ЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ОБЪЕКТА РАЗМЕРНОСТЬЮ 3×3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Численная оптимизация регулятора для объекта размерностью 3*3

Вадим Жмудь, Олег Ядрышников Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия

Аннотация: Решается задача синтеза регулятора для многоканального объекта, содержащего в матричной передаточной функции элементы в виде фильтров, последовательно соединенных со звеньями запаздывания. При этом в матричной передаточной функции отсутствуют нулевые члены. Большая часть публикаций с реальными примерами ограничивается размерностью 2x2 вследствие сложности математического расчета или ограниченных возможностей программного обеспечения для моделирования и оптимизации. В данной статье объект имеет размерность 3x3, что существенно (более чем вдвое) повышает количество связей в объекте. Простейший подход состоит в проектировании регулятора в диагональной форме, однако, показано, что этот подход не приводит к желаемому результату. Показано, что приемлемый результат достигается при использовании полноразмерного регулятора, содержащего во всех элементах матрицы его передаточной функции ненулевые элементы. Приведено сравнение результатов, когда в неглавных контурах управления используются только пропорциональные регуляторы с результатом, когда в этих контурах применены пропорционально-интегрирущие регуляторы, а также сравниваются результаты при использовании различных стоимостных функций. В частности, используются стоимостные функции лишь на основе интеграла от суммы модулей ошибок во всех контурах и стоимостные функции, усложненные введением детектора неправильных движений на основе интеграла от суммы положительных частей произведения ошибок на их производные по времени.

Ключевые слова: численная оптимизация, симуляция, математическое моделирование, регулятор, многоканальный объект,

многосвязные системы, автоматика

ВВЕДЕНИЕ

Управлению многоканальными объектами посвящено много публикаций [1-6]. При этом даются численные примеры, которые чаще всего ограничены размерностью 2*2, а сформулированные утверждения зачастую распространяются на произвольную размерность №№ Следует признать, что распространение «по индукции» каких-либо утверждений на произвольный порядок требует выполнения двух условий: а) необходимо показать, что для некоторого значения N данное утверждение справедливо, б) также необходимо показать, что если данное утверждение справедливо для N то оно справедливо и для N

+1, где N - произвольное целое число. Если же второе не доказано, то распространение ранее полученных результатов на результаты более высокого порядка не может считаться обоснованным.

В связи с этим даже при наличии результатов для объектов размерностью 2*2 не менее актуальным является исследование задач при более высокой размерности, в частности 3*3.

Кроме того, если в передаточной функции объекта содержатся наряду с минимально-фазовыми звеньями также и звенья чистого запаздывания, то даже для случая размерности 2*2 задача не решается аналитическими методами, но может быть решена методом численной оптимизации при математическом моделировании (симуляции) [7-12]. Однако и в этом случае рост размерности увеличивает сложность решения задачи в квадрате, то есть при переходе от N = 2 к N = 3 сложность задачи возрастает пропорционально отношению квадратов, а именно: в 9 / 4 = 2,25 раз.

В этом случае даже при наличии мощного программно-аппаратного обеспечения

актуальным становится минимизация элементов в модели. Важным вопросом становится обоснованность каждого элемента в целевой функции и обоснованность каждого элемента в регуляторе.

В настоящей статье выясняется обоснованность и важность каждого такого элемента методом численной оптимизации при математическом моделировании на примере трехканального объекта управления,

содержащего в каждом канале минимально-фазовое звено и последовательно с ним включенное звено запаздывания.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим объект, который имеет 3 входа и 3 выхода, элементы матричной передаточной функции - фильтры третьего порядка с запаздыванием. Объект может быть описан передаточной функцией

Передаточная функция объекта имеет вид:

^11(5) ...

W (s) =

ww (s) ... wNN (s)_ Следует отыскать передаточную функцию

(1)

последовательного регулятора, который бы обеспечил управление согласно традиционным требованиям. А именно: автономность управления в статическом режиме (то есть нулевые статические ошибки по каждому каналу), по возможности минимальные динамические ошибки (малое влияние управляющих сигналов по всем побочным каналам), по возможности малое перерегулирование (не более 20 %, а если получится, не более 5 %).

В общем виде передаточная функция регулятора может описываться в следующем виде:

^ (5)

ЯпО ... Я N1(5) Яш(5) ... ЯNN .

(2)

Можно заложить эти требования в целевую функцию все целиком, то есть если хотя бы одно из таких требований не будет выполняться, то целевая функция резко возрастет.

Однако есть и более простой способ, а именно: целевая функция может быть построена лишь на основе интеграла от суммы модулей ошибок.

В более сложном виде в целевую функцию могут быть введены члены, которые возрастают при следующих условиях: а) превышение перерегулирования выше некоторого порога; б) превышение произведения ошибки на ее производную выше нуля или выше некоторого положительного порога; в) превышение интеграла от выше указанного превышения над неким заданным порогом, и так далее.

Ранее мы предлагали вводить так называемый «детектор неправильных движений», который вычисляет интеграл от положительной части произведения ошибки на ее производную [11]. В случае многоканального объекта следует брать интеграл от суммы таких произведений по каждому каналу. При оптимизации мы можем использовать сравнение результатов с двумя целевыми функциями: а) на основе интеграла от суммы ошибок; б) на этой же основе, но с введением детектора неправильных движений.

Самым простым регулятором является диагональный регулятор, то есть регулятор, в матричной передаточной функции которого (2) ненулевые элементы находятся лишь в главной диагонали. Если этого будет недостаточно, необходимо будет ввести ненулевые члены во все элементы этой матричной передаточной функции.

Наиболее простыми для управления являются объекты, в которых передаточные функции в главной диагонали больше, чем в остальных элементах. Если это не так, но если это можно достичь изменением нумерации входов или выходов, мы рекомендуем это

сделать. Если же этого достичь не удается, приходится работать с тем, что имеется. Поэтому будут рассмотрены примеры удачных сочетаний параметров объекта и неудачных сочетаний.

Мы рекомендуем использовать программу VisSim, поскольку она создана специально для симуляции динамических систем с обратной связью и для оптимизации регуляторов для них, хотя и это программное обеспечение не свободно от некоторых недостатков.

2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ

Пример 1. Рассмотрим объект с передаточной функцией (1), где ^(.5) = Щ ехр{-V} / (а^ 52 + Ь^. + 1). Конкретные численные значения коэффициентов даны в Таблице 1.

Таблица 1. Коэффициенты модели объекта

1 ) кн Тн иц Ьн

1 1 5 2 1 1

1 2 3 1 1 2

1 3 2 3 1 3

2 1 4 1 2 4

2 2 4 2 3 6

2 3 2 2,5 2 8

3 1 4 1,5 1 5

3 2 3 1 2 3

3 3 2 2 3 3

Требуется найти передаточную функцию в виде (2).

С целью решения поставленной задачи создадим проект системы в программе как показано на Рис. 1. Поскольку схема слишком велика, и не читается, когда представлена в целом, на следующих иллюстрациях показаны отдельные ее фрагменты. В частности, на Рис. 2 показана структура регулятора, на Рис. 3, соответственно, структура объекта, на Рис. 4 - структура для оптимизации регулятора, которая включает блок вычисления стоимостной функции и собственно блоки оптимизации. Справа в окнах индикаторов результата на Рис. 4 показаны результаты оптимизации в виде значений коэффициентов регулятора. При оптимизации на вход системы были поданы единичные ступенчатые воздействия, причем на первый вход оно подается с нулевым сдвигом, на второй вход со сдвигом 40 с, на третий вход со сдвигом 80 с. Это делает входные воздействия линейно независимыми, что позволяет обеспечить автономное управление с регулятором, получаемым при оптимизации. Если этого не делать, результат может не обеспечить требования автономности.

Полученное уравнение регулятора имеет вид:

=

0,38 + 0,048/^ 0 0

0

1,125 - 0,0247/^ 0

0 0,473 + 0,098/^

Рис. 1. Структура диагонального ПИ-регулятора при попытке использовать лишь пропорциональный и интегрирующий каналы, и обойтись только диагональными элементами в матрице регулятора.

Рис. 2. Структура диагонального ПИ-регулятора

>ГсЛ-►ГаЬП

-ИЖ1—НИьЦ

-И~ёз1-н abs

ш-

ЕЬ Ш-

Ш-ЕЬ

Рис. 3. Структура объекта

-И 1/s

cost

parameterUnknown

F а га m etsrU n kn own

parametsrUnkn own

p a га m etsrU n kn own

parameterUnknown

i:?ramelerUnknown

Ml

¡11

^22

¡22

f>33

¡33

-.03847|

.048084

1.125171

-.024745

.473713

.098318

Рис. 4. Структура для оптимизации: блок вычисления стоимостной функции и блоки оптимизации

На Рис. 5 показаны полученные переходные процессы в системе с таким диагональным регулятором. Из этих процессов видно, что во втором канале процесс идет на первой трети графика не в нужную сторону, а именно: с течением времени выходная величина удаляется от предписанного значения. Это поведение процесса объясняется отрицательным коэффициентом перед интегральной

компонентой регулятора второго канала, то есть полинома, стоящего на пересечении второй строки и второго столбца. При заданной структуре объекта (все элементы главной диагонали положительны) коэффициент в интегрирующем тракте должен быть положительным.

Таким образом, полученный регулятор следует признать не соответствующим поставленной задаче.

Пример 2. Для управления тем же объектом введем в регулятор дифференцирование. Тогда регулятор будет таким, как показано на Рис. 6.

Рис. 5. Получаемые переходные процессы в системе с диагональным регулятором

Рис. 6. Диагональный ПИД-регулятор в соответствии с Примером 2

Полученные переходные процессы показаны на Рис. 7. Теперь нет неправильного по статике участка ни в одном канале. Но перерегулирование велико. Полученный регулятор описывается следующей

передаточной функцией:

К 2 0?) =

0,123 + 0,203/ ? + 0,127? 0 0

0 0 0,945 + 0,926/ ? + 0,663? 0

0 0,228 + 0,266/? + 0,297?

. (4)

Теперь все коэффициенты при интеграторах положительны. Статическая ошибка в каждом канале равна нулю, что выражается в том, что все переходные процессы со временем заканчиваются на тех значениях, которые подаются на вход системы. Перерегулирование в первом канале достигает 150 %. Во втором

канале оно лишь немногим меньше - около 110 %, в третьем канале оно достигает 60 %.

Таким образом, с рассмотренным регулятором задача в целом решена, но перерегулирование чрезвычайно велико, поэтому результат также нельзя считать удовлетворительным.

Рис. 7. Результаты оптимизации диагонального ПИД-регулятора по Примеру 2

Пример 3. Рассмотрим тот же объект, будем использовать регулятор, в котором в главной диагонали матрицы передаточной функции регулятора содержатся скалярные ПИ-регуляторы, а в остальных ее элементах -пропорциональные регуляторы. При этом будем использовать ту же целевую функцию и те же входные воздействия. На Рис. 8 показана соответствующая структура регулятора, а на Рис. 9 - результаты в виде переходных процессов.

Рис. 8. Регулятор по Примеру 3

Рис. 9. Результаты оптимизации регулятора по Примеру 3

Передаточная функция полученного регулятора имеет вид:

WR3(s) =

0,063 + 0,053/s - 0,0532 0,017

0,064

0,007

0,393 + 0,133/s 0.064

- 0,33 0,269 + 0,0685/s

Результаты значительно лучше, чем в предыдущих примерах, однако, по первому каналу перерегулирование все же велико, около 80 %. Такая система может для некоторых применений оказаться приемлемой, но в большинстве случаев такая большая величина перерегулирования все же не удовлетворяет требованиям технологического процесса.

Пример 4. Рассмотрим тот же объект и тот же регулятор, но при этом введем в целевую функцию детектор неправильных движений на основе произведения ошибок каждого канала на

их производные. От этих произведений берется лишь положительные части, которые суммируются с интегрированием, после чего результат добавляется в стоимостную функцию. Поскольку вычислитель стоимостной функции уже содержит интегратор, можно ограничиться только одним общим интегратором, а суммирование осуществить на его входе. На Рис. 10 показана соответствующая структура для вычисления стоимостной функции. При этом используется весовой коэффициент, равный десяти.

+ е1

cost

1/S

> e1

> e2

> e2

Рис. 10. Структура для вычисления стоимостной функции, включающая детектор неправильных движений Полученный регулятор имеет следующую передаточную функцию:

Wr3 (s)

0,068 + 0,051/s

0,043

0,01

- 0,157 0,163 + 0,068/s - 0.075 0,048 - 0,082 0,05 + 0,038/s

. (6)

Полученные переходные процессы показаны на Рис. 11. Перерегулирование в первом канале теперь не превышает 50 %, а в других каналах не более 25 %.

Можно использовать другой весовой коэффициент, например, равный пяти. Получаемые при этом переходные процессы показаны на Рис. 12. Видно, что перерегулирование в первом канале возросло до 60 %. Поэтому данный результат не лучше, чем результат с регулятором (6).

Можно также увеличить весовой коэффициент, например, до двадцати. Соответствующие переходные процессы показаны на Рис. 13. Перерегулирование в первом канале упало до 40 %, но длительность переходных процессов сильно возросла, они стали затянутыми. Поэтому результат с регулятором по соотношению (6) следует признать лучшим при такой его заданной наперед структуре среди всех полученных в этом примере и в предыдущих примерах.

~Пте (эес)

"Пте (зес)

"Пте [зес}

2.5 2.0 1.5 1.0 .5 0 50

0 20 40 60 80 100 1; Пте [зес)

2.5 2.0 1.5 1.0 .5 0

0 20 40 60 80 100 120 "Пте [зес)

2.5 2.0 1.5 1.0 .5 0

0 20 40 60 80 100 120 "Пте [зес)

Рис. 11. Полученные переходные процессы по Примеру 4

Пример 5. Рассмотрим тот же объект и ту же целевую функцию, что и в Примере 4, но будем использовать регулятор, в котором в главной диагонали содержатся скалярные ПИД-регуляторы, а в остальных элементах матрицы будут коэффициенты. При этом также использовались значения весового

коэффициента, равные пяти, десяти и двадцати. Полученные переходные процессы показаны на графиках Рис. 14, 15 и 16, соответственно.

Рис. 12. Полученные переходные процессы по Примеру 4 при использовании весового коэффициента 5

На процессах, показанных на Рис. 14, перерегулирование первого канала не более 40 %, в других каналах существенно меньше. При этом процессы не слишком затянуты. На других графиках процессы не лучше, имеется затягивание переходных процессов. Поэтому предлагается предпочесть результат, полученный при весовом коэффициенте, равном пяти. Полученный регулятор описывается следующей передаточной функцией:

"0,087 + 0,0787/5 + 0,0595 WRA(s) = - 0,117

0,0016

0,012

0,0007

0,3 + 0,156/5 + 0,245 - 0.137

- 0,0414 0,199 + 0,064/ 5 + 0,0955

Пте (ж)

"Пте (зес)

Пте [зес)

Рис. 13. Полученные переходные процессы по Примеру 4 при использовании весового коэффициента 20

Для сравнения на рис. 17 показаны переходные процессы с таким же регулятором, рассчитанным при использовании нулевого коэффициента для детектора неправильных движений. В этом случае перерегулирование в первом канале составляет 110 %, из чего видно, что даже при самой сложной структуре регулятора отказ от детектора неправильных движений приводит к тому, что задача не столь успешно решается.

Рис. 14. Полученные переходные процессы по Примеру 5 при использовании весового коэффициента 5

Рис. 15. Полученные переходные процессы по Примеру 5 при использовании весового коэффициента 10

Рис. 16. Полученные переходные процессы по Примеру 5 при использовании весового коэффициента 20

получено приемлемым, а именно: обеспечена автономность управления, нулевые статические ошибки по каждому каналу, перерегулирование не превышает 40 % в худшем случае.

Естественно, что более сложные регуляторы могут дать лучшие результаты, однако, применение ПИД-регуляторов в каждом тракте потребовало бы оптимизации двадцати семи коэффициентов, что превышает возможности используемой нами версии программы И&Ят.

Однако если по условиям задачи все же необходимо снижение перерегулирования, можно предложить один из следующих путей.

Во-первых, можно предложить

использование самой последней версии программы VisSim или иного программного обеспечения для оптимизации требуемого количества параметров.

Во-вторых, если первый вариант недоступен, можно предложить использование, например, метода замороженных коэффициентов. А именно: после оптимизации наибольшего возможного количества параметров можно зафиксировать их, после чего осуществить оптимизацию следующей части параметров. Затем зафиксировать и их, после чего осуществить оптимизацию оставшихся параметров. После этого можно вернуться к первой группе параметров и так далее до тех пор, пока не будет получено приемлемое качество управления.

Подобное исследование запланировано осуществить в будущем.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России по государственному заданию №2014/138 тема проекта «Новые структуры, модели и алгоритмы для прорывных методов управления техническими системами на основе наукоемких результатов интеллектуальной деятельности».

Рис. 17. Полученные переходные процессы по Примеру 5 при использовании весового коэффициента 0 для сравнения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, показано, что использование детектора неправильных движений явилось одним из ключевых подходов, необходимых для решения задачи синтеза регулятора для управления трехканальным объектом.

Другие важные принципы оптимизации состоят в том, что входные воздействия должны быть линейно независимыми, в стоимостную функцию входит интеграл от суммы модулей ошибок, в главной диагонали следует использовать наиболее сложные (и поэтому наиболее эффективные) ПИД-регуляторы. В этом случае в неглавных связях могут быть использованы всего лишь пропорциональные регуляторы, и при этом управление может быть

ЛИТЕРАТУРА

[1] В.А. Жмудь, В.М. Семибаламут, Р.Ю. Ишимцев. Регулятор для системы с обратной связью. Патент на изобретение РФ RU 2368933 С1. G05B 11/14. Опубл .27.09.09. Бюл. № 27. Заявка № 2008110243, Правообладатель: Институт лазерной физики СО РАН.

[2] В.А. Жмудь, А.А. Воевода, В.М. Семибаламут, Р.Ю. Ишимцев. Регулятор для многомерного объекта. Патент на полезную модель РФ RU 93994 U1. G01R 23/02, G01P 3/36. 0публ.10.05.10. Бюл. № 27. Заявка № 2009138894/22 от 20.10.2009, правообладатель: ГОУ ВПО Новосибирский государственный технический университет и Институт лазерной физики СО РАН.

[3] Жмудь В. А., Семибаламут В. М., Воевода А. А. Адаптивная система для регулирования и стабилизации физических величин. Патент на изобретение № 2457529. Приоритет от 11.01.2011. Заявка № 2011100407. Зарегистрировано 27.07.2012. Срок действия до 11.01.2031. Правообладатель: Учреждение РАН

Институт лазерной физики Сибирского отделения (Би) [4] Жмудь В. А. Моделирование, исследование и оптимизация замкнутых систем автоматического управления. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2012. -335 с.

Вадим Жмудь - заведующий кафедрой Автоматики в НГТУ, профессор, доктор технических наук, автор более 250 научных статей, главный научный сотрудник Института лазерной физики СО РАН. Область научных интересов и компетенций - теория автоматического управления, электроника, измерительная техника.

E-mail: oao_nips@bk.ru Олег Ядрышников - аспирант кафедры Автоматики НГТУ, автор более 10 научных статей. Область научных интересов и компетенций -теория автоматического управления, оптимальные и адаптивные системы, оптимизация, многоканальные

системы.

E-mail: oleg_yadr@mail.ru

Numerical Optimization of the Regulator for the Object with Dimension of 3x3

VADIM ZHMUD, OLEG YADRYSHNIKOV

Abstract: The paper resolves the problem of regulator design for multi-channel objects containing in its matrix transfer function elements

as a filter connected in series with the links of the delay. In this case there are no zero terms the matrix of the transfer function. Most of the publications with real examples are limited by the dimantion of 2x2 due to the complexity of the mathematical calculation or limited capabilities of the software for the simulation and optimization. In this paper, an object has a dimension of 3x3, that is substantially (more than twice) increases the number of links in the object. The simplest approach is to design the regulator in a diagonal form; however, the paper shows that this approach does not lead to the desired result. It is shown that an acceptable result is achieved by using of full regulator containing all nonzero elements in its matrix transfer function. The paper gives the comparison of the results, when in the non-direct control loops only proportional controllers are used with the result, when in these circuits proportionally-integriruschie regulators are applied, and compare the results using different cost functions. In particular, the cost function were used on the basis of the integral of the sum of absolute errors in all circuits only and cost functions, with the introduction of sophisticated detection of irregular movements on the basis of the sum of the positive integral of the multiplication of the errors to their time derivatives.

Key words: Numerical optimization, simulation, mathematical modeling, control, multi-channel object, multiply the system automation