О свойствах системы управления,обеспечивающих малость установившегося выхода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6+517.9..62-50 А. В. Проскурников

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№ 1)

О свойствах системы управления,

ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ МАЛОСТЬ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ВЫХОДА* Введение

Задача об абсолютной инвариантности (задача построения регуляторов, обеспечивающих независимость выхода системы управления от внешнего воздействия) — одна из классических задач теории управления. В частном случае она может быть сформулирована следующим образом: дан объект управления

Л(в)у(г) = Б(в)п(г) + Е (1)

где в = А, В, — матричные полиномы размеров п х п, п х то, п х / соответственно; у(Ь) € И", п(Ь) € И™, ^>(Ь) € И.' —выход, вход и внешнее воздействие соответственно. Требуется построить регулятор

П(в)п(Ь)= С (8)у(Ь)+С(8)<р(Ь), (2)

где С(Х), Б(Х), О(Х) — матричные полиномы соответствующих размерностей, который стабилизировал бы систему и обеспечивал выполнение условия абсолютной инвариантности \у(Ь)\ ^ 0 при Ь ^ ж. (Регулятор называется стабилизирующим, если det Б ф 0 и матричный полином

" Л(Х) -Б(Х) --С(Х) Б(Х)

1(Х)

(3)

гурвицев: detS(X) = 0 при ReX > 0.) Задача в такой постановке исследовалась, в частности, в работах [1—2], где был полностью описан класс регуляторов, удовлетворяющих указанным условиям. Доказано ([1-2]), что данная задача разрешима только выполнении условия, близкого к минимальнофазовости объекта и, кроме того, возможности измерения внешнего воздействия (обязательно G ф 0).

Если известно, что функция р(-) принадлежит некоторому классу Ф = {<£>(•)}, то для минимальнофазового объекта бывает возможно решить задачу инвариантности приближенно с произвольной степенью точности без измерения внешнего воздействия. Так, в работах [2-3] строится семейство регуляторов

De(s)u(t) = Ce(s)y(t), е> 0 (4)

обеспечивающих при всех воздействиях ), для которых (t)\ < M (M > 0 —

постоянная) условие lim sup \y(t)\ < Ke (K зависит только от q и M, но не от ^ и е).

t—

В случае неминимальнофазового объекта условию инвариантности, как правило, удовлетворить невозможно. Поэтому необходимо решать задачу о построении регулятора

D(s)u(t) = C(s)y(t) (5)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №02-01-00544 и Совета по грантам при Президенте РФ по поддержке молодых ученых и ведущих научных школ, грант НШ-2257.2003.1. © А. В. Проскурников, 2004

который был бы стабилизирующим и делал бы выход y(t) по возможности меньше при всех у(-) € Ф. Малость выхода может пониматься в различных смыслах (подробнее об этом будет сказано ниже).

При решении этой и других аналогичных задач часто применяется подход, называемый Нто-оптимизацией (см. [6]). При этом подходе ищется стабилизирующий регулятор (5), минимизирующий передаточную функцию Wy от у к y в смысле Нто-нормы:

\\Wy||я~ = sup \Wy(ш)\ —> min

weR

Объяснением этому подходу является, например, известный факт, что если в качестве класса внешних воздействий рассматривать весьма широкий класс

Фм = : |М|2 = limsup i ^ \y(t)\2 dt < М j,

то sup ЦуЦ2 = M\\Wy\\H<x. Таким образом при Нто-подходе минимизируется наихудшее возможное .значение нормы выхода. Заметим, что для класса функций

Ф[иь ...,ик] = {y(t) = ci eiwit + С2 eiw2t + ... + ckeiwk t : cic ...,ck € C'}

в работе [4] был построен регулятор, который универсален в том смысле, что минимизирует ЦуЦ2 при каждом наборе ci, c2,..., ck.

Вместе с тем малость \\у\\ (т.е. малость выхода в среднеквадратическом смысле) даже в случае ограниченного внешнего воздействия у(t) не означает, что значение \y(t)\ мало при больших t, т.е. мала норма "установившегося выхода" системы Y*(у(-)) =

limsup \y(t)\. В разделе 1 будет показано (теорема 1), что

t—

sup Y*(y) = \fiy (t)\dt = \\fiy\\i,

<p:\<p(t)\<1 J 0

где Qy(t) —преобразование Фурье (обратное) от передаточной матрицы Wy (импульсная реакция y на у). В частности, регулятор (4) обеспечивает выполнение условия Y*(y) < Ke при всех у(-), для которых \y(t)\ < 1, тогда и только тогда, когда /0°° е)| dt < Ке, или, согласно терминологии [3], функция W(X,e) = ^Wy(X, е)

является ^"-ограниченной (Wy(X,e) —передаточная функция от у к y).

В разделе 2 доказывается, что оператор обратного преобразования Фурье, отображающий нормированное пространство передаточных функций с Нто-нормой в L1[0; то], неограничен. Это означает, что существуют системы со сколь угодно малой по Hто-норме передаточной функцией, выход которых даже при \y(t)\ < 1 в отдельные моменты времени может быть сколь угодно велик. Более того, выход может быть велик на периодически повторяющихся промежутках времени постоянной длины (лемма 3 раздела 2).

Это означает, что к выводам теории Нто-оптимизации следует относиться с осторожностью. В тех случаях, когда большие значения выхода недопустимы, нужно следить за величиной H^y \\i.

1. Оценка установившегося выхода системы Рассмотрим систему, описываемую уравнением вида

y(t) = (tt * y)(t)= ( Q(t — s)y(s) ds. (6)

0

Здесь Q(t) — n x rn-матричная функция, ^(t) G Rm —входное воздействие (вообще говоря, неизвестное), y(t) —выход системы.

Условимся в данном разделе под нормой вектора z G Cn понимать число \z\ =

max \zi\. Под нормой матрицы A будем понимать соответствующую операторную норму:

i

\A\ = max \Aij \ = max \Az\.

i -^ \z\ = 1

Система (6) будет предполагаться устойчивой в том смысле, что

||fi||i =f \fi(t)\dt< ж. (7)

J о

Пусть

Y*(<p) = lim sup \y(t) \ = limsup(Q * ^>)(t) (8)

t—>ж t—>ж

— норма «установившегося выхода» системы (6).

Мы покажем ниже, что малость нормы установившегося выхода Y* (ц>) при всех внешних воздействиях <^(-), для которых \f(t)\ < 1, означает малость числа ||^||ь Точнее, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть система (6) устойчива. Тогда для любой функции у(-), такой что \ f(t)\ < 1, имеем \Y*(y>)\ < ||f2||i. Для любого числае > 0 при достаточно большом T > 0 и достаточно малом т > 0 найдется T-периодическая функция p(t), такая что

Ш\ < 1 и

\y(kT + h)\ > ||fi||i - е (9)

при всех целых k > 0 и h G [0; т].

Доказательство. Первое утверждение очевидно: при всех t > 0 имеем

Q(s)p(t — s) ds

о

/• t /• ж

< \ü(s)^(t — s)\ ds < I \Q(s)\ds.

оо

Пусть е > 0. Возьмем Т > 0, для которого / \^(Ь)\ & < е/4. Существует такая функция

т

т(Ь), 0 < Ь < Т, для которой

Г Г е

/ П(в)рт(Т - в)<18 = > ||П||1 - -

ио Jо 4

и \^т(Ь)\ < 1. (В самом деле, пусть г(Ь) —номер строки матрицы 0.(Ь) с наибольшей суммой модулей элементов, т.е.

£ (Ь)\ = \П(Ь)\ з

Рассмотрим г(Ь) —вектор с компонентами гз(Ь) = signQi(t)j(Ь). Тогда ут(Ь) = г(Т — Ь), 0 < Ь < Т — искомая функция).

Далее, пусть т > 0 удовлетворяет двум неравенствам:

rT е

I \m\dt<- (ю)

45

t

Гж е

/ + < - Уке[0;т]

./о 4

(последнее возможно, поскольку + т) — П(-)||1 ^ 0 при т ^ 0 в силу того, что П е Ь1[0; то] —см. [5, с. 47]).

При всех целых к > 0 положим у(кТ + г) = Ут(г), 0 < г < Т. Покажем, что для указанного входа у(г) при больших целых к и Н е [0; т] выполнено неравенство (9). В самом деле, пусть г = кТ + Н. Тогда

т\

&(в)у(г — в) ¿в

рК! + Ь

/ П(в)у(кТ + Н — в) ¿в

,-кт е г КТ

/ 0,(з + Ь,)у(кТ - в) ¿в - - > / П(з)у(кТ - в) ¿в

ио 4 и о

е

"2>

>

0.(в)у(кТ — в) ¿в

Зе

Т

т

/ &(в)ут(Т — в) ¿в

о

Итак, при всех целых к > 1 выполнено условие (9). Теорема доказана. Следствие 1. В условиях теоремы 1 имеем

впр{\У*(у)\ : Ш\<1] = ||П||1.

(12)

2. Неограниченность оператора обратного преобразования Фурье

В этом разделе будет показано, что малость импульсной реакции системы управления (а значит, и малость установившегося выхода системы при ограниченных внешних воздействиях) не следует из малости передаточной матрицы (точную формулировку

см. ниже).

Рассмотрим оператор преобразования Фурье Т, действующий из Ь1[0; то] в пространство Ито и определенный формулой Т / = /, где

с

/ Ы = I / (г)в-^ ¿г.

о

Пусть Я = Т(Ь1[0; то]) С Ито — пространство Фурье-образов функций из Ь1[0; то]. Под нормой в пространстве Я всюду ниже понимается Нс-норма.

На Я определен оператор обратного преобразования Фурье Т-1. Функции /(ш) он сопоставляет функцию /(г), где

сю

/(*) = ¿ / /Ые^

(легко видеть, что /(г) = 0 при г < 0, поэтому функцию /(г) можно отождествить с элементом Ь1[0; то]).

со

Оператор Т ограничен и его норма равна 1. В самом деле, \/(ш )\ < ¡\/(г)\ ¿г,

о

поэтому ||Т|| < 1; с другой стороны, при /(г) = е- имеем

сю

1

/ м

1+ Ш

=ыр\/(ги)\ = 1= / \/(г)\¿г = /||Ь1.

о

Ниже будет показано, что оператор F-1 неограничен. (Отсюда следует, в частности, известный факт, что Z уже, чем множество функций R(-) G HTO, для которых R(iw) ^ 0 при |ш| ^ ж; более того, Z — неполное нормированное пространство. В самом деле, F — линейный ограниченный оператор, биективно отображающий L1[0; ж] на Z. Если бы Z было банаховым пространством, то по теореме Банаха оператор F-1 был бы ограничен.)

Для доказательства нам потребуется лемма, которая фактически представляет аналогичный факт для дискретного преобразования Фурье.

Лемма 1. Для любого е > 0 найдется .многочлен p(A) = anXn + ... + ao, такой что

sup |p(A)|

1*1 = 1_

\an\ + |a„_i| + .. . + \a0\

(13)

Доказательство. Пусть полином Tn(A) определяется равенством Tn(cos x) = cosnx при всех x. Из результатов [5, стр.69] следует, что при n > 2 имеем Tn(A) = 2™~1 (A™ — + </„(А), где deg</„(A) < п — 4. В качестверп(Х) можно взять полином

А пТп - А+-

1

2п-1Лп I J_(An+ АП-2 + _

2n 2n

+ ...) +

i(A2n + (l -п)А2™-2)

(многоточия обозначают члены степени меньше 2n — 2). При любом A = elt, t G R, имеем A + A-1 = 2cost, поэтому |pn(A)| = leint cosntl < 1. С другой стороны, сумма модулей коэффициентов полинома не меньше, чем ^ + = Ц, что и доказывает

лемму.

Теорема 2. Оператор F-1 : Z ^ L1[0; ж] неограничен.

Доказательство. Пусть функция fo(t) = X[0;i](t) (эта функция удовлетворяет условиям: fo(t) = 1 при 0 < t < 1 и fo(t) = 0 при остальных t). Пусть е > 0 и p(A) — полином, удовлетворяющий условию (13). Рассмотрим функцию f (t) = aofo(t)+aifo(t — 1) +...+ anfo(t — n). Тогда имеем: f (гш) = p(e-iw)fo(гш) (как и прежде, f = Ff), откуда

li . ^ + ^n-A + ...+ |ao| 1

>

sup ^(A)

|a| = 1

\\fo\\

>

H°

e\\fo\\

h°

Итак, отношение норм F-1f и f может быть сколь угодно велико, что и доказывает теорему.

На самом деле оператор F-1 неограничен уже на более узком пространстве функций. Именно, пусть W С Z — линейное нормированное пространство рациональных функций W(A) аналитичных при Re A > 0, таких что W(ж) = 0 (множество передаточных функций устойчивых линейных стационарных систем), с той же нормой \\W\\H~ = sup \W(гш)1 ш G R.

Лемма 2. Множество F-1(W) плотно в L1[0; ж], множество W плотно в Z.

Доказательство. Достаточно доказать, что элементами F-1(W) можно сколь угодно точно приблизить функцию fo(t) = X[0;i](t) (см. выше). В самом деле, тогда

1

можно приблизить и любую функцию X[0;a](t), где A > 0, а линейные комбинации таких функций плотны в L1. Пусть N > 1, а > 0 —произвольные числа. Существует такой тригонометрический полином qn(t) с периодом N, что

/• N

/ \qn(t) - fo(t)eat\ dt<e. ■J 0

При этом

p то р 2n ,-3N

/ \qn (t)e-at - fo(t)\dt < e + \qn (t)e-at \ dt + \qn (t)e-at\dt + ... = 0 N 2N

e-aN r N e-"N

= £+1_e-ajv/o |gjv(i)e-atNi<e + (i + e)TT-^v.

Мы воспользовались периодичностью qn(t), тем, что fo(t) = 0 при t > 1 и неравенством fo \gN(t)e-at \ dt < e + f0 f0(t) dt = 1 + e. Ясно, что за счет выбора e и N можно сделать правую часть сколь угодно малой. Легко видеть, что qn(t)e-at G F-1(W), что и доказывает первое утверждение леммы. Второе утверждение теперь очевидно в силу ограниченности F.

Следствие 2. Сужение F-1 на подпространство W —неограниченный оператор. Предположим противное. Пусть \\F-1\wУ = M. Пусть z G Z и z = limwn, где wn G W. Поскольку {wn} — фундаментальная последовательность в W, то {F-1wn} — фундаментальная последовательность в L1[0; то], поэтому существует предел f = lim F-1wn. Но тогда в силу ограниченности F имеем Ff = z. Итак, F-lz = f. Но

n—>то

\\f\\Li = lim \\F-1wn\^i < M lim \\wn\\#~ = M\\z\\#~. Получаем, что F-1 —ограни-

n—>то n—>то

ченный оператор. Противоречие.

Замечание. Анализ доказательства показывает, что на самом деле доказана неограниченность оператора F-1 на еще более узком пространстве — пространстве функций Wi С W, у которых все полюсы лежат на прямой ReA = const < 0.

Вернемся к системе (6). Пусть W = F(Q) —передаточная функция системы (от у(-) к y(-)). Сопоставляя полученные в этом разделе результаты с утверждением теоремы 1, получаем следующую лемму.

Лемма 3. Для любых e > 0, M > 0 найдется система (6), для которой \\W\\я~ < e, вместе с тем при некотором T-периодичном входе y(t), таком что \<y(t)\ < 1, некотором т > 0 и целых к > 1 выполнено \y(kT + h)\ > M, h G [0; т].

Summary

Proskurnikov A. V. On properties of the control system providing the steady output to be small.

A system described by the convolution-type equation y(t) = (fi * y)(t) = [0 fi(t — s)y(s) ds (where y(t) is the system input and y(t) is the output) is considered. It is proved that for an appropriate input f(-), |y(t)| < 1 the output norm |y(t)| can be arbitrarily close to Lx-norm of the impulse response ||fi||i = /0° |fi(s)| ds on periodically recurring time intervals. The inverse Fourier transform operator acting from the normed space of all stable proper rational functions with H0-norm to L1 [0; to] is shown to be unbounded. Therefore there exist stable control systems with arbitrarily small frequency response W(iw) = /0° fi(t)e-i^t dt whose output is arbitrarily great on periodically recurring intervals (for an appropriate input signal y(-), |y(t)| < 1). So one should be cautious with the results of H0-optimization theory. In the cases when the output y(t) must be

small for all (sufficiently large) t one should be sure that the Lx-norm of the impulse response is small.

Литература

1. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // Докл. РАН. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.

2. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выхода системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001. Т. 380. № 1. С. 27-30.

3. Проскурников А. В. О построении регуляторов, обеспечивающих почти инвариантность системы управления // Вестн. С.-Петерб. Сер. 1. 2002. №4. С. 37-43.

4. Якубович В. А. Универсальный регулятор для оптимального гашения вынужденных колебаний в линейных системах с запаздыванием // Докл. РАН. 1996. Т. 346. №3. С. 319-323.

5. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965.

6. Francis B. A. Lecture Notes in Control and Information Sciences //A Course in Hx Control Theory. N.Y.; Tokyo, 1988.

Статья поступила в редакцию 3 июня 2003 г.