CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Г о м XV 198 4
№ 4
УДК 533.6.011.32
ОБТЕКАНИЕ ИСТОЧНИКА НЕОГРАНИЧЕННЫМ ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ БЕРНУЛЛИ
С. В. Кузьмин
Рассматривается установившееся соударение двух плоских потоков идеальной несжимаемой невесомой жидкости, движущихся в противоположных направлениях и имеющих различные константы Бернулли. В точной нелинейной постановке исследуется возможное поведение функций Жуковского вблизи точки соударения. С учетом особенности поведения искомых функций вблизи особых точек строится численное решение системы уравнений задачи. Приводятся некоторые результаты расчета.
Точная математическая постановка задач плоских течений идеальной жидкости с тангенциальными разрывами скорости, теория и метод решения уравнений Эйлера, приводящие к системам интегро-дифференциальных уравнений, развиты В. М. Шуры-гиным в [1]. Там же приведена система уравнений задачи обтекания источника для рассматриваемого здесь случая, когда константа Бернулли жидкости, вытекающей из источника, больше константы Бернулли набегающего потока. Получены некоторые результаты по сходимости процесса последовательных приближений и поведении функций Жуковского вблизи особых точек.
На основе результатов исследования возможного поведения функций Жуковского вблизи точки соударения и результатов проведенного анализа поведения этих функций вблизи бесконечно удаленных точек линии тангенциального разрыва скорости показано, что при определенном здесь выборе аналитических функций и введенной замене переменных искомые функции, входящие в сингулярные интегральные уравнения системы, являются гладкими. Вычисление сингулярных интегралов типа Коши сводится к вычислению обычных интергалов, численное интегрирование осуществляется с высокой точностью.
Схема течения на физической плоскости г изображена на рис. 1. В соответствии с теоремой Бернулли точка соударения является критической в течении с меньшей
константой Бернулли В* = Р* + — р£/*2, в течении £>~ с большей константой Бернулли В = Р + -1- р£/2 скорость потока конечна в этой точке. Согласно [1] в точке
соударения V реализуется точка возврата (см. рис. 1).
Если в качестве масштаба для скорости и длины принять скорость набегающего потока исо и ширину струи на бесконечности й», то решение задачи обтекания источника зависит от безразмерного параметра подобия числа Бернулли —
Ве = ( В — В* ) I — Р^С-/ 2
В [1] верхние половины областей течений В~ и конформно отображаются соответственно на верхние полуплоскости и таким образом, что линии Ь* тангенциального разрыва скорости соответствуют отрезки [—1, 1] действительных осей т| и г)*, а полигональным границам А* Еч и vOA^ — остальная часть действительных осей, причем г1*Е = оо< г)о = °о. В качестве функций, описывающих течения и Бг», используются функции Жуковского:
и Ъ х „ _ _ „ _
1п —~— + /0 = и (^) + ж (<),
ПО-
dz
и*
/* (t*) = In
dF*
dz*
= In ■
U
u*
+ «0* = u* (t*) -f- iv* (t*),
где F, U, 0 — комплексный потенциал течения, модуль и аргумент вектора скорости.
Далее, используя динамические и кинематические условия на линии тангенциального разрыва скорости (равенство статических давлений и углов наклона скорости), на отрезках [—1, 1] связываются граничные значения функций Жуковского f(t) и и задача сводится к нелинейной системе уравнений. При этом для упрощения постановки и решения соответствующих краевых задач функции Жуковского f(t) и f*(t*) представляются в виде:
fit) = /) (0 + Л (t) =■ Ui (t) + ivt (t) + u2(t) -f iv2 (t), где аналитические функции fa (t) и /j (£*) выбираются так, чтобы функции
^2 (tj) = t) (rj) —t>i(n) были непрерывны на действительных осях г] и Т)*.
Здесь аналитические в верхних полуплоскостях D~ и Dt, функции f[ (t)
и /*(/*) выберем в виде:
?,(*) = In (-<+/?- 1),
/i (<*) = /о (П + “ In (1 + Р/о2 (<*)).
(1)
+
In'
1
t*
1
)
2 V 2
где а<0, Р>0 — некоторые параметры.
Заметим, что на [—1, 1] мнимые части функций /1 (*) и /1 (**) удовлетворяют тем же условиям, что и в [1], т. е. V (т)) = г») (т|), а на [—1,1] пред-
ставляются следующим образом:
«1 (т|) = 0, г»! (■/)) = arccos (— •/)); их (-rf) = и0 (7)*)+
+ — In [(1 + р (и* (Г) - v02 (т)*»* + W. v*o Сч*)]> 2
2B* UnCn*} vl (ui*)
«'г Of) = "о <T> + - arctg Г+М(„;2(^Г^№)] ’
где
К0 (V):
VI* _ 1 / ^ _ П» 1-^
2 \ 2 / 1+1*
г>1(4*) = , ^'). |а.
На [—1, 1] действительные и мнимые части функций/] (£) и /*(£*) удов-
летворяют условиям, которые рассматриваются ниже.
Введем на отрезках [—1, 1] замену переменных:
•<11 = — 1 +2ехр {/(V)!)}, 1 (11) = ^ ~ 1 , — 1 < Т)! 1.
''11 + 1
Обозначим
(3)
я,~\ «а^) —«а(ч) 21Й— ^ | е
О (^1) = 77===^ • О (Н'» ^1)=--
у [(/Ы-Ич,)!
V 2 (1 -е7®;
%)=
(1Н- {*1)2 [^/({Х,) — ^ 011 >]
2 [ — т(* | ^~ 1 /*(1Л1)-/*(711> 1
(1 +
е ' ■'^1
+1
(<)
С учетом (2) —(4) и после несложного преобразования систему уравнений задачи, которая получена в [1], запишем в следующем виде:
, 1 + 1) г~ ■») — 1 _ Ш—2- = /Ы = ~ТТ-
41
2 С и*
е
К,
о
«) V7
Ве+е
е ' 'Ф1
Ве + I
—1
«аЫ = ~2 1п
1 + Ве
(5)
(6)
Ве + е
^2 (^1) =
«2 (1) — Щ Ы . I — е
1п ■
1 +е
тг™
о (?1. ^1) 4?-и
— Ъ
« (%) = V* (\), г»2 (•»)*) = V, (гп) + щ (Я1) — V* (тц),
-1 • / *ч
(7)
(8)
«2(^Г) = - 1п(1 — е' “2*(1)+
+ 1
+1
2 Г , 1 Г у*ч К) - Уз М
2_ Г _М^0_ . , , 1 г - } (1 +АУ**+ * }
1
* *
(М-Ч!
■°*К> \) аА- (9)
Таким образом, решение задачи обтекания источника здесь сведено к решению системы уравнений (5) — (9) для определения на отрезках [—1, 1] функциональной СВЯЗИ = 4)1 (li) И фуНКЦИЙ U2 (?l)> v2 (Vl)’ V2 (’li)- и2 (^l)-
Известно [1], что при Ве>0 в точках у — 1, if — — 1, соответствующих точке соударения, функция / (t) непрерывна, а действительная и мнимая части функции /* ((*) терпят разрыв ’второго и первого рода. Там же показано, что вблизи точки т)* >—1 мнимая часть функции /* (т)*) не удовлетворяет условию Г ельдера
t>* (■»!*) — v*(—l)<Ajri* + l |х, A Coo, 1 > X > 0.
Представим вблизи точки •>)* >•—1 выбранную здесь аналитическую функцию (1) в виде разложения;
/t(^) = lnr+^ + 2a)nlnr+^ + X al/lnkT~r^ +
9 00 9
& , * .. *. »
k~\
+ у*
k=i
4- i | я -f- 2яа/1п 4- bk/In* j | 4" • • • = (■'ii) + 2a In (— /* (i)i)) 4~
+ X аУ[- 7* ^*)]к + Цк~2то//* (г>*)] + 2 6*/(~7* (т|*))А + • • • • (10)
А=1 й = 2
Отметим, что при фиксированном значении параметра а и различных значениях параметра р р — параметры, входящие в выражение (1) для функции /■*(**) вблизи точки г]* > — 1):
/№1?)-/,*(Ъ«1М = «Ь+------------%-------+1--------X----+ • • • •
1п ------Г 1п2 --------Г-
1 + ■'и 1 + Г)1
Положим, что в точке -г)* = — 1 функция (**) =/*(**) — /*(/*) непрерывна И ЧТО При 7)* > — 1
/2* (Ч*> = 80 + ^/'1п -2—Г~ + Й2 /'П2 2
1 + ^1 1 + ’II
= 5* - ъ\!1* (^) 4- /#;//« (г*) + . . .. (11>
Тогда при а< —-1- с учетом (10), (И) из уравнения (5) получим, что-
Вблизи ТОЧек 1) <; 1, т\* > — 1
1 -ъ = О* (—Г* (чи))1+2а + ... = £>* 1п1+2а /----------------2-О*>0. (12)
В соответствии с (10) —(12) из (6) имеем
4а , 1
ЗД- — ]п1±®1 + ^(1 -^Г^ехр 5(1_^)1+2ч ..., 5<о, (13>
т. е. вблизи точки т) ^ 1 функция и2 (■»)) гладкая. В этом случае, согласно {2], при т)<1 поведение интеграла Келдыша — Седова [3], определяющего решение смешанной краевой задачи Гильберта для функции 7Ц) (-г)) = 0 при т)< 1, 1>а(т]) = 1с при т)>1, и2 (?))— непрерывная на [—1, 1]) дается формулой
*'аО>Г) = ^(1 + Ьъ(\— ^)4- • • •)• (14>
И наконец, подставляя (2), (10), (11), (14) в (8), запишем
«Т (к)) = arccos (— 'r\) + F1Y\ — -г) 4- • .. = * + % l/*! — т| + =
= % 4- 2na/ln --------------- + • • • = «* (т)*),
1 + У
где b0 = b1 — V%-106
Или с учетом (12)
1+2»
я + ь0 Yd* in 2
Ш
+ . . . = я + 2яа/1п
+ ....
(15)
1+V
1,5, то сделанное выше пред-
Из (15) следует, что если в (1) положить а = положение выполняется при выполнении условия
2тса = — Зх= Vd*. (16)
Ha рис. 2 и 3 для различных значений числа Бернулли вблизи точки Гц > — 1 приведено численное решение ДЛЯ функций «^(ll) и t,2(Tll)' Видно, что в точке ?)* = — 1 первые производные функций и v2 Oil)/* “ЬЧ* ограниче-
ны, т. е. вблизи этой точки справедливо выражение (11) для функции f\ (ttj*). Как показали результаты расчета, условие (16) выполняется с высокой точностью Д = ! Згс ~Ь ftp У \ Зя:
<0,001.
Необходимо подчеркнуть, что полученный здесь результат не является доказательством того, что вблизи точки т]*»—1 главные члены разложения функции Жуковского /*(<*) совпадают с главными членами разложения аналитической функции fi*(t*) (1) при а=—1,5. Можно говорить лишь о возможном поведении функции Жуковского и что вблизи точки Т)*>—1 функция ti*(t*) (1) хорошо приближает функцию /*(/*).
Вблизи точек Ti = —1 и т)*= 1, соответствующих бесконечно удаленным точкам Ai и Ai* линии L*, согласно [4], первые разложения действительных частей функций Жуковского f(t) и f*(t*) имеют вид:
и ([Г) =-----------!------- —-----------------!—_— + ...,
(1 + Ве)1п1±_1 (1+Ве)/(т)1)
и* (V)
'У)* — 1
где кй >0 — произвольный параметр, входящий в (5).
Нетрудно показать, что вблизи точки т]* < 1 мнимая часть функции /* (т]*) гладкая, причем из анализа численного решения следует, что при т\* <; 1 функция и* (т)*) ^ с* (1 — к)*)2 + .... Отметим, что вблизи этой точки функция /*(£*) (1) представляется в виде:
+
При Ве = оо смешанная краевая задача Гильберта и (т])=0 для функции /(О при —1, V (у) = я при 1]>1, и(и])=0 на [— 1, 1] имеет аналитическое решение, которое здесь выбрано за функцию / (() (1).
Таким образом, из (11) — (13), (17) следует, что при выбранных здесь функциях МО и (1)> введенной замене переменных (3) в систему уравнений (5)—(9)
входят функции «2(111), и2 (”')*)’ глаДкие всюду на [—1, 1], включая концы от-
резков. Вне концов отрезков [—1, 1] функции гладкие, так как линия Ь* одновременно является линией тока. Это определяет схему численного интегрирования, которая строилась при фиксированном равномерном разбиении отрезка г)1* [—1, 1] на 200 расчетных подынтегралов и интерполировании искомых функций параболами.
Численное решение системы уравнений (5)—(9) осуществлялось методом последовательных приближений. При Ве=10, =1, р = 0,0406 начальное приближение для
функции и*2 (т)*) =0. Затем система уравнений (5)—(9) решалась в порядке записи,
из (9) определялось первое приближение для и2 (т^) и т. д. Как показали результаты расчета, процесс последовательных приближений сходится при N >10, N — номер приближения.
На рис. 4 для различных значений числа Бернулли вблизи точки соударения изображены формы линий тангенциального разрыва скорости (источник расположен в начале координат, х=х/йоо, у—у/Лэо). Интересно, что все
линии тангенциального разрыва скорости пересекаются вблизи точки пересечения линии тангенциального разрыва при числе Ве= оо и линии тока при числах Ве=0 (х=—0,0914, г/=0,172), и что с увеличением числа Бернулли точка соударения х„ движется к источнику =1). Зависимость Хч от числа Ве дана на рис. 5
/ 1 _ 1 — 21п 2 \
(Ве = 0, х, = - ^ ; Ве = со; х, =--------—-----J .
На больших расстояниях от источника уь-+-0,5 при Так как при хь = оо
точное значение уь=0,5, то разность ((/ь-И),5) может служить критерием точности расчета. Согласно этому критерию относительная погрешность полученных здесь численных решений не превосходит 0,05%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. — М.: Машиностроение, 1977.
2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.
3. К е л д ы ш М. В., С е д о в Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций. — ДАН СССР, 1937, т. XVI,
№ 1.
4. Ш у р ы г и н В. М. О некоторых свойствах плоских течений при обтекании тел со струями. — «Ученые записки ЦАГИ», 1984, т. XV, № 6.
Рукопись поступила 29/УШ 1982 г. Переработанный вариант поступил 19/ХП 1983 г.
