Частотный критерий устойчивости нелинейных замкнутых систем, включающих вязкоупругое звено с распределёнными параметрами, в подпространстве поля перемещений вязкоупругого звена Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЮН. САНЮIII

ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИИ УСТОИЧИВОС ТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАМКНУ ГЫХ С ИСТЕМ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ВЯЧКОУПРУГОЕ ЗВЕНО С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТР \МИ, В ПОДПРОСТРАНСТВЕ ПОЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГОГО ЗВЕНА

В предлагаемой работе рассматривается вариант задачи А.И. Лурье (1] оЬ абсолютной устойчивости нелинейной замкнутой системы, включающей упругие звено с распределёнными параметрами при распределённом воздействии по части переменных, то есть в некотором подпространстве от исходного пространства, описывающего состояние упругого звена.

Сисгемы с распределенными параметрами описываются уравнениями в частных производных. Поэтому разработка частичных критериев устойчивости подобных систем связана с установлением сходимосги в выбпанныг функциональных нристраьетвах, которые отождесшляютея с линейными блоками, а также описанием обратных связей и установлением ограничений на структуру операторов, опр? челяюотих обратные связи.

Частотные критерии устойчивости нелинейных замкнутых систем, включающих упругие звенья с распределенными параметрами, рассматривались автором в ряде работ [2,3,4,5].В работе [2] дан круговой критерий. В раоотах [3,4] приводится критерий устойчивое ги, сходный по структуре с критерием Попова. В работе [5] предыдущие результаты обобщены на системы с распределенными входом и выходом, ь связи с чем критерий устойчивости дан в форме ска<1ярного произведения. Подооный подход позволяет решагь также и задачи с несколькими нелкнейкостями. В качестье примера таких задач можно назвать задачу устойчивости металлорежущих станков (точение, фрезерование. шлифование) или задачу устойчивое! и ориентации космической сган-ции как системы с распределенными параметрами с учетом солнечных батарей и блочное!!! структуры. При этом характер нелинейности является не вполне определенным.

При исследовании устойчивости прямым методом ./(япунова систзм с сосредоточенными параметрами в качестве фулкции Ляпунова берётся сумма положительно определённой квадрагичной формы и интеграла нелинейной характеристики [1]. Здесь по аналогии используется свойство положительной определенности и полной непрерывности операторов вязко-\отругосги. Сгруктура частотного критерия устойчивости определяется структурой производной функции Ляпунова в силу уравнгния движения [4]. При этом суждение об устойчивости возможно по экспери-

мента:гьным или теорегическим амплитудно-фазовым частотным характеристикам вязкоупругого звена.

Извесгно, что пространственная задача теории упругости при действии сосредоточенных сил имеет ту особенность, что перемещение под силой обращает «.я в бесконечность, в то время как энергия упругого гела ограничена. Поэтому целесообразно истинную распределенную нагрузку заменить ее главным вектором и главным моментом, а перемещение усреднить

Рассмотрим уравнение динамики вязкоупруг ой системы в операторной форме:

„ „5« „ди

г> п Т* ± Г.

иъ + -/=и,

6Г2 Л (1)

СЭ'и + С.О* ' — - а, &

где <?,и- обобп нные силы и перемещения; / - векгор-функция, характеризующая силовое воздействие на упругую систему; К- оператор распределения масс; С- оператор, характеризующий распределение упругих сил; Т оператор внешнего рассеяния энергии; С,- оператор внутреннего рассеяния энергии ; время: й и О'- дифференциальные операторы, сопряжённые в смысле Пагранжа:

]' {Па)Т ииу = П'исЬ-^ о5иясЬ,

V V я

где ст, = п„о, иу = пии - соответственно обобщенные силы и перемещения на границе 5; па, пи - операторы статической и геометрической совместимости на границе вязкоупр>гого тела (юена); V- область занимаемая ьязкоупругим телом.

Уравнение для силового воздействия / = /(''), нелинейно зависящего от некоторого параметра е, возьмём в виде

ё = с^и + с2и- пу [е),

где е ■ е{а,г)~ управляющее воздействие; а -пространстьснная координата; сх- оператор обратных связей по перемещению; с2 - оператор обратных связей по скорости; й- положительно определённая симметричная ьесовая матрица управ.гяюгцих воздействий.

Относительно вектор-функции /(е) сделаем предположения

/(г)-е> 0 при е*0;

/(е) = 0 при е=0; (2)

I I

< М при М > 0.

В дальнейшем, не уменьшая общности, рассмотрим пространственную систему, когда на границе заданы силы, а другая часть я2 закреплена.

Если иск почить из уравнения (1) обобщённые аыы а, то получим уравнения в обобщённых перемещениях:

„ /д2и пди

*-э + В— + Ки = /, (3)

дг

где В = Т + ОСхО* и К - £03* - положительно определённые, вполне непрерывные операторы рассеяния энергии и упругости. Граничные условия на

= Л (4)

на : = 0 ■

Начальные условия:

ди

*!,=,, = ао

Фр (6)

/=0

дг

Оператор упругости К при однородных граничных условиях (3) и (4) положительно определенный, поэтому он имеет дискретный спекгр, а собственные функции его ортогональны.

Преобразуем уравнение (3) по Лапласу при нулевых начальных условиях (6):

р211и + рВи + Ки /, (7)

где р- параметр преобразования Лапласа. Беги оператор В можно представить в виде В = Сш + С1В + Вх при условии, что ¡5, «\\В , где и С2В -- некоторые постоянные, то приближенное решение уравнения (7) можно записать так [3]:

Ч/Ч*

и(сс) = У 7--1-. — ,

где 2 = \(Яип)т, и„ = иДсх) - форма колебаний: \п = —- = , ш„-

собственная частота колебаний; а - пространственная координата. Перепишем операторное уравнение (3) и (2) в виде:

х, = х2,

х2 = -ЯлВх2 - Я~1Кхл + Р. 1/(е), (?)

е = с1х-1+с2х2-к/(е)>

гце х1 = и, х2 = й.

Рассмотрим функционал Ляпунова

1 1 е

V = -f4+ íx(Kx{dv + f ¡ f(z)cb dv

2 v ^ v vi o

Первые два слагаемых функционала V представляют собой соответственно кинетическую и потенциальную энергию упругого звена. Таким образом, функционал V является положительно определённым. Ьго производная в силу уравнения движения (8):

V = -J хфВтьф* + JЦ + (1 + с2)х2 - nf(e)| J|e)av. (9)

V V

Если бы V быта знакоопределенной отрицательной величиной, то движение было бы асимптотически усггой^чв«» Первое слагаемое в формуле (9) отрицательно определённое, поэтому достаточно, чтобы

i |'cft + (1 + с2)х2 - hf(e)]Tf(e)dv á ¡ х2 üx2áv. (10)

V V

Однако непосредственно установить, выполняется ли условие (10), не

представляется возможным, поэтому рассмотрим условие

00 00

íí [q*i + (l + c2)*2 -hf(e)] f(e)dtdv< fj x¡Bx2dtd». (11)

v О V 0

Если выполняется условие (10), то выполняется условие(П), хотя обратное неверно. Вместе с тем, используя выражение (11), можно получить ограничение на переходный процесс, что приведет к следующему абстрактному частотному условию устойчивости:

Refíq + Ц1 + с J

1--1-I-г-->а, а

(VJ)

В формуле (12) фигурируют соответствующие преобразования Фурье. Причем (hfj) = ¡(hf{a,m))' f(а

-i(o)dv, а оператор w(iu)) задаётся со-

V

отношением:

м{т)/ = J" W(i(a, а, |3)/(а, m)áv,

V

где W{ я, а, р) = И* (ко, f5 а) = Ят2 + ю>В + К^ - передаточная функция

упругой системы; а. [5-- пространственные координаты; <о - частота.

Для асимптотической устойчивости динамической системы, описываемой уравнением Í8), при нелинейной функции /(<?), удовлетворяющей

условиям (2), достаточно, чтобы удовлетворялось условие (12).

Рассмотрим устойчивость по некоторому подпространству ип ей, где и [3] представляет собой поле перемещений вязкоупоугого звена. Пусть L- некоторый проектор, такой, что un=Lu. a é = c1Lxl+c2Ijc2-hf(e).

>0. (12)

Уравнения движения сохраняют свой вид (8). Выбираем функционал Ляпунова в виде:

1 1 е

У = {1лг)ЯЬхг(1У + «(¿х,) Юх^У + \[\/{2)(к\Мг. (13)

2 V 2 V V о

Производная функционала V, определяемого по формуле (13), в силу уравнений движения (8):

У =-\(иг)тЯЬ; гс+ +(1 + с2)1х2 -Н/{е)]т/(ё)ёУ. (14)

V V

Согласно структуре производной (14), приходим к следующему частотному кпитепито устойчивости:

(¥,/)

Доказательство соотношений (12) и (15) имеет свою специфику, связанную с требованиями к операторам обратных связей и континуальностью входа и выхода [5], хотя в обших чертах использует известные схемы, которые можно найти в работах [5,6,7].

Абстрактные частотные критерии устойчивости (12) или (15) в форме функционала позволяют исследовать устойчивость динамических систем с бесконечномерными входом и выходом. Однако их применение связано с рядом грудностеи. гак как решение неоднозначно а вектоп-функция / в общем случае неизвестна. Вместе с тем в ряде практических случаев вид вектор-функции / заранее задан, а сама вектор-функция / зависит ог одного параметра, поэтому вычисления существенно упрощаются.

Разработанная методика исследования устойчивости нетиьейных упругих систем с распределёнными параметрами использована для исследования устойчивости процесса точения при не вполне определённой характеристике процесса резания, когда образуется стружка скола, надлома, суставчатая [8].

Сила резания, как показывает опыт, зависит от проекции относительного перемещения между резцом и заготовкой на нормаль к поверхности

резания ип = п1 и, где пи- вектор норма-га к поверхности резания; и-вектоо относительного перемещения между резцом и заготовкой. Можно показать-, что для модуля силы резания справедлива зависимость:

ё0 = -ип«-Т)]~ /2/о(е0), (16)

где еь~ толщина снимаемой етружкь, которая связана с го.дциной снимаемо! о слоя зависимостью е = уса,дка сгружки; 5 - толщина среза; ыДг Г)-запаздывающее воздействие следов обработки: 7-время

одного оборота заготовки. Вектор силы резания запишем так:

/ = Лр/0.

где / - орт силы резания. Если умножить слева равенство (16) на орт пр, то получим:

е^с,1\и(г)-уи{1- Т)]- кДе), (17)

где е = е0п , Ь = п^- так называемая матрица коэффициентов направления: у - коэффициент перекрытия при резании.

Согласно равенству (17),основную роль играет переменная Ьи, где оператор проектирования и на подпространство ип. Учитывая соотношение (17), выберем функционал Ляпунова в виде (13).Так как в данном случае к-скаляр, а / = из (13) получаем:

1-^Яе(с1 + /(о)(1-уе"а7)г^/ш)><7. ?>0, (18)

где след матрицы ¿ЦмМ, со) = и

Рассмотрим конкретное вычисление величин, входящих в формулу (18). Нелинейные силы резания имеют запаздывающий характер [9 )0]. Их приращения определяются проекцией приращения относительного перемещения между резцом и заготовкой на нормаль к поверхности резания к„(о и параллельной обратной связью, учитывающей

наличие следов обработки от предыдущего прохода уи„\ г - Л:

где кр-коэффициент резания; Тр- время формирования си„1ы резания. Представим выражение Р ) + 7^,)] в виде ряда [10]:

Ограничившись /двумя членами ряда, представим (19) в виде

ё = Г1[н(^-уии-Т)]-пР(е). (20)

_ к п 1 I .

Здесь Су=- -Н-, И-- —¡—, I =кмЬГ В [Ю],

л/ рт4 С

I це к0- некоторый коэффициент; и- показатель степени, определяемый экспериментально; 50- успановиьшаиея толщина снимаемого слоя; В--ширина среза.

Предположим, что общий характ р зависимости (20) справсдшгв к для больших отклонений, воспо,1ьзуемся нелинейным частотным критерием (18). Согласно соотношениям (20) и (18) получим следующую формулу для критической ширины стружки [8]:

84 Весгник УлГТУ. 1/9У

где 7 = постоянная времени нелинейного сгружкообразования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М : Гостехтеориздат, 1951. 216 с.

2. Санкин Ю.Н. Устойчивость нелинейных замкнутых систем, вк.по чающих упругие звенья с распределенными параметрами //Вопросы теории и проектирования аналоговых измерите^чых преобразователей. Саратов : Изд-во Саратовского ун га, 1983. С. 28 31.

3. Санкин Ю.Н. Динамика несущих систем металлореж^ щих станков. М.: Машиностроение, 1986. 96 с

4. Санкин Ю.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных замкнутых систем, включающих упругие звенья с распределенными параметрами // Сб. доклац. 1-го Всероссийского семинара-совещания заведующих кафедрами теоретической механики вузов России. СПб.: ВИК-КА им. Можайского, 1904. С. 159-170.

5. Санкин Ю.Н. , Санкин Н.Ю. Частотные методы исследования устойчивости замкну тых систем , включаюших упругое звено с распределенными параметрами при нелинейном распределенном воздействии II Фундаментальные проблемы математики и механики. Ульяновск: УлГ ТУ, 1997. С. 74-82.

6. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и её применение. М.: Машиностроение, 1972. 552 с.

7. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: На\пса, 1983. 160 с

8. Санкин Ю.Н,, Санкин Н.Ю. Повышение устойчивости черновой обработки на токарных станках // Вестник машиносттюения 1998. МЬЮ. С. 42-45.

9. Кудинов И.А. Динамические расчеты станков (основные положения) // СТИН. 1995. №8. С. 3-13

10. Эльясберг М.Е. Автоколебания в металлорежущих станках. СПб.. Издание ОКЬС, 1993. 180 с.

Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры « Теоретическая и приклаоная механики » Ульяновского государственного технического уни-бштитгта, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографию и статьи в области механики сплошных сред, теории колебаний и устойчивости движения.

Всстник УлГ ТУ. 1/99

85