Множители устойчивости для систем с нестационарными нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 1 (№ 1)

МАТЕМАТИКА

УДК 62-50 Д. Альтшуллер

МНОЖИТЕЛИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Введение. Рассмотрим систему интегральных уравнений

a(t) = a(t) + i tt(t - s)£(s)ds - R£(t), (1)

J 0

col[a(t),£(t)j € M. (2)

Здесь M — некоторое множество, описывающее соотношение (обычно нелинейное) между переменными a(t) € Mm,£(t) € Rn и a(t) € Rm, O(s) € Rmxn, R — постоянная матрица.

Определим для произвольного вектора или матрицы X = {xj} абсолютную величину по формуле |Х| = ■ Относительно вектора-функции a.(t) и матрицы-функции Q(t) введем следующие предположения:

|a(t)| € L2(0, те), |0(t)| < const e-£i, e> 0. (3)

Введем передаточную функцию W(iw) по формуле

W(iw) = R - П(iw), (4)

где л обозначает преобразование Фурье от соответствующей функции.

В этой статье рассматривается случай, когда функции £(t) и <r(t) —скаляры, и соотношение (2) имеет вид

£(t) = V(a(t),t), (5)

где функция у(<т, t), называемая в дальнейшем нелинейностью, удовлетворяет услови-

ям:

0 < А' д^' ^ <ц<оо, 95(0, t) = 0. (6)

© Д. Альтшуллер, 2003

Функции а(£), и ^(а, £) будем предполагать непрерывными. Некоторые дополнительные ограничения на функцию у>(ст, £) будут наложены при формулировке результатов. Применяемый метод позволяет получить аналогичные результаты для случая, когда <г(£) и £(£) —векторы, связанные аналогичными соотношениями.

Для стационарных нелинейностей у>(<г, £) = ¥>(а) проблема абсолютной устойчивости систем вида (1), (5), (6) рассматривалась во многих работах (см., например, [1-5] и литературу в [6]). Первые результаты были получены Зэймсом. Им и другими авторами различными способами установлены критерии абсолютной устойчивости, причем они формулируются в виде

Vш е [-то, то] : Ие{[м-1 + W(гш)]2(гш)} > 0, (7)

где функция 2(гш) называется множителем устойчивости. В этих работах найдены некоторые классы функций 2(гш), такие что условие (7) гарантирует абсолютную устойчивость систем вида (1), (5), (6), возможно, с некоторыми дополнительными условиями. В настоящей статье единым способом получены аналогичные результаты для ряда случаев, когда нелинейность явно зависит от времени. Для стационарных нелинейностей результаты сводятся к уже известным, но метод доказательства представляется новым.

Следуя статье В.А.Якубовича [7], введем следующие определения и обозначения. Вектор-функция

г(*) = со1[ст(*),£(*)] е Ь2,1ос

называется процессом. Линейное пространство всех процессов будем обозначать через Z. Линейное пространство всех процессов, удовлетворяющих уравнению (1), будем обозначать через Ь. Систему уравнений (1), (2) будем называть парой {Ь, М}. Процесс г(£) называется устойчивым, если |г(£)| е ¿2(0, то). Пусть Zsí —гильбертово пространство устойчивых процессов. Пусть = Ь П Zsí. Для устойчивых процессов определим функционалы:

/ + то

(гш)г(гш)^ш + 73, Ъ > 0, 3 = !,•••, N (8)

- ^

где (гш) —ограниченные эрмитовы матрицы-функции, з(гш) —преобразование Фурье от функции г(£). Пусть М7 — множество устойчивых процессов, для которых выполнены неравенства

Ф3[г] > 0, 3 = 1,...,Ж, (9)

Эти неравенства называются квадратичными связями в частотной области. Частным случаем связей (9) являются связи во временной области вида Т(г(£)) > 0 (локальные связи), интегральные связи вида

/•то

/ Т(г(г))л + 7 > 0, ./о

а также связи с запаздыванием, определенные при условии, что г(£) = 0 для £ < 0:

то

/ Т- т))А + 7 > 0. (10)

о

В этих связях Т(г(£)) и Т(г,гт) —вещественные квадратичные формы, и гт соответствует переменной со сдвигом аргумента на т > 0. Действительно, по теореме Планше-реля

/• то /• + то

/ Т3(г(г),г(г - т))А = Т(г(гш), ^(¿ш)е-4шт(11)

./О ./-то

Эрмитова форма под интегралом в правой части уравнения (11) представляет собой эрмитово расширение соответствующей вещественной квадратичной формы в левой части. Аналогичным образом можно рассматривать связи с любым числом запаздывающих аргументов.

Для квадратичных форм Т(г, гт) определим процедуру частотного преобразования следующим образом [7, 8]. (Для упрощения записи рассматриваем случай формы с двумя аргументами.) В уравнении (11) г (г) —произвольный устойчивый процесс. Предположим теперь, что г (г) = со1[а(г), £(г)] — устойчивый процесс, удовлетворяющий уравнению (1) с а (г) = 0. Преобразование Фурье, полученное при этих условиях обозначим 2Т(гш) = со1[—Ж(¿ш)£(гш),£(гш)]. (Здесь тильда обозначает преобразование Фурье, полученное при а(г) = 0, в отличие от общего случая.) Выражение под интегралом в правой части (11) принимает вид Т(г(гш),2(гш)в-гшт) = Т"(гш,£(гш)). Далее, формальная подстановка независимой переменной £ вместо функции £(гш) дает форму Т"(гш, £). Эта эрмитова форма аргумента £ € Сп с параметром ш € М и называется частотным преобразованием квадратичной формы Т(г,гт).

Пример. Пусть т = п = 1, Т(а, ат, £, £т) = 2£а + 3£та — £ат — Тогда

-^(¿ш,£) = |£|2{Ке[е-®шт Ж (¿ш)] — 2Ие[Ж (¿ш)] — 3Ке[е^т Ж (¿ш)] — 1}.

Квадратичную связь вида (10) можно написать и для континуума значений параметра т, используя интеграл Стилтьеса:

рОО

Т (г (г), г (г — т ))^(т)

/о

¿г + 7 > 0. (12)

Здесь 0(т) —неубывающая функция (предполагается, что интеграл Стилтьеса существует). Частотное преобразование выражения в квадратных скобках в (12) определяется аналогичным образом и имеет вид:

—£*П(^ш)£ = Тг(2'(гш), 2(гш)в_гшт)^(т), (13)

о

где П(гш) — эрмитова матрица. Эту процедуру можно очевидным образом распространить на квадратичные формы с любым количеством запаздывающих аргументов.

Будем говорить, что выполнено частотное условие (ЧУ), если существует неубывающая функция 0(т), такая что

П(гш) > 0 Уш € [—те, те]П(гш) > 0. (14)

Определим теперь понятия минимальной и абсолютной устойчивости [7, 8]. Определения

1. Пусть г € Ь П М. Предположим, что существует последовательность —у ^о и множество устойчивых процессов € Ь П Ж7, таких что г (г) = (г) при 0 < г < . Тогда множество {г^} называется устойчивым продолжением процесса {г} в множестве N.

2. Пара {Ь, М} называется минимально устойчивой в множестве N, если каждый процесс г € Ь П М имеет устойчивое продолжение в этом множестве.

3. Минимально устойчивая пара {Ь, М} называется абсолютно устойчивой, если существует постоянная С > 0, такая что для любого процесса г € Ь П М и для постоянных > 0, определенных для устойчивых продолжений этих процессов, справедлива

оо

оценка

I™ < С ^I™ |2^^ + £Ъ^ . (15)

1. Формулировка результатов. Для формулировки результатов нам нужно определить одно свойство функции д(ж,£), непрерывной относительно обоих аргументов. Пусть

С(ж,£) = / д(и, (16)

Зо

Определение. Функция д(ж,£), непрерывная относительно обоих аргументов, называется функцией класса Ат (т > 0), если для любых ж и £ ж[д(ж,£ — т) — д(ж,£)] > 0. Очевидно, что для всех функций этого класса

С(ж,£ — т) — С(ж,£) > 0. (17)

Очевидно, что к этому классу относятся функции, невозрастающие относительно переменной £ при ж > 0 и неубывающие относительно переменной £ при ж < 0 (т — любое положительное число), или периодические по £ (т —любое кратное периоду число). Перейдем к формулировке результатов. Теорема 1. Предположим, что:

1) функция у(<г,£) в уравнении (5) удовлетворяет условиям (6);

2) выполнены условия (3);

3) функции а(£), П(£),у(<т, £) непрерывны;

4) у(<т, £) —функция класса Ат, где т —любое положительное число;

5) существует неубывающая функция в(т), такая что /0™ ¿в(т) < то и выполнено частотное условие (7) с

2 (¡ш) = 1^ ¿в(т) — е^т ¿в(т). (18)

оо

Тогда система (1), (5) абсолютно устойчива. Теорема 2. Предположим, что:

1) выполнены условия 1, 2, 3 и 4 теоремы 1;

2) функция у(<г, £) нечетна относительно переменной а;

3) существуют неубывающие функции в3 (т), ^ = 1, 2, такие что /0™ (т) < то и выполнено частотное условие (7) с

2 (гш) = [1 + ©1 + ©2 — ^(гш) + 12(гш)],

. (19)

©з = Щ (т), (гш) = в^т ^ (т).

ио ^

Тогда система (1), (5) абсолютно устойчива.

Можно сформулировать результаты, сняв требование в условиях теорем 1 и 2, что т — любое положительное число. Действительно, можно положить ¿в(т) = 0 для тех значений т, для которых не выполнено условие (17) с д(ж,£) = у(ж,£). Например, если функция <£>(<т, £) — периодическая по то интегралы Стилтьеса в условиях теорем 1 и 2 вырождаются в ряды, и получаются результаты близкие к теоремам 1 и 2 из [9]. Из теорем 1 и 2 следуют теоремы 3 и 4.

Теорема 3. Предположим, что:

1) выполнены условия 1, 2 и 3 теоремы 1;

2) функция у(а, £) невозрастающая относительно переменной £ при а > 0 и неубывающая относительно переменной £ при а < 0;

3) существует неубывающая функция #(т), такая что /0 ¿#(т) < те и выполнено частотное условие (7) с

Тогда система (1), (5) абсолютно устойчива. Теорема 4. Предположим, что:

1) выполнены условия 1, 2 и 3 теоремы 3;

2) функция у(ст, £) нечетна относительно переменной а;

3) существуют неубывающие функции (т), = 1, 2, такие что /0 (т) < те и выполнено частотное условие (7) с

Тогда система (1), (5) абсолютно устойчива.

Если нелинейность стационарна, то метод доказательства, приведенного ниже, получить аналогичные результаты с интегралами Стилтьеса в (18)—(21), распространенными на всю ось. Далее, если предположить, что функции ^ (т) имеют скачки, то получаются критерии, доказанные в статьях [1—3], а в предположении, что эти функции абсолютно непрерывны — критерии из статьи [5].

Как известно, для стационарных нелинейностей множители устойчивости, в предположении, что функции (т) абсолютно непрерывны, имеют геометрическую интерпретацию, описанную в [10-15]. Эта интерпретация сохраняет свою силу и для результатов данной статьи, если нелинейность удовлетворяет условиям теорем 3 и 4. В частности, справедлив внеосевой круговой критерий Чо и Нарендры [4]. К периодическим по времени нелинейностям это рассуждение неприменимо, потому что нарушается требование абсолютной непрерывности функций ^ (т). Однако геометрическая интерпретация возможна и в этом случае [9].

Доказательство теорем 1-4 основано на следующей теореме В. А. Якубовича [7].

Теорема 5. Пусть пара {Ь, М} минимально устойчива в множестве М7. Пусть выполнено частотное условие (14). Тогда эта пара абсолютно устойчива.

Для проверки требования минимальной устойчивости используется теорема, близкая к теореме 2 из статьи В. А. Якубовича [16]:

Теорема 6. Предположим, что:

1) существует последовательность ^ те и 7 > 0, такие что

(20)

Z(гш) = [1 + ©1 + ©2 - YiM + YaM],

(21)

F(z(t), z(t - т))did0(r) + y > 0;

(22)

2) относительно функций a(t) и Q(t) выполнено условие (3);

3) |£(t)| < const;

4) выполнено частотное условие

/

л + ТО

/ Т(х.,хе—1шт)^(т) < 0,

</ —ТО

г(гш) = ео1[—^(¿ш)£, £] (Vш € [-то, то], V£ = 0).

Тогда |,г(г)| € ¿2(0, то).

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 2 в [16]. Теоремы 5 и 6 сводят доказательство теорем 1-4 к нахождению квадратичных связей (для этого используются интегральные неравенства, доказываемые в разделе 2) и к выполнению частотных преобразований (см. раздел 3). Заключительной частью доказательств является проверка минимальной устойчивости (см. раздел 4).

2. Интегральные неравенства. Основную часть доказательства теорем 1-4 составляет следующая лемма.

Лемма 1. Пусть функция д(ж,г) непрерывна относительно обоих аргументов и С(ж, г) определено уравнением (16). Предположим, что:

1) д(ж,г) — функция класса Ат;

2) функция д(ж, г) неубывающая относительно аргумента ж;

3) для всех ж и г справедливо неравенство С(ж, г) > 0.

Тогда для любого числа Т и любой функции ж(г), такой что ж(г) = 0 при £ < 0, выполнено неравенство

Если, кроме того, функция д(ж, г) нечетна относительно аргумента ж, то для любого числа Т и любой функции ж(г), такой что ж(г) = 0 при £ < 0, выполнено неравенство

Доказательство. Из условия 1 следует выпуклость функции С(ж,г): С(у,г) — С(ж, г) + (ж — у)д(ж,г) > 0. Принимая во внимание условие 2, можно написать

(24)

(25)

С(у, г — т) — С(ж, г) + (ж — у)д(ж, г) > 0. Перепишем левую часть неравенства (24) в виде

(26)

[ д(ж(г),г)[ж(г) — ж(г — т)]А =[ |д(ж(г),г)[ж(г) — ж (г — т)]+

+ с(ж(г — т),г — т) — с(ж,г))¿г — / [С(ж(г — т),г — т

) — с(ж,г)]^г.

./0

Обозначая ж = ж(г), у = ж(г — т) и применяя неравенство (26), получим

Далее имеем

ж(г),г)[ж(г) — ж(г — т)] + с(ж(г — т),г — т) — с(ж, ¿г > 0.

[ [с(ж,4) - с(ж(4 - т),4 - т)]Л = ■! 0

гТ /о

Т ,-Т-т р Т

= С^)^)^ - / = С^)^)^.

./о ./о ЛТ-т

Из условия 3 следует, что этот интеграл положителен. Окончательно получаем:

^ - ж(4 - т)]Л = ^ |^(ж(4),4)[ж(4) - ж(4 - т)] +

+ с(ж(4 - т),4 - т) - С^)}л + J С^)^)^ > 0.

Тем самым доказано неравенство (24). Для доказательства неравенства (25) заменим в (26) переменную у на -у. Учитывая нечетность функции $(ж, 4) и, следовательно, четность функции с(ж, 4) относительно переменной ж, получаем

С(у, г - т) - с(ж, 4) + (ж + у)#(ж, 4) > 0. (27)

Повторив рассуждения, следующие за неравенством (26), получим неравенство (25). Лемма доказана.

Эта лемма распространяет результат из статьи [17] на функции двух переменных. 3. Построение частотных условий теорем 1 и 2. Из секторного условия (6) следует связь

[ Л^),^))^ > 0, (28)

Jо

где Тк ^ те и а) = £(а - Построим еще одну квадратичную связь, при-

меняя лемму 1. Рассмотрим сначала случай, когда существует производная д<£>/да и 0 < д^/да < ^ - е, где е > 0 — малое число. Положим $(ж, 4) = у(сто(ж,4), 4), где ао (ж, 4) —решение уравнения ж = у«ао - <£>(ао,4). Легко проверить, что из условия 0 < д^/да < ^ - е следует справедливость предположений 2 и 3 леммы 1. Из условия 3 теоремы 1 следует справедливость предположения 1 леммы 1. Поэтому из (24) получаем, что для любого числа Т и для любой непрерывной функции ао = а(4) справедлива интегральная связь

I ^(а(4), 4)^(4) - ж(4 - т)]А > 0, (29)

0

где ж(4) = ^а(4) - ^(а(4),4). В общем случае (29) доказывается предельным переходом. Из этого неравенства следует вторая квадратичная связь:

1 [п(4) - - т)Ма(4), > 0, (30)

о

где

£(4) = ^(а(4),4), п(4)= М*) - ^(а(4),4). (31)

Пусть Z — гильбертово пространство (неполное) непрерывных устойчивых процессов. Докажем, что интеграл в (30), распространенный на всю полуось [0, те), ограничен как функция от т, если процесс = со1[а(4), £(£)] устойчив.

[n(t) - n(t - тMm < ш - n(t - т)]ect) dt <

) J 0

Г( 1

< jo T2{[v(t)-v(t-r)]2+e(t)}dt<

/•C /»C 1 /»c

< / r]2(t)dt+ / r]2(t)dt + - / S,2(t)dt =

j0 j-t 2 j0

= 2 rf (t)d,t + - f(t)dt < const.

J о 2 J 0

Из условия 3 теоремы 1 следует, что (30) выполнено для всех т > 0. Пусть #i(t) — неубывающая функция, такая что /0 d0i(T) < то. Тогда, учитывая, что левая часть (27) — непрерывная функция от т, а подынтегральная функция суммируема как функция от t на интервале [0, то), получим

fCO (' оо

[n(t) - n(t - T)]£(t)dtd01 (т) > 0.

00

Из (28) и (32) для устойчивых процессов следует связь

/ Fi(£(t),a(t)) + F2(z(t),z(t - T))d0i(т)

00

dt 0,

(32)

(33)

где а) = £(а — ^ 1£), Т2(х, хт) = (п — Пт)£• Частотное преобразование выражения в квадратных скобках имеет вид:

-|£|2Re{[M-1 + W (iu)]Z (iu)},

(34)

где 2(гш) определено уравнением (18) и 6(т) = 6\(т). Тем самым частотное условие теоремы 1 построено.

Перейдем к построению частотного условия теоремы 2. Нечетность функции 1р(а,Ь) относительно переменной а позволяет, используя неравенство (25), в дополнение к связям (28) и (33) написать еще одну связь

!' тк

/ F3(z(t),z(t - т))dt > 0,

0

(35)

где Т3(х, хт) = (п + пт)£• Пусть в2(т) — неубывающая функция, такая что /0° ¿62(т) <

то. Тогда fT J( F3(z (t), z (t - т ))d02 (т )dt > 0. Поэтому вместо (33) имеем

J ( J (

/ Fi(C(t),a(t)) + / F2(z(t),z(t - т))dBi(t)+

00

(

+ / F3(z(t),z(t - т))d$2(t)

0

dt > 0. (36)

Частотное преобразование выражения в квадратных скобках имеет вид (34), где 2(гш) определено уравнением (19). Частотное условие теоремы 2 построено.

ОО

оо

4. Проверка минимальной устойчивости. Завершение доказательств. Рассмотрим произвольную последовательность ^ те. Положим

где шк = шах^о,^] |а(4)|.

Для любого процесса г € Ь П М (необязательно устойчивого) определим продолжение (4) как решение системы уравнений (1) и £(4) = ^(а(4),4). Связи (28), (30) и (35), использованные при построении частотных условий теорем 1 и 2, выполнены, если взять Т = . Для Тк = эти связи имеют вид (22), а соответствующие частотные условия преобразуются к виду (23), и по предположению теорем 1 и 2 они выполнены. Аналогичное справедливо и для теорем 3 и 4. Таким образом, для системы с £(4) = ^(а(4),4) выполнены все условия теоремы 6, из которой следует, что процесс гк(4) устойчив. Поэтому система (1), (5) минимально устойчива. По теореме 5 из частотных условий следует абсолютная устойчивость системы (1), (5). Доказательство теорем закончено.

Автор выражает признательность В. А. Якубовичу за помощь и ценные замечания.

Altshuller D. Stability multipliers for systems with nonstationary nonlinearities. In the paper the absolute stability problem for systems with nonstationary nonlinearities under certain conditions is considered. The new results have the form Re{[^-1 + W(iw)]Z(iw)} > 0, where W(iw) is a frequency characteristic of linear part. The forms of the multiplier Z(iw) is given for various cases. The similarity with and difference from the stationary case are discussed. The method of proof is based on the quadratic criterion of absolute stability due to V. A. Yakubovich.

Литература

1. Zames G., Falb P.L. Stability conditions for systems with monotone and slope-restricted nonlinearities // SIAM J. Control. 1966. Vol. 6, N 1. P. 89-108.

2. Zames G., Falb P.L. On the stability of systems with monotone and odd monotone nonlinearities // IEEE Trans. on Automatic Control. 1967. Vol. AC-12. P. 221-223.

3. O'Shea R.P. An improved frequency time domain stability criterion for autonomous continuous systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 1967. Vol. AC-11, N 6. P. 725-731.

4. Cho Y.S., Narendra K.S. An off-axis circle criterion for the stability of feedback systems with a monotone nonlinearity // IEEE Trans. Automatic Control. 1968. Vol. AC-13, N 4. P. 413-416.

5. Барабанов Н.Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости в целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелинейностью // Сиб. мат. журн. 1987. Т. XXVIII, №2. С. 21-34.

6. Yakubovich V.A. Necessity in the quadratic criterion for absolute stability // Int. J. Nonlinear and Robust Control. 2000. Vol. 10. P. 889-907.

7. Якубович В.А. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости // Докл. Акад. наук. 1998. Т. 361, №5. С. 608-611.

8. Yakubovich V.A. Popov's method and its subsequent development. (to appear).

9. Altshuller D.A. Zames-Falb multipliers for systems with time-periodic nonlinearities // Proc. Amrican Control Conference. 2002.

10. Липатов А.В. Устойчивость непрерывных систем с одной нелинейностью // Докл. Акад. наук СССР. 1981. Т. 260, №4. С. 812-817.

¥>(<r,i), |а| < mfc,

^(mfc,t), а > mk,

¥>(-mfc,t), а < -mk,

Summary

11. Липатов А.В. Графоаналитический метод проверки устойчивости непрерывной системы с одной монотонной нелинейностью в случае неприменимости критерия А. А. Воронова // Докл. Акад. наук СССР. 1982. Т. 267, №5. С. 1069-1072.

12. Липатов А.В. Устойчивость стационарной системы с одним нелинейным блоком. II. Геометрический критерий // Автомат. и телемех. 1982. №7. С. 34-41.

13. Липатов А.В. Графические критерии устойчивости непрерывных систем с одной дифференцируемой нелинейностью // Автомат. и телемех. 1984. №3. С. 57-65.

14. Барабанов Н.Е. Новые критерии абсолютной устойчивости систем управления с одной дифференцируемой нелинейностью // Докл. Акад. наук СССР. 1987. Т. 299, №2. С. 570-572.

15. Барабанов Н.Е. Графоаналитические критерии устойчивости и неустойчивости в большом стационарных множеств дискретных систем // Сиб. мат. журн. 1989. Т. XXX, №2. С. 3-13.

16. Якубович В.А. Частотные условия устойчивости решений интегральных уравнений автоматического регулирования // Вестник ЛГУ. 1967. №7. С. 109-125.

17. Willems J.C., Gruber M. Comments on "A combined frequency-time stability criterion for autonomous continuous systems" // IEEE Trans. on Automatic Control. 1967. Vol. AC-12. P. 217-219.

Статья поступила в редакцию 6 июня 2002 г.