Моделирование полей напряжений в кусочно-однородном теле вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 539.3+517.44

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ

© Ю.А. ПАРФЕНОВА

Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского,

кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

Парфенова Ю.А. — Моделирование полей напряжений в кусочно-однородном теле вращения // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 160—166. — Найдено аналитическое решение статической задачи теории упругости для кусочно-однородного тела вращения. Представлена явная конструкция прямого и обратного векторного преобразования Фурье с разрывными коэффициентами. На примере статической задачи теории упругости разработана техника применения метода векторных преобразований Фурье с разрывными коэффициентами.

Ключевые слова: статическая задача, теория упругости, векторное преобразование Фурье

Parfenova Yu. A. — Modeling fields of pressure in piecewise-homogeneous solid of revolution // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 160—166. — The analytical solving static problem elasticity theory for piecewise homogeneous half-space is found.The explicit construction of direct and inverse Fourier’s vector transform with discontinuous coefficients is presented. The technique of applying Fourier’s vector transform with discontinuous coefficients is developed on an example of the static problems of the elasticity theory.

Keywords: static problems, elasticity theory, Fourier’s vector transform

1. Постановка задачи.

Рассмотрим кусочно-однородное п + 1-слойного полубесконечное тело ограниченного плоско-

стью г = 0 и неограниченного в других направлениях, т.е.

( п+1

■^++1 {(r, г) • 0 г Є ^П+І } ? 1п+1 ] г г ^ и (1к — 1,1к ) ,10 0,1 к — 1 < 1к ,1п +1

I к=1

Направим ось г внутрь тела перпендикулярно плоскости г = 0. При наличии осевой симметрии соотношения между компонентами аіг,аід,аіх,тігхтензора напряжений и неисчезающими компонентами Щі,Щхвектора смещения для іслоя принимают вид [5]

\ ^ |Л дигг _ [ \ д І Аі + ^ І л диіг

&іт = (Аі + 2^і) —-\--и1г + Аі—------ (Гів = Аі^----\------------и1г + А і

г\ і і ir і ' 'і ^ ги І і ^ 1 I ir і 'і

dr r J dz \ dr r J dz

, , d 1\ „ . duiz (duir duiz

Ai я \---------) ulr + (Ai + 2Mi) _д Tirz = ( ------\

ir i i irz

dr r і dz \ dz dr

а

где Аг,мг- постоянные Ламе [5]. Используя подстановки [5]

Хг + к Ф// = А, + 2М, ДФ А, + ^ ф//

игт " ^1тг агг п ^ ^1гг,

Мг Мг Мг

в которых каждая из функций Фг является решением бигармонического уравнения

Д2Фг =0, (1)

d2 1 d d2 dr2 + r dr + dz2 '

для компонент напряжения получим

air — AiДФiz 2 (Ai + Mi) ^rrz aiz --- (3Ai + 4Mi) ДФiz 2 (Ai + Mi) Фizzz

2d ai9 = AiДФiz _ (Ai + Mi) Фі^ aiz = (Ai + 2Mi) "о- ДФі 2 (Ai + Mi) Фirzz. (2)

r dr

Будем предполагать, что рассматриваемое упругое тело деформировано под влиянием давления p (r), распределенного симметрично относительно оси z и действующего нормально к границе. Тогда граничные условия на поверхности z = 0 имеют вид

aiz = -p (r), Tirz = 0, (3)

Из предположения непрерывности компонент напряжения aiz, Tirz и непрерывности компонент вектора смещения uri, uiz запишем условия сопряжения на поверхности z = 1г [3]

aiz = ai+1z, Tirz = Ti+1rz ,uiz = ui+1z, uir = ui+1r . (4)

Кроме того, решение должно быть таким, чтобы все компоненты напряжения и смещения исчезали бы при стремлении r, z к бесконечности.

2. Матричные интегральные преобразования Фурье четвертого порядка.

Сингулярная спектральная задача Штурма-Лиувилля состоит в определении нетривиального решения краевой задачи

d2 \ 2

dxx2 + Am2A2j ym (x, A) = 0, m =1,n + 1,

3 Xі

0d

x_iyi (x,A) = 0, x = l0 , e = 1, 2

i dr

i=0

di 3 di

Ek x \ ^ k x , , Tj ^—г

ami,i xxiyk = 2-^ am2,i Х^+Ь x = ‘k , k =1,n, m = 1, 4

m1’1 dxit>k ^ m2’1 dx i=0 i=0

di

Х~г yn+1 (x,A)

< to, i = 0, 3. (5)

С целью определения собственных вектор- функций задачи (5) определим матрицы

^п+1 = (^п+^СЬ ^n+1,i) ; ^п+1 = (^п+^СЬ ^n+1,i) ,

где

^n+1,e (ж, ^р) = xe exp (-A-^^px) , e = 0,1 ¥>n+1,e (ж Vp) = xl exP (A-:+lVpX, e = 0,1

Остальные пары функций фт, фт однозначно определяются условиями сопряжения:

ХМм ~Х (фк,фк ~Хі (фк+1,фк+1), Х = к, к = 1,п, І = 1, 4.

' йх

0 0

Далее, матрицы ф, ф и Пк определены соотношениями: 11

00 ф ф ) =

0 0

ф ф

11 11

0 0

ф ф

91 91

00

СІ

, (еф ф) = ЕйХї (ф1 фі)

Є = 1, 2,

Ж=Ї0

Пк (£ /р)

фк (& /р) фк (& /р)

фк (е, /р) Ф// (С, /р)

/

фк (е /р) ф// (6 /р)

//

к = 1, п +1.

V фк!' (ь /р) ф//// & /р) )

Матричнозначные функции влияния Н*3 определим по формулам: при к < 8

О \ 0 о

Щ я = фк (х) (ЕО) П-1 (С) Е - Фк (х) ф-1 (/р) ф (/р) (ЕО) П-1 (Є)

О

Е

к = 1,п + 1, в = 1,п + 1,

при к > 8

О

О

Н*к , я = Фк (х) - ф-1 (/р) ф Ш (ЕО) П-1 (С)! Е ) - (ОЕ) П-1 (£) Е

при к = 8

/к-1 < Х < 1к, /8-1 <С<к, к =1,п + 1, в =1,п + 1,

О

фк (х) (ЕО) П-1 (СП Е ) - фк (х) ф-1 (/р) ф (/р) (ЕО) П-1 (СП О

Щк ,к =

О

фк (х) - ф-1 (/?) ф (/?) (ЕО) П-1 (С) ( - (ОЕ) П-1 (С)

Е

О

Е

/к-1 < С < Х < /к, к =1,п + 1. Теорема 1. Если выполнено условие

det

Естд 0стд

0 0

а01,0 . ■. а01,2д-1

0 0

ад1,0 . •. ад1,2д-1

= 0,

то для каждого действительного значения X, X Є (0, то) задача (5) имеет четыре линейно независимых решений в качестве которых можно выбрать четыре столбца матричнозначной функции

П

и (х,Х) = £ в (х - /к-1) в (/к - х) ик (х, X) + в (х - /п) ип+1 (х, X), к=1

ик = фк ф- 1 -фк фі 1, /р = ІХ

0

0

0

0

Двойственная сингулярная спектральная задача Штурма- Лиувилля состоит в определении нетривиального решения векторной краевой задачи

2

Ут

(С,Х) (арт + Ат2х2) =0, т =1,п +1

/ ак

-і- а ^ а ^

Ук - ар Ук арт Ук

ук ар3 Ук

*11,0 к

к

^41,0

1

«11,1 . . . «41,1

«И,2 . . . «41,2

кк \ «И,3 . . . «41,3 /

I ук+1

й к й2 к

й£Ук+1 ЙС2Ук+1

^ «12,0 «12,1 «12,2 \ «12,3

а

к

42,0 «42,1

а4к2,2

к

«42,3 /

,С = /к,

(6)

к = 1, п, т =1,4,

29-1 . _________________________________

Е іргу1 (С,Х)«0м =0, С = /0 ,Є =1,2

< то, і = 0, 3.

р=о

Теорема 2. Если выполнено условие

Е

det

ст2

11,0

11,3

= 0,

а021,0 . . . а201,3

(7)

то для каждого действительного значения X, X Є (0, то) задача (6) одно линейно независимое решение

п

и к (С, X) = £ в (С - /к-1) в (/к - С) и*к (С, X) + в (С - /п) иП+1 (С, X).

к=1

00 р (X) ,ф 11

ик = ( ф (X), ф м) ^1 (£ ^ ( О ) 4, к =1 п+ ^ ^ =iX

Методом контурного интегрирования Коши в монографии [1] доказана следующая теорема разло-

Теорема 3. Если вектор-функция

п

/ (С) = £ в (С - /к-1) в (/к - С) /к (С) + в (С - /п) /п+1 (С) к=1

определена, кусочно-непрерывна, абсолютно суммируема и имеет ограниченную вариацию на 1+, и данные задач (5), (6) удовлетворяют условию (7), то для х Є 1+ справедливо интегральное представление:

СЮ / сю \

1 [/ (х - 0) + / (х + 0)] = П- J и (х, X) I у и к (С, X) / (С) ЙС I X2q-1dX,

(8)

Интегральное представление (8) порождает прямое ^П+ и обратное ^п+ преобразования Фурье четвертого порядка на декартовой полуоси с п точками деления по правилам:

і

0

0

жения.

п т+

К+ [/] (X) = £ / ит+1 (С, X) /т+1 (С) ^ = /' (X), (9)

™ _п ^

р-1 р п+

со

(х) = — / X29-1 и (х, X) / (X) ^ = / (х) , (10)

пі ]

0

3. Решение задачи.

Применим преобразования Ханкеля нулевого порядка [7] к уравнению (1), сведем это уравнение к обыкновенному дифференциальному уравнению

д2 \ 2

^ - а ф* (^)=о, (11)

где

Фг (С, г) = / гФ* (г, г) 7о (£г) й£,

./о

7о-функция Бесселя нулевого порядка [2] .

Как установлено в монографиях [5, 6] граничные условия (3) примут вид

(Ах + 2^1) ф- (3А1 + 4М0 С2ф 1г = -р (С)

А{Ф/{2 + (А{ + 2М{) С2Ф1 =0 (12)

условия сопряжения (4) преобразуются в равенства

(А* + 2Мг) Ф- (3А* + 4*) £2Ф{г =

= (Аі+1 + 2Мі+1) Ф '+1ггг - (3Xi+1 + 4М*+1) £2ф'+1

'' + + 2М*) С2Фі = Xг+lФ'+122 + (Х+1 + 2М*+1) £2ф*+1 = 0 (13)

Х + М* ф/ = Х+1 + ^*+1 ф'

М* і2 Мі+1 *+12

ф'' _ ^ + 2Мі С2ф, = ф'/ _ Х+1 + 2м*+1 ф

М* М*+1

Зная ф*, і = 1,п + 1- решение задачи (11) с граничными условиями (12) и внутренним граничными условиями (13) для неизвестных компонент напряжения и вектора смещения получим выражения [5, 6]

и*г = ° £2ф'^ (Сг) #,

М* Jо

и*2 = / С (ф'' - ^ + 2М* С2ф*) ^0 (Сг) ^

./0 V М* /

/о / \

С ((X* + 2м*) фІ - (3Л* + 4м*) С2ф'*) Л) (Сг) #, (14)

/о / \

С2 (хф''2 + (X + 2м*) С2ф*) Л (Сг) #,

^ = !о0 С (хф'"г + (X* + 2м*) С2ф/\ ^0 (Сг) # - !о0 С2ф'2Л (Сг) #,

^ = X* /0 С (ф'£ - С2ф'\ ^ (Сг) # + /0 С2ф'^ (Сг) #.

Применим далее интегральные преобразования Фурье (9) и (10). Выберем параметры в граничных условиях и в условиях сопряжения прямой и сопряженной задач Штурма -Лиувилля (6), (7) следующим образом: в граничных условиях полагаем

а11 о = 0 а11 1 = — (3A1 + 4^i) £2, а0! 2 =0, ah 3 = — (Ai + 2м0

а2І , 0 = (ЛІ +2Ml) С , а2І ,І = 0 а2І , 2 = ЛЬ а2І ,з =0

в условиях сопряжения считаем

аи,0 = 0 аи,1 = — (злз + 4Mk) c2, ап,2 = 0, аи,3 = — (лз + 2Mk)

a4i,0 = (лз + 2Мз) c2, а4 і, і = 0, а41,2 = лз, а4і,з = 0

k _ п k _ Л4 + Mk k _ n k „ a3l,0 = 0, a3l,l = , a3l,2 = 0, a3l,3 = 0

Mk

„ k _ Л3 + 2Mk „ k _ n „ k _ 1 „3 _n

a4l,0 =-, a4l,l = 0 a4l,2 = 1, a4l,3 = 0

Mk

ak2,0 = 0 a12,l = - (3Л3 + І +4м3 + І) С2, a32,2 = 0 a12,3 = - (Л3+І + 2Mk + i) (15)

a32,0 = (Л3 + І + 2Mk + l) С2, а32,І = 0, a32,2 = Л3 + І, a32,3 = 0

„ k n ~ k Лз+1 + Mk+i ^k n ~ k n

a32,0 = 0, a32,l = , a32,2 = 0 a32,3 = 0

Mk+i

k _ Л3 + І + 2Mk + l

0, afo о = 1, a3o о = 0.

а42,0--------------------, а42,1 ", а42,2 «42,3

Мк+1

Для решения задачи (11),(12),(13) применим интегральное преобразование Фурье р+, действующее по формуле (9) с параметрами, определяемыми формулами (15), а также с внутренним параметром £. В результате приходим к уравнению

(в2+С2)2ф(С,«) = («0)-1 ( р0С) ),

где

„0 _ ( а°1,0 а01,1 А

а1 = ( 0 0 ) ,

V «1,0 а21,1 )

ф(£,а) = Р+ [ф(£,г)] .

Возвращаясь к оригиналам Фурье по переменной г и применяя формулу обращения (10) найдем выражения для ф*

ф* = Щ,1 (г,/0,С) («0)-М р(СМ , (16)

здесь

оо

Л3

n2

ОО

1 Лз

H* i (z, Іо, С) = —г -----------------------2и (z, Л) dЛ.

J,iV ' п-J (Л2 + с2)2

(А2 + С2)2

о

Вычисления методом контурного интегрирования, дает следующие выражения [8]

Н,1 (г,10,С) = -ф (г) ФГ1{0 ( ф11,0 ф11,0 ) (г,С^ ^ = 1,П +1,

k

где матрицы-функции фп+1,Фп+1 определены равенствами

а остальные матрицы-функции однозначно определяются по индукции условиями сопряжения

Ik, k = 1,n, m = І, 2, 3, 4;

матрицы Qfc определяются соотношениями

Используя выражения (16), неизвестные компоненты напряжения и вектора смещения можно вычислить по формулам (14).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Операторы преобразования в анализе, математической физике и теории распознавания образов. М., Прометей, 2006, 292 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Справочная математическая библиотека М. Физмат-гиз 1966 г. 296 с.

3. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — M.: Физматлит, 2004, 400 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-M.: Физматлит.2010, 560 с.

5. Снеддон И. Преобразование Фурье.— М., И.- Л.,М:1955, 668 с.

6. Снеддон И. Н., Бери Д. С. Классическая теория упругости. Вузовская книга, 2008, 215 с.

7. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - Л.: Наука, 1967. - 402 с.

8. Яремко О. Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для задач с разрывными коэффициентами и операторы преобразования. Доклады Академии Наук, том 417, № 3, Ноябрь 2007, С.

323-325