О полугруппах, порождаемых задачей Коши для гиперболических дифференциально-разностных уравнений с отклонениями пространственных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.972

А. Йаакбариех Российский университет дружбы народов

О полугруппах, порождаемых задачей Копти для гиперболических дифференциально-разностных уравнений с отклонениями пространственных

переменных

Установлены условия корректной разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа с отклонениями пространственного аргумента неизвестной функции. Определено представление полугруппы решений задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа.

1. Введение

В настоящей работе исследуются вопросы корректной разрешимости задачи Коши для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения вида

д2

—и(х,г) = Си(х,г) + /(х,ь), (х,г) е кЛ х (0, +то), (1)

от2

и(х, +0) = и0(х), и[(х, +0) = и1(х), х е КЛ, (2)

где

N

Си(х, ¿) = Аи(х, ¿) + [\ак(и(х - Нк, ¿) + и(х + Нк, £))] + [г((Ьк, Уи(х - Нк, ^ + к= 1

+(Ък, Уи(х + Нк, £)))] + [си(Аи(х - Нк, ^ + Аи(х + Нк, £))]} - ки(х, Ь).

Здесь ак,Ск, к е К шНк > 0 при каждом к е 1,..., N, а. Ьк е В!1 вектор в при каждом к е 1,..., Ж, / - числовая функция,заданная на множестве (0, +го) х В?, а и - неизвестная числовая функция, заданная на области (0, +го) х Областью определения оператора С, действующего из О(С) С Н в является гильбертово пространство Ш^(Я^) = Н2(КЛ).

В работе [6] для дифференциально-разностного оператора введен аналог понятия эллиптичности, используемый в теории дифференциальных операторов.

Оператор -С называется сильно эллиптическим, если существуют такие константы Со > 0 и 70 > 0, что для люб ого и е Н2 выполняется неравенство (-Си, у) > Со\\ь\\2Н1 - ъ\\и\?н-

Свойство дифференциально-разностного оператора быть сильно эллиптическим играет ключевую роль в вопросах разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностных уравнений параболического типа (см. [5]).

В настоящей работе мы рассмотрим свойство сильной эллиптичности дифференциально-разностного оператора как условие корректной разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа. -С

ао > 0 , что для любого и е Н2 выполняется неравенство (-Си, и) > а;о\М\^.

-С

тельным, и полагаем -С = А2, где А - строго положительный оператор в гильбертовом

пространстве Н с областю определения Н1. Последнее предположение приводит к тому, что оператор А имеет ограниченный самосопряженный обратный A-1.

2. О корректной разрешимости задачи Коши

Лемма 1. Для сильной эллиптичности оператора, —С достаточно выполнения неравенства с = |с1| + ... + | < 2- Есл,и, кроме того, выполнено неравенство к > 2а + (1 — 2с)-1Щ2, то опера тор —С является строго положительным.

Действительно, оператор —С унитарно эквивалентен оператору умножения M^ на функцию

N N N

<p(s) = s2(1 + 2 ^ Cj cos(hj s)) — 2s ^ bj cos(hj s) — 2 ^ aj cos(hj s) + к, 3 = 1 3 = 1 3 = 1

т.к. M^ = T (—С)Т-1 ■ Поэтому для сильной эллиптичности оператора

—С достаточно существования постоянной Со > 0, такой, что неравенство N " N N

s2(1 + 2 Cj cos(hjs)) — 2s bj cos(hjs) — 2 ^ aj cos(hjs) + к > C0s2 справедливо

3 = 1 3 = 1 3 = 1

при любом s G R.

—С

строгая положительность коэффициента при квадратичном слагаемом, то есть неравенство с = |С1| + ... + lcN| < 2-

Если последнее неравенство выполнено, то для строгой положительности оператора —С достаточно выполнения неравенства inf <fi(s) > 0, которое следует из неравенства 2а + (1 — 2с)-1 Щ2 < к.

Пусть % - сепарабельное гильбертово пространство, А - самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве, действующий в пространстве % = L2(Rd), имеющий компактный обратный, / - единичный оператор в пространстве % и ak,hk, к G 1,п .......... вещественные числа.

Превратим область определения Dom(AР) оператора А^ (¡3 > 0) в гильбертовом пространстве введя на Dom(A@) норму || ■ || = || А^■ у. Через ао обозначим нижнюю грань оператора А.

Обозначим через L2ri ((a,b), %)(—ж < a <b < пространство вектор-функций со

%

/ pa \ 1/2

у f Hl2,7«a,b),h)=^Jb exp(—21t) у f(t) у2 dt) > 0. Через W\((a,b),Al) обозначим пространство вектор-функций со значениями в %, таких,

что Ази(2 Я(Ь) € Ь2г/((а,Ь), Н),] = 0,1, 2,...,1; с нормой

IIи ((^м'Г (IIи(2) ((-ЯП) +(11 А*и 1И2,7((а,ьт)1/2^ ^ 0

Согласно теореме о следах (см. [4] гл. I, а также [1]), справедливо следующее утвержде-

ние.

Лемма 2. Если I G N и и G W2 т((а, Ь), А1), то существует и(а + 0) G D(Al 2) такое,

' I-2

2,7 0

то существует функция и G W22 7((а, Ь), А1) такая, что lim Hu(t) — U0IIAi~ 1 = 0.

что lim llu(t) — и(а + 0)|| , 1 = 0. Наоборот, еели и0 G D(AL 2) при некотором I G N

t^-a+0 А 2

Поставим задачу определить решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2) в предположении, что / € ¿2,7(Я+) и оператор является строго положительным и сильно эллиптическим. Последнее предположение приводит к тому, что оператор А имеет ограниченный самосопряженный обратный оператор А-1.

Определение 1. Функцию и(Ь) будем называть сильным, решением задачи Коши (1)-(2), если она принадлежит пространству (Я+, А2) при некотором 7 е Я, удовлетворяет уравнению (1) и тождественно удовлетворяет условию (2). Из определения (1) и леммы (2) вытекает следующее утверждение.

Лемма 3. Если функция и е (Я+, А2) является решением задачи Коши (1)-(2),

3 1

то существует, предел и(+0) е Н 2 функции и щи t ^ +0 и предел и'(+0) е Н 2 ее производной и' при £ ^ +0.

В связи с утверждением леммы (3) всюду далее мы предполагаем, что задача Коши (1),

' " 3 1

(2) исследуется при следующих предположениях щ е Н2 и и,1 е Н2. Нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки следующее утверждение.

Лемма 4. Пусть и0 е Н2 и и1 е Н2. Функция и е (К+, А2) является решением задачи Коши (1)-(2) тогда и только тогда, когда функция и(Ь) = е-11и{Ъ), £ е К+, принадлежит пространству Ш?;(К+, А2) и является решением задачи Коши:

&2 д

—ь(х,г) + 2^—у(х,г) = С,ь(х,г) + &(х,г), (х,г) е кЛ х (0, +ж), (3)

оъ2 оъ

у(+0) = ио,у'(+0) = и1 - 7ио, (4)

где = е& С, = С - 721. Положим и(х,1) = ■ш(х^) + д(х,1), где

-(2

д(Ъ, х) = е 2 [cos(At)v0 + А-1 8т( АЬ)у1].

3 1

Замечание 1. Так как в силу леммы 4 ьо = ио е Н 2 и ы = щ - 7ио е Н 2, то в силу леммы 2 функция д принадлежит пространству V е Ш22;(Н+, А2).

Лемма 5. Функция V е Ш22;(К+, А2) является решением, задачи Коши (3)-(4) тогда и только тогда, когда функция ад = V - д принадлежит пространству Ш22(К+, А2) и является решением, задачи, Коши:

д2 д

—^ад(х,1) + 2^—ад(х,г) = С,ад(х,Ь) + Р,(х,Ь), (х,Ь) е (0, +гс>) х КЛ, (5)

от2 т

ад(+0) = 0, ад[(+0) = 0, (6)

2

где Р, = + С,д - д - 27^д, а предельные соотношения (6) выполняются в простран-

3 1

ствах ио е Н 2 и и1 е Н 2 соответственно.

Так как ад(+0) = 0, ад[(+0) = 0, то будем искать решение уравнения (6) в виде

ад(х,г) = А-1 [ вт(А(г - з))е-1{г-з)г(х,8)йз. (7)

о

Покажем, что если ад(х, Ь) определяется равенством (7), то ад(+0) = 0, ад'г(+0) = 0. Лемма 6. Для функции (7) справедливы, следующие равенства: Зад Г1

1) — (х,г)= со&(А(г - 8))е-,^-з)г(х^^в - ^ад(х,г), ш Уо

д С1

2) (х, г) = г(х, г) - А2ад(х, г) + ~/2ад(х, г) - 27 / сов(АН - з))е-,{г-з) г(х,

оъ2 Уо

Следствие. Функция (7) удовлетворяет равенству

(х, I) + (ч2 + А2)ад(х, I) + 27—(х, I) = г(х, I) (8)

и условиям ад(х, +0) = 0, (х, 0) = 0.

Лемма 7. Если ад(х,£) е Ш?2(К+,А2), ад(+0) = 0, ад(+0) = 0, то функция Z из равенства (7) удовлетворяет условию Z е Ь2(К+,Н). Наоборот, если 2 е Ь2(П+,Н), то функция ад, определяемая равенством (7), удовлетворяет условиям ад(х,£) е -ш2(В,+, А2), w(+0) = 0, ад (+0) = 0; которые выполняются в пространствах

3 1

и0 е Н 2 и щ е Н 2 соответственно.

Утверждение леммы (7) следует из леммы (2) и леммы (6).

Лемма 8. Функция ад е Ш2(Я+, А2) является решением, задачи Коши (5)-(6) тогда и только тогда, когда функция Z е Ь2(К+,Н) удовлетворяет уравнению

г = р1 . (9)

Доказательство. Подставив (8) в (5), получим

Я(х,1) = Р1 (х,1) = Ь - (А2 + 721)д - 0(х,1) - 2(х,1). (10)

Поэтому согласно леммы 7

'0

ад(х, г) = А-1 вт(А(г - з))е/(*-з)Ру (х, з)^.

Тогда в силу леммы 4

у(х, {) = ад(х, I) + д(х, I), и(х, {) = е11 у(х, {).

Теорема 1. Пусть -С сильно эллиптический и строго положительный, оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда если и0 е Н2 и щ е Нf е Ь2у(К+,Н) и -С = А2, то задача, Коши (1)-(2) имеет в пространстве (К+,А2) единственное решение, которое допускает, представление

и(х,г)= е'*[д(х,г)+ А-1 вт(А(г - з))е-у(*-з) Ру (х,в)<18\,

0

где Ру определено равенством (10).

Доказательство. Задача Коши (1)-(2) эквивалентна задачам Коши (3)-(4) и (5)—(6), которые, в свою очередь, эквивалентны уравнению (9), имеющему единственное решение.

Замечание 2. Теорема 1 справедлива и при 7 = 0, т.е. если f е Ь2(К+, Н), то задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение и(х, Ь) из пространства Ш22;(Н+, А2).

3. Полугруппа, порождаемся задачей Коши

Покажем, что однородная задача Коши (1)-(2) (то есть задача Коши с / = 0), имеющая единственное решение из пространства Ш2(Я+, А2) при произвольных начальных условиях

31

ио е И (А 2) и и\ е И(А 2), задает полугруппу в гильбертовом пространстве начальных данных

31

К, = Б(А2) ® Б(А2).

Рассмотрим однопараметрическое семейство преобразований и(Ь), Ь > 0, гильбертова пространства К, сопоставляющее каждому начальному условию (ио,и\) е 1С упорядоченную

пару функций (u(-, t),u't(-, t)), где u(x, t), (x, t) G R x R+ - решение задачи Коши (l)-(2) с начальными условиями (uo,u,i) G К.

Лемма 9. Если (u0 ,u1) G К и u(x, t), u(x, t) G R x R+ - решение задачи Коши (1)-(2) с начальными условиями (u0,u1) G К, то для любого t > 0 выполняется условие (u(; t),ut(■, t)) G К..

Утверждение этой леммы следует из леммы 2, то есть из теормы о следах [4], гл. I. Определим на пространстве К функционал энергии равенством

Е (uo,ui) = \\Auo\\2H + \\ui\\2H. (11)

Теорема 2. Однопараметрическое семейство преобразований U(t), t > 0, является полугруппой в пространстве К., сохраняющей значение функционала, энергии.

u

начальными условиями (uo, ui) G К, существование и единственность которого установлено теоремой 1.

Определим функцию w(s) = s2 + 2 ^аk cos(shk), отделенную, согласно лемме 1, от нуля снизу.

Через L2ri(R+, L2,w) обозначим гильбертово пространство отображений u G L2i(R+,L2) таких, что wu G L2i(R+,L2), наделенное нормой

\\u||l,7{r+,l2,w) = J e-2i(f w(s)\u(s, t)\2ds)dt. 0 r

Напомним, что T - преобразование Фурье по пространственным переменным - унитарное преобразование пространства Н. Для дальнейшего доказательства теоремы 2 используем две леммы.

Лемма 10. Если u(x, t) G W2a(R+,A2), то T(A2u)(s, t) = w(s)U(s, t), причем,

\\A2 uW L2n (r+ ,h) = \\U\\l2,7 (r+,l2,w)-

Утверждение следует из унитарности преобразования Фурье T в пространстве Н и определений норм пространств W2ri(R+, A2) и L2i(R+,L2w).

Положим U(s, t) = T(u(t, x))(s). Тогда поскольку функция u(x, t) является решением

U( , )

д2

—U (s, t) = w(s)U (s, t), (s, t) GR x R+, (12)

д 2

д

U(s, 0)=0o(s),—U(s, 0)=ui(s). (13)

Решение задачи Коши (12)—(13) существует, единственно и определяется равенством

U(t, s) = u0(s) cos(w(s)t) + U1(s)(w(s))-1 sin(w(s)t). (14)

Лемма 11. Если (u0,u1) G К и u - решение задачи Коши (1)-(2), то для любого t > 0 выполняется равенство Е(u(t), u't(t)) = Е(u0,u1).

Доказательство. Согласно (14) справедливо равенство

U't (s, t) = -u0(s)w(s) sinw(s)t + ui1(s) cos(w(s)t),

поэтому

\Ul(s, t)\2 + \w(s)U(s, t)\2 = \Ui(s)\2 + \w(s)Uo(s)\2,

откуда в силу унитарности преобразования Фурье и леммы 10 следует сохранение значений

u( x, )

Однопараметрическое семейство преобразований U(t), t > 0, сопоставляющее начальным условиям (uo(x),Ui(x)) Е К значения (u(x,t),u't(x,t)) решения задачи Коши (1)-(2), является полугруппой преобразований пространства К. в силу теоремы 1 о существовании и единственности решений задачи Коши, причем в силу леммы 11 операторы полугруппы являются изометрическими преобразованиями пространства К. Теорема 2 доказана.

Замечание 3. Преобразования полугруппы U(t), t > 0, являются обратимыми, поэтому она однозначно продолжаема до группы.

Замечание 4. Преобразования полугруппы могут быть продолжены по непрерывности с пространства К на гильбертово пространство Н ® Н1.

Литература

1. Власов В.В., Сакбаев В.Ж. О корректной разрешимости некоторых дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева // Математические заметки. — 2000. _ т. 8. - № 6. - С. 939-942.

2. Власов В.В., Шматов К.И. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстве // Труды математического ин-с гигу га им. В.А.Стеклова. — 2003. — Т. 243. — С. 127-137.

3. Иаакбариех А., Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими, дифференциально-разностными операторами // Труды МфТИ. _ 2012. - Т. 4, № 4(16).

4. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения / пер. с фр. - М. : Мир, 1971.

5. Мура,вник A.B. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Математические заметки. — Т. 74, № 4. — С. 538-548.

6. Скубачевский А.Л. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением // Труды ММО. - 1997. - Т. 59. - С. 240-285.

Поступим в редакцию 01.08.2013.