CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА I И Том XIV 1983
№ 2
УДК 533.6.011.32
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНКИ СО СТРУЙНЫМ ЗАКРЫЛКОМ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ БЕРНУЛЛИ
С. В. Кузьмин
Рассмотрена задача обтекания идеальным несжимаемым неограниченным потоком пластинки, установленной под углом атаки, у задней кромки которой выдувается струя жидкости конечной ширины. Принято, что константа Бернулли струи больше константы Бернулли набегающего потока. Численные решения системы уравнений рассматриваемой задачи получены методом последовательных приближений.
Струйный закрылок образуется струей жидкости, выдуваемой под некоторым углом к профилю, из щели, расположенной вблизи задней кромки, и является одним из возможных способов увеличения подъемной силы крыла. Известно большое количество работ, в которых излагаются методы, позволяющие рассчитывать аэродинамический эффект струйного закрылка (например, [1, 2]). Однако в этих методах тонкая струя обычно заменяется вихревой пеленой или системой дискретных вихрей, интенсивность которых определяется соотношением, полученным в [1]. В работе [3] дана общая постановка задач обтекания плоских полигональных тел со струями конечной ширины, когда константы Бернулли в некоторых струях, вытекающих из тела, отличны от константы Бернулли набегающего потока.
Ниже на основе полученной в [3] системы уравнений предложен метод последовательных приближений решения прямой задачи обтекания пластинки со струйным закрылком, когда заданы угол атаки а, угол выдува струи ас, относительная ширина щели Д и число Бернулли Ве, равное разности констант Бернулли струи и набегающего потока, отнесенной к скоростному напору набегающего потока на бесконечности. Приведены результаты численных расчетов при 4=0,3, ас = 30° и различных значениях углов атаки 2 и чисел Бернулли Ве > 0. Результаты расчетов по распределению перепада коэффициента давления ДСр
на верхней и нижней сторонах пластинки, полученные при А = 0,00225, а — 0, ас = 31,4 и различных значениях коэффициента импульса С,± струи, сравниваются с результатами, полученными в [1] по линейной теории.
Схема рассматриваемого обтекания пластинки со струйным закрылком изображена на рис. 1. Пластинка ч3 ^ длиной I расположена на первом листе рима-новой поверхности (физическая плоскость) под углом атаки а к набегающему
1
неограниченному потоку с константой Бернулли В* = Р* + — ри*2 и скоростью и*х в бесконечно удаленной точке А*. Из бесконечно удаленной точки А2
8—«Ученые записки ЦАГИ» № 2
113
канала струйного устройства, расположенного на втором листе римановои поверхности и ограниченного параллельными стенками, составляющими угол ас
с пластинкой, вытекает струя жидкости с константой Бернулли В = Р + -у ?и2,
объемным расходом (5Ла и скоростью иж в бесконечно удаленной точке А1. Решение строится для функций Жуковского
_
г = = и (П+шЩ,
и*
/* (<*) = 1п = М* (**) + IV* (**),
соответственно в верхних полуплоскостях Д~, £><я,. Конформно отобразим область течения 1>~на верхнюю полуплоскость при следующем соответствии
точек: (N2, Аи ч1? А2) и (\2 = — 1,^ = 0, ^ = 1, |%2|> 1). Положим
/(0=/1 (?) +/з (О — «1 (0 + г‘и1 Й + “2 (0 + г'^2 (?)■
Аналитическую в верхней полуплоскости функцию/1 (г) выберем в виде
—-■ -V — — Яр 2 (£ 1) / — /"*— I
/1 (0 — н (оо) — Ы (а + ас) + -у 1п —----- , — л I а + -т-) [( - У (- — 1 ].
1 ь + V г- - 1 у 4 '
Тогда на действительной оси к) функция /2 (0 должна удовлетворять следующим краевым условиям:
Мт() = ° ПРИ И|>1. /2 (со) = м2 (оо) + ш2 (оо) = 0, щ (0) = 0, (1)
и20\) — неизвестная непрерывная функция на [ — 1, 1].
Интересующее нас ограниченное на всех концах решение краевой задачи Гильберта (1) определяется соответствующей формулой Келдыша—Седова [4]. Область изменения комплексного потенциала Р (^) представляет собой полосу шириной (5Л . Отображая ее на верхнюю полуплоскость имеем
(1г = ^ — & + .
ЛР М кит
Требуя, чтобы срез сопла совпадал с поверхностью пластинки, и замечая,
0 А ~----------- ~
что ^-2- _ 2е~ и (М2) з сI — ширина канала струйного устройства, запишем урав-
Усо
нение для угла среза сопла
1 ___ ________
V. Р. Г ен ~ ~ , (2)
_1 1 ~
1 1
где г = — , ;г = —— .
V 2 ТХ,
Рассмотрим теперь течение с константой Бернулли В*, полагая, что т) = — 1, т]**=0, т)*з =1, к*|>1, 0, где 01 — критическая точка в течении И2%, ко-
А\
торая при Ве> 0, в отличие от течения с фиксированной константой Бернулли, может располагаться и на струе (рис. 1). Обозначим
/* (1) ((*) = /* ((*) + 1п —---‘Р - = и (1) (**) + ю (1) (**)•
( Чо,
Положим
/* (1) (**) =/; (**> + /*(^) =«; (<*) + (^) +(<•> + /»;<<•).
(£*) = и (1) (оо) + а 1п — г'тса —
(1-а*2)2^2 (1_ 2(1 — а*2) і*
(1 - а*)2
(1 + аі*У ІП (1 + а*) (і* + 1)
(1 + аі*)
где
У а ас/2 — "]/" а + ас
1/а + ас/2 1/а+ 5; '
Тогда на действительной оси г{* функция /\ (і*) должна удовлетворять следующим краевым условиям:
^2(ті*) = ® ПРИ И* I ^ /г (°°) = к2 (°°) + гг12 (°°) = г'з (0) = 0, (3)
г>2 С1]*)— неизвестная непрерывная функция на [—1, 1].
Решение краевой задачи Дирихле (3) для функции /*, ((*) определяется формулой Шварца (см., например, [5]). Область изменения комплексного потенциала і7* (^*) представляет собой плоскость с разрезом. Отображая ее на верхнюю полуплоскость имеем
йг* (1Р*
еи* {(*) + іу* (п ар*
сц* _ д* е“* (1) (<*)+(»* (1) (<»)
где I)"
2^1 С*
ГГ* *
ие° V,
С*0 — некоторая константа.
Теперь нетрудно записать уравнение для относительной ширины щели
- А_г+1
~ і е
,«*(!) (5*)
(1/
С)
(4)
где £* = 1/т)*.
Заметим, что условие замкнутости контура, которое необходимо выполнять при решении задачи, имеет вид
иА **’
О'
Запишем систему уравнений для определения на отрезках [—1, 1] действительных осей т], т(*, функций т] = ^(7)*), и2(т|)> и2 С7]). г’г> “о С*)*). Система уравнений состоит из: уравнения равенства длин дуг 5 (г,) = 5* (г,*), линии тангенциального разрыва скорости /,*, определяющего функциональную связь
<2
А,
рй
=£>*
и* (1) (а*) .
Ф-х*
--і/
_ Г . (Ьх 7*
. а (?) *_____________= />. Г
)
| а*- тЬз) <*{.* ГГ*з
= 5*(г,*), ■ =5* (г|*);
1
\ (5)
1 ‘ " —1 уравнения непрерывности статического давления при пересечении линии
_____ 1 1
11 (ті) 1п (1 + ^ ~ ТГ,п
9 — «Ученые записки ЦАГІІ» №2
Ве
Чо,
Г —■По, ] е_Ъ1* (1) (71»)
(6)
115
уравнения для определения функции 1>2 (т|)
~ VI— I2 г1 и2((Г) —И2(0)
«2 (1) = — ----------- V. Р. ^ ----- ------- , (7)
-1 |/ 1 — р.2 Н- — •<!
уравнения равенства углов наклона скорости на линии
V (7)) = у* (т)*), ^2 (т<*) = ^1 (?) +^2 Й) — ^ Сп*) (8)
и уравнения для определения функции
* ] "г*1 И2 О1*) 1 I"1
м2(',]*) = --- р- -5Г-------------Ит-------------- У- Р- - , (9)
Л ^ 1 1^ - Т| г*-»-0 - и ^ [А* — г,*
Подробный вывод системы уравнений (2), (4) — (9) изложен в [3]. Заметим, что если точки слияния двух потоков с различными константами Бернулли совпадают с угловыми точками ч2, то так же, как и для течения с фиксированной константой Бернулли [3], положение критической точки О1 зависит от угла атаки. В работе [3] было показано, что если циркуляция и силы, действующие на пластинку и канал струйного устройства, конечны, а именно это решение нас интересует, то в окрестности точки г1А = 0 функция Жуковского /*(<*) представляется в виде
/*(**)= (4+ К) <*3[1 + «* <<*)].
где о* (<*) 0 при -*■ 0.
Используя этот результат, будем определять значение параметра из условия равенства нулю первой производной функции и* (г,*) в точке *1^=0 в соответствии с формулой
*
(10)
— Г..,
(0) и2 (0)1
Таким образом, при численном решении прямой задачи обтекания пластинки со струйным закрылком, когда заданы угол атаки а, угол выдува струи ас, относительная ширина щели Д, значения величин параметров , г] и неизвестные на отрезке [ — 1, 1] функции т( = у (т|*), и 2 ('^), (г,), мг(т1*) бу-
дем определять соответственно из уравнений (2), (4)—(9), а величину параметра т*0 — по формуле (10).
Система уравнений (2), (4)—(10) решалась методом последовательных приближений. Процеес последовательных приближений строился следующим образом. При заданных значениях величин Д, а, ас, Ве начальные приближения для функций /2 (у), /*(т]*) задавались в виде
7г Й) = 0. А (г*) = Р* Кт*2—+ 2гг*3 ,
где Р* — некоторый параметр.
Далее после определения из (2), (4), (10) первых приближений для величин параметров , *)„а, т]0) последовательно решались уравнения (5)—(9) и находились первые приближения для функций = г) (т]*), и2(^)> ^гС7]). и2 (г!*)>
Затем первое приближение для функции и2 (?]*) задавалось по формуле
а2К (т1*) = ши2М Ю + О — “) н2ЛГ-1 С7)*)’ где N—номер приближения, и) — коэффициент релаксации и т. д.
Численные расчеты показали, что на Л?-м приближении для функции и2(7]) краевое условие ы2 (= 0 не выполняется, и процесс последовательных приближений не сходится к решению. Известно [3], что при числе Ве = 0 в окрестности бесконечно удаленной точки .4! для функции Жуковского справедливо выражение
1 / в,1пР , а2
где а* = Ьк -(- 1Ск, Р—комплексный потенциал течения.
'Юг
V* ((*) =
получим
\2
г‘0,
(И)
* г\
Оказалось, что если в некоторой окрестности точки ч\А = 0 аппроксимировать Л^-е приближение для функции и*(т|*) функцией (11), то при фиксированном значении коэффициента Ь* процесс последовательных приближений сходится, причем вычисляемое в точке Т]л ==0 значение функции V2 (Т|) зависит от величины коэффициента Ь*0, т. е. решение системы уравнений (2), (4)—(10) зависит от величины коэффициента аппроксимирующей функции (11). Значение коэффициента Ь0, при котором выполняется краевое условие (0) = 0, определялось методом хорд.
Численные расчеты системы уравнений (2), (4)—(10) проводились на ЭВМ БЭСМ-6. Программа расчета позволяет рассчитывать аэродинамические коэффициенты Сх, Су, Сг_, См, С{1, а также распределение коэффициента давления ср по поверхности пластинки и формы линий тангенциального разрыва скорости, т. е. границы струи.
Численные расчеты показали, что при фиксированном значении коэффициента Ь0 предложенный процесс последовательных приближений сходится при = 15-т-20 (Л^— номер приближения), а время расчета одного варианта ^задачи составляет ~30—40 минут. Результаты численных расчетов при ас = 30°, Д = 0,3 и различных значениях углов атаки а = —10°-н20° и чисел Бернулли Ве = 10, 20, 30 приведены на рис. 1 — 4. Заметим, что при Д=0,3, а = 0, ас = 30°, Ве = 10
Рис.
значение величины коэффициента 3*, входящего в выражение для начального приближения функции /2 (т/*), равно 0,315, а решение при других значениях величин а, Ве строилось методом непрерывного продолжения решения. На рис. 1 при а = 20°, Ве = 30 изображены формы линий тангенциального разрыва скорости вблизи среза сопла. Интересно, что в этом случае критическая точка Ог расположена на струе (см. рис. 1). На больших расстояниях за пластинкой при X ОС- ус С 1п X.
На рис. 2 и 3 приведены результаты расчета аэродинамических коэффициентов: подъемной силы пластинки Су пл; момента С/И пл, вычисляемого относительно передней кромки; подсасывающей силы С_; нормальной силы Сп, действующей на твердую поверхность пластинки; суммарный коэффициент подъем-
ной силы Су 2, вычисляемый по поверхности пластинки и каналу струйного устройства. Видно (см. рис. 2), что канал струйного устройства слабо влияет на коэффициент подъемной силы пластинки. На рис. 4 показано распределение коэффициента давления ср по поверхности пластинки. С увеличением угла атаки,
так же как и для пластинки без струи, критическая точка 0lt где ср = 1, движется к точке v2, однако при а = —10° она располагается на нижней стороне пластинки вблизи передней кромки v3. На рис. Ъ,а сравниваются результаты расчета по распределению перепада коэффициента давления Дср на верхней и нижней сторонах пластинки, полученные при а = 0, ас = 31,43, Д = 0,00225 и различных значениях коэффициента импульса струи С (сплошная линия), с результатами численных расчетов [1], полученными по линейной теории (штриховая линия). Заметим, что коэффициент импульса струи вычислялся в бесконечно удаленной точке А 2 канала струйного устройства. Как видно, линейная теория дает хорошие результаты по распределению перепада коэффициента давления Дер, хотя задача является существенно нелинейной (рис. 5, б).
ЛИТЕРАТУРА
1. Spence D. The lift coefficient of thin jet — flapped wing. Proceedings of the Royal society, vol. 238, N 122, 1956.
2. Sato J. Disorete vortex method of two-dimensional jet flaps. „А1АА J.“, vol. 11, N 7. 1973.
3. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. М., .Ма-шиностроение", 1977.
4. Келдыш М. В., Седов Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций. ДАН СССР,
1937, т. XVI, № 1.
5. Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., „Наука*, 1965.
Рукопись поступила 6/ VIII 1981 г. Переработанный вариант поступил 28jX 1982 г.
