Задача ШтурмаЛиувилля для 2π-периодической функции на кусочнооднородном сегменте Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.44

задача ШтурмА-лиувилля для 2п -периодической функции на кусочно-однородном сегменте

о. Э. ЯРЕМКО, Т. В. ЕЛИСЕЕВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

В работе приводится решение задачи Штурма-Лиувилля для 2п -периодической функции на сегменте (0 ,п (п ,2п ), где в точке х = п заданы условия сопряжения. Вводятся прямое и обратное преобразования Фурье на сегменте с точкой сопряжения. Доказывается теорема разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

Пусть кусочно-непрерывная, абсолютно интегрируемая, имеющая ограниченную вариацию 2п - периодическая функция

и{х) = в{хс)в{ж - х)щ (х) + в{х - ж)в(2ж - х)м2 (х), где 0 (х) - единичная функция Хевисайда, удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений

dx 2

граничным условиям

и условиям сопряжения

= 0, ] = 1,2, х е ¡1 , ¡1 = (0,ж)^(ж,2ж),

(0) = и2(2^), кы[(0) = м'2(2ж), к > 0, и]{ж) = и2(ж), ки[(ж) = и2(ж), к > 0.

(1)

(2)

(3)

Требуется найти нетривиальные решения задачи (1)-(3). Получили задачу Штурма - Лиувилля на собственные значения.

Из системы уравнений (1) следует представление для функций и1 (х), и2 (х):

и1(х )= с1

/Ах

и1 (х )= с1 е + с2 е

-¡Ах

0 < х < п,

и2 (х)= d1 е/Ах + d2 е ,Ах, п < х < 2п.

Из условий (2)-(3) получим систему для определения коэффициентов с у, Щ у, у = 1, 2,

¡Ал , -¡Ал 1 ¡Ал , 1 -¡Ал С1 е + с-, е = щ е + ^е ,

-2«

(

2

1 | ¡Ля -¡Ля | 1 ¡Ля 1 -¡Ля

к!с1 е - С2 е 1= е - Щ2 е ,

1 ПЛя . 1 —^¡Ля

с + с2 = е + Щ2 е ,

(4)

к с - с2 ) = е ЪЯл - щ

-2 ¡Ал

Для существования ненулевого решения однородной системы (4) потребуем, чтобы определитель основной матрицы обращался в нуль.

¡Ал -¡Ал

е е

кеш - ке

1 к

1

- к

- еаж - е-аж

- еал е-'Ял

е 2 ¡Ля е ~иля

е 2 ¡Ля е ~иля

= 0

Из полученного уравнения находим собственные значения А = п, п = 0, ±1, ± 2, ± 3,____Тогда система (4) примет вид

Гс1 + с2 = + Щ 2, 1к(с1 - с2 )= - Щ2.

,1^,1 1 к -1 к +1 Если = 0, Щ2 = 1, то с1 = _ , с2 =-, и

2к

2к

к — 1 ¡Ах к +1 -гАх и1п (х)=— е + — е , 0 < х < п,

2к

г(х)= е-1кх,

2к

п < х < 2п.

и

е

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 8 (12) 2008 г.

Функции и1 (х), и2 (х) представимы в виде рядов:

и1 (х)= SI ап cosпх + 1bn sinnx

n=1^ k

и 2 {x) = ^(an cos nx + bn sin nx),

n=1

где коэффициенты an и bn вычисляются по следующим формулам

{л 2л

(5)

1 2

bn =-•

ж k +1 1 2k

J ku1 (t)cos ntdt + J и 2 (t)cos ntdt

V о

(я

(6)

ж k +1

2л

J Uj (t)sin ntdt + J и 2 (t)sin ntdt

Ряды (6) сходятся абсолютно и равномерно при х е 1+.

Замечание. Формулы (5)-(6) могут быть получены также методом операторов преобразования. Покажем это. Применим к задаче (1)-(3) операторы преобразования П : и(х)— и(х) вида

r(x) =

2k

1 (x)- ——1 и 2 (2^- x), 0

k +1

k +1

x I, 0 < x <ж,

, (x), ж < x < 2ж.

Получим задачу Штурма - Лиувилля: найти нетривиальное решение уравнения

Í ,, 2

dx

U = 0, x е (0,2ж),

удовлетворяющее граничным условиям

~(о) = и(2^), и'(о) = и'(2ж),

где и = и(х) - непрерывная, абсолютно интегрируемая, имеющая ограниченную вариацию 2п - периодическая функция.

Собственные значения полученной задачи X = п, п = 0, ±1, ± 2, ± 3,..., а функция и = и(х) раскладывается в ряд

где an и bn - коэффициенты Фурье,

í(x) = ^ (an cos nx + bn sin nx),

n=1

1 2л 1 2л

= — [~(t)cosntdt, bn =— [U~(t)sinntdt.

1Г J 7Г *

(7)

"о "о

Подействуем на функцию и(х), представленную в виде (7), обратным оператором преобразования П-1 : и(х)—^ и(х)

t(x) =

и (x)= k + 1 u(x) + ——1 и(2ж - x\ 0 < x <; 1W 2k W 2k V '

и2 (x) = ~(x), ж< x < 2ж. k +1-

и1 ( x ^ = "2Г ^ an cos nx + b" sin nx

——1 an cosn(2ж - x) + bn sinn(2ж - x)) =

2k n=1

mi 1

= V| a cos nx + — b sin nx I, 0 < x <n,

tí I n k I' '

и

a

n

где

12 (х)=Х(а

И=1

; + Ьп 81п пх), ж < х < 2ж,

К | й(/)с08ШЛ = К Д-2^ (/)-Л—1 и2 (2К - t)1008ШЛ + I и2 (/)с08ШЛ

12 I г г

———-I | Ли1 (t)cosп/Л + | и2 (t)cosшЛ

Ьп = К-1 й? (/)81п ШЛ = К }[ ^й (t)- Л—1 и2 (2п -1)1 81п ШЛ + | и2 (t)81п п/Л

= К—|и1 (t^1пп/Л/ + | и2 (t^1пп/Л .

К Л + 1 ^ 0 П ^

Таким образом, для функций и1 (х), и2(х) и коэффициентов ап, Ьп получены формулы вида (5)-(6). Сформулируем теорему разложения по собственным функциям для оператора Фурье. Теорема 1. Пусть функция

и{х) = в{х)в{ж - х)и1 (х) + в{х - ж)в(2ж - х)и2 (х),

определенная на 1+ = (0,к )^(п ,2к ), кусочно-непрерывна, абсолютно интегрируема, имеет ограниченную вариацию. Тогда для всех х е 1+ справедливы формулы разложения по собственным функциям

12 м

—[и (х- 0)+ и, (х + 0)1 =--У

21 14 7 14 п к л +1 п=1

2к

|к и1 (t)с08 ШЛ +| и2 (t)с08 ШЛ

008 пх +

' к 2к

+ | | и1 (/)81п ШЛ +| и2 (/)81п ШЛ

,0

81п пх

0 < х < к ,

1 [и2 (х - 0)+ и2 (х + °)] = 2 К К + 1 п=1

к 2к

I Ли1 (t)с08 п Л +| и2 (t)с08 п Л

008 пх +

+л| I и1 (t)81п Ш Л +| и2 (/)81п Ш Л

81п пх

, к < х < 2к .

Можно ввести прямое ^ и обратное ^ 1 преобразования Фурье на интервале ¡1 по правилам:

(п 2п \

ип = ^ [и] =

1 2

к к +1

12

Ьп =---

|к и (/)с08 И/ Л + |и2 (/)с08 И/Л/

V 0

ж к +1

2п

| и! (/ ^т п/Л/ + | и 2 (/ ^т п/Л

V 0

и = 1 к ]=

(х)=^[ ап с08 пх +1 Ьп 81п пх^, 0 < х <ж,

ад

и 2 (х)= с08 пх + Ьп 81п пх), ж < х < 2ж.

п=1

1

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 8 (12) 2008 г.

С целью применения полученных преобразований Фурье для решения задач математической физики получим основное тождество преобразования Фурье для дифференциального оператора L

4 2 4 2

Ь = в(х)в(ж - х)—- + в(х - ж)в(2ж - х) —-.

теорема 2. Пусть функция

ы{х) = в{х)в{ж - х)ы-± (х) + в{х - ж)в(2ж - х)ы- (х) дважды непрерывно-дифференцируема на 1+ , удовлетворяет граничным условиям (2) и условиям сопряжения (3) на , тогда

^ [Ь(ы)] = -« 2 • ^[ы ]

список литературы

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 480 с.

2. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред // Доклады РАН. 2001. № 3. С. 295-298.

3. Баврин И. И., Яремко О. Э. О локализации средних Рисса спектральных разложений в кусочно-однородном полупространстве // Доклады РАН. 2002. Т. 387. № 5. С. 586-588.

4. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций // Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 439-444.

5. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦМО, 2001. 304 с.

6. Титчмарш Е. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. Т. 1. 278 с.

УДК 517.476

дифракция скалярной волны на кусочно-однородныХ решетках. задача дирихле для уравнения гельмгольца

о. Э. ЯРЕМКО, Ю. А. ПАРФЕНОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца Ли + х 2 и = 0 в пространстве в случае, когда границей является плоская решетка, приводят к парным сумматорным уравнениям типа:

ад

A0 (An cosny + Bn sinny) = 0, y e CE ,

i=1

m

И + X C1 ~sn )(nAn cos ny + nBn sin ny) =f (y), y e E,

i=l

где E = У (ak; Pk ), CE = [-ж;ж]~ E, - П < a1 < P1 < ... < am < Pm < П f(y) - гладкая функция при k=1 _ m

y e E = yia k, в k ], b - константа и последовательность e n, n = 1,2,... заданы, причем e n ^ 0 при n не

k=1

медленнее, чем ü(-2) Коэффициенты A0, An, Bn, n = 1,2,... подлежат определению.

К этим краевым задачам сводятся как задачи дифракции плоской монохроматической волны на плоской идеально проводящей решетке, так и задачи дифракции акустических волн на «мягкой» и «жесткой» решетках.

Рассмотрим задачу Дирихле, которая сводится к смешанной краевой задаче для уравнения Гельмгольца в полупространстве.