Дифференциальные уравнения как способ определения аналогов тригонометрических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

в котором следует положить

Ь = -х М , / (х)= х', 8 „ = 1 - у „, п е N.

Теория решений сингулярных интегральных уравнений широко разработана, поэтому решение возможно получить.

список литературы

1. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред // Доклады РАН. 2001. № 3. С. 295-298.

2. Баврин И. И., Яремко О. Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций // Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 439-444.

3. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦМО, 2001. 304 с.

УДК 517.2

дифференциальные уравнения как способ определения аналогов тригонометрических функций

А. В. ВЕЗДЕНЁВА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра прикладной математики и информатики

В данной статье приведён один из способов определения тригонометрических функций, как решений дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Тригонометрические функции и их аналоги как решение задачи Коши.

Известен способ определения функций u = sin x и v = cos x как решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:

ru' = v, v' = -u, u(0)= 0, v(0)= 1.

Пользуясь теоремой единственности для системы дифференциальных уравнений, можно легко получить доказательство теорем сложения для функций sin и cos.

По аналогии со сказанным можно ввести к рассмотрению тройку функций u, v, z как решение системы дифференциальных уравнений

u1 = v, v1 = z, z7 = u, u(0)= 1,

v(0)= 1, z (0)= 0.

Пользуясь теоремой единственности для системы дифференциальных уравнений, можно доказать теорему сложения для каждой из функций u, v, z. В качестве примера приведём теорему сложения для функции u :

u(x + y)= v(x)-z(x)+ u(x)u(>,)+ u(x)- v(x)+ zVyfyy z(x)-u(x)+ v(x)z(y).

(X)+ и(

2 2 2

Получим общую теорему сложения для решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►

обозначим через и = и(х) и V = v(x) два решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

у" + ру1 + ду = 0

удовлетворяющие начальным условиям:

и(0)= 1 и V (0 )= 0,

Теоремы сложения:

и1 (0)= 0, V7 (0) = 1.

u(x + y) = u(x)u(y)- gv(x)v(y),

v(x + y ) = u(x )v(y)+ v(x )u(y)- pv(x )v( y).

Идея доказательства: в первом случае рассмотреть две функции u(x + y) и u{x)u{y) — qv{x )v(y) . Доказать, что они обе являются решениями одной и той же задачи Коши

y" + py' + qy = о < y(0)= u(x), ^ y' (0) = u' (x).

Применение теоремы единственности для линейных дифференциальных уравнений второго порядка доказывает тождественное равенство рассмотренных решений.

2. Решение функциональных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям.

Поставим задачу: найти функцию, которая удовлетворяет функциональному уравнению:

u(xy )= u(x )+ u(y ).

► Допускаем, что такая функция существует и имеет производную. Составим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция u = u(x). Имеем:

,/ ч ,. u(rx)-u(x) u(r) + u(x)-u(x) u(r) c

u Ix) = lim v, —= lim v ,—M------------— = lim—- —

(r - l)x

(r - l)x

(r -1)

xx

где через с обозначено значение предела lim —(r) = c. Таким образом, функция u = u(x) удовлетворяет диф-

ференциальному уравнению и1 (х)= —. Из функционального уравнения и(ху) = и(х)+ и{у) при X = 1 и у = 1

х

найдём: и(1)= и(1)+ и(1), т.е. и([)= 0. Следовательно, для определения функции и = и(х) имеем задачу Коши:

'(х ) = — X ,

u(l)= 0

Решением задачи Коши служит функция и = — 1п X. Приведем следующие результаты:

1) Решением функционального уравнения

f x + y ^

1 - xy.

= u(x) + u(y)

является функция u(x)= C • arctgx.

2) Решением функционального уравнения

i(x + y ) =

_ u(x) + u(y)

является функция u(x)= tgcx.

1 - u(x uy)

u

3) Решением функционального уравнения

u(x + y) = u(x) + u(y )+ u(x )u(y )

является функция u (x) = ecx — 1.

4) Решением функционального уравнения

u(x + y)+ u(x - y)= 2u(x)u(y)

является функция u(x )= cos cx.

3. Дифференциальные уравнения для функций многих переменных, разрешимые в квадратурах.

1) Можно получить формулу для общего решения дифференциального уравнения

L0[y] = f (x), L0\y] = xi ^ + ••• + xn , y = pow(x,0) + l f (sc)ds,

^xi U%n 0

где pow(x,0) - степенная функция многих переменных, аналог постоянной с для уравнений одного переменного.

2) Формула для общего интеграла дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

Lo М= f (x)-g (y)

здесь f - функция n переменных x = (x^..,xn), f (0)= 0 а g- функция одного переменного у, имеет вид:

\4~, = pow(x,0)+i s.

g [y) 0 £

3) Пусть f (x,y) - однородная функция переменных x = (xp„,xn), y измерения 1, т.е. f (kx,ky) = kf (x,y) . Рассмотрим уравнение, которое назовём однородным:

L0 \y ]= f (x, y).

Формула для общего решения однородного уравнения имеет вид:

J / d}\-----= In p0^1).

f (x, y)- y

Доказательство основано на тождестве:

L0 \uv\= VL0 [u ] + uL0 [v].

4)Метод даламбера пригоден для решения линейных уравнений:

L0 \y]+ p(x)y = q(x),

а также для уравнений Бернулли:

L0 \y]+ p(x )y = q(x )ym. список литературы

1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, изд. 8-е, Физматгиз,1959.

2. Линьков В. М., Яремко Н. Н. Высшая математика в примерах и задачах. М., ФиС, 2006. - 317 с. (рек. УМО в области прикладной информатики).