Дифракция скалярной волны на кусочнооднородных решетках. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

С целью применения полученных преобразований Фурье для решения задач математической физики получим основное тождество преобразования Фурье для дифференциального оператора L

4 2 4 2

Ь = в(х)9(ж - х)—— + в{х - ж)в(2ж - х) ——.

4х 4х

теорема 2. Пусть функция

ы{х) = в{х)в{ж - х)ы-1 (х) + в{х - ж)б(2ж - х)п — (х) дважды непрерывно-дифференцируема на 1+ , удовлетворяет граничным условиям (2) и условиям сопряжения (3) на /]+, тогда

^ \ь(ы)] = -п 2 • Р]\и ]

список литературы

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 480 с.

2. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред // Доклады РАН. 2001. № 3. С. 295-298.

3. Баврин И. И., Яремко О. Э. О локализации средних Рисса спектральных разложений в кусочно-однородном полупространстве // Доклады РАН. 2002. Т. 387. № 5. С. 586-588.

4. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций // Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 439-444.

5. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦМО, 2001. 304 с.

6. Титчмарш Е. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. Т. 1. 278 с.

УДК 517.476

дифракция скалярной волны на кусочно-однородныХ решетках. задача дирихле для уравнения гельмгольца

о. Э. ЯРЕМКО, Ю. А. ПАРФЕНОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца Ли + х 2 и = 0 в пространстве в случае, когда границей является плоская решетка, приводят к парным сумматорным уравнениям типа:

ад

A0 (An cosny + Bn sinny) = 0, y e CE ,

2=1

m

И + X (1 ~sn )(nAn cos ny + nBn sin ny) =f (y), y e E,

1=1

где E = U (ak; Pk ), CE = \-n;n]~ E, - n < а1 < Pi < ... < am < Pm < n f (y) - гладкая функция при

k=1

__ m

y e E = U k, вk ], b - константа и последовательность 8n, n = 1,2,... заданы, причем 8n ^ 0 при n ^ да не

k=1

медленнее, чем о(ц - ) Коэффициенты A0,An,Bn,n = 1,2,... подлежат определению.

К этим краевым задачам сводятся как задачи дифракции плоской монохроматической волны на плоской идеально проводящей решетке, так и задачи дифракции акустических волн на «мягкой» и «жесткой» решетках.

Рассмотрим задачу Дирихле, которая сводится к смешанной краевой задаче для уравнения Гельмгольца в полупространстве.

постановка задачи дирихле и вывод парных уравнений.

Пусть в плоскости OXY' и в плоскости z' = L , декартовой системы координат расположены две решетки, образованные периодически повторяющимися (с периодом 21) системами полос, края которых || оси OX':

1. {(х', y', z'): z' = 0,-да < X < +ю, y’ е CE'},

2. {(х',y', z'): z’ = L,-»< X <+да,y’ e CE'}

где

m

E' = UEf , Ef = (a'j,#), CE' = [-l,l]\ E', -l <a;< Д' <... <a'm<p'm< l

i=1

Пусть на решетки из полупространства z' > 0 перпендикулярно к ним падает плоская монохроматическая

о ,

волна и = /e /xz, х = ю /с - волновое число, с - скорость света (зависимость от времени дается множителем e ).

Обозначим через Uresh сумму падающей и отраженной волн в верхнем полупространстве, которая была бы там, если бы на всей плоскости выполнялось первое граничное условие

Ure.hl=0> = 0 , Uresh = /е~*' ~ /е'^ = 2 sin /z' , ¿ > 0

Функции U0(y', z' ), Uj(y’, z' ) и U2(y’, z ') являются 21-периодическими по y ’ и удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условиям сопряжения:

dUn

dz ’

U 0I z=0 = Ul| z=0

. , dU, = 2X +^T dz

1 dz'

z =0

Ul| z=L = U 2I z=L

= A, U

dz’

(1)

(2)

(3)

(4)

U0

U,

U 2

0 Ь

(1)- (4) обеспечивают выполнение уравнения Гельмгольца всюду вне решеток. На решетках же

и\, = и , + ип\, = иА, = 0, у’ е СЕ’

1 \2'=0 гехк 0\2'=0 0 Ь =0

Кроме того, для обеспечения единственности решения рассматриваемой краевой задачи необходимо выполнение условия излучения на бесконечности и условий Майкснепа на ребрах решетки.

Решения уравнения Гельмгольца в верхнем ( 2' > Ь ), среднем ( 0 < 21 < Ь ) и нижнем ( 2 < 0 ) пространствах, удовлетворяющие условиям периодичности, имеют вид:

U0 = A00e ф' е r"z'\ A0 cos^ny- + в0 sin my

U, =(A0eC^+ileA,

n-1 _ V

l

my , . my

cos--------h B„ Sin-------

l

-ernz | C1 cos^ny- + D sin^■ny-

(5)

(6)

U2 = A02e'xV+^e^] A2n cos

n=1

my _2 • my + B2 sin- y

(7)

I п I )

У п =^(лп /1У — X' 2 , причем условия излучения будут выполнены, если ветви радикала выбрать так, чтобы

1т уп < 0 при п < X 'I / П У„ > 0 при п > X ' / П

z =0

z =L

z =L

n=1

l

l

l

l

Используя (3) и (4), получаем:

U, I L =(A0e"+ C0e'ГМ )+ e~Г’Ь ^A"1 cos + Bn Sin ^J~) + e’’L (C“ coS ^nT + Dn S‘n ^nny~]

U2\L = A¿e-*L + £ e'-L í A; cos B 2 sin ^

n=1 V l

SU,

dz'

SUn

(-'z'4

0e-'*L + íX,cy*L)+

z'=L

n=1

-Xne~7nLI A0cos^f~+B°sin^j- \+rneT"z\ c0cos+d0sin

= 1 XA¡e'fL + £ Гп^ I An2 cos —7

'=L n=1 V l

nenLh2 cos^У_ + b<2 sin^У_

n n n

(A,e -*L + Cíe11'*1)+ ¿

e /nL I A0 cos Ш'У + B0 sin /n 1 + er"L I C0 cos/n + D0 sin

my WnTnL \r^„wy

my

l

l

l

= A0eix'L +£er"Lj^2 cos^Пу~ + Bl sin

Л (-'>A0

0e'"L +'^,C0e ix'L)+

n=1

- Tne~7nL \ Aí cos ^ny- + B0 sin ^ 1+ Xne/"z I C0 cos ^ + D0 sin

l l

LI ,2_______^ny 2 my

l

= '^ + ^2 Trne/'L I Al cos~j— + Bl sin—j

n=1 V l l

В силу единственности разложения функции в ряд Фурье, приравнивая соответствующие компоненты, получаем системы:

Г 4в - !Х Ь + С^е1X1 = Л02 е* Ь

[— V^ ЬА1 + \е ЬС,1 = Л2 е * ЬЛ02

Iе—^ + еУ пЬС1 = еу пЬЛ2

[— V - пЬЛ1 + ^еУ пЬС1 = ^ еу пЬЛп2 1е—пЬВ1 + еу пЬА1 = еу пьВ2

n % + e'n Dn = e'n „я

[- V -Y ^ + VY nLD1 = ^2 eY пЧ2 Считая коэффициенты A02, A2n, B2 известными, выразим через них все остальные коэффициенты. Таким об-

разом, имеем:

1 = ^1 + ^2 A 2

0 2А1 0

1 = А,1 + Х2 в 2

D1 =

2Х1

A1 = e2iX 'LA2 A1 = e 2y "lA ,2 B° = ^1--^ e 2y nLB2n

2L

Введем следующие обозначения:

M =

2L

2Х1

2

2X.

1 ~ /12 2X.

l

n=1

Решение уравнения Гельмгольца среднем ( 0 < 2 ' < Ь ) пространстве будет иметь вид:

U1 = A02(в2z'iLKe iz'z' + Meix'z')+'^i (e r"z’e2/nLK + e7nZ‘M|a2cos^П!- + в, sin

Используя (1), находим:

u\ a0

U0 |z'=0

n=1

A00 +У1 A,0 cos ^ + ВП sin ^

0 ti { n l n l

U|= A(e,I/LK + M)+£ (e2’nLK + m|a; cos^ + B;sin” A00 + ¿i AQ cos^ + В" sin^] = A2 (e2*LK + M)+

n=1

(e 2ynLK + M j A2 cos -ny- + В,

2 • ^ny

nsin^-

\ п I п I

Так как разложение функции в ряд Фурье единственно, получаем:

Л00 = Л02(е2/гЬК + М), Л0п = Л2(еадК + М), В0п = В](еК + М).

Отсюда получаем:

U0 = A02 (e2/iLK + M)e ix'z' + e /nZ’(e2/nLK + M| A2 cos

n=i V 1

откуда, используя граничное условие на решетке, получаем уравнение:

„2 • ^ В„ sin------------

A02 (e2x'iLK + M)e i/z' + ^ e /nZ (e2/nLK + M)f A2 cos+ B2 sin

n=1 V 1 1 У

= 0, y'e CE'

а из условия (2) находим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

~^УМ

n=1

^ .2 ^ny' D2 . my

An2 cos —— + B: sin —-n l n l

= *', y'e E

Таким образом, получили что данная задача сводится к парным сумматорным уравнениям:

A02 (e2x,,LK + M)e^ + J e^(e2rnLK + MЫ,

2 my 2 ■ n

2 cos—— + В2 sin '

l

l

= 0, y'e CE'

•x'ma2 -"Z/nM

n=1

my 2 . my

22 An cos - + В sin-

l

= X', y'e E0

Все искомые коэффициенты A<2, В2 , n e N и A, выражаются формулами

A2 = _

A

1 1 1

— f F(y)sin nydy, В2 =-{F(y)cosnydy A, =-— f F(y)dy

7m E 7m E 2n E

через решение F(y), y e E , сингулярного интегрального уравнения вида

by

- J ^yyiy + — j-fK(y - X) + Ц-}F(y)dy = ~f (X), X e E n E y - X n E I 2 J

где

^ 1 X 1 ^

K (X ) = - ct§~---------Lsnsin nx.

2 2 X n=1

(8)

(9)

n=1

l

n=1

в котором следует положить

Ь = —'X М , / (х)= %', 8 п = 1 - у п, п е N.

Теория решений сингулярных интегральных уравнений широко разработана, поэтому решение возможно получить.

список литературы

1. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред // Доклады РАН. 2001. № 3. С. 295-298.

2. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций // Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 439-444.

3. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦМО, 2001. 304 с.

УДК 517.2

дифференциальные уравнения как способ определения аналогов тригонометрических функций

А. В. ВЕЗДЕНЁВА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра прикладной математики и информатики

В данной статье приведён один из способов определения тригонометрических функций, как решений дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Тригонометрические функции и их аналоги как решение задачи Коши.

Известен способ определения функций u = sin x и v = cos x как решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:

ru' = v, v' = -u, u(0)= 0, v(0)= 1.

Пользуясь теоремой единственности для системы дифференциальных уравнений, можно легко получить доказательство теорем сложения для функций sin и cos.

По аналогии со сказанным можно ввести к рассмотрению тройку функций u, v, z как решение системы дифференциальных уравнений

u1 = v, v1 = z, z7 = u, u(0)= 1,

v(0)= 1,

z (0)= 0.

Пользуясь теоремой единственности для системы дифференциальных уравнений, можно доказать теорему сложения для каждой из функций u, v, z. В качестве примера приведём теорему сложения для функции u :

u(x + y)= v(x)-z(x)+ u(x)u(>,)+ u(x)- v(x)+ zVyfyy z(x)-u(x)+ v(x)z(y).

(X)+ и(

2 2 2

Получим общую теорему сложения для решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: