Дифракция волн на вертикальных опорах Текст научной статьи по специальности «Физика»

1/2008

ВЕСТНИК _МГСУ

ЁОЕАЁОЁВ А1Ё1 1А АЛВОЁЁАЁИиО !1!Е&О

5 .А. !пс'ыа, Ё.Ё. Ёо^шМа

бе 1 б1 аёоёб1 аа1ёё т1 божа1 ее а 1 оёбй 011 Пба 1а1 ао1 аё! 1 б^ёойааой а1 ^ааёпдаёа 11 бпёёо а1 ё1. I 1 ааёё 1 ёааа^ йёо ё11 побоё-оёё бапт аобёаа^ опу а пбаойуо [1-3]. I ааа1а1й1 аёаб1 6ао1 ё^Мёё! Й11 божа1 ёу! , 11 ёба^ иё1пу 1а а11 11бу, 11 пауи а1 й баа1 ой [4, 5].

А баш 6а ёппёаабабпу 1 аоа! аоё-4пёау 11 ааёи, 11 ёшагф й ау аёёу-1 ёа абааёоаоёН 1йо 11бпёёо а1ё1 1а 1 аб6у1 о^ 1 ёаоб1б1 о п ё1ё111 а! ё, пбхуйё! ё 1а а1а. Аёббаёоёу ПаабоПпо! йо а1ё1 1а ёбоахайо 1Пбао 0 аёш1айо 1 божа1 ёё Иёпйааабпу $ааа^аё I аё! а1 а аёу 6баа1 а1 ёу .Даёт а1 ёиоа а аао1 аб11 ё 1 аёапбё п 1 ату^1 ё аба1 ёоаё.

16п6й О,,- аапё! 1 а^1 ау 1 аёапой 1а 1ё1 пё1 поё ХОУ, аба1 ёоаё ё1 61 б1 ё пёбжёо 1 апау^-1йё ё1166б Ь, тп61у,йёё ааоО (V = 2) ёёё ^аойбао (V = 4) 1аlабаfíаёа^йёойу 1ёб6ж11-п6аё Ьт бааёбпа а, бапП ё1 жа11йо пёНаобё^-И ЮН пё6аёщ1 1а^-аёа ё11баё1ао 1а151а-^ё! ^аба^ пт ааё61 б ааё1 ё^-11ё Нб! аёё, а1 а0 1аё ё ё11 66б6 Ьт. Абаа! п^ё6а6й, ^61 1 ё1 пёау а1 ё1 а

/ \г Ак(X008а+У а)

и0(Х , 1 ) - е

бат б1 п6ба1 уа6пу а 1 а1 бааёа1 ёё, $ааа111! 6аё1! . А 1 баа11 ё1 жа1 ёё !аё1 поё 1 аба! ао-ба 8 = ка !й 11 поб! ё! ба0 а1 ёа ёбааа1 ё ^ааа^ё

Аи(я) + к2и(я) - 0, 5 ;

ди (5) ди0( 5)

дпт

дпт

- 0, 5 е Ьт

т -1,

(1)

6а1 аёа6а1 бу^ й аа 1 баааёш1! 6 6пё1 аё^ ^! ! абб аёиаа ди

— - гкЯ -о(Я-у2), и - О(Я-1), Я дЯ

• да.

даапй Я-л/X2 + У

I 1 пёа ^а! а1 й

, ^ёпё1 1 ёб6®11 п6аё V = 2 ёёё V = 4.

X У Я Пт

Х У Г 1т - —

а а а а

11 ë6^■ааl 5ааа^6 а1 а1 а0 1аё 1 аёап6ё

«V -{(х, У):(ах, ау) ,

1 аба1 ё^а111ё аа6! у ёёё ^аойба! у 1 ёб6®11 поу! ё ут:

Аи(р) +8 и(р) - 0, ди(Р) _ ди0(Р)

д1т

д1т

ди . -1/2

--18Г - о(г );

дг

р ;

р е ут, т -1, ..., V; и-О(гг

(2)

ВЕСТНИК

МГСУ

1/2008

А йёо^аа V = 2 1 аба! аобё-Мёёа обаа1 а1 ёу 1 ёб6ж11 поаё ¿1 а^ о аеа у1 = {х = 0081, у = к + 81п /}; у2 = {х = 0081, у = -к + 81п /}; /е [0;2п], (3)

ааа к - 1о110а1ёа баппо! у1 ёу 1 ажао оа1 оба! ё 1 ёб6ж11 поаё ё аеа! аобо 2а. I 1 пё1 ёиёо 1 ёб6ж11 пое 1 а 1 абапаёа^ опу, о1 к > 1.

Ай1е0а1 а уа111 аеаа аба1ё-1йа 6пё1аёу 1а ёИообао ут:

— = -78 008(? - а)вш (008(г-а)+(-1)"+1 к 81п а д1

т = 1, 2.

(4)

А пёб^-аа V = 4 1 ёб6ж11 пое у1; у2 ^ааа^ опу Й116110а1еу1 е (3), а 1 ёб6ж11 пое у3, у4 11 баааёу^ опу 6баа1 а1 ёу! ё

у3 = {х = к + 0081, у = 81п/}; у4 = {х = -к + 008у = 81п/}; /е [0;2п] (5)

1бё V = 4 1 аба! аоб к бааа1 1о110а1ё^ байпох у1 ёу 1 ажаб оа1 оба! ё 1 ёб6ж11 поаё

у1 ё у2 ё аеа! аоб6 2а. I 1 пё1 ёиё6 -аой ба 1 ёб6ж11 поё 1 а 1 абапаёа^ опу, о1 к > \[2.

Лба1 ё-1 йа 6пё1 аёу а пё6-аа V = 4 1 бе т = 1, 2 ^ааа^опу 61б! 6ёа! е (4), а 1 бе т = 3, 4 ё! а^о аеа

— = -78 008(? - а)е78 (008('-а)+(-1)т+1 к 008 а д1

т = 3, 4.

(6)

А6аа! ёпёаой ба0 а1 еа ^ааа-ё (2) а аеаа по1 ауй аа1 пу буаа 11 поа! а1 у! ! аёйо 1 аба! аоб1 а е 81п 8:

/(Р, к, 8) =8^ £ 8И (81п 8)1 Ujп (Р, к)

1=0 п=1

(7)

11 апше! а $ааа--6 (2) 1баатааёа1ёа ба0а1ёу (7) е ба$ё1 же! а буай аба1ё-1йа 6п-ё1 аеу (4), (6). I аба1 ё-ёаауш аёаа1 й! е -ёа1 а! е 11 буаёа , 11 ё6-аа! 1 баааёш6^ ^ааа-6

Ди( р) = 0, ди( р)

д/„. ; = 0(г-1)

= -7 008(? -а),

Р е®,;

Р е ^т ,

т = 1, ..., у;

■

11ё1жё!

к2 =

У(2 + 2л/2) 2

ё 1 6пой к4 - ааи апдаа11йё ё1ба1и 6баа1 а1ёу

2у[2{к2 -2)-1/4 + (к2 -1)-1/4 ^>/2 к

6а1 аёада1 бу^ и ёё 6пё1 аё^ к4 >

(8)

(9)

J/2008_МГВЕСТНИК

Í èœâ i û äî êàœâi ôâî öâi ó î öâ0 âí èyô î àù âé çàäà--é (2) è ï öâäâëüí î é ^à^è (S). ÔAl EAI À 1. Âëy v = 2, 4 ï6è h > hv è ïöè äî fiààôî —í î iàëîi çí à-â èè s > 0 rnù â-

ñôâóâô öâ0 âíèâ çàaà-è (2), ï öâäñôàâèi îâ â âèäâ öyäà (V). Áeéaí û é -ëâl U0 0 (p, h) öy-äà (V) yâëyâôñy öâ0 âí èâi ï öâäâëüí î é çàaà--è (S).

Àââi èñêàôü öâ0 âíèâ ï öâäâëüí î é çàaà--è (S) â âèäâ ï î оâí ôèàëà ï öî ñôî àî ñëî y

v

u(p,h,0) = Z J®

m=1 Ym

ÇMffi yäöî

Г( p, q,0) = -inp, (1)

àaâ p - öàññôî yíèâ iâœäó ôî —êàiè p era v è q eYm ; ® m e C (y m ) - çíà-âíèâ ïëîôh-

ñóé ï î ôâí ôèàëà ^încâm nëîy íà îêöóœíî rnè Ym. Îáîçíà-■èi

T"" / r\\ дГ (p j , qm ,0)

j (pj , qm ,0) =-д1- » pj eYj ' qm eYm , m, j = 1 •••, v •

j

Ï î äñôàâëyy ï öâäñôàâëâí èâ (10) â ï öâäâëüí ó^ çàaà—ó (S) è èm î ëüçóy mî ôíî0âíèâ Г j (p. , qj ,0) = -1/2; j = 1, ..., v ,

ï î ëó—àâi ñèñôâi ó óöàâí âí èé Oöâäàî ëüi à âôî öî aî öî äà äëy î ï öâäâëâí èy í âèçââñôí ûô ïëîcaî nôâé j.

(pj ,0) = n¿ Íam (ч,0)Г j (p., q,0)dq + -cos(t-a), j = 1, ..., v. (12)

j J _ л—t j J J _

П m=1

m Ф j

Ñôîöi óëèöóâi è äî êàœâi ëâi i ó 1 î öâ0 âí èè ñèñôâi û (12).

ËAI I À 1. Âëy v = 2, 4 ñèñôâi à óöàâíâíèé (12) èi ââô âäèíñôââííîâ öâ0âíèâ a,(p.,0)e C(Yj), j = 1, ..., v.

Äîêàçàôâëüñôâî ëâiiû 1. Ïî ñôöîèi öâ0âíèâ ñèñôâiû (12) iâôî äî i ïî ñëâäîâàôâëü-^ô ïöèáëèœâíèé• Èi âííî, ïîëîœèi

aj = Zaj,n > j =1 •••> v • (13)

n=0

Oóíêöèè ® j ,n îïöâäâëèi èç öâêóööâíôíûô mîôíî0âíèé

a10 = ••• =av0 = —cos(t-a), (14)

n

ВЕСТНИК 1/2008

lv

j(pj)=-Z jCTj,»-l(q)rj(PJ'q,0)dq> J=1 •••> v; n=1 2 •••. (15)

Eàfmi î ôöèi î ôäâëщ î ñëó^àè v = 2 è v = 4. Ï óñoü v = 2. Âëy çí à-^âï èé èí äâêñî â j = 1, m = 2 è j = 2, m = 1 yäöà èíôâäöàëüíûö î ï âöàôî öî â г, (p j , q,0) ï öè

p¡ eji, q ejm iîœH ïöâäñôàâèôü â âèäâ

Г . (pf, q, 0) =1 +

(-1)j+1 h sin t - h

(1б)

2 2[l - cos(t - tj ) + 2h + 2h(-1)j (sin t - sin tj )]

ÇSâffi tj - ï àöài âôö, î ôââ^à^ ùèé ô èêñèöî âàûîé ôî ^êâ pj eYj , ï àöài âôö t mî ôââôûô-

âóâô ï âöâi âûîé ôî ^êâ q eym .

Èç ï ö^ î ëî tóí èy h > 1 ñëâäóâC, ^ôî yäöà Pj yâëy^ ôûy í âï öâöûâíûi è ï âöèî äè^âñ-

êèiè ôóíêöèyiè ñ ïâöèîäîi 2.

Âëy î öâí êè öyäà (13) - (15) âîmî ëuçoâi ñy í âöàââí ûôâî i, ïî ëó^à^ ùèiûy ïöè ïî-

ûëâaî âàôâëüí î i ï öèi âí âí èè í âöàââí ûôâà Êî 0 è-Prn yêî âûêî aî ê èí ôâäöàëài ï î êà^î é

èç ïâöâiâííûö tl, t2, ..., tn â n-êöàôíîi èíôâäöàëâ (n = 1, 2, ...):

(

j dtlgl(t,tl) j dt2g2(tl,t2) ... j dtngn(tn-1,tn)

2

<

Л (

j dtg(t,tl) j dtl j dt2g22(tl,t2) ... j dtn-l j dtng2„(tn-l,tn)

J \ 'ml 'm2

(17)

Л

Ï öèi âí yy î öâí êó (17) ê öyäó èç èí ôâäöàëî â (13) - (15) í àôî äèi , ^ôî öyä rnî äèôñy ï öè óñëî âèè

I <n2, m ф j.

j ,m ' J

j jrj (p, q,0)dpdq .

(18) (19)

Âû^-èûëyy äâî éíûâ èí ôâäöàëû (19) (ñi . [б]), ï î ëó^■àâi

2

I = I =

(20)

2Wh2 -1 '

Ñëâäî âàôâëüí î, öyä èç èí ôâäöàëî â (13) - (15) rnî äèôñy ï öè h > h2. Eàññiîôöèi ñëó^àé v = 4. ßäöà èíôâäöàëüíûö îïâöàôîöîâ Г j ( pj , q,0) ï öè pf eyj, q eym, m Ф j, m, j = 1, 2, 3, 4 iîœn ïöâäñôàâèôü â ï àöài âôöè^âñêî i

Y

1/2008_МГВЕСТНИК

1 - cos(t -1. ) + Мц cos t. + к sin t. ) Г .(p.,q,0) = _—_il_—_i_il_

J J' ' (цh + cos t. - cos tm )2 + (Xh + sin t. - sin tm )2 . (21)

Ïàöàiâôöû ц, к, âöîäyùèâ â âûöàœâíèâ (21), ïöèíèi à^ô ôâëî-^ëâHûâ çíà^âíèy è çàâèñyô îô çíà^âíèé èíäâêmâm. Âëy mâ^û^ îêöóœíî rnâé у., ym ïàöàiâôö ц = 1 ïöè . = 1, 2; m = 4 è . = 3; m = 1, 2; ц = -1 ^è . = 1, 2; m = 3 è . = 4; m = 1, 2; ï àöài âôö к = 1 ^è . = 1; m = 3, 4 è . = 3, 4; m = 2; к = -1 ï6è ! = 2; m = 3, 4 è ! = 3, 4; m = 1.

Âëy î êöóœí î rnâé у., ym, öàñï î ëî tóí í û ô ñèi i âôöè--í î îôH ñèôâëüí î í à-àëà êî î öäè-íàc, èiââi: ц = 2 ^è . = 3; m = 4; ц = -2 ^è . = 4; m = 3; ц = 0 ^è . = 1; m = 2 è . = 2; m = 1. Ï àöài âcô к = 2 ^è . = 1; m = 2; к = -2 ^è - = 2, m = 1; к = 0 ^è . = 3; m = 4 è . = 4; m = 3.

^è v = 4 çí à-âl èy äâî éíûö èí ôâäöàëî â (19) çàâèñyô î ô âçàèi í î aî öäm î ëî tóí èy ï àöû î êöóœí î rnâé. Âëy î êöóœí î rnâé, ñè i i âôöè -í û ô î oí î ñè ôâërn î í à-àëà êî î öäèí àô, çí à-â èy èí ôââöàëî â (19) îï öâäâëy^ cñy ïî ô^i óëâ (20); äëy ñi ✠ûô î êöóœí î rnâé

n2

L,„ = J =

Wh2 - 2

(22)

 î ôëè-èâ î ô ñëó-■ày äâóö î êöóœí î rnâé v=2, ï öè v=4 -ëâl Œ.,n (p. ) öyäà (13) iî-œâô áûôü ï öâäñôàâëâí â âèäâ ñói i û 3n n^àô^ô èí ôââöàëî â ñ

yäöài è 1 j ( p. , q,0)

(yfî + 2y[J )n

Œ. ^ . n ^n .

П

Ñëâäî âàôâërn î, óñëî âèâ rnî äèi î rnè öyäà (13) ï öèí èi àâô âèä

4I+24j 1

П <1. (23)

Ï îäfß^i â ñîîôíî0âíèâ (23) âûöàœâí èy (20) è (22). Ï îëó-àâi í âöàââí ñôâî

1 2

y[2h 4h2 -1 4h 4h2 - 2

<1 . (24)

Èç óöàâíâíèy (9) íàöî äèi, -ôî mîôíî0âíèâ (24) ñïöàââäëèâî ïöè h > h4 . Èôàê, â ñëó-àâ v = 4 öyä (13) ñöîäèôñy ïöè h > h4. Ëâi ià 1 äî êàçàí à.

Âî êàçàôâëMôâî ôâî öâiû 1. Àââi èñêàôü öâ0 âíèâ çàäà-è (2) â âèäâ u(p,h,s) = ¿ |ct„(q,s)H((1)(sp)dq ,

(25)

ВЕСТ™К 1/2008

aaâ H0 - ô óí êöèy Öàí êâëy í óëââî aî ï î öyäêà ï âöâî aî öî äà' Ñï öàââäëèâî öàçëî tóí èâ (ñi . [7])

-—H0l)(sp) = - ln p-ln s- —+ ln2 - C + F(sp) 2i 2i

àaâ Ñ - ïîñôîyííày Yéëâöà, ô óí êöèy F(sp) äî ï óñêàâô ï öâäñôàâëâí èâ

(2б)

Ь, = const

k,n • (27)

F(sp) = Z Z (sp)2k lnn (sp)bk,n ,

k=l n=0

Èm î ëu^y ï öâäñôàâëâí èy (10), (2б), ï î ëó--àài ñèñôâi ó óöàâí âí èé äëy î ï öâäâëâí èy í âèçââñôí ûô ïëîôíî ñôâé стj (p, s) :

(

j (p, , s) =

l

v

Z jCTm (q, s)rj(p, , q,0)dq

V m* j

\

v

"Z jCTm (q, s)

m* j

SFCsp) dq + du^

д1. д1.

j J

j = 1,

Èç äöàí è-ïûô óñëî âèé (4), (б) ñëâäóâô î öâí êà дu0

д1,

= iscos(t-а) + 0(s ), j = 1, ..., v

(28)

(29)

Èç î öâí êè (29) ï î ëó-àâi , -ôî ïöè h>hv è ^è äî ñôàôî — î iàëîi çí à-â èè s >0 ñó-ù âñôâóâô öâ0 âí èâ ñèñôâi û èí ôâäöàëüíûô óöàâí âí èé (28), ï öâäñôàâèi îâ â âèäâ

CTj(p.,s) = Z Z^(P.)sk(slns)n

CT0,0,j = j,

j = 1, ..., v

. (30)

Ï öâäñôàâëâí èâ (7) ñëâäóâô èç ñîîôíî0âíèé (25) - (30). Câî öâi à 1 äî êàçàí à.

Îôiâôèi, -"ôî ïöè h=h0=l â ñëó--àâ v=2 è ïöè h = h0 = V2 â ñëó--àâ v=4 çíàiâ-

í àôâëü yäâö Pj î áöàù àâôñy â Hëti. Ñëâäî âàôâëüí î, ôâîöâià 1 í âfiiï öàââäëèâà â î êöâñôí î -

rnè ôî ---êè h = h0 • Ïî ñöàâí âí è^ ñ î áû--íîé ôâôí èêî é î öâí êè öyäà (13) - (15) -^âç i àê-ñèiói iî äóëy HäM ôââöàëüí îé ô óí êöèè ï öâäëàààâi ûé i âôî ä, îffiîâàûûé íà î öâí êâ (17), ï î çâî ëyâô öàñ0 èöèôü î áëàñôü ï öèi âí èi î rnè ôâî öâiû 1 è äî êàçàôü ôâî öâi ó 1 äëy iâíü0èô çí à-â èé ï àöài âôöà h. Qàê, í àï öèi âö, ï öè v=2 èç î öâí êè yäöà èí ôâäöàëщ î aî îïâöàôîöà

X)

Y

Y