Численный расчет волны фильтрации в сорбирующей проницаемой среде Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

2007

УДК 622.411

С.В. Кузнецов, В.А. Трофимов

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ВОЛНЫ ФИЛЬТРАЦИИ В СОРБИРУЮЩЕЙ ПРОНИЦАЕМОЙ СРЕДЕ *

~П настоящей работе приведено численное решение ква--Я-М зилинейного параболического уравнения, которое в общем случае записывается в виде

В [1], [2] показано, что уравнение (1) в при п = 1 имеет решения, производные которых в точках, где и(1, х) обращается в нуль, разрывны, а поток - непрерывен, т.е. существует фронт и =

0, который распространяется с конечной скоростью (см. [3]). Классического решения уравнение в этом случае не имеет, а существование обобщенного решения задачи Коши и краевых задач доказано в[4].

Хотя это уравнение встречается в различных областях математической физики, мы под функцией и(г, х) будем иметь в виду давление фильтрующегося через проницаемую среду газа.

Для расчета таких обобщенных решений (которые будем называть волнами фильтрации) используем разностные схемы сквозного счета, не предусматривающие явного выделения точек слабого разрыва. Теория таких схем разработана в статьях [4]-[6], в последней из которых приведена также библиография. Достаточно подробно численное решение этого уравнения для разных п проанализировано в [7].

При описании массопереноса в сорбирующей проницаемой среде будем исходить из макроскопической фильтрационной модели, которая характеризуется набором параметров, принятых в теории фильтрации. Рассмотрим далее эти параметры, их взаимосвязи

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-05-00553).

ди ^ д '

ди '

(1)

и собственно уравнение фильтрации в сорбирующей среде.

Доля объема среды, занятая пустотами в виде раскрывшихся трещин и пор, которые могут заполняться газом, называется активной пористостью и обозначается через т. Очевидно, что

M = m(a,Q), (2)

где а- некоторое обобщенное напряжение, с которым связано раскрытие трещин, Q - концентрация сорбированного газа, т.е. количество его в единичном объеме.

Движение жидкости и газа в пористых средах под действием перепада давления характеризуется скоростью фильтрации и . Она определяется как расход через единичную площадку пористой среды, перпендикулярную к направлению потока. Будем рассматривать достаточно медленное фильтрационное движение, в связи с чем его можно считать безинерционным. Это дает основание использовать связь между скоростью фильтрации и и давлением в фильтрационном потоке p в виде линейного закона Дарси к

и =----grad p, (3)

ц

где к - проницаемость, и - вязкость.

Величина к имеет размерность площади и связана только с геометрическими параметрами пористой среды. Она также как и активная пористость зависят от напряжений и концентрации сорбированного газа. Поэтому в общем

K = k(a,Q). (4)

Отметим, что состояние фильтрующей среды полностью характеризуется двумя параметрами а и Q, поскольку все остальные выражаются через них. При природном горном давлении и природной сорбционной насыщенности среды (угля) эти величины равны ер и Q0, соответственно.

Напряжения а, которые связаны с исходными напряжениями в массиве, зависят от глубины залегания и могут быть произвольными, в том числе достаточно большими. В тоже время количество сорбированного газа ограничено предельной сорбционной способностью Q0 среды. Таким образом, макроскопическое состояние среды в координатах (Q, а) на любой стадии процесса должно описываться некоторой точкой, находящейся в полуполосе 0<Q< Q0, а>0.

Будем рассматривать одномерный фильтрационный поток газа, для которого общее уравнение (1) преобразуется к виду

д (k дp ^ д

дx

и дx

= — (тР + Q ) (5)

V д* ^ /

где р - плотность газа, связанная с давлением p уравнением состояния

Р = —, (6)

RT

где R - газовая постоянная, T - абсолютная температура газа.

Отметим, что мы рассматриваем достаточно медленные процессы массопереноса газа, в связи с чем в проницаемой зоне можно пренебречь кинетикой десорбции, т.е. считать газодинамическое состояние среды равновесным в любой момент времени и использовать соответствующую изотерму сорбции для связи параметров p и Q.

Наиболее эффективным методом решения квазилинейных дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. При этом использование явных схем для больших временных промежутков нецелесообразно, т.к. условие устойчивости требует очень малого шага т по времени при разумном выборе шага h по координате.

В связи с этим для численного решения уравнения (5) была построена неявная консервативная разностная схема с точностью

0(Ъ2+т ) (Цр{ - Щ+1 p/+l)(p/++l1 - pi+1)-(Щ-1 p /-1 - У PІ)(pi+1 - р;-/ ) =

= Т е (+1 - р) (7)

Простые преобразования приводят ее к системе линейных уравнений относительно неизвестной функции на /+1 временном слое, типичной для применения метода прогонки

АР+ - С/ +Dlpj+ =-F 0 </< ^ 0 < / <», (8)

где коэффициенты системы зависят от значений параметров на/-ом временном слое и могут быть вычислены заранее, перед прогонкой

А = k!-l р-1 + ]^{Р{,

Di = Ур1 + ^1 р,

Краевые условия можно записать в общем виде Уо = К У + ^

УN = К УN-1 +и2.

(10)

(11)

Задание граничных условий на свободной границе расчетной области не представляет особых затруднений. В наиболее простом случае на ней задается постоянное значение давления (давление в открытой скважине или в выработке ~ 1 ат), т.е. в (14) следует положить к = 0, и = р .

1 ’1 г скв

Используем построенную разностную схему для исследования параметров распада скачка давления при внезапном отжиме пласта и возникающей при этом волны фильтрации. Техногенные суфляры в забоях, в общем, связаны с внезапными отжимами пласта, а их мощность и интенсивность в значительной мере зависят от размеров зоны, в которой они происходят, и степени разрушения в ней угля. При продвижении забоя образуется призабойная проницаемая зона с низким горным давлением со стороны вмещающих горных пород и незначительным давлением газа в трещинопорах. За ней следует непроницаемый пласт с зоной повышенного горного давления и давлением флюидов не ниже исходного давления сорбционного насыщения угля газом. В пределах этой зоны при внезапном отжиме под действием горного давления и высокого давления флюидов потенциальная энергия упругой деформации угля переходит в кинетическую, уголь разрушается, пласт в ней становится проницаемым и таким образом инициируется начало фильтрационного потока газа в сторону забоя.

Теоретическому описанию фильтрационного переноса газа посвящены работы [8]-[10]. В них сформулированы две модельные задачи с соответствующими ограничениями и подходами к их решению.

Задача фильтрации в [8] при постоянных значениях проницаемостей призабойной части пласта k1 и зоны разрушенного угля k2 имеет автомодельное решение, которое описывает рассматривае-

мый процесс при движущемся фронте волны разрушения с момента внезапного отжима до начала фильтрационного истечения в выработку десорбированного газа на фронте волны разрушения. Остальная часть сорбированного газа в потоке не участвует.

Основные характерные особенности этого решения состоят в следующем. Во-первых, с момента внезапного отжима в пласте распространяются две фильтрационные волны давления газа, одна из которых связана с волной разрушения и питается десорбирующимся газом на фронте, а другая бежит в сторону выработанного пространства. Скорости распространения этих волн возрастают как , но в общем с разными коэффициентами пропорциональности. Во-вторых, на границе сопряжения призабойной части пласта и формирующейся за ней зоны разрушенного угля давление газа р зависит от отношения проницаемостей k1, ^ и устанавливается мгновенно, как только произойдет внезапный отжим. Это давление остается постоянным пока сохраняется автомодельность.

В работах [9], [10] задача фильтрации, связанная с переносом газа из зоны разрушенного угля в результате внезапного отжима, решалась в несколько иной постановке, ориентированной на более длительный процесс, включающий выделение газа в выработку, истечение его из разрушенной зоны, которая ограничена определенным расстоянием Ь от забоя и призабойной частью пласта I. В отличие от [8] учитывались в соответствии с изотермой сорбции Ленгмюра как сорбция, так и десорбция газа в зависимости от изменения давления на всем протяжении фильтрационного потока. Кроме того, так как время собственно внезапного отжима весьма мало по сравнению с продолжительностью фильтрационного процесса, в данной идеализированной постановке задачи принято, что вся зона разрушенного угля с проницаемостью ^ и поровым давлением р0 образуется мгновенно. При этом в призабойной части пласта проницаемость постоянна и равна k1, а поровое давление ра.

При этом начальные условия на момент внезапного отжима запишутся в виде

т = т1, k = ^, р (х,0) = ра, при 0<х<1,

т = т2, k = k2, р (х, 0) = р2, при 1<х<Ь. (12)

В процессе фильтрации (>0) должны выполняться граничные условия

Р ( 0 *) = Ра , Р~(1, *) = Р+(1, *) , и“(1, *)= и + (1, 0 , (13)

и (Ь,*) = 0, * > 0.

Вообще, когда происходит внезапный отжим пласта и образование разрушенной проницаемой зоны, газ сразу начинает перетекать из нее в дегазированный участок пласта и частично сорбироваться в нем в соответствии с ростом давления. Хотя проницаемость в этой части пласта достаточно велика, но интенсивное поглощение газа углем замедляет его фильтрационное продвижение к свободной поверхности выработки.

В данной работе в качестве примера, отражающего общие закономерности развития фильтрационного процесса и суфлярного выделения метана, приведены результаты расчетов при I = 2 м, Ь = 10 м, ра = 0.1 МПа, р0 = 5 МПа, т = 0.06, а = 15 кг/м3, Ь = 1 МПа"

1, /л =1.2810-15 атсут, R = 5.310-3 атм3/кгград, Т = 300 0К. В связи с анализом этих результатов проницаемости k1 и ^ варьируются в пределах от 1 до 103 мД.

При этом время запаздывания хч в зависимости от проницаемостей k1 и ^, лежащих в пределах, при которых возможно суф-лярное выделение газа [9] определяется соотношением

т = —, (14)

где А зависит от ^, а а«0.85.

Отметим, что в отличие от классических представлений о бесконечной скорости распространения возмущения в задачах фильтрации, здесь формируется четко выраженный фронт фильтрационной волны, распространяющийся с вполне определенной конечной переменной скоростью в направлении свободной границы. Перед этим фронтом давление газа постоянно и равно ра, а за ним повышается и устанавливается в соответствии с законами массопереноса. Через промежуток времени тч волна достигает свободной границы проницаемой зоны. Рис. 1, 2 иллюстрируют эту ситуацию.

Рис. 1

X, м

Рис. 2

Некоторая «размазанность» фронта при малых значениях р (р0<р<2ат), отчетливо просматриваемая на рис. 1, обусловлена сеточным эффектом, который определяется соотношением параметров т и к используемой конечно-разностной схемы.

Рис. 3

р, ат

1

Рис.4

Измельчение расчетной сетки, как правило, уменьшает этот эффект.

Тем не менее, экстраполируя полученные кривые распределения давления при р > р > 2 ат в область р<2 ат, как это показано на

рисунке, и, тем самым, устраняя сеточный эффект, получим реальное положение фронта бегущей волны в зависимости от времени.

Эта зависимость показана на рис. 2, где точками отмечены положения фронта волны, соответствующие кривым на рисунке 1, т.е. через 150, 300, 450, 750, 1500 и 3000 с от начала распада скачка давления при х = 2 м. Здесь же сплошной линией показана функция наилучшим образом аппроксимирующая эти данные в диапазоне 0<К~2000 с.

Это параболическая зависимость, совпадающая с [8], имеет

вид

х = 0.0425л/? . (15)

Из рис. 3 или соотношения (15), получим, что фронт волны достигнет свободной поверхности, т.е. начала координат х = 0 через ? = 2200 с. При этом отметим, что точка, соответствующая кривой давления при ? = 3000 с, не попадает на кривую (15). Это означает, что зависимость (15) справедлива только для движущегося фронта, т.е. до тех пор, пока фронт волны не достигнет свободной поверхности.

Рассмотрим изменение распределения давления газа р в проницаемой зоне с течением времени. Типичные кривые для различных моментов времени приведены на рис. 4.

Произведем преобразование координат, которое характерно для автомодельных задач теории фильтрации [8]

X

х=й, (16)

Перестроим график на рис. 3 в новых координатах (рис. 4) при

С=1.

Отметим при этом, что все кривые 2-6 рис. 3 трансформировались в единую кривую 1 на рис. 4 и только кривая 7 перешла в отдельную кривую 2 на рис. 4. Т.е. для тех времен, когда внутри области еще не ощущается влияние границ (кривая 6 близка к ним), распределение давления описывается единой кривой.

---------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зельдович Я.Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб. «К семидесятилетию академика А.Ф.Иоффе». М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 61-71.

2. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // Прикладная математика и механика. 1952. Т.16. №1. С. 67-

3. Баренблатт Г.И., Вишик И.М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. №3. С. 411-417.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Однородные разностные схемы // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1961. Т.1. №1. С. 4-63.

5. Самарский А.А. Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами и разностные методы их решения // Тр. Всесоюз. совещания по дифф. уравнениям (Ереван, ноябрь 1958). Ереван: Изд-во АН АрмССР. 1960. С. 148-160.

6. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для параболических уравнений // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1963. Т.3. №2. С. 266-298.

7. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн // Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука, 1999. С. 18-39.

8. Кузнецов С.В., Трофимов В.А. Движение газа в призабойной зоне угольного пласта при внезапных отжимах // ФТПРПИ. 1990. №6.

9. Кузнецов С.В., Трофимов В.А. Об одном механизме суфлярных выделений газа из угольных пластов // ФТПРПИ. 2004. №4.

10. Кузнецов С.В., Трофимов В.А. Интенсивность суфлярного выделения газа из угля // ФТПРПИ. 2006. №6.

— Коротко об авторах -----------------------------------------------

Кузнецов С.В., Трофимов В.А. - Институт проблем комплексного освоения недр РАН, Москва.

78.