CC BY
43
УДК 517.44
операторы преобразования и матричные интегральные преобразования фурье
о. Э. ЯРЕМКО
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа
В настоящей работе установлена связь матричных интегральных преобразований Фурье Еп, приспособленных
для задач с разрывными коэффициентами, с операторами преобразования: Р = Е-1 • Е. Указана обратная связь:
^/1 = В^Р / |, где В -оператор Фурье с раз-
Е = Е • Р-1. Приведено основное свойство оператора Р : Р О2 рывными коэффициентами.
Операторы преобразования в случае задач с разрывными коэффициентами введены И. И. Бавриным вместе со мной в работах [2-4]. В работе [2] предложен формальный подход к выводу этих операторов как конечных или бесконечных сумм сдвигов и отражений. Операторы преобразования нашли применения в теории интегральных преобразований и интегральных представлений [2], в теории спектральных разложений [3], в теории краевых задач математической физики [3]. В настоящей работе оператор преобразования Р определяется формулой Р = Е— • Е. Данный подход позволил найти ранее неизвестные выражения для операторов преобразования, связанных с краевыми задачами с условиями сопряжения общего вида.
Рассмотрим краевую задачу Штурма-Лиувилля для оператора Фурье:
^ + А-2Я2\ yJ (х,Я) = 0, ] = 1,..., п +1,
с условиями сопряжения вида:
с краевыми условиями:
М„
Г Ук ^
V Ук у
=М„
(У \
■У к+1 V ук+1 У
<
, х = /,, к = 1,..., п
< да.
(1)
(2)
(3)
( Як
Мк1 =
,к\
К «1,
к ак
И 2, У
, аегМ .. Ф 0, к = 1,...,п :, = 1,2,
л, <
здесь Л] - симметрическая положительно определенная матрица размера Г х г , , - матрицы размера Г х г .
(У1 ; МЛ
У
■ М) =
УГ М)
1Ы1=4 у5 +...+У2 , J = 1,.., п+1.
Пусть уп+1 (х,X) = (х 'к), а матричнозначные функции уп,...,у1 определены индукционным соотношением:
Ук =((х - /к )
Ук+1 (4)'
И| (/к).
Ук+л
(4)
к = п,...,1.
Лемма 1. Спектр задачи (1)-(3) непрерывен и заполняет всю ось (-<»,<»). Задача Штурма-Лиувилля Г раз вырождена, т. е. каждому собственному значению X соответствует ровно Г линейно независимых собственных вектор-функций, в качестве последних можно взять Г столбцов матричнозначной функции:
У(х,Л) = ]Т в{х - Ь _1 Щк - х)Ук {х,Х)+в{/1 - х )У1 (х,Х) + в(х - /п )Уп+1 (х,Я).
х=—сю
х=сю
к=2
Рассмотрим двойственную краевую задачу Штурма-Лиувилля:
d2
с граничными условиями вида:
k = 1, n +1,
с краевыми условиями:
{y'j (£Я))+y'j &Л)А:2Л2 = 0,j = 1,..., n +1,
yk -dy'kj^l = ^y'k+i -y*+ijMkl2= 4
mill <хчуп+Л\г
(5)
(6)
(7)
Пусть yn+1 (x,Я)= e (x 'l, и матричнозначные функции yn,...,y1 определены индукционным соотношением:
y* = I у!Л ) - d )
f cosAA^ (x - lk) л Ak sin Z4-1(x - lk)
Я .
k = n,...,l.
Лемма 2. Спектр задачи (5),(6),(7) непрерывен и заполняет всю ось (-<»,<»). Задача Штурма-Лиувилля Г раз вырождена, т. е. каждому собственному значению X соответствует ровно Г линейно независимых собственных строк-функций, в качестве последних можно взять Г строк матричнозначной функции:
У%Л)=]Г 9(4-¡к_1 )4 +0(11 ¡п Уп+1 .
к=2
Методом контурного интегрирования [6] устанавливается теорема разложения.
Теорема 1.3. Если вектор- функция / е Ь2 (1п), то для каждого х е 1п справедливо интегральное представление:
1 да ( ю ^
/{х) = ~- ¡Лу(х,Л)| Iу%Л)Г(№
—л,
(8)
Интегральное представление (8) порождает прямое Еп и обратное Еп 1 преобразования типа Фурье на декартовой оси с п -точками деления по правилам:
Fn №)-7(л)= J
—да
1 [f \x) - f (*) = -! J Лу(х, X)f{Л^Л.
(9)
(10)
Замечание. В случае отсутствия точек сопряжения получаем прямое Е и обратное Е 1 преобразования Фурье. Пространство основных функций (1п) определим как пространство бесконечно-дифференцируемых в 1п функций /(X), у которых каждая из производных четного порядка О1 /(х):
&/(х) = £ 0(х - ¡к_1 Щк - х)О^к (х)+в{}1 - х)ОГ1(х) + в(х - ¡п О/п+1(х)
удовлетворяет условиям сопряжения вида
k d ,-,k "l i — + dx
DJfk (lk ) =
ak 2 — + Pk 2
m2 i rml
dx
Dfk+i l),
(11)
причем supxpDq f (x)| < . Для исследования задач с условиями сопряжения необходимо определить пространство Соболева [1] для кусочно-однородной оси In . Пространство H21(fn), s - целое четное число определим как замыкание пространства S (ln ) по норме:
||f||2 =J| f (x|2 dx +J| Dsf x2 dx.
k =2
/(х) = £0(х-Ж -х/(х)+0(11 -х)/1{х)+в{х- 1п)/п+1{х).
к=2
Непосредственным интегрированием по частям устанавливается основное свойство интегрального преобразования Фурье Кп
Теорема 1. Пусть вектор-функция / задана на 1п , / е И22 (1п), 5 > 2 и пусть
п И2 И2 И2
Б{/)=^0{х- 1к_1 )0(1к -х)Л2к / +в(1х -х)Л?Ит/ +0(х- 1п]л2+1ИТ/п+1. к=2 Их их их
Тогда справедливо тождество:
К [Б( / )]=-*/ (л)
Точно также как и в классическом случае устанавливается
Теорема 2. (Равенство Парсеваля.) Для любой вектор-функции / е И* (1п) выполняется равенство:
Л / (х|2 Их = 1 Л / (я)|2 ИХ.
(12)
(13)
Пусть £' (1п) - пространство обобщенных функций медленного роста, двойственное к пространству * (1п) [5].
Лемма 3. Пространство И2 (1п) состоит из тех и только тех функций / е £' (1п), для которых (1 + Я2) /(X) е Ь2 (Я), причем норма в нем может быть задана формулой:
11/112=|(1+я2 у у 2 И*.
(14)
Доказательство основано на равенстве Парсеваля (13), на основном тождестве для интегрального преобразования Фурье Кп (12) и проводится по классической схеме [5] .
Определение. Оператором преобразования назовем оператор Р : / ^ /, действующий по правилу:
Р
/
/
^ ^К-''к.
Из леммы 3 следует теорема.
Теорема 3. Оператор преобразования осуществляет непрерывное отображение пространства И2 (Я) в
И2 (/ ). Оператор Р: / ^ /, Р-1 [/]= К-1 • Кп [/] осуществляет обратное отображение.
Приведем основные свойства оператора преобразования:
И& (/•)!=Б ( Р [/]).
1. Если / е И2 (Я), 5 > 2, то Р доказательство. Имеем:
К
Р
Их2
К
(■ /)
_И1
Их2
= К • К 1 • К
Их2
(■ /)
(/)
= -12 К
/
Аналогично,
К
Б
( р [ / ])'
= -Л2К
Р
/
= -Я2к • к;1 • К
/
= -л2 К
/
2. Если / е И2, (Я), 5 > 0, то Кп [/] = К Г/
Приведем формулы, допускающие простую физическую интерпретацию для операторов преобразования в случае условий сопряжения, распространенных в инженерной практике:
(
М =
X к 01 0 Е
М =
(Е 0 ^ V0 Е
Е,0 - единичная и нулевая матрицы размера Г х г, соответственно; det Xк ^ 0 . Используя явные выражения для решения прямой задачи Штурма-Лиувилля (4), оператор преобразования Р запишем в виде:
/ ( ^ ) =
РР Р
1112ш"1 п
/ ( ^ У
X < I.
РР
1 п-11 п
Р
/ (X)
/ (х);
/ ( х), 1п < X
1п-2 < Х < ln-1,
1п-1 < Х < 1п
Здесь обозначено:
Р'=("2^)+("2Iх'
причем
х
/ ( х ) = / ( 21. — X ) — оператор отражения.
Для обратного оператора Р 1 найдено выражение:
/ ( х ) =
Р^-Р" [/(х)], х < /1,
РЖ [/ ( х)] , /п-2 < х < /п-1,
Рп1 [/ ( х)] , /п-1 < х < /п,
/ (х), /п
< х,
Здесь Р'-1 оператор, обратный к оператору Р' . для него получена формула:
' = (Е + X')-' + (е - X' )(Е + X'X.
список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 480 с.
2. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред // Доклады РАН. 2001. № 3. С. 295-298.
3. Баврин И. И., Яремко О. Э. О локализации средних Рисса спектральных разложений в кусочно-однородном полупространстве // Доклады РАН. 2002. Т. 387. № 5. С. 586-588.
4. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций // Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 439-444.
5. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦМО, 2001. 304 с.
6. Титчмарш Е. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. Т. 1. 278 с.
