О некоторых свойствах плоских течений при обтекании тел со струями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м XV 19 84

М 6

УДК 533.6.011.32

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ СО СТРУЯМИ

В. М. Шурыгин

В случае обтекания тел со струями неограниченным безотрывным потоком идеальной несжимаемой жидкости при числах Ве^О, следуя работе автора *, приводятся представления функций Жуковского в окрестности бесконечно удаленной точки, формулы для суммарных сил, действующих на тело, и устанавливается определенная связь между поведением функций Жуковского, полной циркуляцией и приведенным суммарным расходом.

Пусть я-листный контур, соответствующий рассматриваемому телу с (п—1 )-й струей, гладко обтекается течением В* + В при неограниченном набегающем потоке В* со скоростью Ц*«,, константа Бернулли которого В*=р* -^-^\йр*\йг* |2 (рис. 1). Условимся,

что из тела вытекает только одна струя с константой Бернулли В = р-г ~^-р\с1Р1с1г\2, отличной от В*. Обозначим через а+ и а_

Рис. 1

_____________

* Шурыгин В. М. Аэррдинамика тел со струями.—М.: Машиностроение,

1977.

точки на я-листном контуре, в которых начинаются линии тангенциального разрыва скорости Г* (см. рис. 1). Производную комплексного потенциала ,Р[,г(?)] течения В в верхней полуплоскости ^ (рис. 2) можно записать в следующем виде:

1

аР',сй=-------^ , (1)

71

где — объемный расход ЖИДКОСТИ В струе, —соответствует

А 2 А1

бесконечно удаленной точке А,. Для производной /^ [£*(/*)] в верхней полуплоскости ¿* (рис. 3), полагая, что линиям тангенциального разрыва скорости соответствует интервал (—1, ^действительной оси, на которой = запишем формулу:

п~ 1—2т' п—Х—т'

П (**-% ) П «*-'о )<**-£ >

и т ит ит

и Г __1 т^п—Зт'

__ и _ > ^ а* - ч, )з П V* - ч*.) л-

где ш' — число точек ветвления От, лежащих внутри области течения В*\ Ь0т и ¿0 — сопряженные координаты; О* — некоторая действительная константа.

Заметим, что если бесконечно удаленная точка Е (см. рис. 3) соответствует одной из бесконечно удаленных точек струйных каналов Л*(/г = 2, п—1), то соответствующий множитель в выражении (2) следует опустить.

Отметим на линиях тангенциального разрыва скорости точки А*+ и Л1, состоящие из точек Л+, А*+ и А-, А-, принадлежащих соответственно границам течений В и В*. Проведем через точки А+ и А- вокруг обтекаемого тела замкнутый контур (см. рис. 1). Рассматривая циркуляцию скорости течения В* + В вдоль такого

©

а- А'

А 2/7/, ЛУ/'|/,////У77/У///У/У/У у

ч '

Рис. 2

£ис. 3

контура при его обходе против часовой стрелки, замечаем, что эта циркуляция, в отличие от соответствующей циркуляции при

Q _ ß*

числах Бернулли Ве =-------------— = 0, изменяется в зависимости от

I ,т2*

~2~? со

положения точек Л+ и Л_. При этом справедливо, например, следующее предложение: существует бесконечная совокупность пар точек Л + и Л_, для которых циркуляции скорости по контурам, проходящим через эти точки, равны наперед заданной произвольной величине.

Начиная с некоторого расстояния от тела каждой точке Л+ можно поставить в соответствие одну и только одну точку Л1, если потребовать, чтобы криволинейный интеграл от проекции скорости течения В вдоль линии, лежащей в области течения В и соединяющей точки А- и Л+, равнялся бы нулю. Теперь циркуляция скорости данного течения В* + В по замкнутому контуру вокруг тела будет зависеть только от одного параметра — положения точки А+. Обозначим эту циркуляцию через Г(Л+). При /7* __ ф* ¿qr* получим

л-1

F* (Л1) - F* (Л*+) = Г (А\) + i X Q* * •

k = 2 Ak

Будем называть полной циркуляцией Г предельное значение циркуляции Г(Л+), когда точка Л+ стремится к бесконечно удаленной точке Л*, и запишем следующую формулу:

* I

ч * + ®—

Ах _х

lim Г -^¡r dt* =г + i 2 Q** , (3)

е + ->0 .J at k = 2 *к

у-.+

где каждой конкретной задаче соответствует своя определенная функциональная связь £_(е+) (см. рис. 3).

Формулу (2) в окрестности точки Л* перепишем в следующем виде:

—»

I А* До

= Кх + ... . +

dF* dt*

(t*—n .)»

(t*

■4 *)2

Ал

t*

Х(**~ “О. (4)

степенной ряд и К*, b*, K2 —действительные кон-

станты для данного течения.

Интеграл в формуле (3) содержит три сингулярных интеграла

из которых интеграл /2 — расходящийся. Пусть далее полная циркуляция Г, а вместе с ней и суммарная подъемная сила Ks, действующая на обтекаемый контур (см. ниже), будут конечными. Тогда из условия сходимости интеграла в формуле (3) зависимость е_ (е+) должна иметь следующий вид:

£_ = е+ + 2Ь* £+ + Al (в +), (5)

где

lim (е+) = 0.

£ +"*о

Выведем формулу для суммарной силы = X? + iY-l, действующей на обтекаемый контур и окрестности бесконечно удаленных точек струйных каналов:

= г [ р* йг* + I | р йг.

* ■

*а+ гй_

Здесь интегрирование по контуру и отрезкам вблизи точек А*к (¿ = 2, п— 1), А2 совершается так, чтобы области течения В* и В оставались справа.

Включая в контур интегрирования отрезки линий тангенциального разрыва скорости ац.Л+, а_л1, проходимые дважды в противоположных направлениях, приходим к следующей формуле для сопряженной суммарной силы:

Здесь интегрирование совершается по произвольным линиям между точками А*+ и А-, Д_ и А+, принадлежащим соответственно областям течений В* и В\ ёР/йг = 11е-',ь.

и*

Рассмотрим функцию Жуковского /* (¿*) — 1п и* +

для течения В*, где и* = 1п и^/и*, — Нетрудно видеть, что

при числе Ве = 0 эта функция в м^лой окрестности можег быть

А1

представлена в виде следующ£го разложения:

- <г + 2 Q% + От,

/'((*) =-----------=V-----------Г-ч\)!Х

X [1+ ь\ (t* - 1)\) + 0*2 (** - V,)2 ln (** - ч\) +...].

д1

Вследствие непрерывности при изменении числа Ве функции /* (t*) в точках t* рассматриваемой окрестности справедливо следующее общее представление функций Жуковского вблизи

у\л при произвольных числах Ве:

А\

= а* (t* - ч*.)2 /[1 + Д; (**)], (7)

где lim Д2 (t*) = 0.

Ai

л siF*

Используя в формуле (6), что (dF*/dz*)2 dz* = Uaoe-f*v*'>-¿pf dt*,

полагая, что точки Л+ и Д* удовлетворяют соотношению (5), переходя к пределу при е+ -* 0 и учитывая соотношение (7), преобразуем формулу (6) к следующему виду:

7?s = Ц- UI (г + I £ Q*.) - -f *а* L& КГ - рQZi Ü„ +

\ н=2 AkJ

k

П— I — »&* -и

----- —117 *

+ 4~РUnd^ + p^U* Q* е Äk-\-?U^Qje

Л. Л»

ft = 2

Замечая, что

lim (z** — г**) = lim —Г g/* d/* = idA

t+V e+^oi/; . J

е-

л1

л-1

1

приходим к окончательным формулам для Xs, 5V.

_ f n~l \ ~ "_1 _г&**

R, = iPuto r-f ¿Zq*. -p£/»ö~ +pE£/*. Q*. e л* +

ft=2 л*„' fc=2 Лй

+ P (9)

\k = 2

n—\

Х, = -РиЦ £ Q*# + 1/ 1 + Be ) +

+ p 2 ^ Q*. c°s + PÖT Q; cos »r , (10)

k=2 Äk А n-1

pi£r + p2tf>'Q%sln»*. +P^QXssin^. (11)

¡г=2

Как видно, формулы (9) —(11) являются обобщением соответствующих формул работы* (см. стр. 22) для течений без тангенциальных разрывов скорости. Полная циркуляция Г и приведенный

л-1

суммарный расход + ^ 1 + Ве От здесь играют та-

* = 2 Ац

кую же роль, как циркуляция и суммарный расход при числах Ве «= 0.

Представляя коэффициент а* в формуле (7) для функции Жуковского в виде

а* = а*д + 1а'г, (12)

из выражений (8) и (12) получим следующую связь действительных коэффициентов а*^ и а* соответственно с расходами и полной циркуляцией:

а*=(3-----------Iеа* = __Е_. (13)

0 п я/1 + Ве к* г ъК\

Таким образом, суммарная подъемная сила и полная циркуляция скорости связаны с кривизной функциональной зависимости мнимой части функции Жуковского вдоль линии тангенциаль-

ного разрыва скорости в окрестности г\* , а суммарное сопротив-

ление — с кривизной действительной части функции Жуковского где

V* (7]*) = &* (7|*) = йг (Ч* - 7)**)2 + •..,

и* (>]*) = 1п и ж/С!* = а* (т)* - т)*/ + ... .

(14)

Остановимся теперь на представлении функции Жуковского /(*) = 1п — й(?) -г IV (I) вдоль линии тангенциального разрыва скорости, где t = 7), в окрестности бесконечно удаленной

точк.и Л1(£ = т)_). В соответствии с равенством статических давлений р*—р в произвольной точке линий с координатами (т^, имеет место соотношение

(1 + Ве)е-2“™ — е-2и*(т*) = Ве.

Это соотношение в окрестности бесконечно удаленных точек Аг и А* можно упростить, ограничиваясь главными членами:

(1 + Ве) и (т)) — и* (?)*) — 0. (15)

Функции ъ(-ц) и V* (г^) связаны соотношением

■а(т)) = г)*(т|*). (16)

Из равенства длин отрезков линий Ь* с двух ее сторон между фиксированной точкой с координатами (т|*, т^) и произвольной точкой следует:

и*х \ *1* иоо I ¿Г,

71,

© А,

* ^ V ^

^ 177777^/77777777^77777^/7777777777777777777777777

Рис. 4

Пусть точки с координатами (т^, т),) и (у]*, т)) находятся вблизи

бесконечно удаленной точки -/¡_). Тогда, оставляя главные

л 1

члены, получим:

ТО - ^Ы]. (17)

При этом согласно соотношениям (1) и (4)

Р* (П) =------- 1п (1 — % ) + с,

р* (т;*) — [1 + 26* (к}* -7)*,)] + 0[1п(т,* — ч*.)].

2 Л, л1

Л1

Подставляя эти выражения в соотношение (17), приходим к следующей асимптотической зависимости т)*(^) в окрестности бесконечно удаленной точки:

я VI + Ве к\ 1

(V —1*.)! - -5--------------1----- - ■ ( 8)

V 2 Ч Мч-ч*!

Из соотношений (14), (15), (16) и 08) следуют соответствующие асимптотические зависимости для и (у)), v(r¡) в окрестности Л,:

* Г/г*

~ ~ч те ааКх 1

Д(ТГ]) =

2 /1 + Ве-$~ Inh I ’

~ г~\ гс Kl -h Ве йг/С, 1

V(n) = - -------------

2

Замечание.

Если рассмотреть обтекание неограниченным потоком В* источника с расходом Q~ и константой Бернулли В (рис. 4), то в ок-

А 2

рестности Л*

/•(<*) —а* (/•— 1) [1 4 Д8 (**)],

где

Q-

а* =--------¡-А —-*, lim Д.(**) —0,

4«^К1.+ Ве,’

'b.—f ‘.¡Л — *? хвэо хічнчігзхиахз -yatf вн (і ‘і —) wBHeadio хэАахохэахооо BaHdeBd охончігвиїїнзлнвх винні; в ‘(с -and) 00 = ^ эньох уоннзігвіґА оньэнояээр хэАахохэа -хооз (эфф = aj)z вльох ‘g и иинэьэх ічниаоїгон SHHxdaa вэхснвж -Bdpoxo £ и HXDOjjDOiruÁirou 3HHxdaa вн охь ‘oxiíHHdii чоэ1Г£

(k+l)U[ ~f)

■ ~=;-----------------------------=i_-- I —

1 эа + 1 А

lV и \V HXDOHXDsdso а и

5 эиа

У I-

■77 //////////уу///////////////////////////{//////////Z J

‘V +э