Обтекание плоской стенки со струей при различных числах Бернулли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII „ 19 8 1

№ 6

УДК 633.6.011.32

ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ СО СТРУЕЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ БЕРНУЛЛИ

С. В. Кузьмин

Рассмотрена одна из возможных схем течения задачи о затопленной струе, когда за струей образуется зона постоянного давления бесконечной протяженности. Представлены результаты численного расчета системы уравнений рассматриваемой задачи обтекания при различных числах Бернулли и различных углах выдува струи.

В [ 1 ] дана общая постановка задачи плоского установившегося безвихревого обтекания несжимаемой невесомой жидкостью полигональных тел со струями при различных константах Бернулли в струях и набегающем потоке.

Там же изложен подробный вывод системы уравнений задачи о затопленной струе для одной из возможных схем течения [2]. Эрих [3] получил аналитическое решение задачи обтекания плоской стенки со струей, когда константа Бернулли струи равна константе Бернулли набегающего потока. Лю Тинг и Руджер [4] предприняли попытку численного решения рассматриваемой задачи при различных константах Бернулли в струе и набегающем потоке, которая не увенчалась успехом. Было показано [5], что решать задачу при малых чис-лах Ве методом малых возмущений относительно известного решения при числе Ве = 0 нельзя, так как непрерывность функции угла наклона скорости для малых Ве не сохраняется при переходе через Ве=0. (Ве — число Бернулли, равное разности констант Бернулли струи и набегающего потока, отнесенное к скоростному напору набегающего потока на бесконечности).

В настоящей работе предложен итерационный процесс для решения системы уравнений задачи обтекания плоской стенки со струей при различных числах Ве> 0. Выбран способ аппроксимации функций и схема численного расчета уравнений, входящих в систему, а также предложен метод непрерывного продолжения решения по числу Бернулли.

Пусть над плоской стенкой течет поток жидкости с константой Бернулли

1 йр*

В* = Я* -)- р V*2, комплексная скорость которого в бесконечно удален-

ной точке А* равна (рис. 1). По каналу с параллельными границами и бесконечно удаленной точкой Л2 вытекает под углом ас к плоской стенке струя жидкости шириной Л с константой Бернулли В = Р -}-Л- р V2 и объемным расходом

~ а Г' ~ ~

ф— , комплексная скорость которой — в бесконечно удаленной точке А1 равна Усе

Лг

Положим, что число Бернулли Ве = (В — В*) ^ р> 0, угол выдува струи

0<!ас<С71; угловая точка является точкой встречи двух потоков; за струей образуется зона постоянного давления Р = РСО — РСО бесконечной протяженности.

Рассмотрим функции Жуковского:

~ ~ V _ ~ ~ V*

/ № = 1п -«(/)■;■ г'У(0, /* «*) = 1п — ” = а* (**) + IV* (*•)

йр/йг 1аг

в верхних полуплоскостях И-. > £) конформно отображаемых функциями

г (£), г* ^*) на .области течений с константами Бернулли В, В* при следующем ■соответствии точек: (А2, Аи чг) и Ц~ = со, = тц <С— 1, ^ = —1» <(1 =

= + 1); (£, Аг) и (££ = оо, = — 1, ^л* = + 1), где Е — произвольная точка,

лежащая на плоской стенке (см. рис. 1). Линии тенгенциального разрыва скорости Ь* в верхних полуплоскостях £>~, соответствуют отрезки действительных осей [—1, +1]. При выбранном соответствии точек комплексные потенциалы ?(?) и Р* (£*) имеют вид

« ь + 1 ** - 1

где /-'^—значение комплексного потенциала в точке Е, Р*Е<^ 0.

Положим

/* (П =/* (?*) + /г.(?) = И*(^1 + IV* (п + а\ (Р) + I ?2* (Г*).

Функцию/! (£) выберем так же, как и в [1]:

/х (<) = и (оо) + г№хС1 гг: (^) = а (оо), Ух (£) = ттас,

где ас = ас/те.

Функцию /* (£*) выберем так, чтобы первый член разложения ее в окрестности точки С* = 1 совпал с первым членом разложения функции Жуковского при числе Ве = 0

/•(,»> _ 2- ^-1-т(1-к - и ук)+‘

^-1п (1-^-2//^)

На отрезках [—1, +1] действительных осей Ь, **, запишем систему для определения неизвестных функций и2 (£), У2(1),и*2Ц*), У2У*), состоящую из следующих уравнений:

уравнения равенства длин дуг вдоль линии Ь* с двух сторон от нее, определяющего функциональную связь 1) = ^ (•>)*):

~ = -5 .< (О

пУ^ 1 + (А У^ I1 Iх >

уравнения непрерывности статического давления при пересечении линии Ь*:

«2 (?) - “2 (~ 1) = 4-1п---------^ : (2)

2 -2(в (ч*)+а,ч*))

Ве + е 1 2

уравнения для определения функции У2 (т)), которое согласно [5] всюду на [—1, +1], за исключением быть может концов, запишется в виде:

________________ +1

У2 ")[_(1 ~ ’>1) (11 Уд) V. Р. | 0х) Ц2 ( 1) йу1 . (3)

-1 >А(1 -!?)(?-^2) ?- ? ’

на концах же отрезка

V',2 (+ 1) = 0, Кз (—1) — %аС ~

+1

. У'*2 (— 1 — ^2) Пт V Р. (* ^ ^ ^ ^ ^

+ 1

!limV.P. Г

ч—>+о (1—Н-) (f- ‘

уравнения равенства углов наклона скорости на линии L*

V (?) = V* (7)*), У2 ft*) = У, (?) + У2 (?) - V* (г?) (5)

и уравнения для определения функции и2 С»)*), которое согласно формуле Шварца имеет вид

1 ■ +1 у* /„*1

a2V) = V.P.-L С -2}Ц da* - С*, (6)

—1

где

С* = lira V.P.-Lj ^2 (Iх*) du*.

—i

Рассмотрим первое уравнение системы (1) —(6), записав его с учетом уравнения (2) следующим образом:

Ф _ 2крЕ ^00 рИ* (!».*) 1 /~ Ве + е 2“* <>'•*> d^).* (7>

1 + ? К> У 1 +Ве (1~^)2 '

Пользуясь определенным произволом в положении точки Е и выбирая зна-

У*х

чение параметра Р*в в соответствии с формулой /7^= — —4?-------------------- • гДе &]>0—про-

71 У ^

у 00

извольный действительный параметр, запишем уравнение (7) в виде

. 2

ifj = — 1 + 2 expi

2 К Л+Ве е2а*^‘ ф* 1 k J у 1 + Ве (1-ц*) /■ -1

С учетом выписанных соотношений сделаем замену переменных

г

?= — 1 + 2 ехр {/(?)}. ( Т(?) =

\ 711 + 1

Тогда уравнения (1), (3) запишем следующим образом:

ч"“

г, ~ % — 1 2

IЫ = = — -г

Г]1 + 1 Й

Г 1 / 1 + Ве е2ц*^*>

) у 1 + Ве (1—р.*)2 ’

-1

УА-ч

~) = _ -- у (1 _ е‘'(%)) у. р. х

ТС

•_ Л + 1

X

I

«2 (Й — «2 (~1) е‘ Ы Ф

1 К (1 - е‘ (й) (е7® +7) (е‘ (|1)-е/(’>1))(1 г"?)2

(9)

где 7= — 1 .

Численное решение системы уравнений (1) —(6) проводилось при фиксированном разбиении интервала [—1, +1] расчетными точками т)г. В данном случае

т|* = + 1 ± (1 ± £/)2, £*=—1, £*„==£*+ 001, ?201 = *> верхний знак при |*<0, нижний знак при £*>0. Соответствующие значения расчетных точек % г определялись из уравнения (8).

Обозначим

ам-мй-м-пу^ слг,д- УЗ'&гЗ» .

(1+у.)2 V (\ — е'№) {е‘^+ с) е1М_е1Ы

°1 (?. ?) = , 5о (?!, ?) = (%, ?) = — +2Г,1~ ■

р1 (I1) _ р1 Ы

Тогда уравнение (9) можно записать в виде

+1

= — —1^(1 — ) (е~(?Ч-с} У.Р. Г______,Ц2(Й —Ц2(—1) у

^ У(1_ еЩ) (в/(7) + с)

х — 6 -------— = - — ^ (1 - е/(т^) (7 (т^+с) X

.(«пю _/(%>) (1+|1)>

+1 _ +1

х1

Г б (|х) Ф -----------------------------Г 8 ((Л) — О (7)0

I --------------— + ^0 (7)1, т)]) I ,-------------------------— _ _ +

J у I — Р2 } У I — [I2 [М —7]1

41

ч-

41 ~ _ Г* ОМ во %) — О0 (?!.?,) , +1 Г ой О] 0*> %) - б] Он» 11) ,~1

)У. и — а\1 + 111 } \г \ — (А2 ■ ~ ~ «,и-} н — ^1 )

Уравнение (6), определяющее значение «2(т]*), представим следующим образом:

+ 1

1 С К (|**)

Г. Р. _ 2^Г ' ф* =

~ 3 (А*—Т1*

-1

±1

= _!_ 111 ' '________1 ; г_______!_ф* — с*. (И)

51 J VI — V-*2 (и-*--Л*)

-1

Функции в (р.), О0 ([Л 1)1), 61 Й%), (|а*) У{ — (л’г- 2 , входящие в уравнения

<(10), (11), при численном расчете интерполировались линейной функцией на каждом из расчетных интервалов [(лг-, |л ^ ].

Можно показать, что если функция и2 (т],) — н2 (—1) удовлетворяет условию Гельдера в окрестности точки т]! =—1,то предел главного значения интеграла, стоящего в правой части (10), равен

+1 ______ ^ ~ ^

Щ (^) — «2 (— 1) е1М ф

Ига V. Р. г.-----------_------- — ~~

Г—1+о У (1-.еПЙ)(^) + 7) (е/Ы -*'Ы) (1 +Юг

+ 1

_ ит Г ____________________«2 «2 (~ 1) Лр______________ _

"1+0Х. “ еГ(|Г)) (/Й+с) (1 +'?)3

*

./=

Из аналитического решения рассматриваемой задачи при числе Ве = 0 известно, что первый член разложения действительной части функции Жуковского В окрестности ТОЧКИ у\* = + 1 имеет ВИД Ы* (Г)*) = а* (1 — Т]*)3/2 + ... .

Тогда из уравнений (8), (2) следует, что первый член разложения функции «2(130 — “2 (— 1) В окрестности ТОЧКИ К)! = — 1 имеет вид а (1 + ■'и)3у2, и предел главного значения интеграла, стоящего в левой части уравнения (12), равен

Нт

%

ъ

+ 1 _________ ____ ■ ^ +1 _____________________________________________ ^ ^ ^

Ц2(р.) —ы2 (— 1)

;т Г и2([х) — и2 (—1) Ф = Г -1+о; /лх/цаз <1 + ^)2 ^

V (1 +/ ©) (е 1 &>+ 7) (1 + ^)2 ^ У (1 — е! <~>) {еГ!>1) + с)

(1-(А)3

Система уравнений (1) — (6) решается методом итераций. Для начала итерационного процесса необходимо задать начальное приближение функции «20 (т]*)- Так как функция /*(<*) была выбрана так, чтобы первый член разложения ее действительной части и* (£*) в окрестности точки £*=+ 1 имел вид а* (1—т]*)3/2, то в нулевом приближении можно положить и*о (**) = 0.

При заданной функции «,(£*) и ?-м приближении для функции «2 (*]*) условие (4) может не выполняться. Чтобы обеспечить выполнение (4) на любой итерации, итерационный процесс строим следующим образом.

При заданных значениях величин параметров Ве>0, 0<ас<тс, <—1, й>0 и заданном нулевом приближении для функции «20 (т)*) = 0 из уравнений (8), (2) вычисляем начальные приближения для функций % = % (^*) и и2(Т11) —

— «2 (—1). Затем с учетом (13) вычисляем величину правой части (4). Если условие (4) не выполняется, то величину параметра К подбираем таким образом, чтобы (4) было справедливо. Далее последовательно решаем уравнения (9)—(11), определяем первое приближение для функции «2(т]*) и т. д., причем на каждой

—1 I_____________________________I__| _1

О 5 Я

Рис. 3

Рис. 2

Рис. 4

итерации величина параметра К определяется из условия (4). Если итерационный процесс сошелся, то получаем значения функций «2(^1). (г11)> и^(у\*) ^2

711 = 111 (71*) и величину параметра К- Теперь параметру К можно вернуть его первоначальный смысл и получить решение при любом К. Для построения решения при другом числе Ве! ф Ве0 использовался метод непрерывного про-

■ ■■ _.;у.г ' ■ д *’

должения решения, т. е. за начальное приближение для функции *4С*)*) при

числе Ве! выбиралось решение, полученное для функции и^7!*) при числе Ве0.

Решение прямой задачи, когда задан угол среза сопла Хс. строится аналогичным образом, а значение параметра ^ определяется из уравнения для угла

Г р %(1/й ~

среза сопла я ^ хс = — V. Р. I —____ d^^ .

і ?(1+Й '

Щч, ■ [ '<

Как показали численные расчеты, предложенный итерационный процесс при начальном приближении функции «20("П*) = 0 сходится для чисел Ве > 1 и не дает решения для чисел Ве< 1. На примере функции (рис. 2)

Рис. 5

и параметра К(рис. 3) показана сходимость итерационного процесса по числу итераций N при числе Ве = 10, ас = Хс = 45°, ifjVa = — 10833, и20(т)*) = 0. Видно, что итерационный процесс сходится уже при 5—10 итерациях. Чтобы получить решение при числах Ве<1, был применен метод непрерывного продолжения решения по числу Бернулли, который позволил решить задачу практически во всем диапазоне изменений чисел Ве^>0 и для любых углов выдува струи 0<ас<я. На рис. 4 и 5 показаны линии тангенциального разрыва скорости (верхняя кривая при Be = const) и границы зон постоянного давления (нижняя кривая при Be = const) вблизи среза сопла (x = xjd, у — у/d, d — ширина канала), при различных числах Ве>0 и двух углах выдува струи ас = 45“ и 90°, причем ас = Хс- На рис. 5 штриховой линией показано решение, полученное Эрихом [3] для границы зоны постоянного давления при Ве = 0. На больших расстояниях от среза/сопла струя уходит в бесконечность, .*:с-г-со, ус-*-оо, а угол наклона скорости стремится к нулю.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. М., „Машиностроение”, 1977. V

2. Лаврентьев М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М., „Наука", 1973.'

3. Ehrich F. F. Penetration and deflection of jets oblique to a general, stream. ,J. of the Aeronautical Sciences", vol. 20, N 2, 1953.

4. Лю Тин г, Руджер. Вдув струи под углом к основному потоку. „Ракетная техника и космонавтика,* т. 3, № 3, 1965.

5. Келдыш М. В., Седов Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций. ДАН СССР, т. XVI, № 1, 1937.

Рукопись поступила Ilf XII 1979 Переработанный вариант поступил 23IV 1981