаций Паде более высокого порядка. Границы зоны застоя, полученные с помощью разложений Паде второго порядка (рис. 4, линия III) , полностью удовлетворяют свойству выпуклости и практически совпадают с точными границами, полученными численным моделированием точной интегральной модели трения [11] (рис. 4 линия I).
\ (Ш) Л.
/ / 0.5-
/ А
<го \ч\
-0.5 ' . 0.5
У I
V \ 0.5-
Рис. 4. Зона застоя
Вместе с тем в [11] было показано, что для задач динамики достаточно использования моделей трения на основе разложения Паде первого порядка вида (2).
Для формализации развиваемой теории в зависимости от числа кинематических параметров, определяющих силовое состояние, в [11] было вве-
дено понятие размерности модели сухого трения, а в зависимости от порядка используемых Паде аппроксимаций понятие порядка модели. Например, для круговых площадок контакта с центрально-симметричным распределением контактных напряжений два силовых фактора: сила трения, направленная против скорости скольжения, и момент зависят от двух кинематических факторов: угловой и линейной скоростей — двумерные модели первого порядка и второго порядка имеют соответственно вид:
Еп к
M =
F =
Мои lul + mlv\
l v I + alul Mo
lkl + a'
F =
Me =
, и = lvR, к = —. 1 + mlk u
Fo(v2 + auv) _ Fo(k2 + ak)
v2 + auv + u2 k2 + ak + 1 '
Mo(u2 + muv) _ Mo(1 + mk)
(4)
(5)
v2 + muv + u2 k2 + mk + 1
где R — радиус пятна контакта, v — линейная скорость относительного проскальзывания, а ш — угловая скорость вращения центра пятна контакта.
Если распределение нормальных контактных напряжений определяется, например, формулами (1) или (3), то коэффициенты разложений (4) — (5) могут быть вычислены аналитически или определены из экспериментов [12].
Отличительной чертой моделей трения (2), (4), (5) было то, что все они были построены в предположении справедливости закона Кулона в дифференциальной форме для маленького элемента площади внутри пятна контакта (рис. 3a). Однако из посткулоновских экспериментов [13] известно, что график реальной характеристики закона трения при отличной от нуля скорости проскальзывания имеет вид, представленный на рис. 5, и может быть описан следующей функцией:
F = f (sign v - /11 v + fl2v3 ), (6)
где v — скорость относительного проскальзывания трущихся тел, f — коэффициент трения, а Hi и H2 параметры, определяемые по координатам минимума характеристики на рис. 5.
F
V
0
Рис. 5. Посткулоновская модель трения
В случае комбинированной кинематики зависимость (6) может использоваться так же, как и
классический закон Кулона, только в дифференциальной форме. Исследование моделей трения построенных на ее основе показало [14], что, как и в случае использования классического закона Кулона в дифференциальной форме, нормальная составляющая силы отсутствует. Сила трения направлена противоположно скорости относительного проскальзывания, в представлениях для силы и момента трения возникают дополнительные полиномиальные члены. В результате двумерные модели трения первого и второго порядков имеют вид
Мс = Мо
и
и + ть
+ 27г((2діь2 - Д2)и/э + Ціи3/б) ,
Мо = /ІУД, - = ^
т М0 ди
и=0
Г = Го
V
V + аи
+ 2п((ціV3 - Ц2ь)Іі + 2ціьи2їз)
1
и дГ
Г0 = /ІУ, - = — — а Г0 дь
(7)
и=0
Мс = Мо
2
и2 + тиь
V2 + тиь + и2
+ 2п((2цV - Ц2)иІз + щи3/б)
т =
V дМс
М0 ди
и=о
Г = Го
2
V2 + ат V2 + ат + и2
+ 27г((ці V3 - Ц2V)!! + 2ці VM2І3 ) .
дГ
а=
Г0 дv
(8)
и=0
Коэффициенты полиномиальных членов в формулах (7)-(8) представляют собой первые моменты распределения нормальных контактных напряжений, нормированные на их значения в цен-
1
тре пятна контакта: /1 = га(г)ёг — момент пер-
п
1
вого порядка, /3 = г3а(г)ёг — момент третьего п
1
порядка, /5 = г5а(г)^ — момент пятого поряд-
п
ка. Они могут быть вычислены в элементарных функциях для большинства используемых моделей распределения нормальных контактных напряжений.
Первые члены в правых частях равенств (7) — (8) соответствуют простейшим двумерным моделям (4) — (5). Поэтому модели (7) — (8) могут рассматриваться как следующее приближение к реальной зависимости трения в условиях комбинированной кинематики.
Графически функции (4)--(5) и (7)--(8) как функции скорости скольжения V при постоянной скорости верчения и для галинского распределения нормальных напряжений (3) представлены на рис. 6 соответственно пунктирными и сплошными линиями. Они показывают, что использование
закона Кулона в обобщенной дифференциальной форме вместо классической главным образом влияет на поведение силы трения. Качественно поведение момента трения точно такое же, как и в случае использования классического закона Кулона в дифференциальной форме с небольшими количественными отличиями.
Рис. 6. Двумерные модели трения
направление вращения платформы
Рис. 7. а) Схема экспериментальной установки. Вид сбоку. б) Схема экспериментальной установки. Вид сверху
II. Экспериментальная проверка теоретических результатов
С целью проверки адекватности теоретических моделей в лаборатории механики систем ИПМех РАН в содружестве с кафедрой теоретической механики МФТИ был разработан лабораторный стенд, позволяющий измерять силу сухого трения при прямолинейном проскальзывании трущихся тел при наличии верчения для различных форм областей контакта. Была создана модульная конструкция [12], позволяющая проводить независимую доработку ее основных блоков,
и
принципиальная блок-схема которой представлена на рис. 7а и рис. 7б, соответственно вид сверху и вид сбоку. В отличие от существующих аналогов установка дает возможность проводить эксперименты для широкого диапазона изменения кинематических параметров, определяющих силовое состояние, варьируя приложенную нагрузку в области контакта.
Основными оригинальными элементами лабораторного стенда (рис. 8) являются блок создания движения со скольжением при наличии верчения, блок обеспечения механического контакта и блок измерений.
Рис. 8. Основные блоки экспериментального стенда
Блок создания движения со скольжением при наличии верчения представляет собой круглую стальную платформу радиусом 30 см и высотой
1 см, приводимую во вращение червячным мотор-редуктором, который дает возможность изменять частоты вращения платформы от 0 до 177,3 об/мин.
Блок обеспечения механического контакта представляет собой штангу перемещения в подшипнике скольжения (сталь-латунь). На конце штанги, контактирующем с платформой, закрепляются различные контактные элементы — инден-торы, позволяющие имитировать различные модели области контакта и распределения контактных напряжений. Контактная штанга имеет две степени свободы. Она может принудительно перемещаться в вертикальной плоскости и по горизонтали, под действием сил трения в контакте. Перемещение в горизонте обеспечивается консолью, на которой закреплена контактная штанга. Консоль может поворачиваться относительно корпуса блока создания движения в двух радиальных шариковых подшипниках.
Блок измерений состоит из измерительной балки равного сопротивления, которая компенсирует силы сухого трения, возникающие в контакте и препятствующие перемещению консоли в горизонтальной плоскости. Измерительная балка жестко закреплена относительно корпуса блока создания движения. На балке наклеены четыре тензорези-стора, включенные в мостовую схему. Под воздействием сил комбинированного сухого трения из-
мерительная балка деформируется и с тензорези-сторов снимается выходное напряжение, которое подается в схему измерения на основе цифрового вольтметра, а с него выходной сигнал в цифровом виде подается на блок обработки и визуализации измерений.
Экспериментальное измерение силы трения проводилось для цилиндрических инденторов (рис. 9) радиусов 1, 1.5 и 2 см. В качестве материалов образцов были выбраны сталь, дюраль, латунь, дуб. Инденторы последовательно перемещались от центра вращающейся стальной платформы к ее краю при различных вариантах нагрузки. В такой постановке эксперимента сила трения при постоянных нагрузке и размерах образца зависит только от расстояния от центра вращающегося основания до центра образца.
Рис. 9. Цилиндрические инденторы: сталь, дюраль, латунь, дуб
Результаты проведенных экспериментов (средние значения силы трения в Ньютонах) при скорости вращения платформы 177,3 об/мин и различных приложенных нагрузках представлены на рисунках 10-21.
На рис. 10, 11, 12 представлены результаты, когда в качестве индентора использовались стальные диски, соответственно радиуса 2, 1.5 и 1.5 см соответственно при нагрузке 11.42, 7.12 и 16.25 Н.
0 1 2 3 4 5 6
к (у/и)
Рис. 10. Стальной диск радиуса 2 см при нагрузке
11.42 Н
-1 01234567
к (У/и)
Рис. 13. Дубовый диск радиуса 2 см при нагрузке
6.51 Н
к (у/и)
Рис. 11. Стальной диск радиуса 1.5 см при нагрузке 7.12 Н
2 3
к (у/и)
Рис. 14. Дубовый диск радиуса 2 см при нагрузке 21.04 Н
Рис. 12. Стальной диск радиуса 1.5 см при нагрузке 16.25 Н
На рис. 13, 14, 15 представлены результаты, когда в качестве индентора использовались дубовые диски, соответственно радиуса 2, 2 и 1.5 см соответственно при нагрузке 6.51, 21.04 и 20.99 Н.
Рис. 15. Дубовый диск радиуса 1.5 см при нагрузке 20.99 Н
На рис. 16, 17, 18 представлены результаты, когда в качестве индентора использовались латунные диски, соответственно, радиуса 2, 1.5 и 1 см соответственно при нагрузке 16.68, 12.19 и 11.90 Н.
-1 01234567
к (У/и)
Рис. 16. Латунный диск радиуса 2 см при нагрузке
16.68 Н
-1 0 1 2 3 4 5
к (У/и)
Рис. 19. Дюралевый диск радиуса 2 см при нагрузке
21.48 Н
Рис. 17. Латунный диск радиуса 1.5 см при нагрузке 12.19 Н
Рис. 18. Латунный диск радиуса 1 см при нагрузке 11.90 Н
На рис. 19, 20, 21 представлены результаты, когда в качестве индентора использовались дюралевые диски, соответственно, радиуса 2, 1.5 и 1 см соответственно при нагрузке 21.48, 11.86 и 11.77
Н.
Рис. 20. Дюралевый диск радиуса 1.5 см при нагрузке 11.86 Н
Рис. 21. Дюралевый диск радиуса 1 см при нагрузке 11.77 Н
Представленные на рис. 10-21 экспериментальные данные находятся в хорошем согласовании с теоретическими зависимостями, приведенными на рис. 6 и, следовательно, подтверждают корректность развиваемой теории поликомпо-нентного трения. Проведенные эксперименты показывают, что в условиях комбинированной кине-
матики реальный закон трения имеет принципиальное отличие от классического закона Кулона. Особенно сильно это отличие проявляется, когда мгновенный центр скоростей лежит внутри пятна контакта. При любой отличной от нуля угловой скорости верчения сила трения в окрестности малых скоростей скольжения ведет себя как сила вязкого трения (преобразуется в вязкое трение). По отношению к скольжению трение покоя исчезает, и любая сколь угодно малая сила, действующая параллельно площадке контакта, приводит к возникновению скольжения. Следовательно, в условиях комбинированной кинематики использование классического закона Кулона не корректно. Наиболее близкое приближение к реальной ситуации дает только использование двумерной модели первого порядка. Все дальнейшие упрощения нарушают соответствие теории и эксперимента.
Несовпадение нулевых значений силы трения и параметра к обусловлено неоднородностью материала индентора, что приводит к смещению центра тяжести пятна контакта относительно геометрического центра, и неточным совмещением геометрических центров вращающейся платформы и индентора.
Разброс в значениях силы трения при фиксированных нагрузке, угловой скорости платформы и расстояниях оси инденторов от оси платформы вызван естественными физическими погрешностями измерений, подробно описанными в [12].
Авторы благодарят академика РАН В.Ф. Журавлева за проявленное к работе внимание и обсуждение полученных результатов.
Литература
1. Coulomb C.A. Theorie des machines simples. — Paris, 1781. — 368 p.
2. Contensou P. Couplage entre frottement de glissement et frottement de pivotement dans la theorie de la toupie // Kreiselprobleme Gyrodynamics: IUTAM Symp. Celerina, 1962. — Berlin etc., Springer, 1963. — P.201-216.
3. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. — 1998. — Т. 62, Вып.5. — С. 762-767.
4. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусь-ко Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. РАН. МТТ. — 1981. — № 4. — С. 17-28.
5. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. — М.: Наука, 1980. — 303 с.
6. Киреенков А.А. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Изв. РАН, МТТ. —
2002. — № 1. — С. 60-67.
7. Leine R. I, Glocker Ch. A Set-valued force law for spatial Coulomb-Contensou friction // European J. Mech. — 2003. — V. 22, N 2. — P. 193-216.
8. Киреенков А.А. Метод вычисления силы трения и момента сил трения в комбинированной модели сухого трения для круговых площадок контакта // Изв. РАН. МТТ. — 2003. — № 3. — С. 48--53.
9. Журавлёв В.Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Изв. РАН МТТ. — 2003. — № 4. — С. 81-88.
10. Иванов А.П. О движении плоских тел при наличии трения покоя // Изв. РАН. МТТ. —
2003. — № 4. — С. 89-94.
11. Журавлёв В.Ф., Киреенков А.А. О разложениях Паде в задаче о двумерном кулоновом трении // Изв. РАН, МТТ. — 2005. — № 2. — С. 3-13.
12. Киреенков А.А., Семендяев С.В., Филатов В. Ф. Экспериментальное исследование связанных двумерных моделей трения скольжения и верчения // Изв. РАН, МТТ. — 2010. — № 6. — С. 192-202.
13. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — М.: Наука, 1976. — 306 с.
14. Киреенков А.А. Обобщенная двумерная модель трения скольжения и верчения // Докл. АН. — 2010. — Т. 431, № 4. — С. 482-486.
Поступила в редакцию 12.09.2010.
