CC BY
1mechanics
MECHANICS
ЧЕКСИЗ УЗУНДАГИ КУП КАТЛАМЛИ КОМПОЗИТ КОВУШКОК-ЭЛАСТИК МЕХАНИК СИСТЕМАЛАРДА
ТУЛКИН ТАРКАЛИШИ
Усмонов Б.Ш. - Тошкент кимё-технология институти ректори, т.ф.д. (DSc), профессор., Намозов Ж.Ш. - Тошкент кимё-технология институти «Олий математика» кафедраси таянч докторанти.
Аннотация. Маколада тущин таркалиш масаласи хусусий хосилали интегро-дифференциал тенгламаларини оддий дифференциал тенгламалар системасига олиб келинади. Бу тенгламаларни ечиш учун замораживания (музлатиш) усули, узгарувчиларни ажратиш усули, Мюллер усули, Годуновнинг ортогонал прогонка усуллари кулланилди. Олинган натижаларнинг ишончлилиги спектраль чегаравий масаланинг коррект куйилиши, келтириб чикарилган математик ифодаларнинг катъийлиги, асосланган ечиш усулларидан фойдаланиш ва ечимларнинг аниклигини бахолаш хамда бошка математик куйилган масалаларнинг ечимлари билан таккослаш ёрдамига асосланади Калит сузлар: Тулкин таркалиш, интегро-дифференциал тенгламалар, эркинлик даражаси, бир жинсли булган система, деформация.
Аннотация. В статье задача о распространении волн сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений интегро-дифференциальных уравнений с конкретными производными. Для решения этих уравнений использовались метод замораживания, метод разделения переменных, метод Мюллера и методы ортогонального привода Годунова. Достоверность полученных результатов основана на правильной постановке спектральной краевой задачи, строгости полученных математических выражений, использовании базовых методов решения и оценке точности решений, а также на помощи сравнения с решения других математических задач.
Ключевые слова: распространение волн, интегро-дифференциальные уравнения, степени свободы, однородная система, деформация.
Abstract. In the article, the problem of wave propagation is brought to the system of ordinary differential equations of integro-differential equations with specific derivatives. To solve these equations, the freezing method, the separation of variables method, the Muller method, and Godunov's orthogonal drive methods were used. The reliability of the obtained results is based on the correct formulation of the spectral boundary problem, the strictness of the derived mathematical expressions, the use of based solution methods and the assessment of the accuracy of the solutions, as well as the help of comparison with the solutions of other mathematical problems.
Key words: Wave propagation, integro-differential equations, degree of freedom, homogeneous system, deformation.
Эластик жисмларда (мухитда ва тулкин утказгичларда (волновод)) гармоник тулкин таркалиши жараёнини урганишнинг тарихи 130 йилдан ортик вактни ташкил этади. Шу вакт ичида турли геометрияга эга булган эластик тулкин утказгичлар (волноводлар)ни хар томонлама урганишга багишланган куплаб илмий ишлар чоп этилган [1,2,3,4]. Бундай масалалар деформацияланувчи каттик жисмлар механикасининг асосий масалаларидан хисобланади. Утган асирнинг саксонинчи йилларида М.А.Колтунов ва И.Е. Трояновскийларнинг илмий мактабида диссипатив бир жинсли ва бир жинсли булмаган механик системалар квазистатик деформацияланиши назариясига асос солинган. Бу назария кейинчалик Lfl В.П.Майборода, М.Мирсаидов, И.И. Сафаров, В.М. Яганов, А.Балакиров ва бошкалар ишида динамик масалалар ечиш учун умумлаштирилган. Уларни
Ботир Усмонов [0000-0002-4654-9782], Жасур Намозов [0000-0002-3254-9802]
Кириш
JfSL
mechanics
тадкикотларидан шундай хулоса келиб чикадики механик система ковушкок -эластик ва эластик элементлардан иборат булса, системадаги энергиянинг диссипативлик хусусияти диссипатив бир жинсли булган системаникидан тубдан фарк килар экан. Бу х,олат эркинлик даражаси чекли булган механик системалар учун номлари юкорида келтирилган олимлар томонидан исботлаб берилган [5,6]. Лекин бу назария конунлари ва назарий асоси жуда оз урганилган булиб, тулик урганишни талаб этади. ^озирги техниканинг жуда тез ривожланиб бораётган бир пайтда диссипатив бир жинсли булмаган механик системалар хоссасига эга булган материаллар техниканинг (радио электрон аппаратларни вибрациясини камайтириш ва х,имоя копламалари ва бошкалар) ва курилишнинг (фундамент ости катлам, йул ва аэродром копламалари ва бошкалар мустах,камлигини ошириш) куп сох,аларида кенг кулланилади [7,8,9,10]. Юкоридагилардан келиб чикадики диссипатив бир жинсли булмаган механик системалар назарияси масалари ва муаммолари.
Услубият
^ар бир катламни физико-механик ва геометрик улчамлари характерловчи параметрлар берилган булади: Лп, ,vn рп ,Ап, ßn ,ап ,hn.
Деформация ва кучланиш орасидаги куйидаги формулалар ёрдамида ифодаланади:
оц = Щ + 2Jis j , в = sn +s22 +s22 ,
Кучиш потенциаллари оркали умумий х,аракат тенгламаси массали куч х,исобга олинмаса куйидаги куринишни эгаллайди:
АЛ ^ = 0;
cp« д t
= 0;
а 1 д Ъ.
Ъ _ Hl,
Ъгк Г2 r2 дв
Аъ Ъвк + 2 д ЪZK
А¥вп--г +
Г2 Г2 дв
1 д 2Ъг
Cl. д t
1 д
д t2
-2
= 0;
= 0;
c..
4 д2 1 д 1 д2 д2 А = —т +--+ ^-т + -
дt2 r дr r2 дв2 дz2
и =^
ГП ^
д r
+ 1Ъ
г дв
и„ =1 ^ +Ъ
r дв дz
дЪв. д z '
дЪвк . д r
и дЪвк , дЪк
1 дЪг,
д r д r
дr r дв
(1)
тенгламалардаги п- чи катлам ( цилиндр) суюклик билан тулдирилган булса у х,олда
¥к =¥к =¥„ = 0 булади.
Куп катламли цилиндрик жисм учун хар бир катламнинг кучиш вектори куйидаги ораликларда берилади
0 < r < a ; а < r < а; — а , < r < а
1 1 ' 1 2 2 ' п-1 п п
aN_i < rN \zA
Сонли натижа суюкликсиз диссипатив бир жинсли ва бир жинсли булмаган цилиндрик жисмга тулкин таркалиши масаласи курилади. У холда чегаравий шартлар (ички ва ташки чегаралари юкланишдан озод килинган, икки катлам чегарасида каттик махкамланганлик шарти)куйидаги куринишни эгалайди:
г = r arrl = 0; arûl = 0; <z\ = 0;
r = r2 <rr\ = <jrr2; = ; = <
r0\ <r92; <rz\ <rz2; (2)
url = ur2 ; ue\ = u62; uz\ = uz2;
r = r3 <rr2 = <rr3 ; <r92 = <r93 ; <rz2 = <rz3 ;
ur 2 = ur 3; u 92 = u83; uz 2 = Hz 3; r = r4 <rr3 = 0; <r93 = 0; < rz3 = 0
Уч катламли цилиндр элементларини кучиши Бессел ва Нейман функциялари билан ифода килинади
да Г п
u гк =Х \r* A J 'к (r^ r )+ Л2к y;(rlK r )]+ - A JK (у2к r ) + A4k YK (Пк r)]-
(3)
У ,, , ,, A , rn0i(-at + rz )
5к к \/ 2к / 6к к V 2j
n=0
r [Л5к J к (У2к r )+ Лб «Y« (у2 jr )]L cos nçe' +у )
—2к
n
n=0
u^ = "! - У [Л\к J к (У\к r ) + Л2к Yк (у\к r )] + ^ [AJ (y2kr ) + A^ (y2kr )]-r I n
~[AikJk (y2kr )+ A6kYk (r2kr )]\ sin nçe' ^+у ) ;
— J
uzk =E 1 r[A\kJk (r\kr)+ A2kYk y\kr )] + У 2~ [A5kJk A6kYk (r2kr)]}C0S-Çe'
У 2k\a T (y A V (v ^lWen/w*(-at+rz)
n=0 I -
бунда
2 — 2 2 — ® 2 —2 2 rik = —-r ; — =——; r2k = —-r ;
a\k rk
— =ala2kr2k; a22k =—; r = mя/(m = \,2, .) (k = \,2,3)
Pk
Агар (3) кучиш маълум булса, у холда деформация ва кучланишлар компоненталарини топиш мумкин [1,2]. Кучиш компоненталари (3)ни ва улар оркали топилган кучланишларга куйилса, у холда ихтиёрий узгармаслар Ак, Л2к, Лък, Лк, Л5к, Л6к -ни топиш учун 18 номаълум ва 18 тенгламадан иборат бир
жинсли куйидаги комплекс коэффициентли алгебраик тенгламалар системасини оламиз
Ш={0}.
Бир жинсли тенгламалар системаси тривиаль булмаган ечимга эга булиши учун, тенгламалар системасининг асосий аникловчиси нолга тенг булиши керак ( [с] =0, элементлари Cy (i = \,2,...,\8; j = \,2,...,\8) Бессел функцияси (махсус функция)нинг 1-чи ва 2- жинси ва n-тартиби билан ифодаланади.
JfSL
mechanics
Юкорида келтирилган аникловчининг тартиби 18 га тенг. Бу аникловчини куп хад сифатида ёзилганда ш-комплекс параметрнинг трансцендент тенгламасидан иборат булади. Бу тенгламани махсус ишлаб чикилган алгоритм (Гаусс, Муллер ва матрицани аникловчисини хисоблаш усулларидан) ва дастур ёрдамида ечилади. Бу алгоритм юкори тартибли аникловчини купхад сифатида ёзиш учун SUBROUTINE ZDTCD(N, A, C) (N- аникловчини тартиби, А-аникловчининг берилиши, C-куп хад сифатида ёзилиши), SUBROUTINE BSEL (N,RO,CJ1,CNZ,F1) ва SUBROUTINE GAUS (А,В,С) ва SUBROUTINE MULER(IPC,FUN,RO,Z0,Z1,Z2) программалардан ташкил топган. Барча холларда урта сиртнинг Пуассон коэффициенти 0,25; зичликлар нисбати рс/р=0.35(урта катлам зичлигини ташки катлам зичлигининг нисбати); Gc/д-урта катлам хажмий сикилиш модулини ташки катлам силжиш модулига нисбати 0.20 га тенг, дс/д урта катлам силжиш модулини, ташки катлам силжиш модулига нисбати 0,11 (1+ГД
Гк = 1 -ГС(шк)-г'Г5(ш). Келтирилган уч катламли конструкциянинг уртасидаги
алюминий катламдан, уни копловчи материаллар юкори полимерли материаллардан иборат.
Qr
2.0
1,5
1.0
0.5
* Qr2 ^ . • - • » ~ > • ""
ш я ■ / > Ql2 ■ —■ ■ я — . MM ÜR1 * # • __ . —• '"' ............
• У ♦ / ♦ / Ql1 .............
_-qi10 1.0
10-1
10-2
10-3
R-A
0.5
1.0 1.5 2.0
1-расм. Комплекс частотанинг докикий Qr ва мав^ум кисмини Qi тулкин сонига боглик узгариши (диссипатив бир жинисли система).
Сонли натижалар урта катлам калинлигини коплам калинлигига нисбати h/b нинг турли кийматлари учун олинди. Дисперцион муносабат комплекс 0.(щ = щ + гщ)
частотанинг улчамсиз тулкин узунлиги kh/2п (урта катлам калинлигини, тулкин узунлигига нисбати)га боглик урганилди. Хос сонларни хисоблашнинг абсолют хатолиги 18 -10-11 (хос сон тенгламага куйилгандан кейинги натижа)тенг. ^исоблашлар 1.3а,б - чизмаларда комплекс частотанинг хакикий ва мавхум кисмини тулкин сонига боглик узгариши келтирилган ( h/b = 0,1). Диссипатив бир жинсли булмаган механик системалар учун олинган [11,12], суниш коэффициентининг тулкин сонига боглик узгариши моннотон булмаган функциялар (частоталар ёки фаза тезлигини хакикий кисмларини максимал якинлашган
JfSL
mechanics
кийматларда) оркали ифодаланиши уз тасдигини топди. Бу эффектнинг янги кирралари очилди. Диссипатив бир жинсли булмаган механик системада глобал суниш коэффициенти ролида биринчи, иккинчи ва учинчи частоталарнинг мавхум кисмлари катнашди.
2.0
1,5
-qi10 2.0
1,5
1.0
0.5
1.0
0.5
RiA,
--Y.--
0 0.5 1.0 1.5 2 0
1-расм. Комплекс частотанинг докикий Qr ва мавхум кисмини Qi тулкин сонига боглик узгариши (диссипатив бир жинисли булмаган система).
сг>
LO
Узун катламли цилиндрик композит ковушкок-эластик механик системаларда тулкин таркалиш масаласи математик куйилди, ечиш усули ва алгоритми ишлаб чикилди. Механик системадаги хар бир катламнинг харакат дифферециал тенгламаси Ламе ва Навье тенгламалари оркали ифодаланди. ^атламлар чегарасида каттик махкамланганлик ёки сирпаниш шарти куйилди. Урганилаётган жараён тургун тебранишларни ёки тургун тулкинлар таркалишини ифодалагани учун бошлангич шартлар куйилмайди. Масаллар деформацияланувчан каттик жисмлар механикасининг аралаш масаласи ва кучишлар оркали куйилган масалаларга келади. куйилган масалаларнинг ечимлари экспоненционал ва махсус (Бессел, Нейман ва Ханкел ) функциялар оркали ифода килинади. Материалларнинг ковушкоклик хоссалари Больцман - Вольтернинг интеграл муносабатидан фойдаланиб олинди. Релаксация ядроси сифатида Рижаницин-Колтуновнинг кучсиз сингуляр уч параметрли ядросидан фойдаланилди. Агар механик системадаги барча катламларда (ёки элементларни) ковушкоклик хоссалари бир хил булса , бундай механик системани диссипатив бир жинсли деб атадик. Механик системани баъзи элементлари эластик (ёки ковушкокликни ифодаловчи релаксация ядроси нолга тенг булса) бундай системани диссипатив бир жинсли эмас деб атадик.
Хулоса
Узун катламли механик системада гармоник тулкинларни таркалишини ифодаловчи деформацияланувчан каттик жисм механикасининг аралаш масаласи, мураккаб булмаган алмаштиришдан сунг, спектрал масалага олиб келинди (комплекс коэффициентли оддий дифференциал тенгламалар системаси). Бу
mechanics
MECHANICS
системани ечиш учун Годуновнинг ортогонал прогонка, Мюллер ва матрица аникловчисини хисоблашга доир усуллардан фойдаланиб комплекс арифметкада услубиёт ва алгоритм ишлаб чикилди. Бу бобда масалалар кучишлар оркали (Ламе тенгламаси) хам куйилди. у х,олда масалалар кучиш потенциаллари оркали ифодаланди (текис масалалар) ва Гельмгольц тенгламасига олиб келинди. Цилиндрик коорддинаталар системасидаги куйилган масалалар эса комплекс коэффициентли Бессел тенгламасига олиб келинди. Аналитик куринишдаги дисперцион тенглама олинди ва унинг ечими хам Мюллер ва аникловчиларни хисоблашга доир усулларга асосланган услубиёт ва алгоритм асосида ечилди. Икки услуб билан олинган натижалар солиштирилди.
Фойдаланилган адабиётлар руйхати:
[1]. Сафаров И.И. Мубораков Я.Н. Оценка сейсмонапряженного состояния подземных сооружений методом волновой динамики. //Сейсмодинамика зданий и сооружений.- Ташкент: Фан,1988. -с. 114-122.
[2]. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях.- Ташкент: Фан, 1992. - 250 с.
[3]. Сафаров И.И., Ахмедов М.Ш., Умаров А.О. Динамические напряжения и смешения вблизи цилиндрической подкрепленной полости от плоской гармонической волны // Ежемесячный научный журнал «Prospero»(Новосибирск) 2014,№3 с..57-61
[4]. Сафаров И.И., Жумаев З.Ф., Рашидов М. Колебания упругого полупространства с цилиндрическими преградами при воздействии поверхностной волны. // Проблемы механики №6. г. Ташкент: 2003.-c.11-14.
[5]. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Ахмедов М.Ш. Напряженно - деформированные состояния тонкостенных трубопроводов. LAP LAMBERT Academic Publishing Saarbrucren Dentschland /Germanu/-2015 - 335с.
[6]. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Киличев О. Динамические напряженные состояния тонкостенных трубопроводов. LAP LAMBERT Academic Publishing Saarbrucren Dentschland /Germanu/-2015 - 230с.
[7]. Стрельчук Н.А.,Славин С.К., Шапошников В.Н. Исследование динамического напряженного состояния тоннельных обделок при воздействии взрывных волн.// Известия вузов. Строительство и архитектура,1971. №9. - с. 129-136.
[8]. Султанов К. Взаимодействия подземных сооружений с грунтом при воздействия нестационарных упругих и неупругих волн // Автореферат докт. диссертации. М.: 1992г. -31с
[9]. Pao Y.H., Mow C.C. diffraction of elastic waves and dynamic stress concentration. Grane, Russak, 1973 694 p.
[10]. Goldsmith W., Sackman J.L. Macroscopic static and dynamic mechanical properties of Yule marble.//-Experimental Mechanics, 1974,vol 14 No.9,p.337-346.
[11]. Howells D.A.Tunnels in earthquake areas. - Tunnels and Tunnelling, 1972, Sept., h.437.
[12]. Safarov I. I., Boltaev Z .I., Akhmedov M. Distribution of the natural waves. LAP LAMBERT Academic Publishing Saarbrucren Dentschland /Germanu/-2015. -110 p.
О KD
