Решение статических задач теории упругости для кусочно-однородного полупространства методом векторных преобразований Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 539.3+517.44

РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА МЕТОДОМ ВЕКТОРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ

© О. Э. ЯРЕМКО Пензенский государственный университет имени В.Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: yaremki@yandex.ru

Яремко О. Э. — Решение статических задач теории упругости для кусочно-однородного полупространства методом векторных преобразований Фурье // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2011. № 26. С. 331—339. — Найдено аналитическое решение статической задачи теории упругости для кусочно-однородного полупространства. Представлена явная конструкция прямого и обратного векторного преобразования Фурье с разрывными коэффициентами. На примере статической задачи теории упругости разработана техника применения метода векторных преобразований Фурье с разрывными коэффициентами к решению задач математической физики неоднородных сред.

Ключевые слова: статическая задача, теория упругости, векторное преобразование Фурье

Yaremko O.E. — Solving dynamic problems of elasticity theory for piecewise homogeneous halfspace by method of Fourier’s vector transforms // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Be-linskogo. 2011. № 26. P. 331-339. — The analytical solving static problems of elasticity theory for piecewise homoge-neous half-space is found. The explicit construction of direct and inverse Fourier’s vector transform with discontinuous coefficients is presented. The technique of applying Fourier’s vector transform with discontinuous coefficients for solving problems of mathematical physics in the inhomogeneous environments is developed on an example of the static problems of the elasticity theory.

Keywords: static problems, elasticity theory, Fourier’s vector transform

1. Введение

Цель математической теории упругости - определить напряжения и деформации при любых нагрузках на границе и внутри упругого тела любой формы. В статических задачах теории упругости искомые величины являются функциями координат и времени. К этому типу статических задач относятся задачи

о колебаниях конструкций и сооружений, в которых могут определяться формы колебаний, амплитуды колебаний, резонансные режимы, статические напряжения.

При решении задач методом разделения переменных используются различные представления решений уравнений равновесия через функции напряжений. С помощью таких представлений исходная задача приводится к решению дифференциальных уравнений более простой структуры. Каждая функция напряжения в этих уравнениях не мзавязанамс другими, но в граничные условия она при этом входит совместно с

остальными. А.Ф. Улитко [7] предложил весьма эффективный метод исследования задач математической физики - метод собственных вектор- функций, который является векторным аналогом метода Фурье.

К аналитическим методам решения задач теории упругости относится также метод интегральных преобразований, который мы рассматриваем и развиваем в настоящей статье. С помощью соответствующего интегрального преобразования (Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мелера- Фока и др.) переходим к более простой задаче в пространстве образов. Основная трудность при решении задач таким подходом заключается в нахождении формулы обращения. Достаточно обширная библиография работ по использованию этого метода в задачах теории упругости приведена в известной монографии Я.С. Уфлянда [2].

Большой практических интерес представляют задачи теории упругости для неоднородных тел. В этих задачах коэффициенты Ламе являются не константами, а функциями координат, определяющими поле упругих свойств тел. В виду отсутствия соответствующего математического аппарата, при исследованиях напряженно-деформированного состояния тел сложной конфигурации применение аналитических методов связано с весьма значительными математическими трудностями.

Метод векторных интегральных преобразований Фурье эквивалентен методу собственных вектор-функций, однако, в отличие от последнего может успешно применяться к решению задач теории упругости в кусочно- однородных средах. Теория интегральных преобразований Фурье с кусочно-постоянными коэффициентами в скалярном случае изучалась Уфляндом Я.С. [16] , [17] , Найда Л.С. [11] , Проценко В.С. [12] , [13] , Ленюком М.П. [8] ,[9] ,[10] . Векторный вариант метода, приспособленный для решения задач в кусочно- однородных средах, разработан автором в [2] ,[19] . В рассматриваемой динамической задаче неизвестные напряжения в граничных условиях и во внутренних условиях сопряжения не допускают расщепления, поэтому применение скалярных интегральных преобразований Фурье с кусочно-постоянными коэффициентами к успеху не приводит. Для ее решения в настоящей работе используется метод векторных интегральных преобразований Фурье с разрывными коэффициентами. Соответствующие теоретические основы метода представлены в п.4 без доказательства, необходимые доказательства проводятся методом контурного интегрирования по схеме, разработанной в [2] и [19]. В результате применения данного метода в п.4 найдено в аналитическом виде решение статической задачи.

Рассмотрим задачу о распределении напряжений в полубесконечном п + 1-слойном упругом теле I+ х К = {(х, у) : х € 1+,у € К}, где 1+ = и (/*_1,/ъ). В случае плоской деформации вектор смещения

щ имеет компоненты иъ,оъ, 0. Если согласно [14] ввести две функции напряжения ^ (х, у) и ф* (х, у), определяемые соотношениями

А*, ^ —упругие постоянные Ламе [18] . При этом уравнения движения будут удовлетворяться, если функции напряжений ^ и ф* выбрать в виде гармонических функций:

2. Постановка задачи

_ дтдфг _ 3<pi дфг

u „ ду дх ’

то выражения для компонент напряжения принимают вид [14]

(1)

(2)

Д^і = 0, Дфі = 0, — то < у < то, li і < x < li

(3)

На границе тела прилагается давление р (у). Если считать, что касательное напряжение равно нулю, то граничные условия принимают вид

= —Р (у), Т1ху = 0 (4)

при х = 0. Считая непрерывными компоненты вектора смещения щ и компоненты тензора напряжений

ст*х, тгху приходим к следующим внутренним граничным условиям, т.н. условиям сопряжения [5] :

щ = щЪ+Ъ Оъ = °Ъ+Ъ ®ъх = тъху = тЪ+1ху, х = ^ ^ = 1, •••, п* (5)

3. Векторные преобразования Фурье с разрывными коэффициентами

Разработаем метод векторных преобразований Фурье для решения поставленной задачи. Рассмотрим векторную задачу Штурма- Лиувилля [1] о конструкции ограниченного на множестве 1+нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными матричными коэффициентами

(а™^ + А2Е^ ут = 0, т =1,п +1 (6)

по краевым условиям

„ „ . И _ „ . \

= 0, 11уп+1 Н 1х^ < (7)

Г(а?1 + а2^1 ) — + (в01 + а27и)^ у1

V / х = 1 о

и условиям контакта в точках сопряжения интервалов

((«я. + АЧкі) + (4 + ук = ((“^2 +а2 4) ^ + (4 +

(8)

х = 1к, к =1,п, = 1, 2.

где

^ Уіт (х, А) \

Ут (х, А) =

, ІІУтУ = УУ2т + ... + У™,т = 1,п + 1.

\ угт (х А) /

Пусть при некотором А, рассматриваемая краевая задача имеет нетривиальное решение

п

у (х, А) = ^ 0 (х — /к_1) 0 (/к — х) ук (х, А) + £ (х — /„) уп+1 (х, А). к=1

В этом случае число А называется собственным значением, а соответствующее решение у (х, А) - собственной вектор- функцией. Здесь

*?1, в?1, 7?1, <*?1, ^1, в?1, 7*1, ^ ак2, $2, 7*2, <&, А

— (] = 1, 2; т = 1, п +1; к =1, п)матрицы размера г х г ;

для матриц

Мтк = 1 '~1т ' '1т ~1т ' ~1т I , т =1, 2; к =1,п

в1т + А27кт а1т + А251т \ в2т + А272т аккт + ^2т потребуем их невырожденность, т.е.

det Мтк =0, А Є [0, то). (9)

Матрицы Ат,т = 1, п + 1- положительно-определенные [6]. Обозначим Фп+1 (х) = е9п+1хъ; Ф„+1 (х) = е_9п+1хъ; ^п+1 = А_+1А. Индукционными соотношениями определим остальные п пар матричнозначных функций (Фк, Фк), к = 1, п :

42

Введем также обозначения

[(а^, + А24) £ + (в( + А27|і)] (Фк, Фк) = ^ ^

= [(“^2 + А24) ІХ + (в4 + А27к2)] (Фк + Ъ Фк + і) , к І = 1 2.

(10)

о

Ф (А)

(а0і + А2^00 ^ + (в0і + А270і)

Фі(х, А)

Х=1о

Ф(А) =

(а0і + АЭД ^ + (в0і + А27і0і)

Фі (х, А)

Х = 1о

Фк Фк

Фк Ф7/

І = 1, п +1.

Теорема 1. Спектр задачи (4),(5),(6) непрерывен и заполняет всю полуось (0, то). Задача Штурма-Лиувилля г раз вырождена, т.е. каждому собственному значению А соответствует ровно г линейно независимых собственных вектор - функций, в качестве последних можно взять г столбцов матричнозначной функции

П

и (х, А) = ^2 в (х - /к-і) в (1к - х) Мк (х, А) + в (х - /„) и„+і (х, А),

к = і

(х, А) = Ф3- (х, А) Ф- і (А) - Ф3- (х, А) Ф- і (А).

(11)

Ут (х, А) =

и т

(х, А)

У щгт (x, А) /

Двойственная задача Штурма- Лиувилля, состоит в нахождении нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными матричными коэффициентами

Ат+ А2Е) Ут =0, т =1,п +1

по краевым условиям йх

(охУ * (в“ + А^) + У * (а0 і + А^0 і) )

Х = 1о

|Уп+ і У <

и условиям контакта в точках сопряжения интервалов:

йх

* * Ук,Ук

вкі + а27

к а к

і і а і і

+ А2£ к

-1

11

вк + А272к і а к і+ А2^!

й \ ( в12 + А27 12 а к2 + А2^12

в22 + А2722 а 22 + А2^22

-1

Ихук + 1 ,ук+1

Решение рассматриваемой краевой задачи будем записывать в виде

х = / к, к = 1, п.

(12)

(13)

(14)

У* (С, А) = £ в (Є - / к - і) в (/к - О Ук (С, А) + в (/і - Є) У к (С, А) + в (£ - /„) уП+і (Є, А),

=2

ут (с, а) = (уті (с,а) ••• утг (є,а)) , ііут н = ^(у *т)2 +... + (у*т)2,т = 1,п+1.

0

0

и

0

оо

а

Теорема 2. Спектр задачи (12),(13),(14) непрерывен и заполняет полуось (0, то). Задача Штурма-Лиувилля г раз вырождена, т.е. каждому собственному значению А соответствует ровно г линейно независимых собственных строк- функций, в качестве последних можно взять г строк матричнозначной функции

П

и к (х, А) = в (х - /к і) в (/к - х) и*к (х, А) + в (х - /п) иП+і (х, А),

к=і

ик (х, в) = (ф (в), Ф (в)) ^ (х, в^ Е ) А-2,

У к4 (С, А) = ( икі (£, А) • • • ик г (£, А) ) , І = 17. (15)

Наличие спектральной функции и (х, А) и сопряженной спектральной функции и к (х, А) позволяет написать на множестве 1+ векторную теорему разложения.

Теорема 3. Пусть вектор-функция / (х) определена на 1+, непрерывна, абсолютно интегрируема и имеет ограниченную вариацию. Тогда для каждого х Є 1+ справедлива формула разложения

Ж

*

/(х)=- пЛи (x, а) (!и к (^ а) /(с) ас+

0 1о

п , 0 \

+ (70і/і (/0) + <*0і/1 (/0)) + £ ^ (А) ,ф (АП П-1 (/к, А) М- (А)

и—Л V 1 /

722 ^22 / V /к +і (/к) ) \ 712 ^к2 / \ /к (/к)

л-1

11 ' 1 /к ( к^ 1 ) АЙА. (16)

Теорема разложения позволяет ввести прямое и обратное ^п+ матричные интегральные пре-

образования Фурье на действительной полуоси с п точками сопряжения:

СЮ п

+ [/] (А) = / и * (С, А) / (С) Й£+ + (711/1 (/о) + 511// (/о)) + £ (<0 (А), ф (А^ П-1 (/к, А) М-11 (А) •

Го к=Л 1 У

•К? 5к1)(/г^>)—(5-1и//>)}_/(А), т

[ \ 112 512 ) \ /к + 1 (/к) у у 712 512 / \ /к (/к) У J

К

-1

сю

/ (х) = —- [ Аи (х, А) /(А) ЙА = / (х), (18)

пі 7 0

/ (х) =53 в (/к - х) в (х - /к-1) /к (х) + в (х - /п) /п+і (х).

к=1

С целью применения полученных интегральных формул для решения рассматриваемой задачи теории упругости (1), (2), (3), (4) приведем основное тождество интегрального преобразования дифференциального оператора

П й2 а2

в = £в (х - /4-і) в (/4- х) А2 ах^ +в (х - /п)АП+і ах^.

4=1

Теорема 4. Если вектор- функция

п

/ (х) = £ 0 (х — /к_1) 0 (/к — х) /к (х) + 0 (х — /п) /п+1 (х), к = 1

трижды непрерывно дифференцируемая на множестве 1+, обладающая вместе со своими производными до третьего порядка включительно предельными значениями

/кт) (/к—1) = Ит /кт) (х), т = 0,1, 2, 3; к = 1,п +1

х^Гк-1 + 0

удовлетворяет краевому условию на бесконечности

Пт (и * (х, А) — / (х) — —и * (х, А) / (хм = 0,

х \ Их Их у

удовлетворяет однородным условиям сопряжения (8), то имеет место основное тождество интегрального преобразования дифференциального оператораВ

К+ [В (/)] (А) = —А2/'(А) — {(в0/1 (/о) + «01// (/о)) —

— (70^2Л7/ (/о) + 5?1А2//// (/о))} . (19)

Доказательство теорем 1, 2, 3, 4 проводится методом контурного интегрирования аналогично представленному в работе автора [19].

4. Решение статической задачи теории упругости (1), (2), (3), (4).

Применим по переменной у преобразование Фурье [4], а по переменной х векторное интегральные преобразование Фурье (7). В образах Фурье по переменной у задача (1), (2), (3), (4) примет вид системы уравнений

^ — С2! = 0, ^дх^ — С2фъ = 0 , 1 > 0, /ъ—1 < х < /ъ (20)

где !ъ, фъ-изображения Фурье по переменной уфункций напряжения

1 [- 1 [

! = (х,у) е_^у^ фъ = фъ (х,у) е_^у^

V 2'К J _ю V 2^ Л _Ю

с граничными условиями

-/2 - . „ . Л / л2 -

a1x = A1 - Aie2(yi + 2М^^x^- + je*£l) = — p(e) , при x = 0

nxy = 2je_dxi — —е2ф1) =0, (21)

при x = О

с внутренними условиями сопряжения

+ J^i+i> - # _ j^i+i - ^ > при x _ ^

А*^2х2" — А^2! + 2м* (1хг + ^С= А*+1 — а*+1с2^*+1 + 2М*+1 (+ ^С^|+1) при х = /ъ

^2ф^ъ ^2 7^ _ ^2ф^ъ+1 ^2 7 ^ /оо\

М^2^С йх Йх2 С = №+1 йх Йх2 С ф7ъ+7 прих = (22)

Применим к задаче (20), (21), (22) векторное интегральное преобразование Фурье с разрывными

коэффициентами, определенное формулами (17)-(19). Положим в системе уравнений (6) г = 2, в краевых

условиях (7) будем считать

О 2j>iM в0 = _( Aie2 О 2j м 1Є 0 / , 11 I О М1Є2

7°і =

Аі + 2мі 0

0 -Мі

А-2,

Л0 = °іі =

00

00

в условиях сопряжения (8) положим

41

0 2ІМ1с

2ІМкС 0

вк1 = -

Ак С2

0

0 МкС2

к І Ак + 2Мк 0

7п = - п

\ 0 -Мк

А-2 Лк =

Ак , °іі =

00

00

12

2ІМк+іС 0

0

Мк + 1С

2

712

Ак + 1 + 2Мк + 1 0

0 -Мк+1

А -2 Ак+1,

лк

°12

00

00

*2і

10

01

0 іС ІС 0

72і

00

00

лк

°2і

00

00

І = 1, 2.

Применим к задаче (20), (21), (22) преобразование Фурье ^п+по переменной х. На основании тождества (19) приходим к задаче:

( ' ■(%"’)•

с2 ? + п2 ' 1

ф

ф

здесь принято обозначение

I

Iчі <п>•

I = в (/к - х) в (х - /к-1 М I ) + в (х - /п М I

ф к= V фк / V фк

(23)

Приведем решение задачи (23)

( ! ) <ПС,0 = ^ ( РГ ).

Применяя обратное интегральное преобразование Фурье + по переменной х, с помощью формулы (18) найдем изображения функции напряжений !ъ,фъ:

Ф; (x•с) — я* (Ц р:0С)

(24)

где

1 ГЖ

(х,с) = —— пи; (х,п)

./ 0

1

ЙП.

/о С2 + п2

Возвращаясь к оригиналам по переменной у, приходим к выражениям для функций напряжения

|М (x, У) = J Яі (x, У - Ю ( Р 05М ^

где

1 /■

Я; (х,У) = 2^Х я* (х,с)ас.

к

к

к

Формула (24) в случае однородной среды, т.е. не зависимости от г Аъ, -упругих постоянных Ламе принимает вид:

1 р ОО / /* ОО . . 1 \

Н (х,г) = у (У 1т ((?П («11 + п25?1) + (в?1 + п27?1))_1 е^) С2 + п2 Ип]

Наличие выражений (24) для функций напряжения позволяет по формулам (1), (2) найти компоненты

вектора перемещений иъ, V, 0 и компоненты тензора напряжений <гъх, аъу, тъху.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспада-ющимися краевыми условиями. М.: Изд-во Московского университета, 2009.

2. Баврин И. И., Матросов В. Л., Яремко О. Э. Операторы преобразования в анализе, математической физике и теории распознавания образов. М., Прометей, 2006. 292 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Справочная математическая библиотека. М. Физмат-гиз 1966 г. 296 с.

4. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. М.: Мир, 1990. 584 с.

5. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2004. 400 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит.2010. 560 с.

7. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Динамика связных полей в элементах конструкций. Электроупругость. Киев: Наукова думка, 1989. 279 с

8. Ленюк М. П. Гибридные интегральные преобразования (Бесселя, Лежандра, Бесселя) // Укр. матем. журнал. - 1991.- Т. 43, вып.6.- С.770-779.

9. Ленюк М. П. Гибридные интегральные преобразования (Бесселя- Фурье- Бесселя) // Матем. физика и нелинейная механика. 1989. Вып. 12(46). С. 68-74.

10. Ленюк М. П. Интегральное преобразование Фурье на кусочно-однородной полупрямой // Изв. вузов. Математика. 1989. Т. 4. С. 14-18.

11. Найда Л. С. Гибридные интегральные преобразования типа Ханкеля-Лежандра // Мат. методы анализа динам. систем. Харьков, 1984. Т. 8. С. 132-135.

12. Проценко В. С., Соловьёв А. И. Некоторые гибридные интегральные преобразования и их приложения в теории упругости неоднородных сред // Прикладная механика. 1982. Т. 13. №1. С. 62-67.

13. Рвачёв В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наук. думка, 1977.

14. Снеддон И. Преобразование Фурье. М., И.-Л., 1955. 668 с.

15. Снеддон И. Н., Бери Д. С. Классическая теория упругости. Вузовская книга, 2008. 215 с.

16. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.

17. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам математической физики // Вопросы математической физики. Л., 1976. С.93-106.

18. Физическая энциклопедия: [в 5 т.]. Гл. ред. А. М. Прохоров, редкол.: Д. М. Алексеев [и др.]. М., 1988

- 1998.

19. Яремко О. Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для задач с разрывными коэффициентами и операторы преобразования // Доклады Академии Наук, том 417, № 3, Ноябрь 2007. С. 323-325.