Линейная теория профиля в сжимаемом газе при дополнительном обдуве струей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XV 1 98 4 № 1

УДК 532.522.2:536.6.011

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПРОФИЛЯ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ОБДУВЕ СТРУЕЙ

Г. А. Пав ловец

В рамках линейной теории рассмотрена задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа. Получены выражения для скоростей течения на границах струи и формы этих границ. Для профиля произвольной формы задача сводится к решению сингулярного интегрального уравнения.

Приведены зависимости, иллюстрирующие влияние на подъемную силу профиля различных параметров струи и внешнего потока. Показано, что задача струйного обтекания профиля идеальным сжимаемым газом может быть сведена к аналогичной задаче для идеальной несжимаемой жидкости с несколько другими значениями параметров течения.

1. Рассмотрим струйное безвихревое течение идеального сжимаемого газа около заданного профиля (рис. 1, а). Пусть V<*,, М, <7» — скорость, число М и скоростной напор набегающего потока, соответствующие параметры струи на бесконечности — Vooi, Мь <7001. Пусть хорда профиля равна единице, угол атаки а, функция f(x) определяет среднюю линию, a t (х) — симметричную часть заданного профиля. Предположим, что

««1, i/i«1, i/;i«i, *«i, ick1’

т. е. выполнены основные предположения линейной теории профиля и возмущенные скорости малы по сравнению с характерными значениями скоростей невозмущенного потока.

Обозначим через /2(х) и f3(x) функции, определяющие форму верхней и нижней границ струй соответственно. Относительно этих функций будем предполагать

)A — h'\ 1 I f' I 1 |-/з + Ы^ 1 \f' \

|*1-1-1 ^ 2* I ^ ’ |х|+1

где hx и h2 — ординаты границ невозмущенного струйного течения.

В классической линейной теории крыла граничные условия сносятся с поверхности профиля на отрезок, расположенный по направлению невозмущенного потока. В рассматриваемой задаче

М, у

© X

0 1 . X

М,,Ч-т •с?

—

Рис. 1

струйного [обтекания профиля при ее линеаризации необходимо также снести условия на границах струи на линии у=Их и у=—Л2.

Таким образом, в линейной постановке задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей состоит в отыскании решения в полосе шириной к — + К с разрезом [0,1] (область

£> 1), а также в полуплоскостях у(область 02) и У<С. — ^ (область Оа) при соответствующих граничных условиях на верхней и нижней поверхностях разреза [0,1] и границах струи (рис. 1, б).

Пусть Ф,, Ф2 и Ф8 — соответственно потенциалы скоростей безвихревого течения сжимаемого газа в областях и £3:

®1 = + ерь Ф2= УооХ + <ря; Ф3= 1/оод:-)-срз. Уравнения для по-

тенциалов возмущенных скоростей ср2 и <р3 имеют обычный вид

(1)

(2)

<1-м?> о,

(1-М*)*1" + = 0, (1 - т<?;хх + ср'уу = 0

Обратимся теперь к граничным условиям. На поверхности профиля (сторонах разреза [0,1]):

|у-*-+о= ^оо1(—“ + *.*+/*)» (3)

?;у1 ^-0=1/00! (-а -/;+/;). (4)

Условия непротекания на границах ‘Струи:

I У-Ъ = ^оо1/2л:1 Тгу I ===

I У = —= Усеа/а*, ?зу \у = -л3 — ^00/Зл-. (6)

Отличительной особенностью задач струйного обтекания тел является то, что форма границ струй заранее неизвестна и их требуется найти в процессе решения. Дополнительными условиями на границах струи являются условия равенства статического дав-

ления в струе и во внешнем потоке. В рассматриваемой задаче в линейной постановке эти условия могут быть записаны в виде:

Заметим, что производные /'^ и /'ах, связанные с формой границ струи, могут быть исключены из соотношений (5) и (6). В результате можем записать

Итак, в линейной постановке задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа состоит в решении уравнений (1), (2) при граничных условиях (3), (4), (7), (8). Форма границ струи может быть найдена затем путем интегрирования выражений (5), (6).

2. Решение уравнений (1) и (2) будем искать в виде

распределения источников и вихрей на границах.

Потенциалы (9) — (11) являются решениями уравнений (1) и (2) в областях />!, 1)2 и 03 соответственно. Для нахождения шести функций а, °12, °1з> °2> аз имеем шесть граничных условий (3),

Подставляя выражения (9) — (11) в соотношения (8) и выполняя необходимое интегрирование, получим

<Р2л-1 >>=*! — 991х | у = Л1, фз* | у=—Н, — ЯФ1х | у-—кг»

(7)

где

I _У = Л, — ?2у | у=й,» '•?! у | у = -Н, — ^Зу | у=-Ла-

(8)

О 9

00

00

—00

оо

—со (X

— оо

— оо

Здесь 0 = ]/1—М2, $1~У\—М*, а, 012, а13, с2, а3 и у —плотность

(4), (7), (8).

°3 Р °13 Р1

2л

— со

оо

I Г а12 Р1________Р1Л______ Л I

+ ) 2л (*_$)2+{52дз^ +

1 1

+

I 2* (л:_5)2+р2А2^+| 2л (*_6)1 + раА*Л- (13)

Здесь

— во Оо 94 0 ’ С-1 о О Т

а2 = у » а3== у ’ а12='у~> °13 = уу а— у у Т “ ~у~ ’

К 00 ^ СО оо 1 ос 1 оо1_ 001

После подстановки выражений (9) —(11) в соотношения (7) получим

Г° ^ <*е . д Г ^ & , - Г Ги 7-6 ^ ,

3 2л * _ £ ] 2тс х — £ 9 ] 2л (* _ + в? Л2 ^

-00

1 1

2л (ЛГ - £)2 + Р? Л2

+ ^|~^Г (*~5)* + Р1А1Л+^ (*-£)’+Р?^’ (1^

00 ОО

Г °3 ■ ~ Г °13 ^ ■ - Г °12 -У —£ ЛЕ I

3 2л х — 5 Ч } 2к х - £ У 3 2л (х _ 5)2 р2 А2

+ -----2-2 Г-о1--------------------г-з^. (15)

2л (д:_5)2+р2Л2 2л (х_|)3 + р2Л2

Подставляя затем выражения для о2 и а8 из (12) и (13) в интегральные соотношения (14) и (15), получим

—со

1

00

—00

1

-£г--^Цг —Ь С -Р----------- 3 -.—<*£ =

2л *— £ 3 2л (д;_5)2+р2Л2

Х | 2л (Л:_5)2+?2Л2Й^ + Х| 2л (х_6), + р2АаЛ’ О-6)

оо оо

Г ^ « _х Г ф.—=

J 2л * — 5 J 2л _ 5)2 + й2 А2

—оо —оо 1

= Х|’5Г (^_£). + Р1Д!Л_>'|“гг (Л!_е)»+р**!*46’ *17)

х-гй- *-&• (18)

Полученные соотношения (16) и (17) будем рассматривать как систему интегральных уравнений относительно функций о12 и о13. В силу линейности рассматриваемой системы интегральных урав-

где

нений ее решение можно искать в виде суперпозиции решения системы интегральных уравнений (16') и (17')

СО

I

Oi2 dZ

g13

X — с

dt

2* (*-Є)*+р?А?

d\, (16')

jg A -:- XI* м д (|7'>

и решения системы интегральных уравнений (16") и (17").

х — £

°13

g12 ^_____________________j, ________________

2к х — I; J 2п ■00 —00

(X - 6)2 + Р; h?

1

С

Г 313 ^6________^ I °12

J 2л а: — £ J 2тс _ «а і р2 Л2

— оо -00 4 ' 1 1

ОО

f

х — £

(х-ї

_________X— 6

J "2ІГ (л;_г)3 + р2А2

dS, (16") Л. (17")

Решение системы интегральных уравнений (16') и (17') будем искать в виде

і _

12

J13

+ 2

В» (*-6)

"(*-£)» + pf (2*ft + ЛО2 iSi (* ~ S)2 + П &kh ~ Лі)2 .

і — Г 00

С*(х-6)

+ 2

Dk (х — 6)

£)* + ft (2АА + А2)2 " (л: - £)2 + ft (2*Д - Л,)а

d\\

dl.

Подставляя эти выражения в условия (16') и (17') и выполняя необходимое интегрирование, для коэффициентов Ак, Вк, Ск) Dk получим следующие рекуррентные соотношения:

Ак— ^Dk, Вк—

---, I

= wk. j

(18)

С0 — X, Ок— ^Ак_і, Ск —

Отсюда следует

лЛ-----х»+», вк=\* С*=Х»+1, Я4 = -Х**.

Аналогично может быть найдено решение системы уравнений (16") и (17"). В результате решение полной системы интегральных уравнений (16) и (17) имеет вид

°12 —

ОО , 1 _

___у X2fe + ГаР, (2к

к=О * J (х~~

(2kh + At) — 7 (х — £)

£)3 + ^(2М + Лі)2

2 7... . +

V-* - W Т Н

У *!!_ faPi(2to-Ai) + т(*-£) j£i я J (JC — Є)» н- р? (2ЛЛ — At)* ’

_ У ^+1 аР1 (2*А +А2) + т(х-£) 5'8 Й'о я і (х-5)а+р?(26Л + Л2)з

1 _

I X С а$\ (2кк Л3) 1 (х ^ r^t (°ГП

+ к ~ ] (^-5)>+р;(2м-»!). “• (2и|

3. Итак, искомые функции а2, о3, а12 и о13 на границах струи

выражаются с помощью соотношений (12), (13), (19) и (20) в виде

сумм интегралов через функции о и 7, т. е. через распределения источников и вихрей вдоль хорды заданного профиля.

Опуская промежуточные выкладки, выпишем выражение для возмущенной скорости течения в струе на ее границах

со 1 _ _

І 1+Х V }1Ь С ° (х — 9 + 7Р1 (2£Л+Л,) ,е .

} (,_Е),+р;(2И + +

СО 1 _

4- 1 + Х "У 12Й-1 Р ° (* — £) — їРі (2кН — ^і) ле

2* 3 (а: —Є)»+Р?(2ЛА —АО* ’

о

У \2к С °С* —£) — 7Р1 ^ .

^ (лг — Є)» + Й (2АА + АО»

I !+>■

?и|у=-ла — —2^-

О

оо 1 _ _

, 1±1У «*_1 Г°(х-£) + тр!<2АА -А»)

+ 2* & } (*-£)*+ Р?(2*Л-Л2)’ аК'

Используя соотношения (5) и (6), можем найти также производные функций и /'Зх, определяющие форму границ струи в линейном приближении

Рі (1 — А) ^ Г ар, (2кк + Л) — 7 (х — £)

1А_6)* + Р* (2АА + А,)*

о

1

<й-

рг(1 — X) у . 2Й_! /• орг (2*А — АО + 7 (х — 6)

^ 2л £ ^ (л: — Є)» Ч- р? (2*А — А0Я ’

О

1

РіО" Х) V рь ðг (2&А + А2) + ТГ(-*-£)^ ^ £==0 ^

^ (*-Є)* + РІ(2*А + А*)*

00 1

1 (1 — *•) V 12й-1 ðг (2М — А2) —т (х- 6)

!Ух»-»Г

2л ^ ] (лт — Є)* -Н р? (2АА — А*)*

4. Для определения искомых функций о и 7 воспользуемся граничными условиями на заданном профиле, которые в линейном приближении записаны в виде (3) и (4). Перепишем эти граничные условия в несколько другом виде

?іу | у-ч-о + ?іу I у-*-о = — 2 (а —/л), (21)

Тіу I ^->-+0 — ?іу ! у-*~о= 2£*. (22)

(1%.

Используя выражения (9), (19) и (20) и осуществляя необходимые предельные переходы, получим

а ТГ ’

1

ijTifl1 +«<*. «)<я.

(23>

(24)

где

К(х, Е) _ 22 -2X!,+1 X

X

А=1 (-"С—6)*

+

*=0 (х — 6)2

S(x, S) = 2 X2A+1

(х - 5)» + Pi (2kh + 2*!)» (х - 5)2 + (2*А + 2Л2)2

Pi (2kh + 2ft3) р, (2kh + 2Aj)

*=o

(x - £)2 + p' (2M + 2Л2)2 (x — б)2 + pf (2kh + hj-

Таким образом, в линейной постановке задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа сводится к решению сингулярного интегрального уравнения (24). В общем случае это интегральное уравнение может быть решено численно известными методами [4, 5].

Отметим, что, в отличие от классической линейной теории профиля в неограниченном потоке, для профиля при дополнительном обдуве струей задачу обтекания не удается полностью разделить на задачу о симметричном обтекании профиля с толщиной и задачу обтекания бесконечно тонкого профиля под углом атаки. Такое разделение оказывается возможным лишь в случае Л,=Л2, т. е. когда заданный профиль помещен в середину струи.

Выпишем выражение для коэффициентов давления на верхний и нижний поверхности профиля в линейном приближении

1 1 1 + <25>

0 0 о

Здесь

м

(х, £) = 22

\2k.

Л

к =1

(X — 6)2 + '

■ № №

X

: +

к=0 х — £

(х - g)a + pf (2kh + 2k])* (x — 6)2 + pf (2kh + 2Й,)2

В формуле (25) знак минус перед величиной f соответствует верхней поверхности профиля, знак плюс—нижней.

5. Рассмотрим частный случай профиля, расположенного в середине струи (h^ — h2) при равномерном распределении вихрей вдоль хорды (i = const). Форма такого профиля определяется уравнением

Согласно линейной теории в неограниченном потоке газа со скоростью V,х> и числом Маха М! на бесконечности для такого профиля имеем

<27>

о

Используя известные результаты линейной теории профиля, запишем

1

То

где

=1+^. *28>

о

Обозначим через су1 коэффициент подъемной силы профиля в неограниченном потоке (Л1 = Л2 = оо), через су — соответствующее значение для профиля при дополнительном обдуве струей. Тогда можно получить

1

Асу = 1 — су = АУ~^л йх >

Д су

..2у, ^+1— гл[о-^+р;*м2*+1)«ах_

к = о * х* + Р?Л2 (2* + I)2

-яЁ'-’ЧГ!<29)

к=1 д< * V +

Полученная формула (29) позволяет оценить подъемную силу профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа. На рис. 2 приведены величины отношений Су/су1 в зависимости от параметра X (18) при различных значениях Случай обдува

струей соответствует отрицательным значениям X. Предельные случаи X = 1 и Х = — 1 соответствуют профилю в плоском канале и в свободной струе. На рис. 3 показано, как изменяется коэффициент подъемной силы профиля при дополнительном обдуве по сравнению с его значением су1 в неограниченном внешнем потоке в зависимости от ширины струи и ее интенсивности

(*=т¥)-

6. Полученное выше в рамках линейной теории решение задачи обтекания заданного профиля сжимаемым газом при дополнительном обдуве струей зависит от следующих параметров: <?, Р1Л1, ^1Н2. В случае идеальной несжимаемой жидкости решение соответствующей задачи будет определяться параметрами <7, А1( Л2.

Покажем, что задача струйного обтекания профиля сжимаемым газом может быть сведена к аналогичной задаче для идеальной

несжимаемой жидкости с несколько другими значениями указанных параметров. Пусть в рассматриваемой физической плоскости течение в областях Ои £>2 и И3 описывается уравнениями (1) и (2). Положим

в области <р1 = С1®1; х — х, у = -тгу,

Р1

в области Э2: ср2 —С2?2; х = х, у = (у — ^ Л,).

В преобразованной плоскости при = и С2 = -р- имеем

==0’ Ъ77 + Ь7у = °>

^1у = ~сЖ'?1у = Уюі/х, ?27 — =

Таким образом, в преобразованной плоскости (плоскости несжимаемого течения) струя имеет ширину РіЛ, а граничные условия непротекания на профиле и на границах струи записываются в прежнем виде. Условие равенства статических давлений во внешнем потоке и струе на ее границах в линеаризованном виде перепишем следующим образом:

^001 Ч1~х С,<х Т2* „„„ ~х У 1~х

или —— (30)

?! ^001 Р Усо Уоо ^со!

где д = . Условие (30) можно рассматривать как условие

равенства статических давлений на границах струй идеальной несжимаемой жидкости при соотношении скоростных напоров струи и внешнего потока д.

Таким образом, задача обтекания заданного профиля сжимаемым газом при дополнительном обдуве струей ширины Л при числе на бесконечности и отношении скоростных напоров струи и внешнего потока <7 полностью сводится к задаче обтекания этого же профиля идеальной несжимаемой жидкостью при дополнительном обдуве струей ширины кУ^ — Щ и отношении скоростных напоров д. При этом коэффициенты давления на профиле и его подъемная сила в сжимаемом газе и формально подсчитанные величины для струйного течения несжимаемой жидкости в преобразованной плоскости отличаются только сомножителем:

ср “ р, ’ су — ?! •

Полученный результат является обобщением известного правила Прандтля — Глауэрта учета сжимаемости на случай профиля при дополнительном обдуве струей.

Автор выражает благодарность В. М. Шурыгину за полезные дискуссии по данной проблеме.

Ю

1. Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта. — ГНТИ, 1931,

2. Карафоли Е. Аэродинамика крыла самолета. — М.: Изд. иностр. лит., 1956.

3. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями.—М.: Машиностроение, 1977.

4. С м и р н о в А. И. К вопросу об определении циркуляции и подъемной силы произвольного тонкого профиля, помещенного вблизи земли.—Инженерный сборник, Т. IX, 1951.

5. Павловец Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком,—Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1344.

6. Павловец Г. А. Некоторые аналитические решения для плоских струйных течений с различными константами Бернулли в линейной постановке.—Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1632.

7. И в а н т ее в а Л, Г., Морозова Е. К.. ПавловецГ. А. Расчет подъемной силы тонкого профиля с закрылком при обдуве струей.—Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2097.

Рукопись поступила 291VI 1982