Задача продолжения функции гармонической в шаре b ⊂ En Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.572

ЗАДАЧА ПРОДОЛЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ В ШАРЕ B с EN

© О. Э. ЯРЕМКО

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: yaremki@yandex.ru

Яремко О. Э. - Задача продолжения функции гармонической в шаре B с EN. // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 34-37. - Найдено аналитическое решение задачи продолжения гармонической в единичном шаре из En функции по её известным значениям на внутренней сфере. Получено решение аналогичной задачи продолжения в случае задания на внутренней сфере не самой функции, а некоторых её операторных трансформаций. Ключевые слова: задача продолжения, гармоническая функция, полиномы Гегенбауэра.

Yaremko O. E. - The continuation problem function harmonious in the ball B с EN // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.

im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 34-37. - The analytical decision of continuation problem to harmonious in the unit ball function is found on its known values on internal sphere. The decision of a similar continuation problem in case of the task for internal sphere not the function, and its some operational transformations is received.

Keywords: continuation problem, harmonious function, Gegenbauer polynomials.

Приведем ряд вспомогательных формул, дающих новые выражения для ядра Пуассона в единичном шаре из En, N > 3 . Первая из формул получается непосредственным интегрированием:

Г -*( N - 2 ^ e—-3+n \ , v( N - 2 ^ —i-3, v Г[Т) 1 - r2 ...

Joe г—т~ N 3+n)!r ■ Tn (cos^ds=T\n+—г- К2 (cos^b-V-^-----------------------------------------n. (1)

У 2 jn=o(N-3 +n)! n=oy 2 ; jn (j-2rcos^+ r2)

N-3

здесь Tn 2 (cos^)-полиномы Гегенбауэра порядка —[1].

Вторая формула взята из таблиц преобразований Лапласа:

— 3 J—-3 (resins) —I- 2

—f- , 2 2 JN\ 1 -r2

—-3 2

f e~‘(s-{N - 2)/2)e—e 2 -----——de = -рГ!-]------------------—,2, k > 0, (2)

(rsin^) 2 ^ У 2 '(l-2rcos^+ r)

здесь J—-3 (/) -цилиндрическая функция Бесселя первого рода [1].

Из формул (1),(2) следует тождество:

.. , , (геsin^)

N-3 ^3 V ' / N-3 да N-3+п

е—е^-^------------N-3 = 2^ Х(^). (3)

(г sin^)-2- и=°(Ы - 3 + п)!

Для доказательства достаточно заметить, что изображения Лапласа обеих частей равенства (3) одинаковы. Ввиду единственности изображения Лапласа, тождество установлено.

Лемма. Пусть функция а = а (/) определена на отрезке [0,1] , неотрцательна и непрерывна на [0,1] . Если

J ena(e)de

le= c , и

on

^(є) = | -----®(г) dт,

| є"0.(є)dє = п\сп.

Доказательство. Из условий леммы следует, что в повторном интеграле

1о єП [1о“7^(г) ^

можно изменить порядок интегралов. В результате, получим:

,(т)

СкепО.(е)dе = [1аМ(Пеяе"е/^е - Пеяе"е/^е)dт = ('- [1аТ)(Г"e-ееndе)г 1о у 7 ^0 т V0 *к ) 1о т *'0 Т \*к I

Формула Пуассона для N мерного шара из ЕN радиуса R имеет вид:

К2 - г2

ГмК К (к2 - 2Кг соєі^ + г2)

N

2У?

(4)

22 г = х , х = х.

= х2 + ... + х1,(х,У) = ху+ + ... + XNУN, ^^ =

_ (х, У)

\Х\У\

Ыл*

г,|+,

- площадь единичной сферы из ЕИ, а dSК (у) -элемент площади сферы іК. Основной результат

работы содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция и = и(х) гармоническая в единичном шаре В из Е1^ и непрерывна на В, тогда справедлива формула:

“ -є I N - 2

е , є -

2

Г ег •і

JN-3 (г /К •єsin^)

— / К-є<сжу є 2 _________2_

Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем обозначение

(

(2пУ

Г ег

(г /К • sin^) 2

JN-3 (г /К •єsin^)

-и (у) ЖК (у)

dє.

(5)

— І Кєсо$^є 2 ____2_

(г /К • єіш^) 2

-М ( У ) ЖК ( у )

dє.

Изменим порядок интегрирования и применим формулу (3). В результате, после интегрирования по є , для

функции ик (х) получим выражение: 1 \[л

х ) =

ст^-1 Г1 Ж^п=°

/ ж к

1 Г е-єєлг-3+^є

.Д)______________

(N - 3 + п)\

V

\п N-3

К} ІГ2 (и(У)^К(У).

(6)

Учитывая единственность разложения гармонической в единичном шаре В функции и (х) в ряд однородных гармонических полиномов, замечаем, что коэффициенты

К

не зависят от К . В частности в формуле (5) можно принять К = 1. Тогда:

( гк . А

N + 2'

>( х

Г

л N-3

+N-1 [/п 2 и (У)^к (У)

линять К = 1.

-є N-3+п і

е є dє

^0

(N - 3 + п)\

N -3

гп'\чТп 2 (^^и(у)^1 (у).

то

є/т

2

2

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

Неравенство

^к -є N-3+п і

е є ає

---------------— < 1, к є (0, го)

(N - 3 + п)! v ’

Позволяет выполнить в последнем ряде предельный переход при k ^ ж.

кігпик(х)=-!--Пх 1=0(п+^+2}п ІТп2 (с051л)и(У)аБ(У)-

На основании формулы (1) правую часть в последней формуле можно переписать в виде:

N

Иши, (х) = ——ІД ^ • Г ----------------1—Г--------^и (у)аБ. (у).

к-” гГN^ тп - 2\Т

N ГІ — I (1 - 2г С08^ + г )2

Формула Пуассона (4) приводит к окончательному результату Ити, (х) = и (х),х е В.

к^ж ' 7 ' 7

Замечание. В случае двух переменных N = 2 формула аналогичная (5) найдена И. И. Бавриным в работе [2]. Представим обобщение интегральной формулы (5). Пусть I - натуральное число и Д,..., р1 -любые действительные числа с условием в ^ 1,7 = 1,---,'. В работе Баврина И.И. [2] введены операторы, действующие на функции гармонические в единичном шаре В:

ЬР] [и ] = ви + £" ^, 7 =1 -, 1

1 ][и ] = V" ^д[и ]

Оператор, обратный к оператору Ьр определяется формулой, аналогичной [2]:

#>[и ] = |0ев ‘и (£х) й?е, ех = (ех1,...,ех„) .

Следовательно, оператор обратный к 1', обозначаемый в дальнейшем 1а 11 имеет вид:

4-' ’[. г ]=- 1Л. г ].

Рассмотрим также операторы ] = 1а''1^[и ] см.[2]. Обратный для которых имеет вид:

№ '[»] = 10-'11а' ’[»].

Определим серию операторов, действующих на функцию Ф(е),е > 0 .

Ч, [Ф] = (в - 1)Ф-еФе,7 = 1,-,'

а также операторов, обратных к ним

1 -_е/г

Ч [ф]=!о-т^(") т=1............'

Определим также

1 '[ф]=V-мн

Следовательно, оператор обратный к 1(') , обозначаемый в дальнейшем 1-'1, имеет вид:

1-'}[Ф] = 4^ -[Ф].

Рассмотрим также операторы 1~л ' }[ф]=И1[ф] Обратный для которых имеет вид:

>[Ф]=1;" 1 [Ф].

Теорема 2. Пусть функция и = и(х) гармоническая в единичном шаре В из Е1Я и непрерывна на В, тогда справедливо интегральное представление:

( N-3 ^-з (г/R '^ш^) ^

1 гж А-'') ' _

и (х )=^ж і; £1 )[о(є)]^ (2п) 2

|Бег/Я—є 2 ^4^'’ )[и(у)>Б (у)

8 (г /Я • єіш^) 2

ає, х є в,

где

N - 2

ф(є) =

е І є --

2

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как любые два оператора и 17^ коммутируют, то достаточно изучить два основных случая

а) Ьа ‘) = Ьв. Основное свойство оператора Ьв - для любого однородного гармонического многочлена сте-

( х )

пени п выполнено: Ьв [Рп (х)] =----Рп (х). Отсюда получим равенство:

в + п

N-3 . N-3

{Л2 (с°5<л)Ьв[и(у)]аБ1 (у) = в+п 1/п2 (С0«^)и(у)аБ1 (у).

Интегрированием по частям приходим к равенству:

{; Ьв[ф(є)]єпає = (в+п ){”ф(є)?пає

ъо оператора Ьр - для любого одноро, ни п выполнено: Ьр [Рп (х)] = (в + п) Рп (х) . Отсюда получим равенство:

б) Ьа ‘^ = Ьр. Основное свойство оператора Ьр - для любого однородного гармонического многочлена степе-

\Тп 2 (с°5<л) 1р\_и (у)] dSl (у )=(в + п )/^т„ 2 (с°5^) и (у) (у).

Осталось применить лемму 1, в которой положено ю (е) = ев-1, тогда

[ф(е)]епёе=в+п Г^К*.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд. М., 1984.

2. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.