CC BY
13
УДК 517.9:62-50
ДЕКОМПОЗИЦИЯ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ И НАБЛЮДАЕМЫХ ДВУХТЕМПОВЫХ СИСТЕМ
© 2022 М.М. Семенова
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия
Статья поступила в редакцию 15.02.2022
В статье излагается метод декомпозиции линейных двухтемповых систем, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Исследуется управляемость и наблюдаемость таких систем. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты. Ключевые слова: декомпозиция линейных двухтемповых систем, интегральное многообразие, управляемость, наблюдаемость, асимптотические разложения. DOI: 10.37313/1990-5378-2022-24-1-92-96
ВВЕДЕНИЕ
Исследованию свойств управляемости и наблюдаемости линейных двухтемповых систем посвящено большое количество публикаций. В работах [1,2,3,4,5] исследована управляемость и наблюдаемость линейных двухтемповых систем. Асимптотическая устойчивость, управляемость, сильная и слабая управляемость линейных многотемповых автономных систем изучена в работе [6]. Управляемость некоторых линейных автономных разнотемповых систем и множества достижимости изучены в работах [7,8]. Задачи Н ю-оптимального управления сингулярно возмущенной линейной системой изучены в [9]. В [10] построено асимптотическое приближение к решению задачи оптимального быстродействия для линейной автономной сингулярно возмущенной системы. Проблема управляемости и стабилизируемости линейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием исследовалась в [11]. Условия полной управляемости линейных автономных систем с разными степенями малого параметра при производных исследована в работе [8]. Данная работа посвящена изучению свойств управляемости и наблюдаемости двухтемповой линейной системы.
Цель работы:
• Понижение размерности задачи управляемости и наблюдаемости линейной двух-темповой системы так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы.
• Получение достаточных условий, управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем.
Семенова Марина Михайловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. E-mail: [email protected]
РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Рассмотрим математическую модель линейной двухтемповой системы:
= + А12Х2 + В1и,£Х2 = ¿21*1 +
А22х2 + В2и,у = С]*! 4- С2Х2, (1) где Е= П£": - переменные состояния, ¡=1,2, НЕ И1 - управляющие воздействия, у£ К™ - измеряемая координата,
С^^р, е), ¿,/ = 1,2 - матричные функции соответствующих размерностей, г - малый положительный параметр £ £ (0'ео], х1'хз - медленная и быстрая переменные, соответственно, £ 6 Нюточка обозначает дифференцирование по £.
Будем предполагать [12], что матрицы
непрерывны и ограничены вместе сдостаточнымколичествомпроизводных по £ и £ при £ £ 6 [0,£0] и, следовательно, имеют место асимптотические разложения:
А^Ы = + ^¿^(Ы^&е) =
Е^Срй + с гладки-
ми и ограниченными коэффициентами. Предположим, также, что собственные значения = (0, £ = 1, п2 матрицы ^22 (£,0)
удовлетворяют неравенству Ее Лi < —< 0. Расщепляющее преобразование имеет вид у1 — х1 — гНу2,у2 — х2 — Ьх1, ще функции
выбираются из условия, что результирующая дифференциальная система имеет блочно-диагональный вид. Выражая переменные х!, х 2, произведем последовательную замену переменных в исходной системе. В результате которой получим систему блочно-диагонального вида
У = С1У1 + СгУг> (2)
-\-С21,С2 = с2 + еС-уН. Функции I = 1(1, в)гН = могут быть найде-
ны в виде асимптотических разложений
из матричных уравнений
¿21 + £1 £101,, + =
А12 + а^Н - «Я- ЯЛ2 = 0. (3) Коэффициенты в асимптотических разложениях определяются следующим обра-
зом:
{^22 ) (^22 } ÍAxí +
До)
Чг
Со)1
,(0
Ci -j)
диагонального вида:
ур = —0.34у^ + У^ + = 534
- 40.02у_ + 1167.3и + О (s2),
у - -300£ -I- 3001/r + 0(ва),
(5)
,0") 22
- + - я^-^^я1-^)^)"1,^ i;
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
Управляемость и наблюдаемость линейных неавтономных разнотемповых систем изучена в работе [13]. Исследование управляемости и наблюдаемости линейных автономных систем производится с использованием критерия Калмана.
Пример 1. Рассмотрим модель управления центром тяжести крестокрылого снаряда в боковом движении, которая описывается линейной автономной двухтемповой системой [14]: /? = —0.34/? + <р; ф = 13. 534/? - 0.305^
— 0.23и — = Су{1 + с2<р сэф с4 ■
г3 + с5гч + с^г, (4)
коэффициенты С; Ф 0, ¿= 1,6. Произведем последовательную замену переменной: у2 = г - 1х,у1 = х- £Нуг,х = (/? р ф г3 =
(Ур Ур Уф У, Уд)', штрих означает транспонирование. Матричные функции Ь = Ь{в)гН = Н (г) определяются из матричных уравнений вида (3) £ = (15933.5 393.5 -363.6 -33.4 0)+0(ггг},
н = (о 0 0 -40 0}' + 0Ог}- в результате такой замены, получим систему блочно-
+ 159 3S.5сй}у^ + (_с2 + 39 8.5сй}ур + (с3 -368.63с&)уф + (с4 - 33,36Сй)у-+ c&yç +с6у2 + 0(е2}. Быстрая подсистема нулевого приближения системы (5) является управляемой и наблюдаемой. Медленная подсистема нулевого приближения системы (5) управляемая, так как ранг матрицы управляемости /01 —0.65 13JB5 -17.66 \ 1 -0,305 13.63 4.57 150.1 О 1 -0,305 13,627 4,57 = 5.
-7.659 -353,07-214,95 -4706,33 2В5646 V 0 0 0 102 -65.79/
Медленная подсистема нулевого приближения системы (5) наблюдаемая, так как ранг матрицы наблюдаемости полный, т.е. равен 5. Значит, система (5) является управляемой и наблюдаемой. Так как блочно-диагональная система получена из системы (4) с помощью обратимой замены переменных, то данная система (4) является управляемой и наблюдаемой.
Пример 2. Рассмотрим модель системы нелинейных осцилляторов [15]: sxt -f a^xf +xf — + bÈ(l — s}^ = £Г,1Х,
i = 1,ti; sxk + dkxk + shk(xk -f i^) + CtSinï,, = jjku,k. = nTXp; w = 2j=1(}Vïj + Sjij),
(6)
где коэффициенты et;, b ;, a ^, /? hr
Yj, Sj, i = 1, n;j = 1, p; k = n + 1, p отличны от
нуля, sinjCi X Ху Обозначим, yi = *i,yk = Тогда система примет вид:
Линеаризуем систему вдоль îj = 0, у. = 0, j = 1 Линейное приближение системы имеет вид: = Vi.Xk = Ук> £У[ = bi{s- l)ii + aiyi
Произведем последовательную замену переменных:
я, о, /
В результате такой замены получаем систему блочно-диагонального вида:
Vi = -Vi - -u + 0(й),ъ>^ = -7^+7
fit
u 4 0(s),£ii = iijZj 4 4 0(E),
szk=-dkzk+pku + 0(_E), (8)
Система (8) является управляемой, если Ф--'-,Vi,k\ i = lrn; k = n -f 1,р; и являет-
5k. fx
at'
ся наблюдаемой, если Y; 4 —r-, ~г 4
не равны нулю одновременно для Vi,k:i = 1,п; k = п 4 1,р. Так как система (8) получена из системы (7) с помощью обратимой замены переменной, то система (7), которая является линейным приближением данной системы (6), является управляемой и наблюдаемой при выполнении этих условий. Следовательно, система (6) является управляемой и наблюдаемой по теореме об управляемости и наблюдаемости динамических систем по линейному приближению.
Пример 3. В качестве простого примера управляемой и наблюдаемой системы, рассмотрим модель системы п кривошипно-шатун-ных механизмов, которая описывается линейной двухтемповой неавтономной системой [16]: sxi 4 (о.; 4 cos 2nt)xi = CjU, i = 1 ,n;
w = hkxk, где коэффициенты о^.Ъ^
cirhiri—l,n отличны от нуля. Обозначим
— Система примет вид:
xi = yi,syi = —{a-i 4 £>с cos 2ni)xi 4- с-и,
i — l,n-,w = itjt^n;. Используя критерий
управляемости и наблюдаемости, получаем, что система является управляемой и наблюдаемой на отрезке [t0, tj].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе проведено исследование моделей систем, описываемых сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений и изучены свойства управляемости и
наблюдаемости. Проведена декомпозиция моделей управляемых и наблюдаемых линейных неавтономных двухтемповых систем. Изучены свойства управляемости и наблюдаемости автономной двухтемповой модели крестокрылого снаряда и модели системы маятникового типа.
Автор выражает глубокую признательность профессору В.А. Соболеву за полезные обсуждения и ценные советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. KokotovicP.V., HaddadA.H. Controllability and timeoptimal control of systems with slow and fast models // IEEE Trans. Autom. Control. 1975. V. 20. P. 111113.
2. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular perturbation methods in control. Analysis and Design. London etc.: Academic Press, 1986. 371 p.
3. Cobb D. Controllability, observability and duality in singular systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1984. V.2. P.1076-1082.
4. Javid S.H. Observing the slow states of a singularly perturbed systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1980. V. 25. P. 277-280.
5. O 'Reilly J. Full order observers for a class of singularly perturbed linear time varying systems // Int. J. Control. 1979. V. 30. P. 745-756.
6. Abed E.H., Silva-Madriz R.I. Controllability of multiparameter singularly perturbed systems // ISR Technical Reports for 1988, TR 88-73. 1988. V. VIII. P. 137-140.
7. Дмитриев, М.Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления / М.Г. Дмитриев // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21. - № 10. - С. 1693-1698.
8. Курина, Г.А. О полной управляемости разнотем-повых сингулярно возмущенных систем / Г.А Курина // Матем. заметки. - 1992. - Т. 52. - № 6. - С. 56-61.
9. Gajic Z., Lim M. Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications. High-Accuracy Techniques. Marcel Dekker 2000. Control Engineering series. 312 p.
10. Калинин, А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия / А.И. Калинин // Прикл. математика и механика. - 1989. - Т.53. -Вып. 6. - С. 880-889.
11. Копейкина, Т.Б. К проблеме стабилизации линейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / Т.Б. Копейкина // Докл. НАН Беларуси. -1998. - Т. 42. - № 3. - С. 22-27.
12. Соболев, В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий / В.А. Соболев, В.В. Стрыгин. М.: Наука, 1988. 256 с.
13. Семенова, М.М. Управляемость и наблюдаемость многотемповых систем / В кн.: Н.В. Воропаева, В.А. Соболев. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. - М.: Физматлит, 2009. - С. 153-172.
14. Доброленский, Ю.П. Автоматика управляемых снарядов / Ю.П. Доброленский, В.И. Иванова, Г.С. Поспелов. М. Оборониздат.1963. 386 с.
15. Богаевский, В.Н. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений / В.Н. Богаевский, А.Я. Повзнер. М.: Наука, 1987. 256 с.
16. Жарикова, Е.Н. Оптимальные периодические системы управления с сингулярными возмущениями / Е.Н. Жарикова, В.А. Соболев // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 151-168.
DECOMPOSITION OF MODELS OF LINEAR CONTROLLABLE AND OBSERVABLE TWOTEMPO SYSTEMS
© 2022 M.M. Semenova
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia
A method of integral manifold is applied to study of linear twotempo systems. The use of this method permits us to solve a problem of decomposition of tworate controllable and observable systems. Controllability and observability of these systems are investigated. The application of the method is illustrated on example.
Keywords: the decomposition of linear tworate models, integral manifold, controllability, observability,
asymptotic expansions.
DOI: 10.37313/1990-5378-2022-24-1-92-95
REFERENCES
1. Kokotovic P.V., Haddad A.H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast models// IEEE Trans. Autom. Control. 1975. V. 20. P. 111-113.
2. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular perturbation methods in control. Analysis and Design. London etc.: Academic Press, 1986. 371 p.
3. Cobb D. Controllability, observability and duality in singular systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1984. V.2. P.1076-1082.
4. Javid S.H. Observing the slow states of a singularly perturbed systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1980. V. 25. P. 277-280.
5. O 'Reilly J. Full order observers for a class of singularly perturbed linear time varying systems // Int. J. Control. 1979. V. 30. P. 745-756.
6. Abed E.H., Silva-Madriz R.I. Controllability of multiparameter singularly perturbed systems // ISR Technical Reports for 1988, TR 88-73. 1988. V. VIII. P. 137-140.
7. Dmitriev, M.G. Teoriya singulyarnyh vozmushchenij i nekotorye zadachi optimal'nogo upravleniya / M.G. Dmitriev // Differencial'nye uravneniya. - 1985. - T. 21. - № 10. - S. 1693-1698.
8. Kurina, G.A. O polnoj upravlyaemosti raznotempovyh singulyarno vozmushchennyh sistem / G.A Kurina // Matem. zametki. - 1992. - T. 52. - № 6. - S. 56-61.
9. Gajic Z., Lim M. Optimal control of singularly
perturbed linear systems and applications. High-Accuracy Techniques. Marcel Dekker 2000. Control Engineering series. 312 p.
10. Kalinin, A.I. Algoritm asimptoticheskogo resheniya singulyarno vozmushchennoj linejnoj zadachi optimal'nogo bystrodejstviya / A.I. Kalinin // Prikl. matematika i mekhanika. - 1989. - T.53. - Vyp. 6. - S. 880-889.
11. Kopejkina, T.B. K probleme stabilizacii linejnyh singulyarno vozmushchennyh sistem s zapazdyvaniem / T.B. Kopejkina // Dokl. NAN Belarusi. - 1998. - T. 42. - № 3. - S. 22-27.
12. Sobolev, V.A. Razdelenie dvizhenij metodom integral'nyh mnogoobrazij / V.A. Sobolev, V.V. Strygin. M.: Nauka, 1988. 256 s.
13. Semenova, M.M. Upravlyaemost' i nablyudaemost' mnogotempovyh sistem / V kn.: N.V. Voropaeva, V.A. Sobolev. Geometricheskaya dekompoziciya singulyarno vozmushchennyh sistem. - M.: Fizmatlit, 2009. - S. 153-172.
14. Dobrolenskij, YU.P. Avtomatika upravlyaemyh snaryadov / YU.P. Dobrolenskij, V.I. Ivanova, G.S. Pospelov. M. Oboronizdat.1963. 386 s.
15. Bogaevskij, V.N. Algebraicheskie metody v nelinejnoj teorii vozmushchenij / V.N. Bogaevskij, A.YA. Povzner. M.: Nauka, 1987. 256 s.
16. ZHarikova, E.N. Optimal'nye periodicheskie sistemy upravleniya s singulyarnymi vozmushcheniyami / E.N. ZHarikova, V.A. Sobolev // Avtomatika i telemekhanika. 1997. № 7. S. 151-168.
Marina Semenova, Candidate of Mathematics and Physics, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: [email protected]
