Численное решение задачи динамики токсичных водорослей в Таганрогском заливе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел III. Математическое моделирование в биологии

УДК 519.63:532.55

АЛ. Никитина

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОКСИЧНЫХ ВОДОРОСЛЕЙ В ТАГАНРОГСКОМ ЗАЛИВЕ

Предложены математические модели динамики токсичных сине-зеленых водорослей, учитывающие флуоресценцию фитопланктона, неоднородность пространственного распределения зоопланктона, биогенных веществ. Устойчивость полученного численного решения задачи позволила проводить вычислительные эксперименты в широком диапазоне значений . , -оказывает влияние на функционирование экологической системы Таганрогского залива.

Математическая модель; сине-зеленые водоросли; биологическая кинетика; Таганрогский залив; алгоритм.

A.V. Nikitina

NUMERICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF TOXIC ALGAE DYNAMICS IN TAGANROG BAY

A mathematical model of the toxic blue-green algae dynamics, taking into account the phytoplankton ^fluorescence, the heterogeneity of zooplankton spatial distribution, and nutrients. The numerical solution stability allowed carry out computational experiments in a wide range of control parameters values. The results showed that the kinetics of blue-green algae has an impact on the functioning of the ecological system of the Taganrog Bay.

Mathematical model; blue-green algae; biology kinetic; Taganrog bay; algorithm.

Цель работы заключалась в построении вычислительно-устойчивых алгоритмов реализации модели динамики сине-зеленых водорослей, учитывающих движение водной среды, микротурбулентную диффузию, температурный и кислород, , , сложной формы - Таганрогский залив [2].

В качестве основного объекта моделирования была выбрана популяции синезеленых водорослей Microcystis в виду нескольких причин. Сине-зеленые водоросли типичны преимущественно для Таганрогского залива, в котором образуется 80-90% биомассы фитопланктона Азовского моря. При максимальном развитии 5-6 . 1 3 .

значение в питании пелагических рыб имеют некоторые виды диатомовых водорослей (скелетонема, талассиозира), сине-зеленые водоросли (микроцистис), из

- , , , двустворчатых и брюхоногих моллюсков.

Концентрация биогенов в Таганрогском заливе и собственно Азовском море практически никогда не достигает аналитического нуля, поэтому азот и фосфор постоянно присутствуют в форме, доступной для микроводорослей. В Таганрогском заливе сложились все условия для “цветений воды”, кислород, образующийся в воде в процессе фотосинтеза, в воде не удерживается, но микроводоросли расходуют его больше, чем производят. Водоем изначально “заряжен” на замор.

, - .

отмирании микроводоросли сами по себе могут быть причиной заболеваний и гибели гидробионтов. Щетинки Chaetoceros Ehr., клетки Pseudosolenia Sundstrom, колонии Sceletonema Grev. вызывают отек жабр рыб и, как результат, - удушье.

Сине-зеленые водоросли Microcystis aeruginosa, Aphanizomenon flosaquae, Ana-baena spp. вызывают “цветения” в опресненной зоне Таганрогского залива. При отмирании этих организмов в воде появляется анатоксины, действующие на нервную систему. Представители рода Microcystis Lemm. и Nodularia Mert. ex Born. et Flah. синтезируют циклические пентапептиды, которые разрушают клетки печени. Мик-

- , Microcystis, -

, -

.

человека приводит к онкологическим заболеваниям [3] . То же действие оказывают токсины Nostoc Vaucher ex Bornet et Flah. и Oscillatoria Vaucher ex Gomont. Микро-цистин накапливается в клетках и появляется в воде в конце лета, и по срокам вспышка «цветения воды», вызванная Microcystis aeruginosa, приходится на наиболее опасный период. Учитывая, что титр данного токсина находится в прямой зависимости от биомассы Microcystis, Таганрогский залив, безусловно, относится к рай, M.

3

aeruginosa здесь экстремально, и в отдельные годы может достигать 400 г/м [4].

Многие виды рыб собираются в местах концентрации пищи — планктонных организмов. По-видимому, они могут пользоваться при этом не только зрением (устремляясь туда, где скопились особи своего и других видов), но и обонянием. Известно, что рыбы могут использовать в качестве сигнального вещества, помогающего им находить скопления планктона, диметилсульфониопропионат ( ). , поедают, а также питающиеся водорослями планктонные организмы, когда, в свою , .

Модель строится в предположении, что на численность популяции сине-Microcystis , -

, . В модели также учитывается взаимодействие самих водных популяций фито и , , .

, - , быть рассмотрен азот или фосфор. Значения солености, температуры, поле скоростей водного потока являются входными данными.

Рассмотрим систему уравнений, описывающую процесс динамики численности водных популяций фито и зоопланктона в некоторой трехмерной области G, представляющей собой замкнутый бассейн, ограниченный невозмущенной поверхностью водоема 2 , ДНОМ 2 =2 (x,y) и цилиндрической боковой поверхностью Г для временного интервала 0 < t < T:

dt dz

дХ

+ div(u ■ X) = juXAX +— uX- + (axy-kXZ)X-£XX, (1)

дz

д^ ^ / ч д ( дZ

------+ div (u ■ Z) = /nZAZ +---------

дt дz

и 7 —

дz у

+ aZXZ -£zZ, (2)

п С

— + (п(и ■ 5) =м,А5-фХБ + В(5'-5) + /, (3)

дг 5 4 ’

ЭдМ + (Иу(и ■ М) = ^м АМ + кХ -еМ. (4)

дг

В системе (1) - (4) приняты обозначения:

х , г, 5, м - концентрации фитопланктона, зоопланктона, биогенного вещества и метаболита соответственно; и = (и, V, М) - поле скоростей водного потока; ЦХ, , /лм , иХ , иХ, и5 - коэффициенты диффузии X, X, 5, Мв го-

ризонтальном и вертикальном направлениях; аХ , аХ - скорости роста X, X соответственно; С - концентрация солености; ех (С), еХ _ коэффициенты элиминации X, Хсоответственно; кх - коэффициент убыли X за счет выедания зоопланктоном; В - удельная скорость поступления загрязняющего вещества; 5' -предельно возможная концентрация загрязняющего вещества; /(х, у, г) - функция источника загрязнения; к - коэффициент экскреции; е - коэффициент разложения метаболита; А - двумерный оператор Лапласа; Т - температура; у/(Т,5)

- ,

вещества на рост концентрации фитопланктона. Положим вначале у/(Т, 5) = 5.

(1) - (4) :

X (х, у, г,0) = X0 (х, у, г),2 (х, у, г, 0) = Х0 (х, у, г),

5 (х, у, г,0) = 50 (х, у, г),

М (х, у, г,0)= М0 (х, у, г) (х,у,г) е &, I = 0. (5)

Пусть п - вектор внешней нормали К поверхности ^ =^ 0 Н ^ °‘,

ип - нормальная по отношению к ^ составляющая вектора скорости .

Зададим граничные условия:

X = X = 5 = М = 0, «а Г, если ип < 0;

дХ ЭХ п д5 л ЭМ л

---= 0,-= 0 , — = 0,-= 0, на Г, есл и и > 0 ;

Эп Эп Эп Эп

эх Эх л Э5 л эм л ^

----= 0, — = 0,— = 0,-= 0, на 20 ;

Эг Эг Эг Эг 0

ЭХ ЭХ л Э5 л ЭМ

----= -уХ, — = 0,— = 0,-------------= 0на 2Н , (6)

Эг Эг Эг Эг Н

где У - неотрицательное постоянное, учитывающее опускание водорослей на дно и их затопление.

При задании граничных условий учитывался водообмен Таганрогского залива с Азовским морем.

G , . -

купность всех кубов определяет сеточную область Gh с границей ^ h , соответствующие исходной области G и границе ^.

Для решения пространственно-неоднородной, нелинейной задачи взаимодействия фито и зоопланктона (1) - (6) был осуществлен переход от непрерывной модели к дискретной. Проведено исследование дискретной модели динамики ток-

- . устойчивости неявной схемы, реализующей построенную модель [1].

Подобраны оптимальные значения параметров, входящих в модель. Проведен анализ возможности распараллеливания вычислительного метода, используемого для решения задачи с использованием библиотеки MPI на кластере распреде-.

Модели биологической кинетики могут использоваться научноисследовательскими институтами и рыбными хозяйствами с целью уменьшения затрат на натурные эксперименты. С помощью построенных моделей можно про,

- . -

ны, с точки зрения развития ядовитых видов фитопланктона. Наша задача - не , .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Латун B.C. Устойчивость системы фитопланктон-зоопланктон-рыба.

2. Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. - Севастополь, - 2004. - № 10. - С. 211-218.

3. . . , -

ского залива // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 7 (96). - С. 173-177.

4. Матишов ГГ. , Фуштей Т.В. К проблеме вредоносных «цветений воды» в Азовском море // Электронный журнал «Исследовано в России», - 2003, - С. 213-225.

5. Ласт пека Т.В. Сезонная динамика фитопланктона // Современное развитие эстуарных экосистем на примере Азовского моря. Апатиты, 1999. - С.73-95.

6. Попов КВ., Фрязинов КВ.,. Стантенко ММ., Тайманов AM. Разностные схемы на треугольных и тетраэдральных сетках для уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости // Математическое моделирование. - 2009. - № 10. - С. 94-106.

Никитина Алла Валерьевна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .

E-mail: alla@vm.tsure.ru.

347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371606.

Nikitina Alla Valer’evna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: alla@vm.tsure.ru.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371606.