CC BY
8
УДК 517.9: 62-50
ДЕКОМПОЗИЦИЯ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ И НАБЛЮДАЕМЫХ ДВУХТЕМПОВЫХ СИСТЕМ
© 2022 М.М. Семенова
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия
Статья поступила в редакцию 15.02.2022
В статье излагается метод декомпозиции двухтемповых систем, линейных по быстрой переменной, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Исследуется управляемость и наблюдаемость таких систем. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.
Ключевые слова: декомпозиция двухтемповых систем, интегральное многообразие, управляемость, наблюдаемость, асимптотические разложения. БОТ: 10.37313/1990-5378-2022-24-1-88-91
ВВЕДЕНИЕ
Исследованию свойств управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости раз-нотемповых систем, линейных по быстрым переменным посвящено большое количество публикаций. Задача оптимального быстродействия двухтемповых систем изучена в работе
[1], задача терминального управления с подвижным правым концом траектории изучена в
[2]. В монографии [3] проведено исследование двухтемповых нелинейных автономных систем. В работе [4] для определенных значений параметра при условии ограниченных управлений построены глобальные аттракторы, в случае отсутствия ограничений на управление подобные исследования проведены в работе [5]. В монографии [6] проведено расщепление разнотемповых систем, линейных по быстрым переменным, изучены свойства управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабили-зируемости, свойства идентифицируемости, пассивности таких систем изучены в монографии [7]. Данная работа посвящена изучению свойств управляемости и наблюдаемости двух-темповой нелинейной неавтономной системы.
Цель работы:
Понижение размерности задачи управляемости и наблюдаемости нелинейной двухтем-повой неавтономной системы так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы.
• Получение достаточных условий, управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем.
Семенова Марина Михайловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. E-mail: [email protected]
РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Рассмотрим модель сингулярно возмущенной системы вида
X = f(trXrE) + Al(t,x,E1)y+ В^ХгЕ^и,
ЕУ = g{t,x,£} + A2(t,x, е)у + Вг(х, e)u, W = p(t,X,E) + C{t,x, е)у, (1)
где х G X с К"-,у е Y с - медленная и быстрая переменные, м 6 У с Е' - управляющие воздействия, w G V с - измеряемая координата, е G (О, f{t, х, E')rg{trxr£')rp{trxr£') - векторные функции, Ai = Ai(t,x,E),Bi = Bt{х, s),i = 1,2; C(t,x,£) - матричные функции соответствующих размерностей, t G HÈ, точка обозначает
дифференцирование по t.
Пусть для системы (1) выполняются условия [8] :
1) Собственные значения
Л, = Aj(t,x),j = 1, 71-2 матрицы Az(t,x, 0)
удовлетворяют неравенству ДеЯ,- < —2р < 0.
2) Уравнение j(t,х, О) -f Az(t,x,0)y = 0 имеет изолированное решение
у = = -A~1(trxr0)g(_trxr0).
3) Функции f,g,p,Al,A1,A^i{it,x,Q\Blt В2г С имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем аргументам при всех s G (0,£0]д G К.
Используя метод декомпозиции [6] и асимптотические разложения медленных интегральных многообразий [9], произведем гладкую замену переменных: x(t) = i?(t) + sH(t,v(t),z(t),E),H(t,v,0,
После такой замены, получаем систему блочно-треугольного вида:
v — F(t, v, е) -+- B±(v, eH, E)U,
sz — A2(t, v, sH, s)z + B2(y, sH, e)u, w = p(t,v, eH, e) -f C{t,v, eH, c)(z -f h(t, v,E), (2)
где F(t, v, s) = f(t, v, e) + Ax{t, v, s)h(tr v,£),F(t,0,e) = 0,A2(t,vr£H,£) = A2(t, V + eH, e) — £ ^ (t,f + sH, E^A^tfV + £ ■ H,£),A2(t,0,0,E) = Q,B2(v,£H,£) = B2(v +eH, e) - s £ (£, v + £H, e)B±(v + £H, s),
¿^frcffj e) = B1 (v + £H, £} - £fa(i?.
Elf, E),p(£,V, еЯ,е) = p(t,t? + Е#,Е} "f + C(t,t> -I- ctf,V + £H,£\C(t,V,£H,£) = C(t,v + sH, e}, Функцию k(t, x,e) можно искать как асимптотическое разложение х, г) = Ид^о £Л hb(t,x) из уравнения + (f(t,+ A-y{t,х,£■) -
it(t,JC,E}} = j(t,i,i) -f j42(t, JE,
e}. Функцию H(t,v,z,£} можно искать в виде асимптотического разложения H(t,v,zrE) = Ц^о ^ifjft^z) из уравнения + £^F(t,Vr£~) + ^A2(t,V + £НГ
s)z = F(t, v -f sH, e) - Fit, v, e) + A±(t:, v +sHr E)z.
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
Для исследования свойств управляемости и наблюдаемости блочно-треугольной системы (2), линеаризуем ее по переменным состояния вдоль v = 0, z = 0:
v =^(t,0,E)v + SjfOAfOu +
В (0 0 г)и I | g(la(o,tu?tQ_
-\-a2(t,v,z,s),w — C^t^v + C2(t)z + a3(t,v,z,s). Обозначим A{£) =
e) + j: £>0 + h{t, 0,e}},C2(£) =
= £ (pit, 0,0, e) + C(t, 0,0, e){z + hit, 0,s}},
Запишем линеаризованную систему в матричном виде:
О=С)+*мQ+zymt,u,E),w
Используя теоремы об управляемости и наблюдаемости динамических систем по линейному приближению [10], получаем условия управляемости и наблюдаемости системы (3). Так как система (1) получена из системы (3) с помощью невырожденной замены переменных, то исходная система (1) вполне управляема и вполне наблюдаема.
Пример 1. Рассмотрим модель сингулярно возмущенной системы [11]:
+ (2t +ii)=Ylu,i = Xn; iv = ï£=lhkxk,
где коэффициенты cir yi , h^ отличны от нуля. Обозначим = тогда система примет вид
w = hkxk. Пусть система удовлетворяет условиям 1)-3), |u| < 1. Произведем замену переменных:
у, = Zt — 2t + £
f
„ *+0{£l),i= Un.
В результате получим систему блочно-треу-гольного вида:
s(l+i3 - [t^ )'(г (г - [г ■ j+5j
Используя теоремы об управляемости и наблюдаемости динамических систем по ли-
нейному приближению, получаем, что система блочно-треугольного вида вполне управляемая и вполне наблюдаемая, так как система нулевого приближения вполне управляемая, а система первого приближения вполне наблюдаемая. Так как система блочно-треугольного вида получена из данной с помощью обратимой замены переменных, то данная система является вполне управляемой и вполне наблюдаемой.
Пример 2. Рассмотрим модель системы маятникового типа с вязким трением, зависящим от времени [111:
£x¡ + a¡(2 + e~t)xi + siiix¡ = c¡u, i = í,n; w = где коэффициенты ai,hircir h¿ отличны от нуля. Обозначим, уj = Тогда система примет вид: x¿ = yir sy i = -íj¿ sinxi - a.: (2 -f e _t}y¿ +
i = T/ñi w = hkxk. Пусть система удовлетворяет условиям 1)-3), |u| < 1 . Произведем замену переменных: y¡ — z¿
2+0
Л
а "7-+ cos л: J
af (2+0-0*4 Q¿ Ч
-\-0(£Z)rX¿ = V¿ - £
a¡(2+ в
+ 0(s2),¿ =
1, п. В результате получим систему блочно-тре-угольного вида:
. _ aj einuj ij ' Sj 2+î_t a' (2tt"f)
Используя теоремы об управляемости и наблюдаемости динамических систем по линейному приближению, получаем, что система блочно-треугольного вида вполне управляемая и вполне наблюдаемая, так как система нулевого приближения вполне управляемая, а система первого приближения вполне наблюдаемая. Так как система блочно-треугольного вида получена из данной с помощью обратимой замены переменных, то данная система является вполне управляемой и вполне наблюдаемой.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе проведено исследование моделей систем, описываемых сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений и изучены свойства управляемости и наблюдаемости. Проведена декомпозиция моделей управляемых и наблюдаемых неавтономных двухтемповых систем, линейных по быстрой переменной. Изучены свойства управляемости и наблюдаемости неавтономной двух-темповой модели управления давлением системы вязкоупругих тел и системы маятникового типа с вязким трением, зависящим от времени.
Автор выражает глубокую признательность профессору В.А. Соболеву за полезные обсуждения и ценные советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Калинин, А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной нелинейной задачи оптимального быстродействия / А.И. Калинин // Дифференциальные уравнения. - 1993. - Т. 29.
- № 4. - С. 585 -596.
2. Калинин, А.И. Алгоритм асимптотического решения задачи терминального управления нелинейной сингулярно возмущенной системой / А.И. Калинин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1993. - Т. 33. - № 12.
- С.1762 - 1775.
3. Богаевский, В.Н. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений / В.Н. Богаевский, А.Я. Повзнер. - М.: Наука, 1987. - 256 с.
4. Binning H.S., Goodal D.P. Constrained output feedbacks for singularly perturbed imperfectly known nonlinear systems // J. Franklin Inst. 1999. V. 336. P. 449 - 472.
5. Биннинг, Х.С. Управление по выходу неопределенной сингулярно возмущенной нелинейной системы / Х.С. Биннинг, Д.П. Гуделл // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 7. - С. 81 - 97.
6. Воропаева, Н.В. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем / Н.В. Воропаева, В.А. Соболев. - М.: Физматлит, 2009. - 256 с.
7. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Reily J. Singular Perturbation Methods in Control. Analysis and Design. London etc.: Academic Press, 1986. 371 p.
8. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.
9. Кононенко, Л.И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий / Л.И. Кононенко, В.А. Соболев // Сибирский математический журнал. - Т. 35. - 1994. - № 6. - С. 12641268.
10. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. - М.: Наука, 1971. - 508 с.
11. Афанасьев, В.Н. Математическия теория конструирования систем управления / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. - М.: Высшая школа, 2003. - 615 с.
DECOMPOSITION OF MODELS OF CONTROLLABLE AND OBSERVABLE TWOTEMPO SYSTEMS
© 2022 M.M. Semenova
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia
A method of integral manifold is applied to study of twotempo linear on fast variables systems. The use of this method permits us to solve a problem of decomposition of tworate controllable and observable systems. Controllability and observability of these systems are investigated. The application of the method is illustrated on example.
Keywords: the decomposition of tworate models, integral manifold, controllability, observability,
asymptotic expansions.
DOI: 10.37313/1990-5378-2022-24-1-88-91
REFERENCES
1. Kalinin, A.I. Algoritm asimptoticheskogo resheniya singulyarno vozmushchennoj nelinejnoj zadachi optimal'nogo bystrodejstviya/A.I.Kalinin//Differencial'nye uravneniya. - 1993. - T. 29. - № 4. - S. 585 -596.
2. Kalinin, A.I. Algoritm asimptoticheskogo resheniya zadachi terminal'nogo upravleniya nelinejnoj singulyarno vozmushchennoj sistemoj / A.I. Kalinin // ZHurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. - 1993. - T. 33. - № 12. - S.1762 - 1775.
3. Bogaevsky, V.N. Algebraicheskie metody v nelineynoj teorii vozmyschenij / V.N. Bogaevsky, A.Ya. Povzner. - M.: Nauka, 1987. - 256 s.
4. Binning H.S., Goodal D.P. Constrained output feedbacks for singularly perturbed imperfectly known nonlinear systems // J. Franklin Inst. 1999. V. 336. P. 449 - 472.
5. Binning, H.S. Upravlenie po vyhodu neopredelennoj singulyarno vozmushchennoj nelinejnoj sistemy / H.S. Binning, D.P. Gudell // Avtomatika i
telemekhanika. - 1997. - № 7. - S. 81 - 97.
6. Voropaeva, N.V. Geometricheskaya dekompoziciya singulyarno vozmushchennyh sistem / N.V. Voropaeva, V.A. Sobolev. - M.: Fizmatlit, 2009. - 256 s.
7. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Reily J. Singular Perturbation Methods in Control. Analysis and Design. London etc.: Academic Press, 1986. 371 p.
8. Vasil'eva, A.B. Asimptoticheskie metody v teorii singulyarnyh vozmushchenij / A.B. Vasil'eva, V.F. Butuzov. M.: Vysshaya shkola, 1990. 208 s.
9. Kononenko, L.I. Asimptoticheskie razlozheniya medlennyh integral'nyh mnogoobrazij / L.I. Kononenko, V.A. Sobolev // Sibirskij matematicheskij zhurnal. - T. 35. - 1994. - № 6. - S. 1264-1268.
10. Gabasov, R. Kachestvennaya teoriya optimal'nyh processov / R. Gabasov, F.M. Kirillova. - M.: Nauka, 1971. - 508 s.
11. Afayfs'ev V.N. Matematicheskaya teoriya konstruirovaniya sistem upravleniya / V.N. Afayfs'ev, V.B. Kolmanovskij, V.R. Nosov. - M.: Vysshaya shkola, 2003. - 615 s.
Marina Semenova, Candidate of Mathematics and Physics, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: [email protected]
