Задача продолжения функции гармонической в шаре b ⊂ En Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.572

ЗАДАЧА ПРОДОЛЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ В ШАРЕ B с EN

© О. Э. ЯРЕМКО

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: yaremki@yandex.ru

Яремко О. Э. - Задача продолжения функции гармонической в шаре B с EN. // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 34-37. - Найдено аналитическое решение задачи продолжения гармонической в единичном шаре из En функции по её известным значениям на внутренней сфере. Получено решение аналогичной задачи продолжения в случае задания на внутренней сфере не самой функции, а некоторых её операторных трансформаций. Ключевые слова: задача продолжения, гармоническая функция, полиномы Гегенбауэра.

Yaremko O. E. - The continuation problem function harmonious in the ball B с EN // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.

im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 34-37. - The analytical decision of continuation problem to harmonious in the unit ball function is found on its known values on internal sphere. The decision of a similar continuation problem in case of the task for internal sphere not the function, and its some operational transformations is received.

Keywords: continuation problem, harmonious function, Gegenbauer polynomials.

Приведем ряд вспомогательных формул, дающих новые выражения для ядра Пуассона в единичном шаре из En, N > 3 . Первая из формул получается непосредственным интегрированием:

Г -*( N - 2 ^ e—-3+n \ л v( N - 2 ^ —i-3, v Г[Т) 1 - r2 ...

Joе г—т~ N 3+n)!r ■ Tn (cos^ds=T\n+—г- К2 (cos^b-^-------------------------------n. (1)

У 2 jn=o(N-3 +n)! n=oy 2 ; ^ (j-2rcos^+ r2)

N-3

здесь Tn 2 (cos^)-полиномы Гегенбауэра порядка —[1].

Вторая формула взята из таблиц преобразований Лапласа:

— 3 J—-3 (resins) —I- 2

—f- —^ , 2 2 JN\ 1 -r2

—-3 2

f e-s(e-(N - 2)/2)е—е 2 -----—-rde = -рГ!-]-----------------—,2, k > 0, (2)

(rsin^) 2 У 2 '(l-2rcos^+ r)

здесь J—-3 (t) -цилиндрическая функция Бесселя первого рода [1].

Из формул (1),(2) следует тождество:

.. , , (ге sml^)

N-3 ^3 V • / N-3 да N-3+п

-------N-3 = 2^ £( д. 3 + ,гпТ^ (cos^). (3)

(г sin^)-2- и=° (Ы - 3 + п)!

Для доказательства достаточно заметить, что изображения Лапласа обеих частей равенства (3) одинаковы. Ввиду единственности изображения Лапласа, тождество установлено.

Лемма. Пусть функция а = а(^) определена на отрезке [0,1] , неотрцательна и непрерывна на [0,1] . Если

J ena(e)de

le= c , и

on

^(є) = | -----®(г) dт,

| є"0.(є)dє = п\сп.

Доказательство. Из условий леммы следует, что в повторном интеграле

1о єП [1о“7^(г) ^

можно изменить порядок интегралов. В результате, получим:

,(т)

СкепО.(е)dе = [^М([”еив~е/^е - Пеяе"е/^е)dт = f1^(т)n!ги+1dг- [‘^М(Г"e-ееndе)г

¿О у 7 ¿0 т \^0 3 к ) ¿0 т ¿0 т \Лкг /

Формула Пуассона для N мерного шара из ЕN радиуса R имеет вид:

К2 - г2

ГыК К (к2 - 2Кг соєі^ + г2)

N

2У?

(4)

22 г = х , х = х.

= х2 + ... + х1,(х,У) = ху1 + ... + XNУN, соз^ =

_ (х, У)

\Х\У\

Ыл*

г,|+1

- площадь единичной сферы из ЕИ, а dSК (у) -элемент площади сферы іК. Основной результат

работы содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция и = и(х) гармоническая в единичном шаре В из Е1^ и непрерывна на В, тогда справедлива формула:

“ -є I N - 2

е , є -

2

Г ег •і

JN-3 (г /К -єзіпі^)

-г /К-єсоз^ 2 _______2_

Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем обозначение

(

.(х) = -Цг Мє- ^

(2пУ

Г ег

(г /К • зіпі^) 2

JN -3 (г / К -єзіп^)

dє.

(5)

- /К-єс°з^є 2 ____2_

(г/К • єті^) 2

-и ( у ) Жк (У)

dє.

Изменим порядок интегрирования и применим формулу (3). В результате, после интегрирования по є , для

функции ик (х) получим выражение: 1 \[л

х ) =

стNКN-1 Г1 Ж^п=°

1 Г е-єєлг-3+^є

.Д)_______________

(N - 3 + п)\

V

\п N-3

К} ІГ2 (соз^)и(у)^к (у).

(6)

Учитывая единственность разложения гармонической в единичном шаре В функции и (х) в ряд однородных гармонических полиномов, замечаем, что коэффициенты

К

не зависят от К . В частности в формуле (5) можно принять К = 1. Тогда:

( гк . А

N + 2'

>( х

Г

л N-3

+^-г[л2 (соз^;>и(у)^к(у)

линять К = 1.

Ík -є N-3+п і

е є dє

.»0

(N - 3 + п)\

N -3

Гп’\чТп 2 (со^)и(у)^1 (у).

то

є/т

2

2

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

Неравенство

ik -s N-3+n і

e s ds

---------------— < 1, k є (0, го)

(N - 3 + n)! v ’

Позволяет выполнить в последнем ряде предельный переход при k ^ ж.

kirnuk (х) = ^-ПЕ 1=0(n + ^г}” i/n 2 (cos^и (y)dSi (y).

На основании формулы (1) правую часть в последней формуле можно переписать в виде:

N

lim и, (х ) = ——І Д ^ ■ I" --------------1— ------n~u (У) dS, (y).

kr» &N Jn) 4П JsVl2 . л2

N ГІ — I (1 -2rcos^ + r )2

Формула Пуассона (4) приводит к окончательному результату limu, (x) = u (x),x e B.

Замечание. В случае двух переменных N = 2 формула аналогичная (5) найдена И. И. Бавриным в работе [2]. Представим обобщение интегральной формулы (5). Пусть l - натуральное число и ß^..., ßt -любые действительные числа с условием ß} > 1, j = 1,...,l. В работе Баврина И.И. [2] введены операторы, действующие на функции гармонические в единичном шаре B:

Lß] [и ] = ßjU + £N=1 , j =1..., I

lii ][и ] = Lß... Lß\u ]

Оператор, обратный к оператору Lß определяется формулой, аналогичной [2]:

Lß^[u] = j"0Sßj 1и(ex)ds, ex = (sx1,...,sxN).

Следовательно, оператор обратный к , обозначаемый в дальнейшем La 1) имеет вид:

L-1 ’[. f ] = Lß"... ¿Л. f ].

Рассмотрим также операторы Li’^'lu ] = Li!)Li*[u ] см.[2]. Обратный для которых имеет вид:

’[»]=1 ¿1 >[» ].

Определим серию операторов, действующих на функцию Ф(е),е > 0 .

ЬДф] = (в - 1)Ф-еФ/„) = 1,-,I

а также операторов, обратных к ним

1 р~5/Т

Ч [чИо-^М Т I =1 1

Определим также

4' )[ф] = Ь;,-Мф].

Следовательно, оператор обратный к , обозначаемый в дальнейшем Ь-11, имеет вид:

)[Ф] = -ьв][Ф].

Рассмотрим также операторы 1 )[ф]=Ь-1 ¿1)[ф] Обратный для которых имеет вид:

¿а1 )[ф]=¿1’ [ф] .

Теорема 2. Пусть функция и = и(х) гармоническая в единичном шаре В из Ем и непрерывна на В, тогда справедливо интегральное представление:

( „-3 (г/R '^ш^) ^

1 Г” А-11) ' _

u (х )=-w г l-J (2n) 2

|ser^s 2 -n-з ^])[u(y)]dSÄ(y)

R (r /R ■ sin^) 2

ds, x є B,

где

N - 2

0(s) =

e І s --

2

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как любые два оператора Ір^ и 1^ коммутируют, то достаточно изучить два основных случая

а) -) = І^в. Основное свойство оператора L-g1 - для любого однородного гармонического многочлена сте-

( х )

пени n выполнено: Ll [Pn (х)] =----Pn (х). Отсюда получим равенство:

ß + n

N-3 , N-3

\jn2 (cos^)Lß [u(y)]dS, (y) = e+n\jn2 (cos^)u(y)dSi(y).

Интегрированием по частям приходим к равенству:

і; ів[Ф(г)>и^=(в+и ){>(Ф^

ъо оператора Ір - для любого одноро, ни п выполнено: Ір [Рп (х)] = (в + п) Рп (х) . Отсюда получим равенство:

б) -) = І в. Основное свойство оператора Ір - для любого однородного гармонического многочлена степе-

\т„2 (cos^)Lß[u(У)]dSi(y)=(ß + n)\jn 2 (cos^)u(y)dSi(y).

Осталось применить лемму 1, в которой положено а (e) = eß-1, тогда

i'Lß [®(s)]snds=ß+n i>(s>nds.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд. М., 1984.

2. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.