Неоднородные краевые задачи для функций гармонических в кусочнооднородном шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►

Покажем справедливость обратного утверждения. Пусть ряд ^dne'к"г сходится в пространстве Нр и не

сходится ни в каком пространстве Нр , в < р . Предположим, что в соотношении (11) имеет место знак меньше:

а\Хп |)

Нш

к

■<р<р,

1п| dn\

Тогда, согласно теореме 1, ряд сходится (причем абсолютно) в пространстве Нр , в < р . Но это противоре-

)

чит условию. Следовательно, Нш

к

■ = р. Теорема 2 доказана.

1п| dn\

список литературы

1. Шеремета М. Н. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и модулями коэффициентов ее ряда Тейлора // Вестник Львовского университета. Сер. механико-математическая. Львов: ЛГУ, 1965. Вып. 2.С. 101-110.

1

п

УДК 517.44

неоднородные краевые задачи для функций гармонических в кусочно-однородном шаре

Ю. А. ПАРФЁНОВА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

Метод отражений Кельвина для решения краевых задач математической физики с границами симметрического вида послужил идейной основой для развития операторного метода в математической физике, в комплексном анализе, в гармоническом анализе. В работе операторный метод развивается для задач математической физики неоднородных структур. Операторный метод открывает возможность решения задачи для кусочно-однородной среды сведением к соответствующей задаче для однородной среды, кроме того решение получается в форме, удобной для изучения асимптотических свойств, упрощается алгоритм численных методов.

1. Постановка задачи.

Пусть Вп - единичный, кусочно-однородный шар из :

Вп = "гг,V = {X е Ям : г, < ||х||2 < г^};I = 1,...,

г=1

Шар Вп допускает параметризацию:

I п+1/ \

Вп = ^х!п; 1« =у:ге и=1\г],0-1);°<го ^1,гп+1 =°гг+1 <г},] =1

При этом оператор Лапласа А запишется в виде:

. 1 д ( N-1 ди Л 1 Аи =^гг—\г" 1— | + -г А1

„М-1 Я„ д„ „2

гк-1 дг ^ дг У г' здесь А - оператор Лапласа на сфере Б°.

Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве Вп , решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными коэффициентами

Аик = 0, X е¥к; к = 1,..., п; (1)

по краевым условиям

Го [и1 ] = /о (^ке (2)

п

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 8 (12) 2008 г.

и условиям неоднородного контакта на гиперповерхностях сопряжения 8к :

Гдк]-Г?2[щ+1 ] = /к8с ; к = 1,...,п, , = 1,2, (3)

80 = )-V2 =1 81 = {л = {л1,..,лм)-V2 = гк2 }

N (

Здесь Го,Г ;1,Г ¡2 — (, = 1,2; к = 1,...,п) - некоторые операторы, перестановочные с оператором ^ х -.

у г=1 ' (х,

Пусть числовые последовательности «о / ,а^ /,а,2 / определены условиями:

Г

и пусть выполнены условия

= а о,/ • г/, Г*

Мк,/ =

(г, к к

аи,—/

™ к к

Vа V/ а 2,, —/

= а,/ • г1; г,, = 1,2; к = 1,...,п; / е 2 ,

* 0, к = 1,...,п; , = 1,2; / е 2

(4)

Обозначим

Фп+1,/ (г )=г/;¥ п+1,/ (г )=г"(/+N—2);/ е 2. При фиксированном значении / рекуррентными соотношениями

Г,1 (фк,/,¥к,/)= 2 (фк+1,/,¥к+1,/) к=1,...,п;,=1,2.

с учетом условий (4) можно корректно определить остальные п пар функций (фк /к /),к = 1,...,/. Введем так же обозначения

(5)

П/ = Го [(Ри (г )] , = Го [ги (г )]

г = го

,г = 1,...,п +1;/ е 2,

г=го

Гк к/ (г (г); г,, = 1,2; к = 1,..., п ; / е 2,

Ггкк/(г)]=^,/(г),г,, = 1,2;к = 1,...,п,/ е 2,

Л к

,/(р) =

<Ри,1 (р) Уи,/ (р) $2,1 {р) 4^2,1{р)

Заметим, что определители ¿е!/ (Р);к = 1,...,п ;/ е 2 не зависят от р . В дальнейшем считаем что, выполнены условия неограниченной разрешимости задачи:

1) числовые последовательности а о / ,а / ,а к2 / при / ^ да имеют рост не выше степенного,

2) для каждого 1е 2 выполнены условия:

и

¿е!(р)* о ;к = 1,...,п, уи * о

(6)

2. Функции влияния.

оп

при к < s

Определим функции влияния Н, ,:

.( о ^

Н*, ,,/ = Фк,/ (г )(Ю)0—1 (р )1 1 I— ¥ к,/(г )-¥и-Ф1,/-(1о)О—1 (р )

(о ^

при к > s

V11

, гк—1 < г < Р < г,

Г о о ^

К,, =щ, (г -(1 о)о-1/ (р) 1 -(о 1)о;1/ (р)

V1У

Г о ^

V1 у

, гк-1 <Р< г < г,,

/

/

г

г

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ

при к = s

Н

к, 5,/

ío^ 0 0 ío^

срК1 М {р) 1 (гК^,/ "(1 {р)

V /

V1У

гк-1 <г <р< гк,

Г 0 0 ^ ^

(Л\-¥и-фи"(1 0)0,11 (р) , "(0 1)^/(р)

V1У

V1У

[Гк_1 < р < г < гк .

Функции Н* 5 / (г, р ) определены корректно в силу условий неограниченной разрешимости задачи. Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве I+ решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

1 д . N-1 дйк,/ -

„■^-1

дг

(г

1

дг

) -1 (/ + N - 2)— йк,, = 0;/ е 2

по краевым условиям

Г0 [¿<1,/]

= §0/,

(7)

(8)

Г ^

V 8 25 у

(9)

(10)

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

/ [¿'к,/] - / [йк+1,/] = /, г = гк, к=1,•••, п; ] = 1,2. С помощью функций влияния решение задачи (7)-(9) можно представить в виде:

* Г0^ п *

й/ (г ) = Н* ,1,/(Г, г0 ) , §0 +Е П=1 Н*, 5 (г, г5 )

V1 у

3. Уравнение Лапласа.

Преобразование Фурье на сфере ^0 с неразделенными переменными приводит задачу (1)-(3) к виду: найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

_1_ д ^^ - /(/ + N - 2) = 0 ;/ е 2

г*-1 дг

дг

по краевым условиям

Г0 [й1,/]

= ГN-1 7 = г0 /0,/

' г = г0

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

Гки[й~к,/]-Г+и] = гк,г = гк,к = 1,...,п ;/ = 1,2.

Из формулы (10) следует, что решение задачи (11)-(12) имеет вид:

й/,/(г )= Н/,1,/г0 )

Г 0 ^

V1 у

.N-1

/0,/ +Е Н +!,/(г, г) г?-1

5 = 1

Г ~ >

УЪ,/ •/2«,/

25,/ у

Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений задачи (1)-(3) в виде: Г -Г 0Л п ч Г / (п

и «г , _ ^ ч „ / , .. «г ,

/ (П ).

й, (г,П)= — Ь ГН/1 (■,г0, (Ц,^У-1./,(П)+1Н„(-,г«,(л ¿»г

ЮN 0 V V1У 5=1

ёц,

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

у

где

Н/, (г, г, <л х) )=е ;

/ + N/2 -1 N/2-1

=0 N/2 -1

С,

((л X) К,/ (г, г ),

- ^ - (N-1) мерный объем единичной сферы £0 из - полиномы Гегенбауэра.

г

г=г

0

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 8 (12) 2008 г.

4. Краевые задачи и операторы преобразования.

Пусть Во - единичный однородный шар из ЯТ: В0 = {х е ЯТ : ||х|| < 1 .

Рассмотрим модельные задачи Дирихле в единичном шаре В0 :

Д"0 = 0, х е В0, Д"/д = 0, х е В0,

и0 = 10 (п ), П е ^, и/д = (п ), П е ,/ = 1,2;д = п.

Если функции fо (П ), /уд (п ) непрерывны на соответствующей сфере, то решение каждой из указанных задач существует, единственно и находятся по формуле Пуассона для шара. Основную формулу (15) можно преобразовать к виду:

и = Р0 [й0 ]+Е 2=1Е П=1 Р/5 ["у ] ,

в котором Р , Р/д - операторы преобразования, действующие по правилам:

п+1

р0 : й0 ^ йо, й0 (г= )и0к (Г,П),

к=1

й0у (г,7) = ЕГ= 0^ГТНГ Г } ^'(1 ^ СN/2"«^Ж МК,

X (Ук ) - характеристическая функция области Ук ;

п+1

п/(Т/. \ и .

. д

к=1

Р/д : и/д ^ и/д,у = 1,2, и/д(= ) "./5, д(г,

к=1

М = 1Г=0^гН^д,'(г,Г)гТ' [0XСТ 2(г,

М = !Г=0 н;, д,' (г, Гд ) ГдТV-' [ 0 ^ СТ 2 1 (<*,#)) ~2д МК .

й2д,/ 1Г, V) = Ь,=0 ' 1 Н1д,' (Г, Г )^' ^

Из условий неограниченной разрешимости задачи следует

Т е о р е м а 1. Оператор преобразования Р0 (Р/д ) сопоставляет функции "0 ) гармонической в однородном шаре В0 (гдВ0 ) функцию "0 ("/д ) кусочно- гармоническую в кусочно- однородном шаре Вп , компоненты которой - функции и0 к (й/д к ) непрерывные в шаровом слое Ук.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. И. И. Баврин, О. Э. Яремко. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций М.:Доклады РАН,т.393, №4, 2003,с.439-444.

2. И. И. Баврин, О. Э. Яремко. Дифференциальные уравнения Журнал РАН, Москва, 2004, т. 40, № 8, с.1085-1095.

3. Баврин И. И., Матросов В. Л., Яремко О. Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях. М.- Прометей, 2000.- 416 с.