Модифицированный критерий абсолютной устойчивости нелинейных распределенных систем управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

© 2009 г. А.Б. Чернышев

Северо-Кавказский государственный North Caucasus State

технический университет (филиал), Technical University (Branch),

г. Кисловодск Kislovodsk

Рассматривается класс нелинейных систем с распределенными параметрами, для которых возможна адаптация частотного критерия абсолютной устойчивости В.М. Попова. Определяется поверхность, ограничивающая сверху область абсолютной устойчивости для пространственно-временных нелинейных характеристик. Угол абсолютной устойчивости, известный из теории систем с сосредоточенными параметрами представляется в виде коэффициента усиления пространственно-усилительного звена. Приводится формулировка и графическая иллюстрация критерия. Предлагается методика анализа абсолютной устойчивости нелинейных распределенных систем управления.

Ключевые слова: абсолютная устойчивость; распределенные системы; нелинейная характеристика; коэффициент усиления; модифицированный годограф.

The classification of non-lined systems with distributed parameters to which the adaptation of private criteria of absolute stability by V.M. Popov as possible is outlined. The surface, limited the sphere of absolute stability for the environmental-time non-lined characteristics, is determined. The angle of absolute stability known from the theory of systems with concentrated parameters is determined as the coefficient of empowered environmental empowered area. The formulation and graphical illustration of the criteria is outlined. The methods of analysis of absolute stability of distributed non-lined systems are suggested.

Keywords: absolute stability; distributed systems; non-lined characteristics; the coefficient of empowers; modified hodograph.

Задача об исследовании абсолютной устойчивости нелинейных систем управления возникает в связи с тем, что в некоторых случаях нелинейная характеристика является нестабильной и может быть охарактеризована только определенной областью. Для нелинейных систем с сосредоточенными параметрами В.М. Поповым предложен частотный критерий определения абсолютной устойчивости, т. е. устойчивости системы при любых начальных отклонениях для любой формы нелинейной характеристики, принадлежащей к некоторому определенному классу. Системы с распределенными параметрами - системы, для которых изменение управляемых величин как во времени, так и в пространстве описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями или системами уравнений самой различной природы. Физически появление частных производных соответствует учету волновых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волновых процессов в длинных линиях электропередач, учету пространственной неравномерности распределения температуры при нагреве металлических заготовок и т.д. Задачи управления такими системами оказываются принципиально более сложными по сравнению с сосредоточенными системами. Большинство результатов, полученных в

теории систем с распределёнными параметрами, в том числе и анализ их устойчивости, относится к линейным системам. Класс нелинейных моделей очень широк, что чрезвычайно затрудняет их единообразное описание, возможность использования универсальных методов анализа и синтеза. Поэтому при разработке методик исследования автоматических систем управления по нелинейным моделям выбираются некоторые расчетные формы моделей, к которым, по возможности, пытаются привести исходные [1]. Достаточно широкий класс нелинейных систем управления представляют системы, структурная схема которых представляется последовательным соединением нелинейного блока и линейной части [2]. В этом случае можно использовать аппарат передаточных функций линейной части системы. Для систем с сосредоточенными параметрами нелинейный элемент задается функцией z = ф(ст), которая значению a(t) входного

сигнала ставит в соответствие значение z (t) выходного сигнала звена: z (t) = )). Для систем с распределенными параметрами входной сигнал может зависеть не только от времени, но и от пространственных координат. Пусть нелинейный элемент задается функцией z = ф(ст), которая значению ст(x,y,t)

входного сигнала ставит в соответствие значение г (х, у, t) выходного сигнала звена, т.е.

2(х,у,t) = ф(ст(х,у,t)).

Условия применимости критерия для распределенных систем

В целях интерпретации указанного критерия для анализа систем управления с распределенными параметрами предполагается выполнение следующих условий [3]:

1. Нелинейное звено представимо в виде последовательного соединения нелинейного элемента и линейной части;

2. Линейный блок системы может быть представлен бесконечной совокупностью независимых контуров;

3. Линейная часть системы устойчива;

4. Входное воздействие может быть представлено в виде разложения в ряд Фурье по пространственным координатам.

При выполнении указанных условий получим класс нелинейных систем с распределенными параметрами, для которых возможно применение модифицированного критерия В.М. Попова для исследования абсолютной устойчивости (рис. 1). Известно, что для систем с сосредоточенными параметрами статическая характеристика удовлетворяет условиям: 0 <ф(ст)< kст; ф(0) = 0, т.е. характеристика нелинейного элемента должна принадлежать сектору [0; k]. Это является основным признаком рассматриваемого класса нелинейностей. Применительно к системам с распределенными параметрами, рассмотрим коэффициент k как коэффициент усиления пространственно-усилительного звена:

K (G ) = Ei

nie!+1 g

0 < G

f — \2

G„ =

nn

V ^x J

nn

V l J

22 nn

(/? +H).

i2i2

(n = 1,2,3...) ,

где 1х, 1у - геометрические параметры объекта;

Е1 - общий коэффициент усиления (заданное число);

п1 - весовой коэффициент (п1 > 1). Тогда уравнение

прямой, ограничивающей сектор нелинейности сверху, для каждого контура можно записать в виде

Zn = E1

+ -1 G

G

Рис. 1. Область абсолютной устойчивости

Здесь G - непрерывная функция с областью определения [0; да), охватывающая все дискретные значения функции [4]

где п - номер контура. Поверхность, ограничивающая область абсолютной устойчивости сверху, будет иметь вид, изображенный на рис. 1.

Ограничения на типы нелинейных элементов

Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим виды нелинейных элементов для распределенных объектов с одной пространственной координатой.

1. Нелинейная функция вида ф(ст^)).

В каждой точке х е[0; I] входное воздействие

одинаково, характеристика нелинейного элемента статическая, одного и того же типа.

2. Нелинейная функция вида ф(ст( х, t)).

В различных точках х е[0; I ] входное воздействие

различно, характеристика нелинейного элемента статическая, одного и того же типа.

3. Нелинейная функция вида ф( х, ст^)).

В каждой точке х е[0; I] входное воздействие

одинаково, характеристика нелинейного элемента статическая, но тип нелинейной характеристики, как реакции на это входное воздействие, в каждой точке различный.

4. Нелинейная функция вида ф(х,ст(х, t)). Входное воздействие различно в каждой точке

х е [0; I ] и тип нелинейной характеристики для каждого из входных воздействий в каждой точке различный, но не меняется с течением времени, т.е. нелинейная характеристика статическая.

5. Нелинейная функция вида ф(х,t,ст(х,. Входное воздействие различно в каждой точке

х е [0; I ] и типы нелинейных характеристик в каждой

точке х е [0; I] и в каждый момент времени различны,

т.е. нелинейная характеристика динамическая.

Предполагается, что нелинейный элемент реализует функции 1-го и 2-го видов.

Критерий абсолютной устойчивости

Пусть выполняются условия: 1. Все полюсы передаточной функции линейной части системы имеют отрицательные действительные

n

n

+

n

n

части (т.е. линейная часть разомкнутой системы устойчива).

2. Характеристика нелинейного элемента г =ф(ст( х, у, t)) должна принадлежать области, ограниченной плоскостью г = 0 и поверхностью

z = E

т.е.

n -1 , ч 1

-x, y, t)--

Г л 2

д ст(х,y,t) д ст(х,y,t)

дх2

dy2

n1 -1 1

Гё^ #}

дх2 ду2

. . ф(а(х, у, t))

ф(о) = о, о<Е

ст(х, у, t) при всех ст(х, у, t) ф 0 .

Если входное воздействие задано в виде изображения по Лапласу ст( х, у, 5), то поверхность, ограничивающая область сверху, будет иметь вид:

z = E1

nz! +1 g

ст(X, y, 5 ) ,

/ ч ф(ст(X, y, 5))

ф(0) = 0, 0 < ^ / ' » < E1

CT( х, y, 5 ) при всех ст(х, y, t) Ф 0, где

nL-1 +1G

n n

G =

( \2 nn

V lх у

Г Y n2n2 (l2 +12 ) nn _ \ y х J

V ly у

1212

3. Существует действительное число q такое, что при всех ю е [0; да) выполняется неравенство

Re [(1 + jaq )W (jra)]> —

E1

щ-l + ^ g n, n.

Re (W ) = --

E1

n1~l + g

;Im (W ) = 0

и пря-

мую {Re (W) = 0;Im(W) = q; G}.

ю Im(W)

Рис. 2. Графическая интерпретация анализа абсолютной устойчивости нелинейной распределенной системы

Методика анализа абсолютной устойчивости нелинейных распределенных систем управления

1. Выбирается некоторое конечное число значений О^ , I = 1, т :

G1 =

n2 n

V 1х у

М2_ n2 (iy + 1х2)

v ly у

12l2

1х1у

f^\2 ил

G2 =

2n

V 1х у

2n

V ]y у

2

4n2 (l2y +l\ )

i2i 2

Тогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого значения функция ст(х, у, t)

остается ограниченной при t > 0 и ст(х, у, t) ^ 0, при t ^ да , т.е. система будет асимптотически устойчивой, так как из ограниченности ст(х, у, t) следует, ограниченность выходной функции Q (х, у, t), а из стремления ст( х, у, t) к нулю следует, что Q (х, у, t) ^ 0 при t ^ да .

Графическая интерпретация критерия

Можно дать следующую графическую интерпретацию модифицированного критерия Попова (рис. 2).

Если передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов, лежащих в правой полуплоскости, тогда для абсолютной устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы модифицированный пространственный годограф не пересекал поверхность, проходящую через линию

Gm =

f^\2 m2 n2 (ly2 + l2x)

mn

V lх у

mn

V l у

12l2 1х1у

2. Определяется преобразование по Лапласу ст( х, у, 5) функции входного воздействия ст(х, у, t).

3. Строится график нелинейной характеристики г = ф(ст) и проводится касательная к графику, проходящая через начало координат (рис. 3).

z i z1 z = ф(ст)

CT CT

Рис. 3. Касательная к графику нелинейной характеристики

1

n n

+

+

1

2

+

G = 1

G = 2

G = 3

б

Рис. 4. Пример устойчивой системы

4. Определяется угловой коэффициент k каса-

zi 1 zi тельной z = — ст : k = — .

П = 1,

E =

kl2fy

ст,

CT,

^ (fi + £ )

получим Xi = -

m

т.е.

5. Из соотношения k = E

кретных значениях Gi, i = 1, m ,

ni^ +1G

Y 1 Y 1

при кон- X1 = — , X 2 =--,

F 1 k 2 4k

k1 = E1

nL-1 +1 G,

k 2 = E1

+1 G,

km = E1

^ +1 G.

подбираются коэффициенты п1 и Е1 таким образом, чтобы нелинейная характеристика попадала в сектор нелинейности для каждого значения Gi, i = 1, т . На-

k

пример, при п1 = 1, получаем k = E1G, тогда Е1 = —. С учетом неравенств G1 < G2 <... < Gm, выбирается наибольшее из значений Е , i = 1,т т.е. Е = —, или

G1

E =■

ki2iy2

;(iy + и )

6. Для каждого из значений Gi, i = 1, т строятся модифицированные годографы передаточной функции линейной части системы Wi (Gi, 5), i = 1, т и определяются точки на оси X = Re (Wi), равные

1 . Например, для

E1

^ +1 G,.

7. Если для каждой точки Xi, /' = 1, т на оси 7 =ю 1т (Wi) найдется точка Yi = q, такая, что прямая, проведенная через эти точки, не пересекает модифицированный годограф, то нелинейная система является абсолютно устойчивой (рис. 4).

В результате использования методов теории систем с сосредоточенными параметрами и структуры передаточных функций, выраженных через обобщенную координату, получен аналог частотного критерия абсолютной устойчивости В.М. Попова для класса систем с распределенными параметрами, что позволяет исследовать динамические характеристики нелинейных распределенных систем управления.

Литература

1. Теория автоматического управления/ С.Е. Душин [и др.]. Под ред. В.Б. Яковлева. М., 2003. 567 с.

2. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределёнными параметрами. М., 2003. 299 с.

3. Чернышев А.Б. Условия применимости критерия абсолютной устойчивости для распределенных систем управления // Альманах современной науки и образования. № 1(8). Тамбов, 2008. С. 214-215.

4. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределёнными параметрами. Пятигорск, 2007. 244 с.

Поступила в редакцию

8 сентября 2008 г.

Чернышев Александр Борисович - канд. техн. наук, доцент, кафедра прикладной информатики, СевероКавказский государственный технический университет (филиал), г. Кисловодск. Тел. 8-87937-71019. E-mail: [email protected]

Chernyshev Aleksandr Borisovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department of applied mathematics, North Caucasus State Technical University (branch) Kislovodsk. Ph. 8-87937-71019. E-mail: [email protected]

а

в

1

n

n

n

n

n

n

п

n

n