CC BY
11
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 62-50
10. Н. САНКИН
МАТРИЧНЫЕ АНАЛОГИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассматриваются матричные аналоги нелинейных частотных критериев Попова на примере системы, содержащей многомерную нелинейность типа насыщения.
При рассмотрении устойчивости нелинейных многомерных замкнутых систем частотным методом задача сводится к решению матричных неравенств. При этом можно с ф ор му лир о в ать матричные аналоги известного нелинейного частотного критерия Попова.
Пусть вектор нелинейного управляющего воздействия ф = ф (е) нелинейно зависит от некоторого векторного параметра е, удовлетворяет следующим условиям:
ф(е)ге > 0 при е Ф О,
ф(е) = 0 прие = 0, (1)
|ф (е)| < М , тлс-М > О,
Кроме того, нелинейность удовлетворяет условию
Ф 7(ф О) < 1X"!е]гф (е), (2)
где К > 0 - положительно определённая матрица, характеризующая нелинейность. Линейная часть системы устойчива.
Нелинейность, удовлетворяющая требованиям (1), рассматривалась в работе [1]. Частотный критерий устойчивости нелинейных замкнутых систем, включающих упругие звенья с распределёнными параметрами, рассматривался в работе [2]. Здесь рассматривается матричный аналог частотного критерия Попова [3] для описанной выше нелинейной системы.
Для того чтобы рассматриваемая нелинейная систем была асимптотически устойчива, достаточно выполнения следующего матричного частотного неравенства:
1-К-'КеТГ(1(о)>1д,д>0. (3)
Здесь IV(ко) - передаточная матрица системы; 1-единичная матрица. Далее рассматривается интеграл от матричного неравенства (3), кото-
рое представляется в развёрнутом виде
/(1 -а)~
J = — \
2%
—со
Ф (zco) \ ф (-ZCÜ )<г/со,
(4)
со
где ф(zco) = |ф[e(t)\e~'m dt - преобразование
—00
Фурье от вектора управляющих воздействий; q> О - малая величина. Обозначение Ле
можно опустить в связи с тем, что мнимая часть подынтегральной функции в (4) является нечётной и при интегрировании исчезает:
7(1 - £)ф (изо) -
~ 1 г
J=— 271 ^
Ф(-/С0)й?0).
-K-'W(m)(p( ко)
Вектор выходных параметров находится из соотношения:
t
e(t) = e0(t)+ Jz(/-T>p[e(í)]^ > (5)
о
где eQ(t) - вектор перемещений, определяемый
начальными условиями; X - матрица импульсных переходных функций. Преобразуем вектор выходных параметров (5) по Фурье:
e(zco ) = е0 (z© ) + W (zco )ф (zco), (6)
со
где
e(z'co) = | e(t)e mtdt,
—00
00
СО
е0(ю)= je0(t)e-*“dt,W{im)= jx(t -x)e~b,dt.
—СО
-со
Из (6) найдём:
W (zco )ф (zod ) = e(zco) - е0 (zco). (7)
Согласно (7) молено написать:
Ю. Н. Санкин, 2005
Вестник УлГТУ 4/2005
13
, 1 Ш - Cf ур (ко )тСр (—ко) -
-71 | -К~ [(5( ко ) - е, (/со )] Г ср (—гсо )
с ко.
(8)
Применяя соотношение Парсеваля к (S), получим:
■dt.
(9)
Функции в(/')и е0(г) удовлетворяют условиям
e(t) = 0 е0(£) = 0 при / < 0 и t> T, где Т - момент наблюдения. Поэтому вместо (9) получаем:
г Ja 1-?)ф[е(0]г<р[е(0]-
“ il-ic-1 [е(О-е0(О]гФ[е(0]
■dt. (10)
Согласно предположению (3) интеграл J > 0.
т
\к~' e(tfФ [<?(/)}* -
о
7*
-/(1-4) J<p[e(Of фМО]^ < Ч(0гф1>(0М-
о
о
(11)
Применим к правой части (11) неравенство Шварца:
т т
^K~le(t)Tср [e(t)]dt -1(1 -q) Jcp [e(t)]T cp [e{t)]dt
<
о
<
/
0
1
\Г
Vo
fr
|фг!>(0]ф [e(t)]dt
\
0
(12)
Согласно условию (2), наложенному на нелинейность, вместо (12) можно написать
о
/
1
/
1
\-
Vo
У
Введём обозначения:
(13)
( т
1
\-
Л (Л =
\0
/
{ т
1
\т
X
О
С учетом новых ооозначежш (13 ) перепишем в виде:
qJfiT) - J<xT)J r(T),
I i Л11
■Л, (Т)
1
4<?
(14)
В правой части (14). которое представляет собой известное фундаментальное неравенство [3], находится интеграл, который зависит от начальных условий. Поэтому правая часть неравенства (14) ограничена приГн>-со, при этом левая часть положительно-определённая и тоже ограничена при Т —» со . Отсюда следует асимптотическая устойчивость при выполнении УСЛОВИЯ
(3).
Матричиое неравенство может быть разрешено так же, как и в линейном случае, например,
путём установления собственных значений мат-•/ •/
рицы АГ1 Ле И7(/со), которые не должны равняться единице. Графически это означает, что годографы корней характеристического уравнения не должны охватывать единицу. Подобный приём был использован, например, в работе [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лурье, А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования / А. И. Лурье. - М.: Гостехтеориздат, 1951. - 216 с.
2. Санкин, Ю. Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных замкнутых систем, включающих вязкоупругое звено с распределёнными параметрами // Тр. СВМО. - 2005. - Т. 7, № 1. -С. 154-162.
3. Сю Д. Современная теория автоматическо-о управления и её применение / Д. Сю, А. Мей-
ПА
X
ер. - М.: Машиностроение, 1972. - 552 с.
4. Санкин Ю.Н., Гурьянов М. В. Курсовая устойчивость автомобиля как системы с многими степенями свободы // Вестник машиностроения. - 2004. - № 9. - С. 36^40.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических паук, профессор, действительный член АМН РФ и Академии нелинейных наук. Имеет публикации в области теории колебаний и устойчивости движения.
14
Вестник УяГТУ 4/2005
