Частотные критерии дихотомиидля систем интегральных уравнений с квадратичными связями,содержащими запаздывания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 3

А. В. Проскурников

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ ДИХОТОМИИ ДЛЯ СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КВАДРАТИЧНЫМИ СВЯЗЯМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ*

Изучению свойств дихотомичных систем дифференциальных и интегральных уравнений, то есть систем, каждое ограниченное решение которых стремится (в том или ином смысле) к положению равновесия, посвящена обширная литература, см. например [1-5] и ссылки в данных монографиях. Отдельно следует отметить совсем недавние работы [6, 7], в которых развивается теория дихотомичных гамильтоновых систем и с ее помощью устанавливается ряд новых результатов из области теории динамических систем и теории управления, в частности, обобщение частотной теоремы [8] на случай нестационарных процессов управления.

В силу важности понятия дихотомичности большое значение имеют эффективно проверяемые условия, гарантирующие дихотомичность заданной системы. Важный класс таких условий составляют частотные критерии дихотомичности, схожие по форме с аналогичными частотными критериями абсолютной устойчивости [4, 5, 9-14] и отличающиеся от них отсутствием условий «минимальной устойчивости», гарантирующих отсутствие неограниченных (в разных смыслах) решений. В случае системы дифференциальных уравнений с нелинейностью, удовлетворяющей стандартным интегральным или локальным квадратичным связям [9], такие критерии дихотомичности могут быть получены с помощью частотной теоремы (см. [4, 5, 9, 10] и др.) В более общем случае интегральных уравнений частотные критерии дихотомичности могут быть получены с помощью метода, впервые использованного в [11] и развивающего идеи В. М. Попова [12]. Настоящая статья посвящена распространению критерия дихотомичности из работы [11] на случай квадратичных связей более общего вида, содержащих запаздывания, в том числе распределенные (более простой случай одного нераспределенного запаздывания был рассмотрен в работе [13]). Критерий дихотомичности для таких связей (теорема 2) выводится из более общего критерия дихотомичности абстрактной системы, состоящей из линейной части и квадратичных связей определенного вида (теорема 1). Последнее утверждение представляет и самостоятельный интерес.

1. Абстрактный вариант теоремы о дихотомии

В данном разделе будет установлен достаточно общий критерий дихотомичности системы, состоящей из линейной части и квадратичных ограничений (связей). Предварительно введем ряд обозначений.

Для заданного интервала Д С К, целого п > 1 и 1 < р < ж пусть Ь" (Д) обозначает, как обычно, пространство измеримых по Лебегу функций / : Д ^ К", для которых I/(•) € Ьр(Д). Соответственно Ь" ¡ас(Д) будет обозначать пространство функций, принадлежащих Ь"(Д') для каждого компактного подинтервала Д' С Д. Всюду ниже

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00238-а), Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2257.2003.1) и Федерального Агентства по образованию (грант А04-2.8-56). © А. В. Проскурников, 2005

М+ = [0; норму функции в Ьр(М+) обозначим || • ||р. Для вектора г € Сп обозначим

\г\ стандартную евклидову норму, для данной матрицы Г пусть \Г\ = тах \Гг\.

\z\K1

Пусть Л : ЬП\ос (К+) ^ ЬП21ос(К+) —некоторый линейный оператор. Будем говорить, что Л — Ь -устойчивый оператор, если любой функции / € ЬП1 (К+) он сопоставляет функцию д = Л/ € ЬП2 (К+), причем для некоторой постоянной С > 0 (общей для всех функций /) имеем ||д||2 < СЦ/1|2. Наименьшее из таких чисел С > 0 будем обозначать в этом случае ||Л|2. Аналогично, будем говорить, что Л — Ьж -устойчивый оператор, если любой функции / € ЬЩ (К+) он сопоставляет функцию д = Л/ € ЬЩ2 (К+), причем для некоторой постоянной с > 0 (общей для всех функций /) имеем ||д||то < с/||то. Наименьшее из чисел с с таким свойством будем обозначать ||Л||ТО.

Оператор Л назовем неупреждающим, если для любого Т > 0 и любых функций £1,£2, таких что £1(г) = £2(г) при почти всех 0 < г < Т, имеем (Л£1 )(г) = (Л£2)(г) при почти всех 0 < г < Т. Будем говорить, что Л быстро .затухает с коэффициентом Г > 0, если для любого Т > 0 и любой функции £ € ЬЩ (К+), такой что что £(г) = 0 при почти всех г > Т, имеем \(Л£)(г)\2сМ < Г||£||^.

Лемма 1. Предположим, что Л является ¿2-устойчивым оператором и быстро .затухает с коэффициентом Г. Тогда для всякой функции £ € ЬГЩ1 (К+) П ЬЩ (К+) и

любого Т> 0 имеем \(Л£)(г)\2¿г < 2 (||Л||2 \£(г)\2¿г + Г||£||^) .

Доказательство. Пусть £'(г) = £(г) при г > Т, £'(г) = 0 при 0 < г < Т и £"(г) = £(г) -£'(г). Тогда \(Л£)(г)\2 = Л)(г) + (Л£")(г)\2 < 2(\(Л£')(г)\2 + \(Л£")(г)\2). Замечая, что \(Л£')(г)\2м < ЦЛТ2 < ЦЛЦ2ГН2 = ||Л|2/гТО \£(г)\2сг и \(Л£")(г)\2сг <

Г|£|то, получаем утверждение леммы. ■

В теории абсолютной устойчивости нелинейная система уравнений традиционно заменяется системой более общего вида, состоящей из линейной части (описываемой линейным уравнением «вход-выход»), и набора интегральных квадратичных связей, которым удволеворяет нелинейность. Всюду в этом разделе будет рассматриваться системы именно такого вида, однако, в отличие от классической ситуации [4, 5, 9-12], квадратичных связей может быть бесконечно много и они могут содержать запаздывания. Пусть линейная часть системы имеет вид

а(г) = а(г) + (Л£)(г), г (г) = [а(г),£(г)] (1)

и задано также семейство квадратичных ограничений (связей) рТп

/ Т((Вдг)(г))скЬ + 7(в) > 0, в € в, п = 1, 2,... (2)

Jo

Здесь а € ЬЩ(К+) —заданная функция, £ € ЬТ 1ос(К+), о € ЬП 1ос(К+), отображение Л : Ь^юс («+) ^ ЬП^ос («+) линейно. Любую функцию г() = [о(0, £(•)], где о (г) и £(г) имеют указанные размерности, будем далее называть процессом. Отображения Вд : ЬТ+оП(®+) ^ ¡ос(К+) предполагаются линейными (М > 1 —некоторое целое число). Далее, Тд —квадратичные формы на , то есть Тд(и) = и*Гди при и € , где Гд = Гд — матрица размера N х N. Числа 7д > 0 и последовательность Тп ^ могут, вообще говоря, зависеть от процесса г(•).

Процесс г() = [о(-),£(-)] назовем устойчивым, если 2 € Ь^+п(К+). Назовем систему (1), (2) дихотомичной, если для любого процесса г, удовлетворяющего (1), (2),

справедлива альтернатива: либо процесс г устойчив, либо £ € Ьт )• Следующая теорема дает достаточно общие условия дихотомичности системы.

Теорема 1. Предположим, что А, Бд (в € &) — неупреждающие Ь2-устойчивые линейные операторы, быстро .затухающие с коэффициентами Г, Гд соответственно, кроме того, А является Ь^-устойчивым. Пусть на & существует такая мера ц, что отображения в ^ 7д,в ^ Гд, в ^ №д, (в,г) ^ (Бдг)(г) (при всех г € Ь'т+0П(^+)), измеримы, /&(^д + \№д\\\Бд\\2)3^(в) < +о и при некотором ео > 0 для всех функций £ € Ьт(К+) справедливо неравенство

/ / Тд((Бдг)(Ь))Шр(в) <-ео\\г\\1, г(г) = [(А£)(г),£(г)]. (3)

Jв Jо

Тогда система (1), (2) дихотомична.

Доказательство. Пусть 2(■) = [<г(-),£(-)] —решение системы (1), (2), такое что £ € Ьт(К+)- Требуется показать, что 2(■) —устойчивый процесс. Пусть £т(г) = £(1) при 0 < г < Т, £т(г) = 0 при г > Т, пусть гТ(г) = [(А£т)(г),£Т(г)]. 3аметим, что по определению быстро затухающего оператора для всех Т > 0 имеем \г°(г)\23г < = Г\\£\\^, и \\г0т\\то < М2 = (1 + \\A\UM_

Покажем, что найдутся такие постоянные е > 0, К > 0, что при всех Т > 0

Т

У 1?д((Бдг)(г))Мр(в) < К\Н\2 - е\\гТ\\2 ¡Тд((БдгТ)(г))Шр(в). (4)

во в т

Положим га(г) = [а(г), 0]. При почти всех 0 < г < Т имеем г(г) = га(г) + гт(г), так как А — неупреждающий оператор. Очевидно, Тд((Бдг)(г)) = Тд((Бдга)(г)) + Тд((БдгТ)(г)) + 2(Бдга)(г)*№д(БдгТ)(г) при г < Т. Интегрируя по г и пользуясь тем, что для любого V > 0 имеем 2\п*¥у\ < V\\и\2 + \\у\2, получаем, что

/Т \Тд((Бдг)(г))\2& < \№д\\\Вд\\2(\\а\\2 + V-Í\\a\\22 + V\\гТ\\2) + /Т Тд((БдгТ)(г))й. Записывая последний интеграл в виде разности интегралов по промежуткам [0; +о) и [Т;+оо), получаем из (3), что /в // \Тд((Бдг)(г))\2йгй^(в) < (\\а\\2 + v-1\\a\\2 + v\\гТ\\2) /в \Рд\\\Вд\\23^(в) -еТ\\гТ\\2 -/в Тд((БдгТ)(г))ЗЫ^(в). Взяв v> 0 столь малым, что V /в \№д\\\Вд\\2,3^(в) < еТ/2 и полагая е = ео/2, К = (1+V-1) /в \№д\\\Вд получаем неравенство (4).

Покажем теперь, что для любого V > 0 найдется число С = С(V) > 0, такое что при всех Т > 0 справедливо неравенство

/ / \Тд((БдгТ)(г))\(Ы^(в) < v\\гТ\\2 + С. (5)

в

В самом деле, по лемме 1 получаем \Тд((Бдгт)(г))\А < \№д\(\\Бд\'2М1 + ГдМ|).

С другой стороны, имеем /+то \Тд((БдгТ)(г))\Л < \№д\\\БдгТ\\2 < \№д\\\Бд\\2\гТ\\2. Из установленных неравенств следует, что

г

/ \Тд((Бд гТ )(г))\сМ < \№д \ тт(\\Бд\\2\\4\\2; \\2M1 +Гд М2). (6)

Рассмотрим последовательность множеств &г = {в : \№д\Гд > г}, г = 1, 2,... Поскольку &г 3 вг+1 и р|г &г = 0, для некоторого г* имеем /в \№д\\Бд\23^(в) < V. Из неравен-

ства (6) получаем, что /0 /+то \Тд((Бд)(ЩШр(в) < \\2 + /0\0^ \№д\(\\Бд\\2Mi + ГдМ|Полагая С = Ы\ /0 \№д\\\Бд\^р(в) + М|г*, получаем неравенство (5).

Выберем такое С > 0, что (5) выполнено при V = е/2 (и всех Т > 0). Полагая Т = Тп и интегрируя (2) по в, получаем с учетом (4), (5), что ^вЛ^(в) < —

е\\г^п\\1/2 + С, или Н-г^Л < с = §(С + - /0 Отсюда следует, что

/о " \£(£)\2= /0 п \£т< с. Поскольку Тп ^ при п ^ то получаем, что £ € Ь™(М+) и, следовательно, г € Ьт+п(К+) —устойчивый процесс. ■

2. Применение к системам интегральных уравнений

Распространенный пример неупреждающего ¿2-устойчивого и быстро затухающего оператора — оператор свертки с быстро убывающим ядром. Для таких операторов (3) превращается в обычное для частотных критериев строгое частотное неравенство. Сформулируем соответствующие результаты.

Лемма 2. Пусть К(£) и К3, ] = 0,1,... — матрицы размера п х т, и .заданы числа 0 = т0 < т1 < т2 < ..., причем ^3 т3\К3\2 < ^3 \К3 \ <

¡Г ЦК(£)\2& < /о+то \К(^)< и оператор А имеет вид (А£)(£) =

¡0 К(£ — s)£(s)ds + К3£(£ — т3) (где £(£) = 0 при £ < 0). Тогда оператор А быстро затухает с коэффициентом Г = т3\К3\2 + /о+ТО в\К(s)\2ds, неупреждающий, а

также ¿2- и Ьто-устойчивый, причем \\А\ 2, \\А\\то < \К3 \ + \\К\\1.

3

Доказательство. ^-устойчивость (и оценка для нормы) следует из того, что для любых функций / € ¿1(К+), д € Ьр(К+) имеем / * д € Ьр(К+) и \\/* д\\р < \\/\i\g\p. Неупреждаемость А очевидна. Пусть £(£) = 0 при £ > Т и \\£\\то = М. Тогда при всех

+ +то ) 2

Т> 0 имеем \К3£(£ — т3)\2скЬ < т3\К3\2М2, кроме того, /

т

о

)то ) +то

г2 Г Г I — Л/Т2 Г ^„(гр. „\|

/ К (£ — вЖв^в

dt <

М2 / / \К(s)\2dsdt = М2 / шт(Т; в)\К(в)следовательно, А быстро затухает с

т )-Т о

указанным коэффициентом. ■

Вернемся к системе (1), (2) и предположим, что операторы А, Бд (в € ©) удовлетворяют всем предположениям леммы 2, (А£)(£) = /0 К(£ — s)£(s)ds + Ц К3Ф — т3), (Бдг)(£) = )) Кд(£ — в)г(в)Л,в + Ц К— т3) (где матрицы К(£), К3 имеют размер п х т, а Кд(£), К3 —размер N х (т + п)). Пусть Ш(гш) = — ¿23 К3е-штз — /0+то К(в)в-Ш!3ds —передаточная функция линейной части системы,

К (в, гш) = Ц3 К3 в-^т> + /0+то Кд(з)в-^ ds.

Теорема 1. Пусть для некоторой меры ¡л на множестве © отображения в ^ 7д, в ^ , в ^ КЗ, в ^ Кд(■) (как отображение © ^ Ь^х(т+п)(М+)), в ^ тд,

в ^ /о+ТО в\Кд(s)\2ds измеримы, /0 (^д + \№д\ + \\Кд\\1)2^ d¡(в) < и при

некотором ео > 0 для всех £ € Ст и ш € К справедливо неравенство

—Ш (гш)'

.Iе

0

—ш (гш)

К(в,гш)* К (в, гш)

£с1И(в) < — ео\£\2. (7)

Тогда система (1), (2) дихотомична.

Доказательство. Измеримость всех отображений, о которых идет речь в теореме 1, следует из условия. В проверке нуждается лишь измеримость отображения

1т

(t,e) ^ (Bgz)(t), которая следует из того, что отображения (t,e) ^ Kjz(t — Tj) по условию измеримы для любой измеримой функции z(■), а отображение (t,e) ^ f0 Kg(t — s)z(s)ds является композицией измеримого отображения (t,e) ^ (t, Kg) и непрерывного отображения (t,K(■)) ^ J* K(t — s)z(s)ds), и, следовательно, тоже измеримо). Условия L2- и L^-устойчивости операторов A, Bg, а также неравенство f@(jg + \Fg|||Bg||2)d^,(0) < сразу следуют из леммы 2. Наконец, неравенства (3) и (7) равносильны (доказательство стандартно и использует теорему Планшереля о том, что преобразование Фурье является унитарным оператором на пространстве L2, см. например [11]). I

Замечания. 1. В большинстве случаев на © естественным образом вводится топология, относительно которой все отображения, о которых идет речь в условии теоремы 2, непрерывны. В этом случае для измеримости этих отображений достаточно потребовать, чтобы мера ¡л была определена на всех борелевских подмножествах ©.

2. В распространенном случае квадратичные связи имеют вид

тк

J Fj (a(t),£(t),a(t — т ),ф — t )) dt + ъ > 0, j = 1,...,N, t > 0, (8)

0

где Fj(a 1,^1,02,^2) (то есть в = (j,T), где 1 < j < N, т > 0 и при всех j имеем (BjTz(^))(t) = (z(t), z(t — т))). Для таких связей аналогичный частотный критерий ди-хотомичности был установлен в работе [13]. Отметим однако, что требования к линейной части (1) системы в указанной статье несколько сильнее, чем в приведенной выше теореме 2: предполагается, что (A£,)(t) = Ko£(t) + f0 K(t — s)£(s)ds, где Ko —постоянная матрица и \K(t)\ < Ce-et, где С,в > 0.

Связям такого типа (с подходящими Fj) удовлетворяют, в частности, стационарные нелинейности вида £(t) = у(a(t)), где 0 < (y(ai) — y(o2))(oi — 02) < k(ai — 02). Для таких нелинейностей при помощи теоремы о дихотомии оказывается возможным получить новое доказательство известного критерия абсолютной устойчивости Зеймса— Фалба, см. [13]. Кроме того, использование связей с запаздываниями позволяет получить новые критерии абсолютной устойчивости и дихотомичности для ряда нестационарных нелинейностей, например периодических по времени [14,15].

Summary

A. V. Proskurnikov. Frequency-domain dichotomy criteria for systems of integral equations with quadratic constraints, involving delays.

Systems of integral equations with nonlinearities satistying quadratic constraints of a new type, namely quadratic constraints with delays, are considered. Such constraints bind the values of «input-output» pairs in different instants of time. For systems of the type mentioned a new frequency-domain dichotomy criterion is obtained. This criterion is derived from the obtained theorem on the dichotomy of an abstract system that consists of a linear part and quadratic constraints.

Литература

1. Массера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

3. Coppel W. A. Dichotomies in Stability Theory. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1978.

4. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

5. Буркин И.М., Леонов Г. А., Шепелявый А. И. Частотные методы в теории колебаний, ч. 1, 2. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992.

6. Fabbri R., Johnson R., Nunez C. The rotation number for non-autonomous linear Hamiltonian systems // Zeit. angew. Math. Phys. Vol.54, 2003. P. 484-502.

7. Fabbri R., Johnson R., Nunez C. On the Yakubovich Frequency Theorem for Linear Non-autonomous Control Processes // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Vol.9. N3. 2003. P. 677-704.

8. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журнал. Т. 14. 1973. С. 384-420.

9. Якубович В. А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Р. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. С. 74180.

10. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000.

11. Якубович В. А. Частотные условия устойчивотси решений нелинейных интегральных уравнений автоматического управления // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1967. №7. С. 109-124.

12. Попов В. М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. Т. 22, №8. 1961.

13. Альтшуллер Д., Проскурников А. В., Якубович В. А. Частотные критерии дихотомии и абсолютной устойчивости для интегральных уравнений с квадратичными связями, содержащими запаздывания // Докл. РАН. 2004. Т. 399. №6. С. 291-296.

14. Yakubovich V. A. Popov's Method and its Subsequent Development // Europ. J. of Control. 2002. N 8. P. 200-208.

15. Альтшуллер Д. Множители устойчивости для систем с нестационарными нелинейно-стями // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2003. Вып. 1. С. 3-12.

Статья поступила в редакцию 19 декабря 2004 г.