ЧАСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОБОБЩЕННО-КОНСЕРВАТИВНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N.1, 2022 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: jodiff@mail.ru

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

ЧАСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОБОБЩЕННО-КОНСЕРВАТИВНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

А.Ф, Проневич

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы

pranevich@grsu.bv

Аннотация, В работе для обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой обыкновенной дифференциальной системы получены достаточные признаки построения первых интегралов по вещественным полиномиальным частным интегралам, кратным вещественным полиномиальным частным интегралам, условным частным интегралам, ком-плекенозначным полиномиальным частным интегралам и кратным комплекенозначным полиномиальным частным интегралам. Выделены классы полиномиальных гамильтоно-вых дифференциальных систем, у которых первые интегралы аналитически выражаются через вещественные полиномиальные и условные частные интегралы, комплекенозначные полиномиальные и условные частные интегралы, вещественные и комплекенозначные полиномиальные частные интегралы. Приведены примеры на которых проиллюстрированы теоретические исследования, выполненные в данной работе.

Ключевые слова: гамильтонова система, первый интеграл, частный интеграл.

Введение. Рассмотрим обобщенно-консервативную гамильтонову систему

^ = дрН(д,р), ^ = - Н(д,р), г = !,... ,п, (0-1)

где д = (д1,...,дп) и р = (р1,... ,рп) — точки арифметического пространства Кп, £ € К, а функция Н: (д,р) ^ Н(д,р) ^'(^р) € К2п суть полином по переменным д1,..., дп,р1,... ,рп степей и deg Н (д,р) = к ^ 2 с вещественными коэффициентами.

Система (0,1) определяется функцией Гамильтона (гамильтонианом) Н: К2п ^ К. В конце XIX века французским математиком Ж,Г, Дарбу (Л,С, БагЬоих) был сфор-

мулирован подход о построении первого интеграла по известным частным интегралам [1], который в настоящее время называется задачей Дарбу, В дальнейшем нахождение интегралов типа Дарбу получило свое развитие, как в постановке задачи, так и в разнообразии методов ее решения. Для полиномиальных (обыкновенных и многомерных) дифференциальных систем в работах [2 - 9; 10, с, 94 - 194; 11, с, 161 - 238] с целью решения задачи Дарбу разработан метод частных интегралов построения первых интегралов и последних множителей. На основании метода частных интегралов получены спектральные методы нахождения интегральных базисов для линейных обыкновенных дифференциальных систем [12; 13] и систем уравнений в полных дифференциалах [11, с, 239 - 272; 14 - 16], а также для линейных однородных систем уравнений в частных производных [17; 18],

В данной работе для обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы (0,1) разработан метод частных интегралов решения задачи Дарбу, При этом для построения первых интегралов используется только аппарат теории скобок Пуассона,

Подробный обзор научной литературы и современное состояние по теории интегралов дифференциальных систем приведены в монографиях В.Н, Горбузова [10; 11], В,В, Козлова [19], A.B. Борисова и И,С, Мамаева [20], A, Goriely [21], X, Zhang [22],

С целью однозначного толкования, следуя в основном работам [11] и [19], определим используемые в статье понятия и оговорим принятую терминологию.

Скобками Пуассона непрерывно дифференцируемых функций u: D ^ Ми v: D ^ R гамильтоновых переменных (t,q,p) e D С R2n+1 назовем скалярную функцию

n

[u,v]: (t,q,p) (d^u(t,q,p) dpv(t,q,p)- dpu(t,q,p) ^(^^p)) v(t,q,p) e D.

i=1

Бинарную операцию [ ] на линейном проетранетве C 1(D) скалярных функций также будем называть скобками Пуассона. Основными свойствами скобок Пуассона являются:

1) кососимметричность [u,v] = — [v,u] Vu,v е C 1(D);

2) билинейность (a,ß e R, u,v,w e C 1(D))

[u,av + ßw] = a[u, v] + ß [u, w], [au + ßv, w] = a[u, w] + ß[v, w].

3) тождество Якоби [u, [v,w]] + [v, [w,u]] + [w, [u,v]] = 0 Vu,v,w e C2(D);

3) тождество Лейбница (скобки Пуассона произведения функций)

[u, vw] = w[u, v] + v[u, w] Vu, v, w e C 1(D);

4) скобки Пуассона сложной функции

s

[u(t^p), v(w1(t,..., q,p))] = dwkv(wl,...,ws) [u(t,^p); wfc(t,q,p)]

k=1 \w=w{t,q,p)

V(t,q,p) e D, Vu,v,w1,...,ws e C 1(D).

Будем говорить, что функции u,v e C 1(D) в инволюции на области D,

если скобки Пуассона [u(t, q,p, ),v(t,q,p)] = 0 V(t,q,p) e D.

Обобщенно-консервативная гамильтонова система (0,1) индуцирует как автономный линейный диференциальный оператор первого порядка

п

А(д,р) = XXН(д,р)дд. - дд.Н(д,р)др) У(д,р) € К2п,

Pi

i= 1

так и неавтономный линейный диференциальный оператор первого порядка

B(t, q,p) = dt + A(q,p) V(t, q,p) G R2n+1.

Действие как оператора A, так и оператopa B будем называть производной Ли в силу обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0,1),

Непрерывно дифференцируемая функция F: D' ^ R является первым интегралом на области D' С D системы Гамильтона (0,1), если имеет место тождество

BF(t, q,p) = 0 V(t, q,p) G D'. (0.2)

F

цией Гамильтона H. С помощью скобок Пуассона тождество (0,2) можно записать в виде dtF(t,q,p)+ [F(t,q,p),H(q,p)] =0 V(t,q,p) G D'.

Функцию F G C 1(G) назовем автономным первым интегралом на области G С R2n системы Гамильтона (0,1), если выполняется тождество AF(q,p) = 0 V(q,p) G G, которое посредством скобок Пуассона можно записать в виде

[F(q,p),H(q,p)] =0 V(q,p) G G. (0.3)

Из тождества (0.3) следует, что гамильтониан H является автономным полиномиальным первым интегралом обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0.1).

Гамильтонова полиномиальная система (0.1) на окрестности любой точки расширенного фазового пространства M2n+1 имеет интегральный базис раз мерности 2n (см., например, [23, с. 367 - 368]). При этом на окрестности любой точки фазового пространства R2n, не содержащей положений равновесия, обобщенно-консервативная гамильтонова система (0.1) имеет [24, с. 184] базис автономных первых интегралов размерности 2n — 1.

Работа имеет следующую структуру. В первом параграфе доказаны достаточные признаки построения первых интегралов гамильтоновой системы (0.1) по вещественным полиномиальным частным интегралам. Классы обобщенно-консервативных полиномиальных гамильтоновых систем, у которых первые интегралы строятся с учетом кратных вещественных полиномиальных частных интегралов, выделены во втором параграфе. В третьем параграфе введено понятие условного частного интеграла для гамильтоновой системы и рассмотрены случаи построения первых интегралов по вещественным полиномиальным (с учетом кратности) и условным частным интегралам. Четвертый и пятый параграфы посвящены комплекенозначным полиномиальным частным интегралам и кратным комплекенозначным полиномиальным частным интегралам. Выделены классы обобщенно-консервативных полиномиальных гамильтоновых систем, у которых первые интегралы аналитически выражаются через комплекенозначные полиномиальные и условные частные интегралы, вещественные и комплекенозначные полиномиальные частные интегралы.

1. Вещественные полиномиальные частные интегралы

Определение 1.1. Полином

т: (д,р) ^ т(д,р) У(д,р) € К2п, Еад С К, (1.1)

назовем вещественным полиномиальным частным интегралом гамильтоновой дифференциальной системы (0.1), если скобки Пуассона

[ш(д,р),Н(д,р)] = т(д,р) М(д,р) У(д,р) € К2п, (1.2)

где полином, М: К2га ^ К имеет степень deg М(д,р) ^ Л. — 2. При этом, полином, М будем называть сомножителем частного интеграла т.

Так, например, полиномиальная дифференциальная система (0.1) с гамильтонианом [25] Н :(д,р) ^ + Р2) — /(Р1,Р2) («1Р191 + «2^2) V(с,p) € К4, а^ € К \ {0}, (1.3)

где /: (Р1,Р2) ^ /(Р1,Р2) ^(^1,^2) € К2 есть некоторый вещественный полином, имеет вещественные полиномиальные частные интегралы wl: (с,р) ^ р У(с,р) € К4 с сомножителями Мг: (с,р) ^ а1/(р1,р2) У(с,р) € К4, I = 1, 2, так как на пространстве К4 скобки Пуассона

[р ,Н(С,Р)] = ^ Рг 9Р1Н(с,р) — 9Р1 р 9д1Н(с,р) + \ р дР2Н(с,р) — др2 Рг дд2Н(С ,Р) = Рг • (аг / .

Из свойства билинейности скобок Пуассона следует

Свойство 1.1. Полином т: К2п ^ К является, вещественным полиномиальным частным интегралом дифференциальной системы, Гамильтона (0.1), если и только если при вещественном ненулевом, Л полином, Лт: К2п ^ К является, вещественным полиномиальным частным интегралом гамильтоновой дифференциальной системы, (0.1).

В соответствии со свойством 1.1, говоря о двух и более вещественных полиномиальных частных интегралах, будем считать их попарно линейно независимыми функциями.

Свойство 1.2. Пусть тг: К2п ^ К, I = 1,..., в, есть вещественные полиномиальные частные интегралы гамильтоновой системы (0.1) такие, что

[тг (д,р),Н (д,р)] = тг (д,р) М (д,р) У(д,р) € К2п, I = 1,...,в. (1.4)

Тогда, функция

8

т: (з,р) ^ ^ Лг т (д,р) У(д,р) € К2п, г=1

8

где Лг, I = 1,..., в, — вещественные числа и ^ |Лг| = 0, будет вещественным полином,и-

г=1

альным частным интегралом гамильтоновой дифференциальной системы (0.1).

Доказательство. Используя систему тождеств (1.4), на основании свойства билинейности скобок Пуассона получаем, что

г 8 -| 8

М^р), Н(З'^] = X] Лгтг(^р)' Н(З'Р) = X Лг К^Р^ Н=

=1

=1

^ А1 М(д,р) = ш(д,р) М(д,р) € К2п.

1=1

По определению 1.1, полиномы

тг: (д,р) ^ тД^р) € К2п, Ешг С К, I = 1,..., в, (1.5)

являются вещественными полиномиальными частными интегралами гамильтоновой дифференциальной системы (0.1) тогда и только тогда, когда выполняется система тождеств

Ц(д,р),#(д,р)] = мг(д,р)Мг(д,р) У(д,р) € К2п, I = 1,...,в, (1.6)

где сомножители М1: К2п ^ К, I = 1,..., в, суть полиномы.

Свойство 1.3. Произведение не являющихся линейно связь/,нными на арифметическом пространстве К2п полиномов (1.5)

Р: (?,р) ^ П ^(?,Р) € К2п (1.7)

1=1

является, вещественным полиномиальным частным интегралом систем,ы, Гамильтона (0.1), если и только если полипом,ы, (1.5) являются, вещественными полиномиальными частными интегралами систем,ы, Гамильтона (0.1).

Доказательство основано на свойстве Лейбница для скобок Пуассона, тождествах (1.6), определении вещественного полиномиального частного интеграла и том, что

ГЬ (З'Р) К (5,Р),Я(5,Р)] = П ^(З'Р) (9'Р). И С1-8)

ч

1=1

5=1 1=1, 1=1 5=1 1=5

Теорема 1.1. Пусть полипом,ы, (1.5) являются, вещественными полиномиальными частными интегралами, гамильтоновой системы, (0.1). Тогда, функция (1.7) будет первым интегралом системы, Гамильтона (0.1), если и только если в тождествах (1.6) полином,ы, М1: К2п ^ К, I = 1,..., в, такие, что имеет место тождество

^ М1(д,р) = 0 € К2п. (1.9)

1=1

Доказательство утверждения непосредственно следует из вычислений (1.8) и определения автономного первого интеграла гамильтоновой дифференциальной системы И

По теореме 1.1, для дифференциальной системы с гамильтонианом (1.3) при а^ = — «1 строим дополнительный первый интеграл ^: (д,р) ^ Р1Р2 V(q,p) € К4.

Свойство 1.4. Полином т: К2п ^ К является, вещественным полиномиальным

частным интегралом системы (0.1), если и только если, при натуральном, к полином, к

тк является вещественным полиномиальным частным интегралом, этой системы. Действительно, основываясь на (1.2), примененных к полиномам т и тк, получаем:

|тк(д,р),Я(д,р)] = ктк-1(д,р) [т(д,р),Я(д,р)] = ктк(д,р)М(д,р) V(q,p) € К2п. И

Из свойств 1.3 и 1.4 следует следующее утверждение.

Свойство 1.5. Произведение степеней не являющихся, линейно связанными на арифметическом пространстве К2п полиномов (1,5)

Я: (я,р) ^ П ^ V(q,p) е м2п, к Е М I = !,...,«, 1=1

является, вещественным полиномиальным частным интегралом гамиль'тоновой системы (0,1) в том и только в том, случае, когда, полипом,ы, (1,5) являются, вещественными полиномиальными частными интегралами гамиль'тоновой систем,ы, (0,1).

Теорема 1.2. Пусть полипом,ы, (1,5) являются, вещественными полиномиальными частными интегралами, гамиль'тоновой системы, (0,1). Тогда, функция

Р :(д,р) ^ П (9,р) V(q,p) е 71 е К, I = 1,...,8, X Ы = 0, (1.10) 1=1 1=1

будет первым интегралом на области С С К2п гамиль'тоновой системы (0.1), если и только если, в тождествах (1.6) полиномы М1: К2п ^ К, I = 1,... ,в, такие, что

i=i

YMl(q,p) = 0 V(q,p) G R2n. (1.11)

Доказательство. Используя тождество Лейбница, вычислим скобки Пуассона в силу системы Гамильтона (0.1) функции (1.10) на области G:

[F (q,p),H (q,p)] = П

w]1 (q,p),H(q,p)\ П wY(q,p) w^(q,p),H(q,p)

L i=i J 5=1 i=i,

(1.12)

= Xт7 (я,р) П щ1 (я,р) К(^,р),н($,р)] = Пщ1 X ъм(я,р).

5=1 1=1, 1=1 5=1

1=5

Отсюда с учетом определения первого интеграла получаем, что функция (1.10) яв-

С

когда выполняется тождество (1.11). И

По теореме 1.2, для дифференциальной системы с гамильтонианом (1.3) строим дополнительный первый интеграл ^: (д,р) ^ р^1 р22 V(q,p) е К2 х Р, где вещественные числа и 72 находятся из линейного уравнения а^ + 0^72 = 0 при + = 0, а область Р С К2.

Относительно дополнительного первого интеграла ^ гамильтоновой системы (1.3) отметим следующие моменты: 1) если 71, 72 е М, то дополнительный интеграл является полиномиальным; 2) если 71, — 72 е N ми — 71, 72 е М, то дополнительный первый интеграл является рациональной функцией; 3) если 71,72 е 0>, то дополнительный первый интеграл является иррациональной функцией; 4) если 71 е I, 72 е ^и 71 е 0>, 72 е I, то дополнительный первый интеграл есть трансцендентная функция, где М, ^ и I — соответственно множество натуральных, рациональных и иррациональных чисел. Поэтому дополнительный первый интеграл ^ дифференциальной системы (0.1) с полиномиальным гамильтонианом Н может быть как алгебраической (полином, рациональная функция, иррациональная функция), так и трансцендентной функцией.

Теорема 1.3. Пусть гамильтонова система (0,1) имеет вещественные полипом,и-альные частные интегралы (1,5) такие, что

[wj(q,p),# (q,p)] = Аг wj(q,p) M (q,p) V(q,p) G R2n, Лг G R, l = 1,...,s, s ^ 2, (1.13) где M: R2n ^ R есть полипом,. Тогда, скалярная функция (1.10), где вещественные числа

s s

7г, l = 1,..., s, находятся, из линейного однородного уравнения Y1 Аг7г = 0 при Y1 |7г1 = 0,

г=1 г=1

является, первым интегралом на области G С R2n системы, Гамильтона (0.1). Доказательство. Если верны тождества (1.13), то с учетом (1.12) получаем

Yl ,

w

l=1

[F(q,p),H= Д w¿l (q,p),H(q,p) = Д M(q,p) V(q,p) G G.

i

l=1 l=1

Выбирая 71, I = 1,..., в, так, чтобы ^ А171 = 0 при условии ^ |711 = 0, получаем, что

1=1 1=1

функция (1.10) будет первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1). И

Из теоремы 1.3 при 8 = 2, А1 = А2, получаем

Следствие 1.1. Если гамильтонова система (0.1) имеет такие вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) при в = 2, что

К (д,р),я (9,р)] = т^р) € С

[^2 (9,р),Я (9,р)] т2(9,р , ,

то функция

Р:(д,р) ^ € С, С С{(д,р): ^р) = 0},

будет первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1). Из теоремы 1.3 при 8 = 2, А1 = — А2, ] = 1,..., т, имеем

Следствие 1.2. Если гамильтонова систем,а, (0.1) имеет такие вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) при в = 2, что

К^р^ЯМ] _ 2п

V(q,p) G G С R2

2n

то функция

Р: (9,р) ^ т1(9,р)т2(д,р) V(q,p) € К

будет первым интегралом на пространстве К2п системы Гамильтона (0.1). Обобщенно-консервативная дифференциальная система (0.1) с гамильтонианом

Я: (д,р) ^ д1р1 — д2р2 — (щ\ + V(q,p) € К4, а, Ь € К \ {0}, (1.14)

имеет вещественные линейные частные интегралы Wl: (д,р) ^ Р1 — а^1, W2: (д,р) ^ Р2 — Ь^2, : (д, р) ^ и w4: (д, р) ^ д2 V(q, р) € К4 с А1 = Л4 = — 1, Л2 = А3 = 1, М : (д, р) ^ 1 V(q, р) € К4. По вещественным линейным частным интегралам Wl,..., W4 строим автономные первые ин-

Дифференциальные уравнения и процессы управления,N. 1, 2022 тегралы гамильтоновой системы (1.14): F12 : (q,p) ^ — aqi)(p2 — bq2), F13 : (q,p) ^ q1(p1 — a^i)

p _ aq

V(q,p) G R4 (следствие 1.2), F14: (q,p) ^ —-1 V(q,p) £ G (следствие 1.1), где область G

q2

из множества {(q, p): q2 = 0} С R4. Первые интегралы Fn, F13 и FM, будучи функционально независимыми, образуют интегральный базис гамильтоновой системы (1.14) на области G.

Для построения интегрального базиса системы (0.1) может быть использовано Следствие 1.3. Пусть выполняются условия теоремы, 1.3. Тогда, функции

Fc? :(q,p) ^ WC (q,p) (q,p) V(q,p) G GCg С R2n, Z =1,...,s, С =1,...,s, С = Z,

где вещественные числа y^u 7g находятся, из уравнении А^ 7^+Ag 7g = 0 при y|+y| = 0, будут первыми, интегралами, на областях G^g, Z = 1,..., s, С = 1,... ,s, С = Z, обобщенно-консервативной дифференциальной системы, Гамильтона (0.1), соответственно.

По следствию 1.3, для полиномиальной дифференциальной системы (0.1) с гамильтонианом

1 n n

н: (q,p) ^ 1 ^ ^p.2 — f(p) ^ aiPiqi V(q,p) G R2n, G R, i = 1,...,n, (1.15)

i=1 i=1

где f: p ^ f (p) Vp G Rn есть некоторый вещественный полином по переменным p1,... ,pn, по вещественным полиномиальным частным интегралам wl: (q,p) ^ pi V(q,p) G R2n с сомножителями Mi: (q,p) ^ af (p) V(q,p) G R2n, l = 1,..., n, строим дополнительные первые интегралы

F1g : (q,p) ^ p!15 pj€ V(q,p) G Rn x Gg, Gg С Rn, £ = 2, ...,n.

где вещественные числа 7^ и 7g находятся из линейных однородных уравнений «17^ + ag 7g = 0 при 171g| + 17g| =0, £ = 2,..., n. Первые интегралы H и являются функционально независимыми и находятся в инволюции на некоторой области Rn x G, где область G С Gg, £ = 2,..., n. Следовательно, обобщенно-консервативная полиномиальная гамильтонова система (1.15) является вполне интегрируемой (интегрируема по Лиувиллю) [19, с. 83].

Теорема 1.4. Если гамильтонова система (0.1) имеет такой вещественный полиномиальный частный интеграл, (1.1), что в тождестве (1.2) функция

M(q,p) = А V(q,p) G R2n, А G R \ {0}, (1.16)

то скалярная функция

F: (t,q,p) ^ w(q,p)exp( — At) V(t,q,p) G R2n+1

будет неавтономным первым интегралом гамильтоновой системы (0.1).

Доказательство. Учитывая тождество (1.2) при условии (1.16), получаем, что

BF(t, q,p) = dtF(t, q,p) + [F(t, q,p),H(q,p)] = F(t, q,p) dt ( — At) +

+ exp( — At) [w(q,p),H(q,p)]=0 V(t,q,p) G R2n+1.

Следовательно, функция F есть первый интеграл гамильтоновой системы (0.1). И Дифференциальная система, заданная посредством полиномиального гамильтониана

н: (q,p) ^ 2 (p1 + p2 — q2 — ql) V(q,p) G R4, (1.17)

имеет на фазовом пространстве М4 вещественные полиномиальные частные интегралы

: (9,р) ^ 91 - Р1, : (9,р) ^ 92 - Р2, ^ : (д, р) ^ 91 + рь ^ : (д,р) ^ 92 + Р2 с постоянными сомножителями М1(д,р) = М2(д,р) = — 1, М3(д,р) = М4(д,р) = 1 У(д,р) € М4. По теореме 1.4, для гамильтоновой системы (1.17) строим неавтономные первые интегралы

: (¿, 9, р) ^ (91—р^в4, ^2 : (¿, 9, р) ^ (92—Р2)е*, ^3 : (*, 9, р) ^ (91+р^е-4, ^: (¿, 9, р) ^ (92+Р2)в-4, которые образуют ее интегральный базис на расширенном фазовом пространстве М5.

Свойство 1.6. Пусть для гамильтоновой системы (0.1) с полиномиальным частным, интегралом (1.1) существует голом,орфизм, пространства М2п на М2п

С: (9,Р) ^ С(?,р), С: (9,Р) ^ С(?,р) V(q,p) € М2п, ЕС С Мп, Е( С Мп, такой, что выполняется система тождеств

[&(д,р),Я(д,р)] = Ад. Н (С, с) , € М2п, г = 1,...,п,

Z = Z (q,p)

(q,p),H(q,p)] = - Ad H(£,z) „ , V(q,p) G R2n, i = 1,...,n,

(1.18)

Z = Z (q,p)

A

w: (q,p) ^ w(£(q,p),z(q,p)) V(q,p) G R2n будет полиномиальным частным интегралом системы (0.1) и выполняется тождество

[w(q,p),H(q,p)] = Aw(q,p)M(£(q,p),z(q,p)) V(q,p) G R2n.

Доказательство. Основываясь на вычислении скобок Пуассона сложной функции

s

[Ц?^ ^M?^..., vs(q,p)^ = X]..., vs)L=V(q>P) [u(q,p), ,

fc=l ' '

с учетом тождеств (1.18) и (1.2) получаем:

Z = Z (q,p) Z = Z (q,p)

e

i=1

e „ , + [Ci(9,P),H(g,p)]d. w(e,C). .. . С = C(q,p), С = C(q,p),

n

a X (Дh(e, z) 5 це, z) - 5 h(e, z) d це, z))

i=1 1 1 1 1

С = c(q,p), Z = Z (q,p)

лЫ£,с ),h (с,с)]

С =

Z = Z (q,p)

л^(е,с) m (£,z)

Z = Z (q,p)

2n

= Лт(С(q,p),Z(q,p)) M(£(q,p),Z(q,p)) = Лт(д,р) M(£(q,p),((q,p)) V(q,p) G R Обобщенно-консервативная полиномиальная гамильтонова система [26] 11 n 1

H :(q,p) ^ -p? + -V p2 - 1 a2(q?) + b(q2,...,qj V(q,p) G R2n, G R, i = 2,..., n, (1.19)

i=2

n— 1

есть

где а: ^ ^ а(^) ^ С М, degа(^) > 1, и Ь: ...,9„) ^ Ь^,... ) V(q2,..., О С М' произвольные вещественные полиномы, имеет вещественный полиномиальный частный интеграл ■ш: (д,р) ^ Р1 + а(^1) V(q,p) € М2п с сомножителем М: (д,р) ^ а(^1) V(q,p) € М2п, ибо

[w(q,p),H(q, p)] = [Pi + a(q?),H(q,p)] = ^ (d (p? + a(q?))dp.H(q,p) -<9p. (p? + a(q?))d H(q,p)

i=1

= a(q?) 9P1H(q,p) - <9^H(q,p) = (p? + a(q?))<9^a(q?) = w(q,p) M(q,p) V(q,p) G R2n.

На основании голоморфизма £: (q,p) ^ (q?,...,qn), Z: (q,p) ^ (— p?,..., — pn) V(q,p) G R2n

такого, что для него верна система тождеств (1.18) при Л = — 1, по свойствуй 1.6, строим дополнительный вещественный полиномиальный частный интеграл w: (q,p) ^ — p? + a(q?) с сомножителем М: (q,p) ^ — dq a(q?) V(q,p) G R2n гамильтоновой системы (1.19).

По теореме 1.1, для гамильтоновой системы (1.19) строим дополнительный первый интеграл

F: (q,p) ^ (p? + a(q?))( — p? + a(q?)) = a2(q?) — p2 V(q,p) G R2n

При n = 2 из того, что первые интегралы H и F являются функционально независимыми на пространстве R4 за исключением множеств меры нуль и находятся в инволюции получаем, что полиномиальная гамильтонова дифференциальная система (1.19) интегрируема по Лиувиллю.

2. Кратные вещественные полиномиальные частные интегралы

Определение 2.1. Вещественный полиномиальный частный интеграл, (1.1)

обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы, (0.1) является,

£

кратным и его кратность к = 1 + rf, если существуют полиномы

f : R2n ^ R и R/^ : R2n ^ R, f G N, = 1,...,r£ = 1,...,£, которые удовлетворяют систем,е тождеств

[Kfg(q,p),H(q,p)] = (q,p) V(q,p) G G, f G N, g? = 1,...,r¡, £ =1,...,e, (2.1) где скалярные функции

Qf g (q,p)

V(q,p) G G, f G N, g? = 1,...,r?, £ = 1,...,e,

K/:(q,p) ^ / s s w (q,p)

область G из фазового пространства, R2n такая, ч,то w(q,p) = 0 V(q,p) G G. При этом,

каждый полипом 3/ д , /( € N д? = 1,..., Г(, £ = 1,..., е, взаимно прост, с частным

интегралом (1.1), о полиномы , / € М, д? = 1,...,Г(, £ = 1,...,е,

та,кие, что

тах^ /«: / € М, д? = 1,...,г?, £ = 1,...,е} ^ к — 2.

Обобщенно-консервативная полиномиальная система (0.1), заданная гамильтонианом

Н: (д,р) ^ 2 + - 92 + р2) € М4 (2.2)

имеет кратный вещественный полиномиальный частный интеграл -ш: (9,р) ^ 91 У(9,р) € М4,

ибо существуют полиномы фц(9,р) = - (р + 4^) и ^ц(9,Р) = — 1, deg Яи = 0, такие, что

9

[Кп(9,р),Н(9,р)] = [Р1 + 4Р2 , 1 (—792 + 89192 — 92 + р2)1 = — 1 V(9,p) € С с{(9,р): 91 = 0}. I 991 2 -I

Свойство 2.1. вещественный полиномиальный частный интеграл, (1.1) га-

мильтоновой дифференциальной системы, (0.1) такой, что

[м(д,р),Я(д,р)] = (д,р)Р(д,р) V(q,p) € М2п, (2.3)

где т — некоторое натуральное число, а, Р: М2п ^ М есть некоторый полином, то частный интеграл, (1.1) является, кратным (кратности, не меньшей двух).

Доказательство. Пусть функция Кт1(д,р) =---- V(q,p) € С, Л € М\{0}, т € N.

Вычислим на области С с {(?,р): и>(д,р) = 0} скобки Пуассона

[Кт1(д,р),Я(д,р)] = — тЛш т 1 (д,р) (д,р)] = — тЛР(д,р) V(q,p) € С.

Из тождества (2.3) получаем, что deg Р < к — 2. По определению 2.1, вещественный полиномиальный частный интеграл (1.1) системы (0.1) является кратным. И

Согласно определению 2.1, вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) полиномиальной гамильтоновой системы (0.1) будут кратными соответственно кратно-

стей к, = 1 + Г( , I = 1,..., з, тогда и только тогда, когда существуют полиномы ^ : М2п ^ Ми Я„ : М2п ^ М, /« € М, д« = 1,...,г« , £ =1,...,е,, I =1,...,в,

д« д« ' •'«г ' ^«г ' ' V м ' ' " ' ' '

которые удовлетворяют на областях С0, с {(?,р): = 0} системе тождеств

К/ д (д,р),Я(д,р) = Я (д,р), /€ М,д«г = 1,...,г«г, £г = 1,...,£,,/ = 1,...,«, (2.4)

-1 «г «г

где скалярные функции д«

К,/ % (д,р) = —^--€ /«€ М д«г = 1,...,г«г, £г = 1,...,е,, I = 1,...,в.

«г «г ^ «г (^р)

При этом каждый полином 3,/ д взаимно прост с вещественным полиномиальным чает-

«г д«г

ным интегралом /ш1, а deg Ки п ^ Н — 2, /« С М, д« = 1,... , г« , = 1,... ,е1, I = 1,..., 8.

/ п«,

V У

Теорема 2.1. Пусть гамильтонова система (0,1) имеет кратные вещественные полиномиальные частные интегралы (1,5) кратностей щ = 1 + Е , I = 1,..., 8, такие,

5'= 1

что выполняются тождества (1,6) и (2,4). Тогда скалярная функция

Р: Ы,р) ^ П «V (ЪР) ехр^Т, Е п п V(q,p) С О С М2п, (2.5)

1=1

5'=! п«=!

где вещественные числа 7г, I = 1,..., 8, и а1/ п , /« С М, д« = 1,...,г«, г« ^ г

а

С = 1,...,гг, г1 < е1, 1 = ~1,... такие, что Е ^ + Е Е Е

1=1 1=1 5' = 1 п« =1

первым интегралом системы (0.1), если и только если имеет место тождество

/ п«'

V «I V

= 0, будет

Е^мш + Е Е Е а,/«п«Д1/«п«(q,p) =0 ^р)сО.

1=1

1=1 5'=1 п«' =1

Доказательство. С учетом тождеств (1.6) и (2.4), вычислим скобки Пуассона

(2.6)

^,Р),Н^р^ = ехрЕЕ Е а1/ К1/ ^,р) • Д V (q,p), Н^,р)

1=1 5'=1 п«'

+

1=1

1=1

+ П^,р) • ехрЕЕ Еа1/« п« к1/« п«^,р),Н^,р)

1=1 5' = 1 п«' =1

ехр

Е Е Е а1/ п? к1/ п?(q,p) Е 71 ^ 1 (q,p) П ^(я,р) • К (q,p),H^рЯ +

1=1 5'=1 п«' =1

1=1

к=1, к=1

+ П(q,p)ех^ЕЕ Еа1/«п«к1/«п«м Е Е Еа

1=1

1=1 5' = 1 п«' =1

1=1 5' = 1 п«' =1

1/«'п«'

к1/ п ^,р),н^,р)

Рш ( Е ъ м^р) + Е Е Е а1/«п«\п«^р)) V(q,p) с

1=1

1=1 5' = 1 п«' =1

О

мильтоновой системы (0.1), если и только если выполняется тождество (2.6). И

Теорема 2.2. Пусть гамильтопова система (0,1) имеет кратные вещественные

полиномиальные частные интегралы (1,5) кратносте и к, = 1+ ^ , / = 1,..., в, такие, что выполняются тождества (1,13) и в тождествах (2,4) полипом,ы,

/ *£ = Л,/£ *£ М^ ^р) е С Л,/£ *£ е М

£ £г £г £г £г £г (2.7)

4 е ^ ^ = 1,...,?£г, г£г ^ г£;, ^..^е^ е, ^ ^ / = 1,...,в.

Тогда, скалярная функция (2,5), где вещественные числа 7,, I = 1,..., в, и а/ , 4 е М, #£ = 1,..., г£ , £г = 1,..., ег, I = 1,..., в, находятся из линейного однородного уравнения

£ + £ £ £ Л,/£ й£ а,/£ й£ =0 при £ Ы + £ £ £к *£ | = 0 (2'8) 1=1 1=1 ?г =1 =1 11 £ 1=1 1=1 ?г =1 =1 £г £г

будет первым интегралом на области С гамильтоповой системы (0,1),

Действительно, при выполнении тождеств (1,13) и (2,4) при (2,7) условие существования (2,6) первого интеграла гамильтоповой системы (0,1) равносильно (2,8), И

Для построения интегрального базиса системы (0,1) может быть использовано Следствие 2.1. Если, выполняются условия теорем,ы, 2,2, то функции

рС1 : ^ аг/ 0 0 (^р)) е С С1 = 1,...,в,

где фиксированные числа 4 е М, #£ е {1,..., г£ }, £г е {1,..., ег}, I = 1,..., в, о вещественные числа 7^ и а находятся из линейных уравнений Л^7^ + Л а = 0 ^ /£/ й£, ^ ^ г/£, й£, г/£, й£.

при условиях |7С | +

а

= 0, ( = 1,..., в, I = 1,..., в, будут первыми, интегралам,и,

обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоповой системы (0,1).

Для полиномиальной гамильтоповой системы (2.2), по следствию 2.1, используя вещественный полиномиальный частный интеграл ^: (д,р) ^ — ^ + Р2 е М4 с сомножителем М1: (д,р) ^ — 1 У(д,р) е М4 и двукратный вещественный полиномиальный частный интеграл

: (9,Р) ^ 91 е М4 с функция ми К п(д,р) = - и ^ 11 (9, Р) = — 1 строим допол-

' 9^1 '

нительный автономный первый интеграл (М(д,р) = 1, А1 = — 1, А2 и = — 1, 71 = 1, ®2 ц = — 1) ^:(д,р) ^ (4?1 — ^2 + Р2)ехр( — Р + У(д,р) е О с{(д,р): 91 = 0} С М4. Теорема 2.3. Пусть гамильтопова система (0,1) имеет кратные вещественные

£г

полиномиальные частные интегралы (1,5) кратностей к, = 1 + ^ , I = 1,..., в, соответственно, относительно которых на области С имеет место систем,а, тождеств (2,4) и существуют такие числа е {1,...,ег}, I = 1,...,в, что при фиксированных

д е{1,...,г^ }, I = 1,..., в, выполняются тождества,

Я,, (я,р) = Л М (д,р) У(д,р) е С, Л, е К, I = 1,...,в, М: К2п ^ К. (2.9)

■г д«г 1

Тогда, скалярная функция

8

Р: (q,p) ^ ^ а,К,, (д,р) Щ,р) е С, (2.10)

,=1 ^г

где вещественные числа а,, I = 1,..., в, находятся из уравнения Л а =0 при условии,

,=1

Х^аг2 = 0, будет первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1).

,=1

Доказательство. Если выполняются тождества (2.4) при (2.9), то

а

,= 1 ^г Ч

Ы,р),нЫ,р)]= К(я,р),н(^,р) =^а1 К, д^р),н^^ = ЕЛ,а,М^,р)

= > а,г/ V

,=1 5г 5г ,=1

Выбирая а , I = 1,..., в, так, чтобы Е Л а = 0 при Е а2 = 0, получаем, что функ-1 ,=1 11 ,=1 ция (2.10), образованная на основании кратных вещественных полиномиальных частных

интегралов (1.5), является первым интегралом гамильтоновой системы (0.1). И Следствие 2.2. Пусть выполняются условия теоремы 2.3. Тогда, функции

РСв: (я,р) ^ асК(/ д ^,р) + аеКв/ д ^Р^ £ = 1,...,в, д =1,...,в, С = д,

где вещественные числа а^ , С = 1,..., в, и ав , д = 1,..., в, д = (, находятся из уравнений А^а^ + Адад = 0 щи а2^ + а2в = 0, ( = 1,..., в, д = 1,..., в, ( = д, будут первыми, интегралам,и, на областях С^ гамильтоновой системы, (0.1) соответственно.

Теорема 2.4. Если гамильтонова систем,а, (0.1) имеет кратный вещественный по-

£

линомиальный частный интеграл, (1.1) кратности к = 1 + Е г^ и существует такое £ е {1,..., е}, что в тождествах (2.1) при фиксированном д? е {1,..., } полином,

Я, ы,р) = А у^,р) е С с К2п, Л е К, (2.11)

то скалярная функция

Р: (г, q,p) ^ К, ^,р) - Лг У(г^,р) е К х С (2.12)

будет неавтономным первым интегралом гамильтоновой системы (0.1).

Доказательство. С учетом тождеств (2.1) при условии (2.11), вычислим на области К х С производную Ли функции (2.12) в силу гамильтоновой системы (0.1):

в р (г^,р) = д р (г^,р)+ [р (г^,р), н (^р)] = - д4 (Лг) + (q,p),я (q,p)

0.

По теореме 2.4, используя двукратный вещественный полиномиальный частный интеграл

р + 4р

ад: (9,р) ^ У(д,р) е М4 с функциями Кп(д,р) = —-2 и Яц(д,р) = — 1 для обобщенно-

консервативной гамильтоповой системы (2.2) строим неавтономный первый интеграл

Р:(М,Р) ^ Р1 + 4Р2 + * V(i,g,p) е М х О, О С{(д,р): д1 = 0} С М4.

3. Условные частные интегралы

3.1. Определение и свойства условных частных интегралов

Определение 3.1. Экспоненциальную функцию

ш: (?,р) ^ ехр V(q,p) е М2п, (3.1)

где V: М2п ^ М есть некоторый полином, назовем условным частным интегралом полиномиальной гамильтоповой системы (0.1), если имеет место тождество

[и(д,р),Я(д,р)] = 5(д,р) V(q,p) е М2п, (3.2)

где 5: М2п ^ М суть полипом, такой, что его степень deg 5 ^ Н — 2. Например, полиномиальная гамильтопова система [20, с. 48; 24]

Н: (д,р) ^ 2(Р2 + Р2)+2 92Р1Р2 — 91 V(q,p) е М4, (3.3)

имеет условный частный интеграл ш: (9,р) ^ ехрр1 V(q,p) е М4, ибо скобки Пуассона

[^(9,р),Н(9,р)] = 2(р2 + р2) + 292Р1Р2 — 91 =2Р1 V(q,p) е М4 и deg(2pl) = 1 < 3 — 2 = 1.

Свойство 3.1. Экспоненциальная функция (3.1) является, условным частным интегралом, гамильтоповой системы (0.1) в том, и только в том случае, когда, при вещественном ненулевом, числе в функция ш^: (?,р) ^ ехр(V(q,p) е М2п является, условным частным интегралом этой гамильтоповой системы.

Действительно, основываясь на тождестве (3.2), примененных к функциям V и в^, получаем, что скобки Пуассона:

[Мд,р), Я(д,р)] = в ^(д,р), Я(д,р)] = в 5(д,р) V(q,p) е М2п. И

В соответствии со свойством 3.1, говоря о двух и более условных частных интегралах полиномиальной гамильтоповой дифференциальной системы (0.1), будем считать их построенными на основании попарно линейно независимых полиномов.

Экспоненциальные функции

: (?,р) ^ ехрvv(д,р) V(q,p) е М2п, V = 1,...,т, (3.4)

где vv: М2п ^ М, V = 1,..., т, есть полиномы, согласно определению 3.1 будут условными частными интегралами гамильтоповой системы (0.1) тогда и только тогда, когда

[^(д,р),Я(д,р)] = ^(д,р) V(q,p) е М2п, V =1,...,т, (3.5)

где : М2п ^ М есть полиномы степеней deg^ Н — 2, V = 1,..., т.

Свойство 3.2. Пусть экспоненциальные функции (3.4) являются, условными частными, интегралами, полиномиальной гамиль'тоновой системы, (0.1). Тогда, функция

т

ш: ^,р) ^ ехр £ % ^,р) Щ,р) е К2п,

V =1

т

в,

где вг, V = 1,... ,т, — вещественные числа такие, что Е 1вг I = 0, будет условным

V =1

частным интегралом полиномиальной гамиль'тоновой системы, (0.1).

Действительно, с учетом определения 3.1 и тождеств (3.5) вычисляем скобки Пуассона

т -| т т

£ ^ Vv^,р),н(Ър) = £ вv К^,р),н^,р)] = £ ^ Sv(ър) щ,р) е м2п,

v=1 -1 V=1 V=1

где степень полинома deg Е вV SV ^ к — 2. И

V=1

Теорема 3.1. Пусть экспоненциальные функции (3.4) являются, условными частным,и интегралам,и полиномиальной гамиль'тоновой системы, (0.1). Тогда, функция

тт

Р :^,р) ^ £ в^Мр щ,р) е К2п, вг е К, V =1,...,т, £ |вv I = 0, (3.6)

V=1 V=1

будет дополнительным первым интегралом гамиль'тоновой системы, (0.1), если и 'только если в тождествах (3.5) полином,ы, SV: К2п ^ К, V = 1,... ,т, такие, что

£ вг Sv(ър) = 0 Щ,р) е К2п. (3.7)

V=1

Доказательство. В соответствии с определением 3.1, вычислим скобки Пуссона

|- т - т т

[Р (Я,р),н ^р^ = £ вv ^,р),н ^,р) = £ вг К ^р),н ^р^ = £ ^ Sv ^,р).

^ V=1 -1 V=1 V =1

Отсюда получаем, что функция (3.6) является первым интегралом гамильтоновой системы (0.1) тогда и только тогда, когда выполняется тождество (3.7). И

Теорема 3.2. Пусть полиномиальная гамиль'тонова систем,а, (0.1) имеет условные частные интегралы (3.4) такие, что в тождествах (3.5) полипом,ы,

SV^,р) = ^М(^р) У(ьр) е К2п, ^ е К, V = 1,... ,т, (3.8)

где М: К2п ^ К есть некоторый полипом, степени degМ ^ к — 2. Тогда, функция (3.6), где

т

вещественные числа в г, V = 1,... ,т, находятся из уравнения Е в г = 0 при условии,

V=1

т

Е 1вгI = 0, является, первым интегралом гамиль'тоновой системы (0.1).

'V

=1

Доказательство. Если верпы представления (3.8), а числа вг, V = 1,... ,т, являются

тт

решением линейного однородного уравнения Е №= 0 при Е 1вгI = 0, то сумма

=1 =1

£ в^ ^(9,р) = £ в^^ М(д,р) = 0 е М2п.

^=1 ^=1

Таким образом, выполняется условие (3.7), а значит, согласно теореме 3.1 функция (3.6) будет первым интегралом полиномиальной гамильтоновой системы (0.1). И

Например, из теоремы 3.2 при т = 2, = = 0 получаем

Следствие 3.1. Если гамильтопова система (0.1) имеет такие условные частные интегралы ш1: (д,р) ^ ехр v1(q,p) и ш2: (д,р) ^ ехр v2(q,p) V(q,p) е М2п, что

[^,р),Я(д,р)] = ^ е С с М2П,

то дополнительным первым интегралом гамильтоновой системы (0.1) будет полипом,

Р: (9,р) ^ v1(q,p) — v2 (д,р) V(q,p) е М2п. При т =2, = — = 0 из теоремы 3.2 получаем

Следствие 3.2. Если гамильтопова систем,а, (0.1) имеет такие условные частные интегралы ш1: (9,р) ^ ехр v1(q,p) м ш2: (9,р) ^ ехр v2(q,p) V(q,p) е М2п, что

V(q,p) е С С М2п,

^2(9, р), Я (д,р)]

то дополнительным первым интегралом гамильтоновой системы (0.1) будет полипом,

Р: (9,р) ^ v1(q,p)+ v2(q,p) V(q,p) е М2п.

Заметим, что следствия 3.1 и 3.2 могут быть получены и из теоремы 3.1. Следствие 3.3. выполняются условия теорем,ы, 3.2, то функции

Р?с: (9,р) ^ ве^(д,р)+ всvc(д,р) е М2п, £ = 1,...,т, < =1,...,т, С = С,

где вещественные числа в^ и в^ находятся из линейных уравнений ^ в§ + вс = 0 при условиях |в^| + вI = 0, £ = 1,..., т, ( = 1,..., т, ( = £, соответственно, будут дополнительными первым,и интегралами, полиномиальной гамильтоновой системы (0.1).

в=1

линомиального частного интеграла), так и по теореме 3.2 при т =1 (т.е. при наличие только одного условного частного интеграла) построить дополнительный первый интеграл обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы (0.1) не представляется возможным. В этом случае может быть использовано следующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть обобщенно-консервативная гамильтопова систем,а, (0.1) имеет вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) при условиях (1.13) и условные частные интегралы (3.4) при условиях (3.8). Тогда, скалярные функции

:(9,Р) ^ (9,р)ехр(вс vc (д,р)) е С С М2п, £ =1,...,в, < =1,...,т, (3.9)

где вещественные числа м в^ находятся из уравпений Л? 7^ + ^ в^ = 0 щи ^ | + в | = 0,

£ = 1,..., в, ( = 1,... ,т, будут первыми, интегралами, га,м,ильтоновой системы, (0.1). Доказательство. С учетом тождеств (1.13) и (3.5) при (3.8), вычислим скобки Пуассона

^,р),н^р^ = К (Я,р),н• ехР(вСУС^,р)) + ^ ех^всЧ(Я,р))] = ^ — 1

= ^ ^р)ехр(вс М) К (я,р),н вс ^ ^р)ехр (вс М) К (я,р),н ^рЯ =

= 7? + вс) М ^,р) Ы,р)ехр(вс УС е С, £ = 1,...,в, С = 1,...,т.

Выбирая вещественные числа 7^ и в^ так, чтобы Л^ 7^ + ^ вс = 0, получаем, что

И

Для полиномиальной гамильтоновой системы (3.3), по теореме 3.3, на основании вещественного полиномиального частного интеграла -ш: (д,р) — р>2 е К4 с сомножителем М: (д,р) — — 2р1 е К4 и условного частного интеграла ш: (д,р) — ехрр2 е К4 с функцией 5: (д,р) — 2р1 е К4 строим дополнительный первый интеграл

Р: (д,р) — р2 ехрV(q,p) е К4.

Первые интегралы Я и Р гамильтоновой системы (3.3) являются функционально независимыми на пространстве К4 за исключением множеств меры нуль и находятся в инволюции. Следовательно, полиномиальная гамильтонова система (3.3) интегрируема по Лиувиллю.

Как по теореме 2.2 при в = т^ = е, = 1 (т.е. при наличие только одного двукратного полиномиального частного интеграла), так и по теореме 3.2 при т = 1 (т.е. при наличие только одного условного частного интеграла) построить первый интеграл гамильтоновой системы (0.1) не представляется возможным. В этом случае может быть использована

Теорема 3.4. Пусть гамильтонова систем,а, (0.1) имеет кратные вещественные по-

линомиальные частные интегралы (1.5) кратностей к, = 1 + Е г? , I = 1,..., в, такие.

г

что имеют место тождества, (2.4) при (2.7). Кроме этого гамильтонова систем,а, (0.1) имеет условные частные интегралы (3.4) при условиях (3.8). Тогда, функции

р1С: (я,р) — аг/д К1/ Ы,р) + вск(Ы,р) V(q,p) е С, 1 = 1,...,в,С = 1,...,m, (з.ю)

г г г г

где фиксированные числа Д е N дк е {1,...,г^ }, £, е {1,..., £,}, I = 1,...,в, а, вещественные числа а,/ д и в^ находятся, из уравнении Л,/ д а,/ д + ^ вс, = 0 при

к к к к к к

а + |всI = 0, I = 1,..., в, ( = 1,... ,т, будут первым,и интегралам,и, системы (0.1).

гдкг

Доказательство. При выполнении системы тождеств (2.4) при (2.7) и (3.5) при (3.8) относительно функций (3.4) вычислим скобки Пуассона функций (3.10):

[р,с(Я,р),н(Я,р)]= • К/д,(Я,р),н(Я,р) + вс • К(Я,р),н(Я,р)] =

г

г г

(Л,/ д а,/ д + ^ вЧМ (я,р) е С, 1 = 1,...,в, ( =1,...,т.

г г г г

Дифференциальные уравнения и процессы управления, N. 1, 2022 Если числа о^ д , I = 1,..., 5, и в^, С = 1,..., т, такие, что Л^ д о^ д + в^ = 0,

£г £г £г £г £г £г

И

Для построения неавтономного первого интеграла может быть использована

Теорема 3.5. Если, обобщенно-консервативная гамильтопова система, (0,1) имеет такой условный частный интеграл, (3,1), что в тождестве (3,2) полипом,

5(д,р) = Л V(g,p) е М2п, Л е М \{0}, (3.11)

то неавтономным первым интегралом гамильтоповой системы (0,1) будет функция

Р: (*,д,р) ^ v(g,p) — Л* V(t,g,p) е М2п+1.

Доказательство. Учитывая тождество (3,2) при условии (3,11), па М2п+1 получаем:

В Р (*,д,р) = Р (*,д,р) + [Р (*,д,р),Я (д,р)] = ^ ( — Л*) + ^(д,р),Я (д,р)] = 0. Следовательно, функция Р есть первый интеграл гамильтоновой спстемы (0,1), И

4. Комплекснозначные полиномиальные частные интегралы

4.1. Свойства комплекснозначных полиномиальных частных интегралов

Определение 4.1. Полином

т: (д,р) ^ т(д,р) V(g,p) е М2п, Ет С С, (4.1)

назовем комплекснозначным полиномиальным частным интегралом обобщенно-консервативной гамильтоповой системы (0.1), если скобки Пуассона

[т(д, р), Я(д, р)] = т(д, р) М(д, р) V(g, р) е М2п, (4.2)

где М: М2п ^ С есть полипом, с комплексными коэффициентами и degМ(д,р) ^ Л, — 2. Например, дифференциальная система, заданная полиномиальным гамильтонианом

в

Н :(9,р) ^ |(92 — ^2 + р2 — р2) + а (9^2 + 92^0 V(9,p) е М4, а, в е М \ {0}, (4.3) имеет комплекснозначные полиномиальные (линейные) частные интегралы

т1: (9,Р) ^ 91 + 92 + * (Р1 — Рг)и т2: (9,р) ^ 91 — 92 + г (Р1 + Р2) V(9,p) е М4 с сомножителями М1: (9,р) ^ а + в* и М2 : (9,р) ^ — а + в* V(q,p) е М4, соответственно.

Свойство 4.1. Гамильтонова система (0.1) имеет комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1), если и только если выполняется систем,а, тождеств

[Яеш(д,р),Я(д,р)] = Яеш(д,р) ЯеМ(д,р) — 1тш(д,р) 1тМ(д,р) V(q,p) е М2п, []

[1тш(д,р),Я(д,р)] = Яеш(д,р) 1тМ(д,р) + 1тш(д,р) ЯеМ(д,р) V(q,p) е М2п.

Доказательство. Гамильтопова дифференциальная система (0.1), по определению 4.1, имеет комплекснозначный полиномиальный частный интеграл (4.1) тогда и только тогда, когда выполняется тождество (4.2). Тождества (4.2) верно в том и только в том случае,

когда имеет место система тождеств (4.4). По свойству транзитивности отношения экви-

И

Свойство 4.2. Если гамильтонова система (0.1) имеет комплексозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1), то ем,у комплексно сопряженный полипом,

Ш : ^,р) — ЯеШ^,р) — г 1тШ^,р) V(q,p) е К2п

также будет комплексозначным полиномиальным частным интегралом этой гамильтоновой систем,ы, (0.1). При этом, имеет место тождество

[Ш^,р), н^,р)] = Ж^,р) V(q,р) е К2п, (4.5)

где Ж: К2п — С есть комплексно сопряженный полипом, с Ж: К2п — С из (4.2).

Доказательство. По свойству билинейности скобок Пуассона, с учетом (4.4) имеем:

\Ш^,р),н^,р)] = [Я,еШ^,р)— г 1т Ш^,р),н^,р)] = [Я,еШ^,р),н^,р)] —г [1т Ш^,р),н^,р)] =

= И,е Ш ^, р)Яе Ж(q, р)—1т Ш ^, р)1т Ш^,р)— г (И,е Ш ^, р)1т Ж^,р)+!т Ш р)Яе Ж^,р))=

= (И,еШ^,р) — г 1тШ^,р))(КеЖ^,р) — г 1тЖ^,р)) = Ш^,р) V(q,p) еК2п. И

По свойству 4.2, устанавливаем, что гамильтонова дифференциальная система (4.3) имеет имеет комплекснозначные полиномиальные частные интегралы

т : (9,р) — 91 + 92 — г (Р1 — Р2), ™2 : (9,р) — 91 — 92 — г (Р1 + Р2) V(q,p) е К4

с сомножителями Ж1: (9,р) — а — вг, Ж2: (9,р) — — а — вг V(9,p) е К4, соответственно. Символом К обозначим как поле вещественных чисел К, так и комплексных С. Свойство 4.3. Произведение 4^2 полиномов и: К п —V К и и2: К п —^ К является, вещественным или комплекснозначным полиномиальным частным интегралом гамильтоновой системы (0.1), если и только если, полиномы-сомножители щи и2 являются, полиномиальными частными интегралами, гамильтоновой системы (0.1).

Доказательство основано на определениях 1.1 и 4.1 и том, что верно тождество

[щЫ,р) и2(Я,р),н^р^ = [щЫ,р),н^р^ + и1^,р) [и2(Я,р),н^р^. И

Теорема 4.1. Гамильтонова система (0.1) имеет комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1) тогда, и только тогда, когда, гамильтонова систем,а, (0.1) имеет вещественный полиномиальный частный интеграл,

Р: (д,р) — Яе2 Ш^,р) + 1т2 Ш^,р) V(q,p) е К2п (4.6)

При этом, имеет место следующее тождество

[Р^,р),н^,р)] = 2Рр) ЯеЖ^,р) V(q,p) е К2п, (4.7)

где полипом, Ж: К2п — С определяется, из тождества, (4.2).

Доказательство основано на свойстве билинейности скобок Пуассона, тождестве Лейбница для скобок Пуассона, свойствах 4.1 и 4.2, а также на том, что

Ш(д,р) Ш(д,р) = Яе2ш(д,р) + 1т2ш(д,р) V(q,p) е М2п.

Учитывая тождества (4.4), имеем:

[Р (д,р),Я (д,р)] = [Яе2 ш(д,р) + 1т2 ш(д,р),Н (д,р)] =

= 2Яе ш(д,р) [Яе

= 2Яе ш(д,р)(Яе ш(д,р) ЯеМ(д,р) — 1тш(д,р) 1тМ(д,р)) +

+ 21т ш(д,р)(Яе ш(д,р)1т М(д,р) + 1т ш(д,р)Яе М(д,р)) =

= 2(Яе2 №(д,р) + 1т2 ш(д,р)) Яе М(д,р) = 2Р(д,р)Яе М(д,р) V(g,p) е М2п. И

Так, по теореме 4.1, обобщенно-консервативная полиномиальная гамильтонова дифференциальная система (4.3) имеет вещественные полиномиальные частные интегралы

Р :(9,Р) ^ (91 + 92)2 + (Р1 — Р2)2 V(9,p) е М4 и Р2 : (9,Р) ^ (91 — 92)2 + (Р + Р2)2 V(9,p) е М4

с сомножителями М1: (9,р) ^ 2а V(9,p) е М4 и М2: (9,р) ^ — 2а V(q,p) е М4, соответственно.

Как следствие из теоремы 4.1, основываясь на определении первого интеграла полиномиальной гамильтоновой системы (0.1), получаем следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть гамильтонова система (0.1) имеет комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1), такой, что в тождестве (4.2) у сомножителя М: М2п ^ С вещественная ч,асть Яе М(д,р) = 0 V(q,p) е С. Тогда, полипом, (4.6) является, первым интегралом обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0.1).

Теорема 4.3. Если гамильтонова систем,а, (0.1) имеет комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1), то у скалярной функции

где полипом, М: М2п ^ С определяются, из тождества, (4.2).

Доказательство. Используя свойство скобок Пуассона сложной функции, с учетом

С

А: (д,р) ^ аг^ 1т^(9,р) V(g,p) е С, С С{(д,р):Яеш(д,р) = 0} С М2п,

(4.8)

скобки Пуассона в силу гамильтоновой системы (0.1) равны,

[А(д,р), Я(д,р)] = 1тМ(д,р) V(g,p) е С,

(4.9)

¡м \ тт! \] Г 1тш(д,р) тт. , [А(д,р),Н(д,р)] = агС^-, Я(д,р)

■ [Яе ш(д,р),Я (д,р)] +

С2 = 1т га(9,р)

+ дл ( arctg ^

С1 =Ке Ш(9,р), • [1т Ш(<1,р),н (<1,р)]

С2 = 1т Ш(9,р)

— 1тШ^,р) [ЯеШ^,р),н^,р)] + ЯеШ^,р) [1тШ^,р),н^,р)] Яе2 Ш ^, р) + 1т2 Ш ^, р)

— 1тШ^,р) (ЯеШ^,р) ЯеЖ^,р) — 1тШ^,р) 1тЖ^,р)) +

Яе Ш^,р) + 1т Ш^,р)

+ Яе№^,р) (Яе№^,р) 1тЖ^,р) + 1т№^,р) ЯеЖ^,р)) ] = 1тЖ^,р).

4.2. Построение дополнительных первых интегралов гамильтоновой системы по комплекснозначным полиномиальным частным интегралам

Теорема 4.4. Пусть обобщенно-консервативная полиномиальная гамильтонова система (0,1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы

Ш(: ^,р) — т^,р) V(q,p) е К2п, ЕС С, I =1,...,5, (4.10)

такие, что в тождествах

[т^,р),н ^,р)] = т^,р) Ж^,р) V(q,p) е К2п, I =1,..., 5, (4.11)

полипом,ы,

Ж^,р) = рЖ^,р) V(q,p) е К2п, Р( е С, I =1,...,5, (4.12) где Ж: К2п — С есть комплекснозначный полипом,. Тогда, скалярные функции

:^,р) — П Р" ^,р)ехр( — 2 £ ^ А(^,р)) V(q,p) е С (4.13)

Г—1 V г— 1 /

и

5

р2: Ы,р) — II Р'1 (q,p) ех^2 £] А (^рЛ е С, (4.14)

1=1 ^ 1=1 '

где полипом,ы,

Р: ^,р) — Яе2т( + ^,р) V(q,p) е К2п, 1=1,..., 5, (4.15)

скалярные функции

А1 :(д,р) — аг^^т^тЩ V(q,p) е С, 1=1,. ..,5, (4.16)

1 Яе т( щ,р)

а комплексные числа п 1 = ] + г (г] = Яе п¡, V = 1т п[), I = 1,..., 5, находятся из

5

2

уравнения Ер [П[ = 0 при |2 = 0, будут первыми интегралами на любой области С =1 =1

из множества ,р): Яет(^,р) = 0, 1=1,...,5} гамильтоновой системы (0.1).

Доказательство. Если функции (4,10) являются комплексно шнчны.мн полиномиальными частными интегралами гамильтоновой системы (0,1), то полиномы (4,15) и функции (4,16) такие, что имеют место тождества (теоремы 4,1 и 4,3)

[Р(д,р),Я(д,р)] =2Р(д,р)ЯеШ1 (д,р) V(g,p) е М2п, 1=1,...,5, (4.17)

и

[А((д,р),Я(д,р)] = 1т(д,р) V(g,p) е С С М2п, 1=1,...,5, (4.18)

где М (: М2п ^ С, 1=1,...,5, суть полиномы из системы тождеств (4.11). С учетом того, что условия (4.12) равносильны системе тождеств

Яе М(д,р) = а Яе М(д,р) — а 1т М(д,р) V(g,p) е М2п, 1=1,..., 5,

1т(д,р) = а 1тМ(д,р) + аЯеМ(д,р) V(g,p) е М2п, 1=1,...,5,

где а = Яе р(, а = 1тр (, 1=1,...,5, на основании тождеств (4.17) и (4.18) получаем:

[Р1(9,р),Я(9,р)] =ехр (— 2 £ А А ((9,р^1 £ а Р^ (9,р) ПРк^'(9,р) [Р(^,р),Я(^,р)]

^ 1=1 ' 1=1 к=1

к=I

5

— 2 П Р 1 (9,Р) ехЩ — 2 £ А А [(^,РЛ £а( А ((^,Р),я(^,Р) =1 =1 =1

5

= 2 £ (а ЯеМ(д,р) — А 1тМ,(д,р)) Р1 (д,р) = =1

5

2 £ (а(А ЯеМ(д,р) — а 1тМ(д,р)) — А(а 1тМ(д,р) + а ЯеМ(д,р))) Р1(д,р)

1

=1

5

2 £((а А — Р[ А) ЯеМ(д,р) — (р[ а + аа) ¡тМ(д,р))Р[(д,р) V(g,p) е С;

=1

[Р2(^,р),Я(^,р)] = ехр( 2 £ А А (9,рН £ А Р^ 1(9,р) П Р^'(9,р) [Р(^,р),Я(^,р)] +

ч г

=1 =1 =1

=

5 ~ /® \ Г 5

+2 П Р7 (9,р) ехр(2 £ А А [ £а А ((^,р),Я (^,р)

=1 =1

5

'[ г

=1

2£ (А Яе М !(д,р) + А 1тМ(д,р)) Р2(д,р) =1

2Y1 (A Й Re M(q,p) - A ImM(q,p)) + rfl (p[ ImM(q,p) + A Re M(q,p))j F2(q,p) = [=1

s

= 2 (Йr + r Re+ (r r[ - A A)Im^M)F2(q,p) ^q^ G g.

=1

Выбирая числа = Г + i A (Г = Re A = Im nj, [= 1,..., s, так чтобы Xj P( = 0'

s s s

т.е. XX/T Г — A A) = 0, XXA Г + Г A) = 0 при EK|2 = 0, получаем, что функции (4,13) =1 =1 =1

и (3,14) будут первыми интегралами на области G гамильтоновой системы (0,1), И Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0,1) применимо Следствие 4.1. Пусть выполняются условия теоремы, 4,4, Тогда, функции

Fiff : (q,p) ^ P1(.C(q,p) (q,p) exp(— 2 (r¡c Af(q,p) + ^ (q,p))^ V(q,p) G G^,

и,

F2C? : (q,p) ^ P¡n?C(q,p) Pf(q,p) ex^2 (rc Af (q,p) + ^ (q,p))) V(q,p) G G2C?

соответственно

где числа п^ = П( + ¿Щ и П§ = А + ¿Щ, (,£ = 1,...,5, £ = (, находятся, из уравнений р^ п^ + Р§ П§ = 0 при |п^ |2 + |п? |2 = 0, (,£ = 1,...,5, £ = (, будут первыми, интегралам,и, на областях С^ и 02^ гамильтоновой системы, (0,1),

Теорема 4.5. Пусть гамильтопова систем,а, (0,1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4,10) такие, что в тождествах (4,11) у полиномов М: Е2га ^ С, 1=1,...,5, вещественные части связаны, тождествам,и

ИеМ(д,р) = р{М(д,р) У(д,р) е К2п, р [ Е К, 1=1,...,5, (4.20)

где М: К2п ^ К есть полипом,. Тогда, скалярная функция

5

Р: (д,р) ^ П е С с К2п, (4.21) [=1

где полипом,ы, Р[: К2п ^ К, [ = 1,..., 5, находятся по формулам (4.15), а вещественные

55

числа п[, [= 1,...,5, находятся из уравнения Е Р[ П[ = 0 при, Е П2 = 0, будет дополни-

[=1 [=1

тельным первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1).

Доказательство. На основании тождеств (4.17) при условиях (4.20) вычислим скобки Пуассона функции (4.21) в силу гамильтоновой системы (0.1):

-| 5 5

=1

[F (q,p),H (q,p)] = Д P[4t (q,p),H (q,p) = £ щР?- (q,p) Д P? (q,p)[Pt (q,p),H (q,p)]

[=i fc=i fc=[

5

2£ П( П 1 (?,р) М(д,р) е С.

1=1 1=1

55

Выбирая числа п(, I = 1,...,так, чтобы уравнение ^р ( п( = О ПРИ ^П? = 0,

=1 =1

получаем, что функция (4.21) будет первым интегралом на области С системы (0.1). И Из теоремы 4.5 при 5 = 2, р1 = р2 получаем

Следствие 4.2. Если гамильтопова система (0.1) имеет комплекснозначные полиномиальные частные интегралы (4.10) при 5 = 2 такие, что у поли номов М1: Е2га ^ С и М2: Е2га ^ С из тождеств (4.11) вещественные части,

ЯеМ1(д,р) = ЯеМ2(д,р) У(д,р) е И2п,

то скалярная функция

р: ^ Яе2т+ ¡п\т У(9,р) е С с И2«

Ке т2(^,р) + 1ш т2(^,р)

будет первым интегралом на области С га,м,ильтон,овой системы (0.1). Из теоремы 4.5 при 5 = 2, р1 = — р2 получаем

Следствие 4.4. Если гамильтопова система (0.1) имеет комплекснозначные полиномиальные частные интегралы (4.10) при 5 = 2 такие, что у поли номов М1: И2п ^ С и М2: И2п ^ С из тождеств (4.11) вещественные части,

Яе М1(д,р) = — Яе М2(д,р) У(д,р) е И2п,

то скалярная функция

Р: (<?,р) ^ (Ке2т 1(?,р) + 1ш2т 1(д,р^(Яе2т2(?,р) + 1ш2т2(<?,р)) V(q,p) е И2п

будет первым интегралом на пространстве И2п гамильтоповой системы (0.1). Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0.1) применимо Следствие 4.4. Пусть выполняются условия теорем,ы, 4.5. Тогда, функции

:(д,р) ^ Р"С (д,р) Р^ (д,р) е С^ С И2п, С = 1,..., 5, С =1,..., 5, £ = С,

где вещественные числа , С = 1,..., 5, £ = 1,..., 5, £ = находятся соответ-

ственно из

уравнений р^ п^ + р§ = 0 при п2 + п| = 0, С = 1,...,5, £ = 1,...,5, £ = будут первыми, интегралам,и, на областях С^ гамильтоповой системы (0.1).

Теорема 4.6. Пусть гамильтопова систем,а, (0.1) имеет комплекснозначные полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что в тождествах (4.11) у полиномов М(: И2п ^ С, 1=1,...,5, мнимые части, связаны, тождествам,и

1шМ ((д,р)= р (М(д,р) V(q,p) е И2п, р ( е И, 1=1,...,5, (4.22)

где М: И2п ^ И есть полипом,. Тогда, скалярная функция

Р: (о,р) т А[(о,р) У(д,р) € С С К2п, (4.23)

[=1

где функции А[: С ^ К, [ = 1,...,з, находятся, по формулам (4.16), а вещественные

5 5

числа т , [ = 1,..., з, находятся, из уравнения Е Р [ Т = 0 при Е Т2 = 0, будет первым

[=1 [=1

С

Доказательство. На основании тождеств (4.18) при условиях (4.22) вычислим скобки С

5

5

[Р(д,р),Я(д,р)] = £Т[А[(д,р),Я(о,р) = £Т[ [А[(д,р),Я(д,р)] = £Р[Т[М(о,р).

=1

=1 =1

Выбирая числа т, [ = 1,...,з, так, чтобы Ер [ Т = 0 при Ет2 = 0, получаем,

=1 =1

что функция (4.23) будет первым интегралом на С гампльтоновой системы (0.1). И Из теоремы 4.6 при з = 2, р1 = р2 получаем

Следствие 4.5. Если га,м,ил,ьтопова, система (0.1) имеет комплекснозначные полиномиальные частные интегралы (4.10) приз = 2 такие, что у поли номов М1: К2п ^ С и М2: К2п ^ С из тождеств (4.11) мнимые части, связаны, тождествами

1тМ1(д,р) = 1тМ2(о,р) У(д,р) € К2п, (4.24)

то функция

р:{ ) ^ К т 1(д,р)1т т 2^) - 1т т ^р)^ т 2^) £ с с К2п (425) Ке т 1(д,р)Ке т 2(о,р) + 1т т 1(д,р)1т т 2(о,р)

С

Доказательство. С учетом (4.24), согласно теореме 4.6 получаем, что функция ^ / ч 1тт 1(0,0) 1тт2(о,р) ч ^

^ ^нтгш - ^нтжр) ^ € С

является первым интегралом па области С С К2п гамильтоновой системы (0.1). Используя тригонометрические преобразования, эту функцию приводим к виду (4.25). И

Из теоремы 4.6 при з = 2, р1 = — р2 получаем

Следствие 4.6. Если га,м,ил,ьтопова, система (0.1) имеет комплексно значные полиномиальные частные интегралы (4.10) приз = 2 такие, что у поли номов М1: К2п ^ С и М2: К2п ^ С из тождеств (4.11) мнимые части, связаны, тождествами

1тМ1(о,р) = — 1тМ2(о,р) У(д,р) € К2п,

то функция

р: (0 р) ^ Кет 1(0,р)1тт2(д,Р) + 1тт 1(д,Р)Яет2(д,р) ч € С С К2п

' ' И,е т 1 (о,р)Ке т 2(о,р) — 1т т 1(о,р)1т т 2(о,р) '

Дифференциальные уравнения и процессы управления, N. 1, 2022 С

Доказательство аналогично доказательству следствия 4,5 с той лишь разницей, что

С

^ / ч 1шт 1 (о, р) 1шт2(о, р) , ,, ч ^ _

(о'р) ^ агс'8 в^тжру + агс48 в^тжРУ е С*И

Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0,1) применимо Следствие 4.7. Пусть выполняются условия теоремы, 4,6, Тогда, функции

: (?,р) ^ тс Ас(д,р) + т? А?(д,р) е Сс? С М2п, <,£ =1,...,5, £ = С,

где вещественные числа т^м , ( = 1,...,5, £ = 1,...,5, £ = находятся соответ-уравнений р^ т^ + р? = 0 при т2 + т| = 0, ( = 1,...,5, £ = 1,...,5, £ =

ственно из

будут первыми, интегралам,и, на областях С^ гамильтоновой системы, (0,1), Для обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы

Н: (9,р) ^ 1 (р2 + Р2 + 92 + 92) V(g,p) е И4 (4.26)

по комплекснозначным линейным частным интегралам

№1: (9,р) ^ 91 — гр1 V(g,p) е М4 и го2 : (9,р) ^ 92 — гр2 V(g,p) е М4 с сомножителями М^^) = М2(9,р) = г V(g,p) е М4 строим дополнительные первые интегралы

Р: (9,р) ^ 92 + р1 V(q,p) е М4, Р2 : (д,р) ^ + р2 V(g,p) е М4 (Теорема 4.2) и на любой области С С {(д,р): 91 = 0, 92 = 0, 9192 + р1р2 = 0} (Теорема 4.6 или Следствие 4.5)

Р : (9, р) ^ аг^ап ^ — arctan ^ = 91р2 — 92р V(g, р) е С. 91 92 9192 + р1р2

Будучи функционально независимыми, первые интегралы Р^, Р2 и р образуют автономный интегральный базис гамильтоновой системы (4.26) на любой области С. Отметим и то, что

гамильтониан системы Н = — (р + Р2) есть линейная комбинация первых интегралов и

Теорема 4.7. Пусть гамильтопова систем,а, (0,1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4,10) такие, что в тождествах (4,11) у полиномов М(: М2п ^ С, ( = 1,...,5, вещественные части, удовлетворяют тождествам, (4,20). Кроме этого систем,а, (0,1) имеет комплекспозпачпые частные интегралы

т^ :(д,р) ^ т^ (д,р) е М2п, Е т^1 С С, (1 = 1,..., 51, (4.27)

такие, что в тождествах

К5 (9,р),Я(9,р)] = т^ (о,р) М15 (о,р) е М2п, (1 = 1,..., 51, (4.28)

у полиномов М(1 1: М2п ^ С, (1 = 1,...,51, мнимые части

1ш(о,р) = р(15 М(о,р) V(q,p) е М2п, р(15 е М, (1 = 1,...,51, (4.29)

где полином М: К ^ К. Тогда, скалярная функция

Р: (0,р) ^ I! Р* (0,р) ехр( £ т(1) А^ (д,рЛ У(д,р) € С С К [=1 ^ ^=1 1 1 '

где Р[: К2п ^ К, [ = 1,...,з, сушь полипом,ы, (4.15), функции

1т т([1) (0,Р) К т(1) (о,р)

А(1): (о,р) ^ arctg

У(0,р) € С, [1 = 1,...,31,

(4.30)

(4.31)

а вещественные числа щ, [ = 1,...,з, т(1), [1 = 1,...,з1, находятся, из линейного одно-

родного уравнения X р( т( + 2^ Р [П[ = 0 при Е(г[) = 0, Е П2 = 0, будет первым 1=1 1 1 =1 1=1 1 =1

С

Доказательство. Если функции (4.10) являются комплекенозначными полиномиальными частными интегралами гамильтоновой системы (0.1), то, по теореме 4.1, полиномы (4.15) будут вещественными полиномиальными частными интегралами гамильтоновой системы (0.1). При этом имеет место система тождеств (4.17). Если функции (4.27) являются комплекенозначными полиномиальными частными интегралами гамильтоновой системы (0.1), то, по теореме 4.3, функции (4.31) такие, что выполняются тождества

К (0,р), Н(0,р)] = 1тМ(1) (0,р) У(0,р) € С С К2п, [1 = 1,...,з1

(4.32)

где М(1 : К2п ^ С, [1 = 1,...,з1, суть полиномы из системы тождеств (4.28).

Тогда на основании системы тождеств (4.17) при условиях (4.20) и тождеств (4.32) при условиях (4.29) вычислим скобки Пуассона функции (4.30) в силу системы (0.1):

[Р(0,р),Н(0,Р)] = I РП( (0,Р) ехр^ £ т(11) ^ ,Н(0,р)

=1

ехр

£т(1)А([1) (о,р) ПРТ1 (0,Р),Н (0,Р) + П Р* (0,Р) ехр Е Г(1)А[1) (М ,Н (0,р)

=1

=1

ех^ £ \ А(1) (д,рЛ 5 П[Р|?[-1(9,Р) II Р?(0,р) [Р (0,р),Н(о,р)] +

М.=1 1 1 ' [=1 к=1

к=1 к=[

=1

+ П РГ1 (0,р) ехр Е т(1) А([1)(0,р) т(1) [А([1)(о,р),Н(д,р)]

Е Р(]) т(1) +2 £ Р [ П ) П Р'1 (0,Р) ех^ Е т(]) А(1) (д,рЛ М(о,р) У(д,р) € С. =1 1 1 =1 =1 =1 1 1

Выбирая вещественные числа п(, ( = 1,..., 5, т(11 , (1 = 1,..., 51, так, чтобы

51 5 51 2 5

^2 Р{ т( + 2^2 р (П( = 0 при £(т[) = 0, Еп(2 = 0, получаем, что функция (4.30)

1=1 1 1 =1 1=1 1 =1

будет первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1). И

Из теоремы 4.7 при ( = ((1), 5 = 51, Ш( = Ш(1), ( = 1,...,5, получаем, что имеет место

Следствие 4.8. Пусть обобщенно-консервативная гамильтопова системы (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10). Тогда функция

55

Р: (0,р) ^ П Р71 (0,Р) ехР £ т( А((д,р) V(q,p) е С С М2п, =1 =1

55

где числа п( е М, т( е М, ( = 1,...,5, ^ |п(| + ^2 |т(| = 0, скалярные функции Р(: М2п ^ М

=1 =1

«А (: С ^ М, ( = 1,..., 5, находятся по формулам (4.15) и (4.16), соответственно, будет дополнительным первым интегралом гамильтоновой системы (0.1), если и только если в тождествах (4.11) полиномы М(: М2п ^ С, ( = 1,...,5, такие, что

2 £ п( КеМ((д,р) + £ т( 1шМ((о,р) = 0 V(q,p) е М2п

=1 =1

Для обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (4.3), по следствию 4.8, на основании комплекснозначного линейного частного интеграла ГО1: (9,р) ^ 91 + 92 + г (р1 — р2) V(g,p) е М4 с сомножителем М1(9,р) = а + г в V(9,p) е М4 строим первый интеграл (п = в, т = — 2а)

Р: (9,р) ^ ((91 + 92)2 + (р1 — р2)2)в ехр( — 2а aгctan Р1 — РЛ V(9,p) е С С {(9,р): 91 + 92 = 0},

\ 91 ± 92 /

а на основании комплекснозначного частного интеграла ГО2 : (9,р) ^ 91—92±г (р1±р2) V(9,p) е М4 с сомножителем М^^р) = — а + г в V(9,p) е М4 строим первый инт еграл (п = в, т = 2а)

Р : (9,р) ^ ((91 — 92)2 + (р1 + р2)2)в ехр( 2а аг^ап р1±^ ) V(9,p) е С С {(9,р): 91 — 92 = 0}.

91 — 92

По теорема 4.6 (или следствию 4.5) строим дополнительный первый интеграл системы (4.3) Р3 :(9,р) ^ aгctan р1±^2 — аг^ап = 2 91р2 ± 92р1 2 V(9,p) е С3 С С1 П С2.

3 91 — 92 91 ± 92 92 — 92 ± р2 — р2 3 1 2

Будучи функционально независимыми, первые интегралы р и р образуют автономный интегральный базис полиномиальной гамильтоновой системы (4.3) на любой области С С М4.

5 = 1 , 5 1 = 1

Следствие 4.9. Если гамильтопова систем,а (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы, т1: Мп ^ С и т^1: Мп ^ С та,кие, что их сомножители М1: М ^ Си М111: М2п ^ С из тождеств (4.11) и (4.28) связаны тождеством

КеМ1(д,р) = в 1шМ?1 (о,р) V(q,p) е М2п, в е М\{0}, то скалярная функция

Р: (о,р) ^ Р1(0,р) ехр( — 2^А^ (д,р)) У(о,р) € С С К2п,

где полином Р1: К2п ^ К находится по формулам (4.15), функция А(11): С ^ К — по форС

Для построения интегрального базиса системы (0.1) может быть использовано Следствие 4.10. Пусть выполняются условия теоремы 4.7. Тогда функции

Рсе:(0,Р) ^ РП(0,р) ехр т^1)А^1)(о,р) У(д,р) € Сс? С К2п, С = 1,...,з, С =1,...,з1 , где вещественные числа п^ , С = 1,..., з, м т^1) , С = 1,..., з1, находятся, соответственно

из

уравнений + 2р^ п^ = 0 при (т? ) + п| = 0, ( = 1,...,з, С = 1,...,з1, будут

первыми, интегралам,и, на областях С^ полиномиальной гамильтоновой системы, (0.1).

4.3. Построение дополнительных первых интегралов гамильтоновой системы по комплекснозначным и вещественным полиномиальным частным интегралам

Теорема 4.8. Пусть гамильтопова систем,а, (0.1) имеет вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) такие, что выполняются тождества, (1.13). Кроме этого гамильтопова систем,а, (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что в тождествах (4.11) у полиномов М [: К2п ^ С, [ = 1,...,з, вещественные части связаны тождествам,и (4.20). Тогда, скалярная функция

э з

Р:(0,р) ^ П ^ (0,Р) П рП (0,р) у(0,р) € С С К2п, (4.34) 1=1 [=1

где полиномы Р[: К2п ^ К, [ = 1,...,з, находятся по формулам (4.15), а вещественные

эз

числа 7г, I = 1,..., 5, п[, [ = 1,...,з, находятся из уравнения Е А^ + 2 Е Р [ П = 0 при

1=1 [=1

эз

22

Ет2 = 0, Еп(2 = 0, будет первым интегралом гамильтоновой системы (0.1). 1=1 [=1

Доказательство. При выполнении тождеств (1.13), (4.11) и (4.20) вычислим скобки Пуассона функции (4.34) в силу гамильтоновой системы (0.1):

=1

[Р(о,р),Н(д,р)] =П Р" (0,Р) П

^ (о,р), Н(о,р) + Л ^ (о,р) рП'(о,р), Н(о,р) 1=1

1=1

=1

5 71 ^ 1(^,Р) П (9,р [^г(0,Р),Н(0,Р)] П р*' (0,Р) +

1=1 к=1 [=1

к=1

з з э

+ Е Ар*' (9,р П Рк*(0,р) [Р[(0,Р),НП^(0,р)

[=1 к=1 1=1

к=[

э з \ э з

5 А171 + 2 5 Р [ п [) П (9, р) П Р* (0, р) М(9, р) ^д, р) € С.

1=1 [=1 ' 1=1 [=1

Выбирая вещественные числа 7г, I = 1,... 5, п (, ( = 1,...,5, так, чтобы имело место

8 5

22

Е Аг 7г + 2^ р ( П( = 0 при условии Е 7г2 = 0, Е п2 = 0, получаем, что функция (4.34) 1=1 (=1 г=1 (=1

является первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1). И

Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0.1) применимо Следствие 4.11. Пусть выполняются условия теоремы, 4.8. Тогда, функции

Рс? :(д,р) ^ (д,р) РП (д,р) е Сс? С М2п, < = 1,...,5, £ =1,...,5,

где полипом,ы, Р?: М2п ^ М, £ = 1,...,5, находятся по формулам (4.15), а вещественные числа 7^ м п^, С = 1,...,5, £ = 1,..., 5, находятся соответственно из линейных однородных уравнений А^ + 2р? п^ = 0 при 72 + п| = 0, ( = 1,..., 5, £ = 1,...,5, будут первыми, интегралам,и, на областях С^ полиномиальной гамильтоновой системы, (0.1).

Теорема 4.9. Пусть гамильтопова систем,а, (0.1) имеет вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) такие, что выполняются тождества, (1.13). Кроме этого гамильтопова систем,а, (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что в тождествах (4.11) у полиномов М(: М2п ^ С, ( = 1,...,5, мнимые части связаны, тождествам,и (4.22). Тогда, скалярная функция

5

Р: (о,р) ^ П ^ (о,Р) ехр£ т(А((д,р) V(q,p) е С С М2п, (4.35)

г

г=1 (=1

где функции А (: С ^ М, ( = 1,...,5, находятся по формулам (4.16), а вещественные

8 5

числа 7г, I = 1,..., 5, т(, ( = 1,...,5, находятся из уравнения Е Аг7г + Е р( т( = 0, при г г=1 г г =1

8 5

Етг2 = 0, Ет(2 = 0, будет первым интегралом гамильтоновой системы (0.1).

г=1 г =1

Доказательство. При выполнении тождеств (1.13), (4.11) и (4.22) вычислим скобки Пуассона функции (4.35) в силу гамильтоновой системы (0.1):

Г 8 1 8

[Р(д,р),Я(д,р^ = ех^ХтА ((0,Р) П^г1(0,Р),Я(0,Р) +П^г1(0,Р) ехР^тА((0,Р),Я(0,Р)

(=1 ч=1 J г=1 (=1

71-1-

'(А ((У,Р) /г ^г

(=1 г=1 к=1

к=г

ехр£ т(А( 7г V (9,р П ^ (0,р И +

8 5 5

+ П1 (0,Р)ех^Хт(А((0,р Xт( [А((0,Р),Я(0,Р)]

г=1 (=1 (=1

8 5

ХАг^г + Х р (т() ГК (9,Р)ех^Х т(А( (0,р М (0,р е С.

г=1 (=1 ' г=1 (=1

Выбирая вещественные числа 7г, I = 1,... 5, т(, ( = 1,...,5, так, чтобы имело место

в 5 в 5

Е Аг7г + Е Р [ Т = 0 при Е 72 = 0, Е т2 = 0, получаем, что функция (4,35) является 1=1 1=1 г=1 1=1

первым интегралом на области О полиномиальной гамильтоновой системы (0,1), И Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0,1) применимо Следствие 4.12. Пусть выполняются условия теоремы, 4,9, Тогда, функции

:(д,р) ^ (9,р)ехр(т? (д,р)) У(д,р) € Ос? С К2п, С = 1,...,5 С =1,..., 5,

где функции : О^ ^ К, С = 1,...,5, находятся по формулам (4,16), а вещественные числа м , ( = 1,..., 5, С = 1,..., 5, находятся соответственно из линейных однородных уравнений А^7^ + Р^ = 0 при 72 + т2 = 0, ( = 1,..., 5, С = 1,..., г, будут первыми интегралам,и на областях О^ полиномиальной гамильтоновой системы, (0,1), Обобщенно-консервативная полиномиальная гамильтонова система

Н: (д, р) ^ 1 (р2 + р2 - 7^2 + 8д^ - д2) V(g, р) € К4 (4.36)

имеет два вещественных полиномиальных (линейных) частных интеграла

: (д, р) ^ 6д1 — 3д2 — 2р1 + р2 У(д, р) € К4 и -ш2 : (д, р) ^ — 6д1 + 3д2 — 2р1 + р2 У(д, р) € К4

с сомножителями М1(д,р) = — 3 У(д,р) € К4 и М2(д,р) = 3 У(д,р) € К4, соответственно, и комплекснозначный линейный частный интеграл ГО : (д, р) ^ д1 + 2д2 — г (р1 + 2р2) У(д, р) € К4 с сомножителем М(д,р) = г У(д,р) € К4. Для системы (4.36), по следствию 1.2 (или теореме 1.3), на основании двух вещественных частных интегралов ^ и ^ строит первый интеграл

Р: (д,р) ^ (2р1 — р2)2 — 9(2д1 — д2)2 У(д,р) € К4,

по теореме 4.2, на основании комилекснозначного частного интеграла ГО строим первый интеграл

Р2: (д,р) ^ (д1 + 2д2)2 + (р1 +2р2)2 У(д,р) € К4,

а, по теореме 4.9 (или следствию 4.12), на основании вещественного частного интеграла ^ и комплекснозначного частного интеграла ГО строим дополнительный первый интеграл

— 3 arctan 1 2 ) У(д, р) € С С {(д, р): д1 + 2д2 = 0}. д1 + 2д2 /

Будучи функционально независимыми, первые интегралы Р^, Р2 и р образуют автономный интегральный базис полиномиальной гамильтоновой системы (4.36) на любой области С С К4.

Гамильтониан Н = — (Р\ + Р2) есть линейная комбинация первых интегралов Р\ и Р2. С

Н

С

взять любое из множеств функций { Р\, Р2, Р3 }, { Н, Р2, Р }, { Р, Н, Р3 }.

4.4. Построение первых интегралов гамильтоновой системы по комплекснознач-ным и кратным вещественным полиномиальным частным интегралам

Теорема 4.10. Пусть гамильтонова систем,а, (0.1) имеет кратные вещественные

полиномиальные частные интегралы (1.5) кратностей кг = 1 + ^ гг , 1 = 1,..., 5, со-

?г=1 1

ответственно, относительно которых выполняются тождества (2.7), и существуют такие £г е {1,..., ег}, I = 1,..., 5, что при фиксированных дч е {1,..., гч }, I = 1,..., 5, выполняются тождества (2.8). Кроме этого система (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что в тождествах (4.11) у полиномов М(: М2п ^ С, ( = 1,...,5, вещественные части, связаны, тождествам,и (4.20). Тогда,

Р: (0,Р) ^ П РГ (0,Р) ехр £ агКг/ (д,р) е С С М2п,

=1

г=1

9е I ч

(4.37)

где полипом,ы, Р(: М2п ^ М, ( = 1,...,5, находятся по формулам (4.15), а вещественные числа аг, I = 1,...,5, п(, ( = 1,..., 5, находятся из линейного однородного уравнения

ЕА,а + 2Е р(п( = 0 при Е а2 = 0, Еп2 = 0, будет первым интегралом системы (0.1) г=1 г г =1 г

2=0, Еп? =

г=1 =1

Доказательство. При выполнении тождеств (2.7), (2.8), (4.11) и (4.20) вычислим скобки Пуассона функции (4.37) в силу полиномиальной гамильтоновой системы (0.1):

[Р(о,Р),Н(о,р)] =ехр£ агКг/ д (о,р) Д Р(П( (д,р),#(о,р)

г=1

=1

+

+ П Р' (9>Р)ехРХ агК/ д? (0,р X агК/д, (0,Р),Я(0,Р)

=1

г=1

г=1

г г/ч дч

ехР£агКг/ д (о,р) £п (1(о,р)П (о,Р) (о,Р),я(о,Р)] +

г=1

=1

к=1 к=(

+ П Р(П(9,Р)ех^Х агК/д,аг К/д,(9,Р),Я(0,р

г=1 ч ч ч ч

=1

Ч, %

г=1

г/Ч дЧ

5 8

]>]Аг аг + 2 £ рщ) П Р"' (о,Р) ехр £ аг Кг/ д (д,р) М(д,р) е С.

г=1 (=1 ' (=1 г=1

Выбирая вещественные числа аг, I = 1,... 5, п (, ( = 1,...,5, так, чтобы имело место

8 5 8 5

Е Аг аг + 2 Е р ( п( = 0 при Е а2 = 0, Е п2 = 0, получаем, что функция (4.37) является г=1 (=1 г=1 (=1

СИ Для построения базиса первых интегралов гамильтоновой системы (0.1) применимо Следствие 4.13. Пусть выполняются условия теорем,ы, 4.10. Тогда, функции

РЛп :(д,р) ^ РПв (9,Р)ехр аК/п (о,р) е ССр С М2п, < = 1,...,5 в =1,...,5,

ч ч

где полиномы Ре: Мп ^ М, в = 1,...,5, находятся по формулам (4.15), о вещественные числа а^м пе, С = 1,..., 5 в = 1,..., 5, находятся соответственно из линейных однородных уравнений А^а^ + 2репе = 0 при а2 + п2 = 0, С = 1,..., 5, в = 1,...,5, будут первыми,

интегралами, на областях С^ полиномиальной гам,ильтоновой системы, (0.1).

Теорема 4.11. Пусть систем,а, (0.1) имеет кратные вещественные полипом,иаль-

£1

ные частные интегралы (1.5) кратностей щ = 1 + ^ , I = 1,...,5, соответ-

ствеппо, относительно которых выполняются тождества, (2.7), и существуют такие € {1,..., ег}, I = 1,..., 5, что при фиксированных д^ Е {1,...,г^ }, I = 1,..., 5, выполняются, тождества, (2.8). Кром,е этого систем,а, (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что в тождествах (4.11) у полиномов М: Е2п ^ С, 1=1,...,з, мнимые части, связаны, тождествам,и (4.22). Тогда, функция

э з

Р: (9,р) ^ ^аК1{ д (д,р) + ^тА(д,р) € С С Е2п, (4.38)

1=1 [=1

где функции А[: С ^ Е, [ = 1,...,з, находятся, по формулам (4.16), а вещественные чис-

э з

ла, а1, I = 1,..., 5, т , [ = 1,...,з, находятся, из линейного уравнения А а + X] Р [т[ = 0

1=1 [=1

эз

при X] а2 = 0, X] Т2 = 0, будет первым интегралом на области С системы (0.1). 1=1 [=1

Доказательство. При выполнении тождеств (2.7), (2.8), (4.11) и (4.22) вычислим скоб-

С

|- э з

[Р (д,р),Я (д,р)] = £

^ 1=1 [=1

э з / э з ч

= Хл [кг/ я (?,Р),Я(д,р)1 + ^Т[ [А[(5,р),Я(д,р)] = ( ^Агаг + ^рт^М^р). 1=1 [=1 \ 1=1 [=1 /

Выбирая вещественные числа аг, I = 1,... 5, т, [ = 1,...,з, так, чтобы имело место

э з э з

аг + X] Р [ Т = 0 при X] аг2 = 0, Х^7"2 = 0, получаем, что скалярная функция (4.38) 1=1 [=1 1=1 [=1

является первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1). И

Для построения базиса первых интегралов гамильтоновой системы (0.1) применимо Следствие 4.14. Пусть выполняются условия теорем,ы, 4.11. Тогда, функции

Р : (д,р) ^ а.К (д,р) + т^А^(д,р) У(д,р) € ССе С Е2п, ( = 1,..., 5, в = 1,...,з,

где функции А^: С ^ Е, в = 1,...,з, находятся, по формулам (4.16), о вещественные числа а^ и те, £ = 1,...,5, в = 1,...,з, находятся, соответственно из линейных однородных уравнений А^а^ + ре те = 0 при а2 + т^ = 0, ( = 1,..., 5, в = 1,...,з, будут первыми интегралам,и на областях С^ гамильтоновой системы (0.1).

По следствию 4.14, для обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы

Н: (д, р) ^ 1 ( - 7^2 + 8д^ - - р2) V(g, р) € Е4

на основании кратного вещественного полиномиального частного интеграла и>: (д,р) ^ ^ такого,

р -+ 4р

что функции К11: (д,р) ^ -2 V(q,p) е С С {(д,р): = 0} и Е11: (д,р) ^ — 1 V(q,p) е М4,

и комплекснозначного полиномиального частного интеграла ГО : (д, р) ^ 4^ — ^ — гр2 V(g, р) е М4 с сомножителем М: (д,р) ^ г V(q,p) е М4 строим дополнительный первый интеграл

Р: (д, р) ^ arctan —Р2--Р1 + 4р2 V(q, р) е С.

4^1 — 9?1

4.5. Построение первых интегралов гамильтоновой системы по комплекснознач-ным полиномиальным частным интегралам и условным частным интегралам

Как по теореме 3.3 при т =1 (т.е. при наличие только одного условного частного

5 = 1

плекснозначного полиномиального частного интеграла) построить дополнительный первый интеграл обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0.1) не представляется возможным. В этих случаях могут быть использованы следующие утверждения

Теорема 4.12. Пусть гамильтопова система (0.1) имеет условные частные интегралы (3.4) при условиях (3.5) и (3.8) и комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) при условиям (4.11) и (4.20). Тогда скалярные функции

Р?С :(д,р) ^ Р^ (?,р)ехр(вс ^,р)) %,р) е С, £ = 1,..., 5, С = 1,... , т, (4.39)

где Р(: М2п ^ М, ( = 1,..., 5, суть полипом,ы, (4,15), а, вещественные числа п? и вс находятся, из уравнений 2р? п? + Рсвс = 0 щи |п?| + |всI = 0, £ = 1,...,5, ( = 1,..., т, будут первыми интегралам,и обобщенно-консервативной гамильтоновой системы, (0,1).

Действительно, с учетом теоремы 4,1, тождеств (3,5) при условии (3,8) и тождеств (4,11) при условии (4,20), вычислим скобки Пуассона

[Р?С(^Р),Я(?,Р)] = п?Р^ (^р) ■ [Р?(5,Р),Н(5,Р)] ■ ехр(вс^с(^,Р)) +

+ всРП*(5,р)ехр(вс^с(^,Р)) " К(^Р),Я(^,Р)] = = (2р? Щ + Рс вС )Р^ (?,Р)ехр(вс (д,р)) М (д,р) V(q,p) е С, £ =1,..., 5, ( = 1,...,т.

Выбирая числа п?, £ = 1,...,5, и вс, С = 1,..., т, так, чтобы 2р? п? + Рс вс = 0, получаем, что функции (4,39) будут первыми интегралами системы (0,1), И

Теорема 4.13. Пусть гамильтопова систем,а, (0,1) имеет условные частные интегралы, (3,4) при условия,х (3,5) и (3,8) и комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4,10) при условиях (4,11) и (4,22). Тогда, скалярные функции

Р?С: (5,Р) ^ т?А?(^,р) + вс^с(?,р) V(q,p) е С, £ =1,...,5, < = 1,...,т, (4.40)

где А(: С ^ М, ( = 1,...,5, суть функции (4.16), а вещественные числа т? и вс находятся из линейных уравнений р?т? + р^вс = 0 щи |т?| + |вс| =0, £ = 1,...,5, ( = 1,..., т, будут первым,и интегралам,и обобщенно-консервативной гамильтоновой системы, (0.1).

Действительно, с учетом теоремы 4.3, тождеств (3.5) при условии (3.8) и тождеств (4.11) при условии (4.22), вычислим скобки Пуассона

[Р?с(д,р),Я(д,р)] = т? [А?(д,р),Я(д,р)] + вс К(?,р),Я(д,р)] = (р?т? + рсвс) М(д,р)

V(q,p) е С С М2п, £ =1,..., 5, С = 1,... , т.

Выбирая числа т?, £ = 1,...,5, и в^, С = 1,..., т, так, чтобы р? т? + р^ в^ = 0, получаем, что функции (4.40) будут первыми интегралами системы (0.1). И

4.6. Построение неавтономных дополнительных первых интегралов гамильтоно-вой системы по комплекснозначным полиномиальным частным интегралам

Теорема 4.14. Если, обобщенно-консервативная полиномиальная га,м,ил,ьтопова, система (0.1) имеет такой комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1), что в тождестве (4.2) у полипом,а, М: М2п ^ С вещественная часть

Ие М(д,р) = А V(q,p) е М2п, А е М, (4.41) то скалярная функция

Р: (*,д,р) ^ Р(?,р) ехр( — 2 А*) V(í,q,p) е М2га+1, (4.42) где Р: М2п ^ М есть полипом, (4.6), будет первым интегралом системы (0.1).

Доказательство. В соответствии с теоремой 4.1 имеет место тождество (4.7). Тогда с учетом этого тождества при условии (4.41), вычислим производную Ли на расширенном фазовом пространстве М2га+1 функции (4.42) в силу гамильтоновой системы (0.1):

ВР(г,д,р)== — 2Р(*,д,р)д (А*) + [Р(д,р),Я(д,р)] ехр( — 2А*) = 0. И

Теорема 4.15. Если обобщенно-консервативная полиномиальная гамильтопова система (0.1) имеет такой комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1), что в тождестве (4.2) у полинома М: М2п ^ С, мнимая часть

1тМ(д,р) = А V(q,p) е М2п, А е М, (4.43)

то неавтономным первым интегралом гамильтоновой системы (0.1) будет функция

Р:(*,д,р) ^ аг^*тШ(^,р) — А* V(í,q,p) е М х С С М2п+1. (4.44)

Ке т(д,р)

Доказательство. В соответствии с теоремой 4.3 имеют место тождеств (4.9) относительно функции (4.8). Тогда с учетом этого тождества при условии (4.43), вычислим

М х С

ВР(*,д,р) = — д (А*) +

^ 1ш т(д,р) , я Ке т(д,р)

— А + 1т М(д,р) = 0.

Для обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы

Н: : (д, р) ^ 2 ( — 4^2 + 92 + р1 + р2) V(д, р) е М4 (4.45)

на основании комплекснозначного частного интеграла т: (д,р) ^ 92 — гр2 V(д,p) е М4 с сомножителем М(д,р) = г V(q,p) е М4, по теоремам 4.14 и 4.15, строим неавтономные первые интегралы

Р : (*,9,р) ^ 92 + У(*,9,р) е М5

и

Р2 :(*,9,р) ^ arctan ^ + * У(*,9,р) еМ х С, С С{(9,р): 92 = 0}. 92

По теореме 1.4, на основании вещественных полиномиальных (линейных) частных интегралов : (9,р) ^ 2д1 — р1 и -ш 2: (9,р) ^ 2д1 + р1 с сомножителями М1(д,р) = — 2 и М2(9,р) = 2 для гамильтоновой системы (4.45) строим неавтономные первые интегралы

Р3 :(*,9,р) ^ (2д1 — р1)в24 У(*,9,р) е М5 и Р4 :(*,9,р) ^ (2д1 + р1)в-24 У(*,9,р) е М5.

Неавтономные первые интегралы ,..., Р4, будучи функционально независимыми, образуют интегральный базис полиномиальной гамильтоновой системы (4.45) на области М х С.

Непосредственно из теорем 4.14 и 4.15 получаем

Следствие 4.15. Если гамильтопова система (0.1) имеет такой комплекснознач-пый полиномиальный частный интеграл, (4.1), что в тождестве (4.2) полипом,

М(д,р) = А У(д,р) е М2п, А е С, (Ие А = А, 1т А = А),

то первыми интегралам,и гамильтоновой системы, (0.1) будут скалярные функции

Р1: (*, д,р) ^ Р(д,р) ехр( — 2 А*) д,р) е М2га+1

и

Р2: (*, д,р) ^ arctg 1тт(д,р) — А* д,р) е М х С. 2 Ие т(д,р)

Например, по следствию 4.15, для полиномиальной гамильтоновой системы (4.3) на основании комплекснозначных полиномиальных (линейных) частных интегралов

т1: (9,р) ^ 91 + 92 + г (Р1 — Р2) У(9,р) е М4 и т2: (9,р) ^ 91 — 92 + г (Р1 + Р2) ^(9,р) е М4

с сомножителями М1 (9,р) = а + в г V(q,p) е М4 и М2(9,р) = — а + в г V(q,p) е М4, строим на области М х С, С С {(9,р): 92 = ±91}, базис неавтономных первых интегралов

Р1 :(*,9,р) ^ ((91 + 92)2 + (р1 — р2)2)е-2а4 У(*,9,р) е М х С,

Р2 : (*, 9, р) ^ arctan р1—^ — в* 9, р) е М х С, 91 + 92

Рз: (*, 9,р) ^ ((91 — 92)2 + (р1 + р2)2)е2"', У(*,9,р) е М х С,

Р4: (*, 9, р) ^ arctan — в* 9, р) е М х С.

4 91 — 92

5. Кратные комплекснозначные полиномиальные частные интегралы

5.1. Свойства кратных комплекснозначных полиномиальных частных интегралов Определение 5.1. Комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1)

е

гамилъ'топовой системы, (0.1) является, кратным и его кратность з = 1 + ^ г^, если,

С=1

существуют полином,ы, ^ 0 : М2п ^ С и ^тс0с: М2п ^ С, ^ е М, 0С = 1,. которые удовлетворяют систем,е тождеств

гС, Сe,

(д,р), Н(д,р)] = (д,р) У(д,р) е С, fc е М, 0С = 1,

,гс, С =1,.

(5.1)

где скалярные функции

ПТ я (9,р)

тс 0с

с 0С ШТс (д,р)

У(д,р) е С, Тс е М, 0С =1,

С = 1,

область С такая, ч,то ш(д,р) = 0 У(д,р) е С С М2п. При этом, каждый полином Пт

)> 0,

сис

Т^ е М, = 1,..., г^, С = 1,..., е, взаимно прост с ком,пл,експозпа,ч,пы,м, полиномиальным частным интегралом (4.1), а полипом,ы, ^тс0с, Тс е М, 0^ = 1,..., г^, С = 1,..., е, такие, что max{deg Ие ^тс0с, deg 1т : Тс е М, 0^ = 1,..., г^, С = 1,..., е } ^ Н — 2.

'с 0с

Так, например, обобщенно-консервативная полиномиальная гамильтонова система 1

Н:

р) ^ о (92 + 92) + а(91р2 — 92р1) V(9,p) е М4, а е М \ {0},

2

(5.2)

имеет комплекснозначный полиномиальный частный интеграл ГО: (9,р) ^ 92 + г 91 V(q,p) е М4 кратности не менее двух, ибо существуют полиномы 0П: (9,р) ^ р2 + гр1 и ЭТц : (9,р) ^ — 1, такие, что на области С С {(9, р): 92 + 92 = 0} пространства М4 выполняется тождество

[Кп(9,р),Н (9,р) =

П11(9,р) го(9,р)

, Н(9, р)

1

92 + г 91

р2+гр1, 2 (92+9з)+ а(91р2 — 92р1)

р2 + гр1 , 1 (92 + 92) + а (91р2 — 92р1) 92 + г 91 2

р2 + гр1

(92 + г91)2

9291, ^ (92+92)+а (91Р2 — 92Р1)

1 (ар1 — 92 — г (91 + ар2)) — (р+7д )2 (а91 — а92г) =

1

92 + г 91

92 + г 91

( — (92 + ¿91) + а(р1 — гр2)) +

аг (р2 + гр1)(92 + ¿91) (92 + г91)2

= — 1 V(q,p) е С

max{deg Ие ЭТ11, deg 1т ЭТ11} = 0 < Н — 2 = 2 — 2 = 0.

Система тождеств (5.1) равносильная вещественной системе тождеств

ИеК 0 (д,р),Н(д,р^ =ИеКТ 0 ^р^ |_1ткТс0с(^р),Н=1т^Тс0с (9,р) %,р) е С, Тс е М, 0С = 1,...,гс, С = 1,...,е.

(5.3)

е

г

е

С

На основании определения 5.1 и свойства 4.2 получаем

Свойство 5.1. Если гамильтопова система (0.1) имеет комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1) кратности з, то комплексно сопряженный полиномиальный частный интеграл, будет кратным, а, его кратность равна 3.

Аналогично свойству 2.1 кратных вещественных частных интегралов доказываем

Свойство 5.2. Если комплекснозначный полиномиальный частный интеграл, (4.1) обобщеппо-копсерва'тивпой га,м,ил,ьтоповой системы, (0.1) такой, что скобки Пуассона

[ш(д,р),Я(д,р)] = №т+1 (д,р)Р(д,р) V(q,p) е М2п,

где т — некоторое натуральное число, а, Р: М2п ^ С есть полином, то он является, кратным (кратности, не меньшей двух). При этом, имеет место тождество

А

Шт(з,р)

Я (^р)

— АтР(д,р) V(q,p) е С с М2п, А е С, А = 0.

Согласно определению 5.1 комплекенозначные полиномиальные частные интегралы (4.10) обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0.1) будут кратными соответ-

ч

ственно кратноетей 3 ( = 1 + Е г^ , 1=1,..., 5, тогда и только тогда, когда существуют по-

С^1 1

липомы 0.. : М2п ^ Си ти : М2п ^ С, Ь е Н, 0. = 1,..., г., С = 1,..., е , 1=1,..., 5,

Ч Ч Ч Ч

С

Ке0 (5,р),Я(5,р) =КеЖ Ц 0 ^^ 1т0 (^р),Я(5,р) =1т0 (^р);

(5.4)

%,р) е С с М2п, fC[ е Н, 0С[ = 1,...,гС[, <, = 1,...,е(, 1=1,...,5, где скалярные функции

0 ц( 0С (^,р)

Кц 0 (д,р) = —р- ^д,р) е Со ,, fC[ е Н, 0С[ = 1,..., гС[, <, =1,..., е,, 1=1,..., 5,

С(С( ^ (д,р)

области С0 [ С С такие, что (д,р) = 0 V(q,p) е Сш, I = 1,...,5. При этом каждый полипом 0 ц 0 , ^ е Н, = 1,..., г^ , С[ = 1,..., е [, взаимно прост с комплекенозначным

^ ^ I

полиномиальным частным интегралом Ш(, 1=1,...,5, а комплекенозначные полиномы Жц 0 , ^ е Н, 0^ = 1,..., г^, С[ = 1,..., е [, 1=1,..., 5, такие, что верно условие

^ I ^ I

тах^Ие 0 , degIm 0 : ^ е Н, 0С1 = 1,..., г^, <,=1,..., е(, 1=1,..., в} ^ К — 2.

^ ^ ^ I ^ I

5.2. Построение дополнительных первых интегралов гамильтоновой системы по кратным комплекенозначным полиномиальным частным интегралам

Теорема 5.1. Пусть гамилътонова система, (0.1) имеет кратные комплекснознач-

е I

пые полиномиальные частные интегралы (4.10) кратноетей 3 ( = 1 + Е г^, 1=1,..., 5,

С^1 I

такие, что имеют место тождества (4,11) и (5,4). Тогда скалярная функция

5 е1 Ч

Р: (д,р) ^ П Р 1 (д,р) ех^Е Е Ие\ 0(д,р) ^д,р) е С, (5.5)

=1

1=1 С[=1 0С =1

где полиномы р, [ = 1,...,5, находятся по формулам (4.15), а вещественные числа П, [ = ^ и V ( т 0 , ТС[ е ^ 0С[ = гС[, гС[ ^ гС[, ([ = е[, е( ^ е [, [= 5

5 е1 <4

V

= 0, С

такие, что ^ |п| + Е Е ^2 [=1 1=1 С(=1 0С[ =1

гамильтоповой системы (0.1), если и только если в тождествах (4.11) полиномы М[ и в тождествах (5.4) полиномы Я^ 0 , такие, что верно тождество

~ г

5 5 е[ Сг

2 £ п Ие М[(д,р) + £ £ £ V [т 0 Ие Я^ 0 (д,р) = 0 ^д,р) е С. (5.6)

[=1 [=1 С[=1 0С[ =1 Сг Сг Сг Сг

Доказательство. В соответствии с теоремой 4.1 и определением 5.1

5 ег гС[

[р(д,р),Н(д,р^ = ^ Е 0 ИеКт 0 (д,р) ■ П (д,р),Н(д,р)

[=1 С[=1 0С[ =1

=1

+

5 г 5 е( гС[

+ П ^ (д,р) ■ ехР£ £ £ V [« 0^ Ие0^ (9,р),Н(9,р)

[=1 1 [=1 С = 1 0. =1 С( С( С( С(

1 м

5 ег Сг

ехр££ £ V [т 0 Иект 0 (д,р) £пр[Пг 1 (9,р)П рЧ1(д,р)■ [р(д,р),Н(д,р)] +

[=1 Сг=1 0С =1

=1

к=1, е= [

5 ег Ч

5 ег Ч

[=1 [=1 Сг=10С =1 Сг Сг Сг Сг [=1 Сг=10С =1 Сг Сг

ИеКт 0 (д,р),Н(д,р)

Сг Сг

5 5 ег гСг

Р (д,р)(2 £ щ Ие М [ (д,р) + £££ V [ Т0 Ие я (д,р) ) е С.

[=1 [=1 С = 1 0л =1 Сг Сг Сг Сг

г м

С

мильтоновой системы (0.1) тогда и только тогда, когда выполняется тождество (5.6). И Теорема 5.2. Пусть гамильтопова система (0.1) имеет кратные комплекснознач-

ег

ные полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей 3 [ = 1 + ^ гс , [ = 1,..., 5,

Сг=1

такие, что в тождествах (4,11) у полиномов М [ вещественные части, удовлетворяют условиям (4,20), а в тождествах (5,4) у полиномов Ж ^ 0 вещественные части,

^I ^

Ие0 (д,р) = р[ М(д,р) ^д,р) е М2п, р[Ц 0 е М,

^ I ^ .... ' ^ I (5'7) ^ е 0^ , Ч ^ ^, = 1,...,е I, е I < е I, 5,

Тогда, функция (5,5), где вещественные числа щ, [= 1,...,5, м [^ 0 , ^еН, 0^= 1,..., г^ ~ ^ I ^ I

= 1,..., е [, 1=1,..., 5, находятся, из линейного однородного уравнения

5 е! - 5 е

2 Ерп+ЕЕ Ер .0С^ .0С =0 ^ £^1 + е Е Е1 ^ ,0С = (5.8) [=1 [=1 =1 0^=1 ^ с I ^ 1=1 1=1 с<=10^=1 0С<

будет первым интегралом обобщенно-консервативной гамильтоновой системы, (0,1),

Доказательство. Если имеют место тождества (4,20) и (5,7), а вещественные числа п [ и [' 0 являются решением линейного однородного уравнения (5,8), то выражение

5 е! Ч

2 Е П[ Ке М (д,р) + ЕЕ Е ^ [ ь 0, «* 0, (^р) [=1 [=1 ^=10С =1 ^ С I ^ ^

5

е I Ч

[

2Е р [П [ + ЕЕ Ер [ь 0, ^ [ь 0, М (^,р) = 0 ^р) е С. [=1 [=1 ^=10С[=1 с ^ I с ^ и

Таким образом, выполняются условия (5,6), а значит, согласно теореме 5,1 функция

СИ

Следствие 5.1. Если выполняются условия теорем,ы, 5,2, то функции Рц: (?,р) ^ РДя^ехр^ 0 Ие К 0 (д,р)) V(q,p) е С0„ С С, [=1,..., 5, к =1,..., 5,

где Р: М2п ^ М, [ = 1,...,5, есть полипом,ы, заданные формулам,и (4,15), фиксированные числа ^ е Н, 0£ е {1,..., г^ }, е {1,..., ек}, к = 1,..., 5, а вещественные числа п [ , [ = 1,..., 5, и 0 , к = 1,..., 5, находятся из уравпений 2р [ п [ + рк' 0 ^ 0 =0 пРи

условии, что |п[| + = 0, будут первыми, интегралами, на областях СО[к обобщенно-

' 0С{

консервативной полиномиальной гамильтоновой системы (0,1) соответственно.

Теорема 5.3. Пусть гамильтопова система, (0,1) имеет кратные комплекснознач-

е I

ные полиномиальные частные интегралы (4,10) кратноетей з [ = 1 + Е г^ , [ = 1,..., 5,

С= I

такие, что имеют место тождества, (4,11) и (5,4). Тогда, скалярная функция

5 ег

Р: ^ П Р'1 ехрХ X X Ъ [, 0 1тК, 0 (?,Р) е С, (5.9)

[=1

[=1 С(=1 0С =1

где полипомы, р, [ = 1,...,5, находятся, по формулам (4.15), а вещественные числа ^ и^ [, я ,^ е ^ 0С[ = 1,...,гС[, гС[ ^ гС[, ([ = 1,...,Т[, Т[ ^ е [, [=1,...,5

5 ег Ч

, 0л

М Ч

= 0, будет первым интегралом на области С

такие, что ^ |п | + Е Е ^ [=1 [=1 С(=1 0С[ =1

гамильтоновой системы (0.1), если и только если, в тождествах (4.11) полиномы М[ и в тождествах (5.4) полиномы Я, 0 , такие, что верно тождество

5 5 ё[ ГС[

2 X П[ Ке М[ (д,р) + XXX ,0 1т Я, 0 (д,р) = 0 У(д,р) е С. (5.10)

[=1 С[=1 0С =1 Сг Сг Сг Сг

=1

Доказательство. В соответствии с теоремой 4.1 и определением 5.1

5 ё[ ГС[ г 5

= ехР^ X] X] 0 1т0 (З'Р) ' П рП1 (9,р),Я(9'Р)

[=1 С[=1 0С =1

=1

+

5 г 5 е( %

+ П Р[П1 ■ ехРXXX Ь 0, 1т% 0,

м ч ч ч

=1

[=1 С[=1 0С[ =1

5 е( % 5

ехрХХ X 0 1тК, 0 X П[рП1 ^^П рП(9,р) ■ [р[(9,р),я(9,р)] +

[=1 С[=1 0С =1

[,сг 0сг [,сг 0Сг

=1

к=1, е=[

5 5 е( ГС[ 5 е( ГС[

+Пр[п^,р)ехрХХ X ^ ь ^ XX X ^ ^ 1"1т (5,р),я м

=1

[=1 С[=10С =1 Сг Сг С( С( [=1 Сг=10Л=1 Сг Сг Сг Сг

Ч = 1И Сг

/ 5 5 ег Сг Ч

= Р(д,р)(2 X П[ Ке М[(д,р) + XXX ^ 0 М Я, 0 (М) е С.

^ [=1 [=1 сг=1 0. =1 Сг Сг Сг Сг '

г ч

С

мильтоновой системы (0.1) тогда и только тогда, когда выполняется тождество (5.10). И Теорема 5.4. Пусть гамильтопова система (0.1) имеет кратные комплекснознач-

ег

ные полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей 3 [ = 1 + ^ гс , [ = 1,..., 5,

Сг=1

та,кие, что в тождествах (4.11) у полиномов М [ вещественные части удовлетворяют условиям (4.20), а в тождествах (5.4) у полиномов Я мнимые части

[,Сг 0Сг

1тЖ (д,р) = » я М(д,р) У(д,р) € К2п, » я € К,

€ М 0с( = 1,...,"сг, ^ гсг, С[ = l,...,е, е( < е [, í=l,...,з

Тогда, функция (5,9), где вещественные числа щ, 1= 1,...,з, м ф|» 0 , ^€ N 0^= 1,...,, ~ ^ 1 ^ 1

= 1,..., е [, 1=1,..., з, находятся из линейного однородного уравнения

з з ег ГСг _ 7 V

з е [ С [

2£лп| + 0 ф» 0 = 0 при Е М + ЕЕ Е =0, (5.12)

^ % » 1=1 1=1 С = 1 0, =1 % 0Сг

° 1» 0 ф 1» 0 = 0 при' |=1 1=1 С[=1 0С =1 С( С( С( С( |=1 |=1 ^ I=1 0С г=1 4 1

будет первым интегралом обобщенно-консервативной гамильтоповой системы, (0.1).

Доказательство. Если имеют место тождества (4.20) и (5.11), а вещественные числа П| и ф|» 0 являются решением линейного однородного уравнения (5.12), то выражение

£ г £ г

з е г Ч

2 £ П| М (М + £ ф| < 0^ 1т Ж 0^ (^р)

|=1 |=1 Сг=1 0С =1 с г с г с г с г

2 £р|П|+ Еа |»С[0^ф |»С[)М=0 €

|=1 |=1 Сг=1 0С[ =1

Таким образом, выполняются условия (5.10), а значит, согласно теореме 5.3 функция (5.9) является первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1). И

Следствие 5.2. Если выполняются условия теорем,ы, 5.4, то функции Рк : (д,р) ^ РГг(?,р)ехр(ф{» 0 1т ^ 0 (д,р)) У(д,р) € Ст С С, |=1,..., з, к =1,..., з,

где р: К2п ^ К, | = 1,...,з, есть полипом,ы, заданные формулам,и (4.15), фиксированные

числа € М, 0^ € {1,...," }, Се € {1,..., е^}, к = 1,...,з, а вещественные числа щ ,

| = 1,..., з, м фк» , к = 1,..., з, находятся из уравпений 2р | п | + ак» фк» = 0 при С{0С{ с{ 0С{ с{ 0С{

условии, что |п 11 + ф » = 0, будут первыми, интегралами, на областях |к обобщенно-

с{ с{

консервативной полиномиальной гамильтоновой системы (0.1) соответственно. Из теорем 5.2 и 5.4 получаем следующее утверждение.

Следствие 5.3. Пусть гамильтопова система, (0.1) имеет кратные комплекспо-

е г

зпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з | = 1 + Е Гг , |= 1,..., з,

Сг=1 г

такие, что в тождествах (4.11) у полиномов М | вещественные части, удовлетворяют условиям (4.20), а в тождествах (5.4) полипом,ы,

Ж » 0, (^,р) = (р |г 0.

» 0л , °|^ 0^ € К (5.13)

4 г г ^ г 4 г 4 г 4 г 4 г 4 г 4 г 4 г

€ М 0сг = 1,...,, ^ гсг, С| = 1,...,, < е |, |=1,...,з

Тогда функция (5.5) при (5.8) и функция (5.9) при (5.12) будут первыми интегралами, обобщеппо-копсерва'тивпой полиномиальной га,м,ил,ьтоповой систем,ы, (0.1).

Теорема 5.5. Пусть гамиль'топова система (0.1) имеет кратные комплекснознач-

ные полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з [ = 1 + ^ гс , 1=1,...,5,

С(=1 1

такие, что имеют место тождества, (4.11) и (5.4). Тогда, скалярная функция

5 5 ч Ч

Р: (д,р) ^ £ т А,(д,р) + ^ ^ £ р[* 0 КеК* 0 ^ ^^ е С С (5-14)

[=1 1=1 С[=10С[ =1 С( С( С( С(

где А[: С ^ К, [ = 1,..., 5, суть функции (4.16), а, вещественные числа т, I = 1,..., 5, и р[* 0 , ^ € N = 1,...,, ^ г^, С[ = 1,...,", " ^ е [, I = 1,..., 5, такие, что

V

ч ч

~ г

5 5 е[ £[

^ 1тI + ^ ^ ^ Р [* =0, будет дополнительным первым интегралом гамильто-[=1 [=1 С[=1 0С[ =1

новой системы (0.1) тогда, и только тогда, когда, в тождествах (4.11) полиномы М[ и в тождествах (5.4) полиномы функции 0 такие, что верно тождество

г

5 5 е[

^ Т 1тМ[(д,р) + ^ ^ ^ Р [* 0 ИеЯ^ 0 (д,р) = 0 У(д,р) € С. (5.15)

[=1 [=1 С[=10С[ =1 С( С( С( С(

Доказательство. В соответствии с теоремой 4.3 и определением 5.1 получаем, что 5 5 е %

[Р(?,р),Я(д,р)] = ^ Т[ [ А[(д,р),Я(д,р)] + ^^ ^ р^ 0 [Ие 0 (?,р),Я(д,р)

[=1 [=1 С[=10С[=1 С( С( С( С(

5 5 е( %

£т[ 1тМ(М + ^Х) [0, ИЯк 0, М ^р) € С.

[=1 [=1 С(=1 0С[ =1

С

гамильтоповой системы (0.1), если и только если выполняются тождества (5.15). И

Теорема 5.6. Пусть гамильтопова систем,а, (0.1) имеет кратные комплекснознач-

е1

ные полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей 3 [ = 1 + ^ г^ , [ = 1,..., 5,

С1=1 1

такие, что в тождествах (4.11) у полиномов М [ мнимые части удовлетворяют условиям, (4.22), а, в тождествах (5.4) у полиномов Я^ 0 вещественные части удовлетворяют условиям, (5.7). Тогда функция (5.14), где вещественные числа т , [ = 1,...,5, и р [* 0 , ^ € М, 0^ = 1,...,, = 1,..., е, [ = 1,..., 5, находятся из уравнения

з з е г Ч з з е г Ч

Ерт+Е Е Е рь 0С р |ь 0С =0 при Е |т|1 + Е Е Е к |^ 0.1 = (5Л6)

|=1 |=1 сг=1 0С[ =1 ' г ' г ' г ' г |=1 |=1 Сг=1 0С[ =1 с г с г

будет первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0,1),

Доказательство. Если имеют место тождества (4.22) и (5.7), а вещественные числа т и <р|. являются решением линейного однородного уравнения (5.16), то выражение

^ г ^ г

з з 7г \

Е Т| 1т М (^р) + ЕЕ Е р | < 0^ Яе Ж 0^ (^р) =

|=1 |=1 С = 1 0л =1 Сг Сг Сг Сг

г ^ г

з з 7г ГСг \

Ер|Т+ЕЕЕ%0Сч0, М(^,р) = 0 €С.

|=1 |=1 сг=1 0С[ =1 с гС г с гС г/

Таким образом, выполняется условие (5.15), а значит, согласно теореме 5.5 функция (5.14) будет первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0.1). И

Следствие 5.4. Если выполняются условия теоремы 5.6, то скалярные функции Рк: (?,Р) ^ тД(д,р) + р 0 ЯеКк» 0 (д,р) У(д,р) € С, |=1,...,з, к = 1,...,з,

где фиксированные числа € М, 0^€ {1,...," }, (к € {1,...,ек}, к = 1,...,з, а, вещественные числа т , | = 1,...,з, м <рк. , к = 1,...,з, находятся из линейных однородных

и

уравнений р |т| + рк. <рк. = 0 при условии, что |т | +

Ч Ч Ч ч

с{ с{

= 0,

тегралами обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы (0.1).

По следствию 5.4, для обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (5.2), используя кратный (кратность не менее двух) комплекснозначный полиномиальный частный интеграл

го: (д,р) ^ д2 + гд1 V(g,p) € М4 такой, что М(д,р) = — а г и Ки(д,р) = —-— , Ж11 (д,р) = — 1,

+г 91

строим на области С С {(д,р): 92 = 0} дополнительный первый интеграл

Р: (д, р) ^ arctan 91 — а + ^ v(g, р) € С С К2п. 92 + 92

Теорема 5.7. Пусть гамильтопова система, (0.1) имеет кратные комплекснознач-

ные полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з | = 1 + Е гс , | = 1,..., з,

Сг=1 г

такие, что имеют место тождества, (4.11) и (5.4). Тогда, скалярная функция

з з ег ГСг

Р: (д,р) ^ £ Т|А|(д,р) + £ £ £ ф|. 0 1тв 0 (д,р) %,р) € С С К2п, (5.17)

г=1 0с г- ' гС г ' гС г

|=1 |=1 С=10. =1 г г

где А|: С ^ М, | = 1,..., з, суть функции (4.16), а, вещественные числа т , | = 1,..., з,

и фtf g , fz G N, 0z = 1,..., rC[, 'z ^ rz, Z t = 1,..., e [, e t ^ e t, t = 1,..., s, такие, что

ч ч

ф,

= 0, будет дополнительным первым интегралом гамильто-

~~' X 5 5 е[

Е 1т| + ЕЕ Е т„ я

1=1 1=1 С[=1 0^ =1 % % новой системы (0,1) тогда, и только тогда, когда, в тождествах (4,11) полипом,ы, Ш1 и в тождествах (5,4) полипом,ы, функции 0 такие, что верно тождество

5 5 е ГС[

£ т 1тМ(д,р) + £ £ £ Ф1 1тЯ^ (д,р) = 0 У(д,р) € С. (5.18)

1=1 1=1 С[=1=1 С( С( С( С(

Доказательство. В соответствии с теоремой 4,3 и определением 5,1 получаем, что

5 5 е ХС[

[Р(д,р),Я(д,р)] = £ т [А((д,р),Я(д,р)] + ££ £ ф, 0 Г 1т^ 0 (д,р),Я(д,р)

'[ L i

[=1 t=i Z=1 0z =1

s s e( rC[

£ T[ ImM[(q,p) + £ £ £ ф [f g ImR (q,p) V(q,p) G G.

[=1 [=1 Z=1 0z =1

Отсюда получаем, что функция (5,17) является первым интегралом на области G гамильтоновой системы (0,1), если и только если выполняются тождества (5,18), И

Теорема 5.8. Пусть га,м,ил,ьтопова, система (0,1) имеет кратные комплекснознач-

ei

ные полиномиальные частные интегралы (4,10) кратностей zt = 1 + Е rc , t = 1,..., s,

CI=1 1

такие, что в тождествах (4,11) у полиномов M t мнимые части, удовлетворяют условиям, (4,22), а, в тождествах (5,4) у полиномов R[f мнимые части, удовлетворя,-

ч ч

ют условиям, (5,11). Тогда функция (5,17), где вещественные числа Tt , [ = 1,...,s, и ф tf 0 , f^ G N, 0z = 1,...,?z, Zt = 1,...,', t = 1,..., s, находятся, из уравнения

s s e[ 4 s s e[ 4

£p [T[ + ££ fz 0z ф[ fz 0z = 0 ^ 1 + £££|ф[ fz 0Z =0, (5-19)

[=1 t=1 C[=1 0z =1 4 4 4 4 t=1 t=1 z=1 0z =1 zi zi

будет первым интегралом на области С гамиль'топовой системы, (0.1).

Доказательство. Если имеют место тождества (4.22) и (5.11), а вещественные числа Т и ф (^ в являются решением линейного однородного уравнения (5.19), то выражение

s s e( %

E Tt Im M t(q,p) + £ E E Ф[fz 0z Im Rtfz 0z (q,p)

zl zl zl zl

' I

t=1 t=1 C(=1 0z =1

5 5 е ( \

Е рт + Е Е Е ^г, Фг, м(в'Р) =0 у(«,р)е О

[=1 [=1 С[=1 0С[ =1 С (С 1 С (С Ч

Таким образом, выполняется условие (5,18), а значит, согласно теореме 5,7 функция (5,17) будет первым интегралом на области О гамильтоновой системы (0,1), И

Следствие 5.5. Если выполняются условия теоремы, 5,8, то скалярные функции Ре: («,р) ^ ТА [(«,р) + ф 0 1т(«,р) У(«,р) € О, [=1,...,к =1,...,

где фиксированные числа ^ € М, 0^€ {1,...,"}, € {1,...,е^}, к = 1,...,5, а, вещественные числа т, [ = 1,..., 5, м , е = 1,..., 5, находятся из линейных однородных

с{ с{

уравнений р[т[ + аг, = 0 при условии, что |т| + ф = 0, будут первыми, ин-

тегралами обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы, (0,1).

Из теорем 5,6 и 5,8 получаем следующее утверждение.

Следствие 5.6. Пусть гамильтопова система, (0,1) имеет кратные комплекспо-

е

ч

зпачпые полиномиальные частные интегралы (4,10) кратностей з [ = 1 + Е гс , [= 1,..., 5,

1

такие, что в тождествах (4,11) у полиномов М [ мнимые части, удовлетворяют условиям, (4,22), а, в тождествах (5,4) полипом,ы, имеют вид (5,13) Тогда, функция

М М

(5,14) при (5,16) и функция (5,17) при (5,19) будут первыми интегралами обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы (0,1),

По определению 5,1, комплекенозначные полиномиальные частные интегралы (4,27)

гамильтоновой системы (0,1) имеют кратности з(1) = 1 + Е гс , [1 = 1,...,51, если и

е

с,=1 -ч

только если выполняются тождества (4,28) и существуют полиномы 0(1) : М2га ^ Си

[^с( 0Сг , ,

Ш:(1) : М2га ^ С, которые удовлетворяют системе тождеств

Ус( 0С ( , ,

Яе («,р),Я («,р)1 = И,е ^ («,р), Г 1т («,р),Я («,р)1 = 1т ^ («,р)

[1 V 0С

[1^Сг 0С

[1^С( 0С ( 1-, 1-,

[1^С( 0С (

1-, ц

1 1 1 1 1 1 1 1

(5.20)

У(«,р) € О С Е2п, fC[ € М, 0С[ =1,..., г, , ([1 = 1,..., е ^ , [1 = 1,..., 51,

1 1 1 1 1

где область О такая что Ш(1)(д,р) = 0 У(д,р) € О, [1 = 1,...,51, а скалярные функции

„ (9,р)

[1ГС г 0с г

^ 0 («,р) = (1) 1 1 Г, , к € N 0С[ =1,..., гС( , с [1 = 1,..., е [1, [1 = 1

При этом каждый полином 0(1) , ]> еМ, а^ = 1,..., х^ , 0 = 1,..., е[ , взаимно прост

; 0 ' % С(х' 11 11'

11 11

с полиномиальным частным интегралом Ш(1), ^ = 1,...,51, а полиномы Я(1) , ^ € М,

1 0сг N

0^ = 1,..., х^ , С[1 = 1,..., е , ^ = 1,..., 51, такие, что максимальная степень

тах/аееИе Я(1) , аег 1тЯ(1) к - 2.

11 11 11 11

Теорема 5.9. Пусть гамильтопова система (0,1) имеет кратные комплекснознач-

е1

ные полиномиальные частные интегралы (4,10) кратностей з [ = 1 + х^, 1=1,..., 5,

С[=1

соответственно такие, что выполняются тождества (5,4). Кроме того гамильтонова система (0,1) имеет кратные комплекснозначные полиномиальные частные интегралы

(4,27) кратностей з(1) = 1 + Л х^ , ^ = 1,...,51

1 с(1=1 11

С

5,

51 Ч С[1

5 е( Ч

Р: (3,р) ^ £ £ £ р[; а Ке -V а М + Е Е Е Ф(1) ^ ¡тЯ« ^ ^ (5.21)

[=1 С[=1 0С =1

[1=1 С[ =1 0С =1 Ч11 41 1 Ч ч.

= 1 1 Ч, Ч, 1 Ч, Ч

1 г1 г1 г1

где вещественные числа

Р

0СГ

fC[ € М 0С( = 1,... , хс(, гСг ^ хСг, С[ = 1,...,е[, е[ ^ е[, [=1,...,5

и

Фг(1)), ^ € М, 0С = 1,... , г. ^ х. , ^ = 1,..., е [ , е [ ^ е [ , [1 = 1,...,51,

г[1 ^ 0^ ' ' ' ^ ' ^ ' ^ [1 ' ' [1 ' [1 [1 ' 1 ' ' 11

[1 Чг % 11

11 г1

5 е( С[

такие, что Е Е Е Р[; 0 + Е Е Е Ф,^ 0 [=1 с=1 0^ =1 % 0с( [1=1 С =1 0^ =1 [1Ч 0<ч.

ег С, 51 г1 г1

= 0,

гамильтоновой системы (0,1), если и только если в тождествах (5,4) полином,ы, Я

и в тождествах (5,20) полиномы Я(1) такие, что имеет место тождество

^с, 0СГ

51 ег1 С[1

£ £ £ Р [ , 0, «* ^ + ЕЕ Е Ф$ 0С ¡т Я(£ 0С (М = 0. (5-22)

1-1 1-1 1-1 I--

[=1 С[=1 0С[ =1

[1=1 С[ =1 0С =1 г1 г1

1 11 ч,

Доказательство. С учетом тождеств (5,4) и (5,20), скобки Пуассона [Р(д,р), Я(д,р)]

5 е( С[

Р

[=1 С[=10С[=1

51 Ч С[1

ЕЕ ЕР[;С0, [«* К[;С[0С(^),Я + £ £ ЕФ£ 0, г 0, (^,Р),Я ^

[1=1 сг =10С =1 Ч1 Ч1 1 11 С11

; 0^ [10^

х<ч 51 Ч Ч

Е Е Е У [fc 0С Ке0с(«,р) + Е Е Е Ф& 0С !т^ 0С («,Р) ^р) €

[=1 С[=1 0С[=1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 [1=1^=1 0Сг =1 С г1 С г1 С г1 С г1

ч

О

гамильтоновой системы (0.1), если и только если выполняется тождество (5.22). И

Теорема 5.10. Пусть гамильтопова система (0.1) имеет кратные комплекснознач-

е

ные полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з [ = 1 + Е гс , [ = 1,..., 5,

=1

соответственно такие, что в тождествах (5.4) полипом,ы Ш ^ 0 : Е2га ^ С удовлетворяют условиям (5.7). Кроме того гамильтопова система, (0.1) имеет кратные комплексе 1

нозначные частные интегралы (4.27) кратностей з(1) = 1 + Е гс , [1 = 1,..., 51, такие,

1 с(,=1 11

что в тождествах (5.20) у полиномов 0 : Е2га ^ С мнимые части

1тШ(1) («,р) = а(1) М(«,р) У(«,р) € К2п, а(1) € К, [lfcг 0с( [lfc[ 0с( [lfc[ 0с(

^ € ^ 0 С = 1,... ,ГС , ГС ^ ГС , С[1 = 1,..., е[, , е [ 1 < е [ 1, [1 = 1..., 51,

1 1 1 1 1 1 1 1 1

где М: К2п ^ К есть некоторый полипом,. Тогда, скалярная функция (5.21), где вещественные числа у[f и ф(1) находятся из линейного однородного уравнения

I0 с I [1 ^ г 0 с г г1 г1

г

е V

5 Ч С[ 51 е Г1 С[1

УУУр[ f у [ f + У У У а((1) ф(1> = 0 (5.24)

^^ А-'1 0 С , г0 С г ^ ^ ^ 0 с г 0 с у '

=1 =1 0 =1 1=1 =1 0 =1 1 1 1 1 1 1

' [--1 »С ( [1—1 и с (

5 ег 51 еI^

при условии, что ^ ^ ^ у[f + Ё Ё XI Ф,(1() =0, будет первым инте-[=1 С[=1 0 с =1 Ц<Л ( [1=1 С[ =1 0С =1 ^

1 <, [ 1 [1 г, 1 1

О

Доказательство. Если имеют место равенства (5.7) и (5.23), а вещественные числа

У[Ь0,, ^ 0c[=1,...,V С[ = 1,...,е[, [=1,...,5,

ч ч

и

ф,(1) , ^ € М, 0С =1,..., X , С[ =1,...,X , [1 = 1,..., 5

1 1

являются нетривиальным решением уравнения (5.24), то выражение

5 е г 5, Ч, ■■ [,

УУ У ^ Яе(«,р) + V V У ф(1) 1тШ(1) («,р)

А^ А^ А^ *г0 с г г0 с ^ А^ А^ *у, 0 , у, 0 ,

=1 =1 0 =1 1=1 =1 0 =1 1 1 1 1 1 1

1

s er Zr

ЕЕЕ Pf - Р

+ ЕЕ Е

а

(1)

[=i z=1 0Z[ =1

tfZrSC, tfZr ßCr ' ^ ^ ^ "f r[ifC

4 [1=1 Zr =1 0C =1 S C[1 C(1 C(1

ф[(1) M(q,p) = 0 V(q,p) G R

2n

Таким образом, выполняется условие (5,22), а значит, согласно теореме 5,9 функция (5,21) является первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0,1), И

Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0,1) применимо

Следствие 5.7. Если, верны условия теоремы, 5,10, то на, области С функции

:(?,р) ^ Ке^ п (д,р) + ф^) 0 1т0 (д,р), [ =1,...,5, = 1,...,¿1,

tfz 0Z tfz 0Z

f 0Z

1 v 0Z

l 1 4 zr

1 r1 r1 r1

где фиксированные числа f^ G N, 0^ G {l,... , t^}, Zt G {l,..., et}, t = 1,...,s, w f^ G N 0Z g{ 1,..., t^ }, (tl g{ 1,..., e^ }, t1 = 1,..., s1, а вещественные числа ptf 0

t =1,..., s,

c^ cr

и ф(1) , = 1,..., s1, находятся из линейных однородных уравнении,

tf 0Zr rr

Ptf a Ptf 0 + a(1f) 0 ^[(1f 0 =0 при условии

f0Zr lfZr0Zr f 0Zr l1fCr 0Zr r1 r1 r1 r1

Р

lfZr0Zr

+

0Zr

= 0,

будут первыми интегралам,u, полиномиальной га,м,ил,ьтоповой системы, (0,1).

Из теоремы 5,9 при t = t(1), s = s1, wt = w(1), t = 1,...,s, получаем, что имеет место

Теорема 5.11. Пусть гамиль'топова систем,а, (0,1) имеет кратные комплекснознач-

el

пые полиномиальные частные интегралы (4,10) кратностей z = 1 + Y1 rz , t = 1,..., s,

Zr=1

соответственно такие, что выполняются тождества, (5,4). Тогда, скалярная функция

5 «[

Р :Ш ^ ЕЕЕ К 0С Ке \ 0С (^,Р)+ V 0С !т \ 0с (ЪР)) Ч^Р) е С (5.25)

[=1 С[=10С[ =1 С( С( С( С( С( С( С( С(

будет дополнительным первым интегралом гамиль'топовой системы, (0.1) тогда, и 'только тогда, когда, в тождествах (5.4) полипом,ы, : Е2га ^ С та,кие, что

у ; [fc[ 0с(

s er ч

ЕЕЕ К(0, 0z(q,p) + \0, Im^0zfop)) = 0 V(^p) G ^

t=1 cr=1 0z =1

fz 0z

zlzl

z 0z

zlzl

fz 0z

zlzl

а вещественные числа ptf 0 и 0 , f^ G N, 0^ = 1,..., t^, Zt = 1,..., et, t = 1,

zl zl zl zl l l l

, s ,

такие, что имеет место условие ЕЕЕ

[=1 С[=1 0С[=1

Из теоремы 5.11 получаем, что верна

Р

lfzl 0zl

+

lfzl 0zl

= 0.

Теорема 5.12. Пусть гамильтопова система, (0,1) имеет кратные комплекснознач-

е

ные полиномиальные частные интегралы (4,10) кратностей з [ = 1 + Е гс , [ = 1,..., 5,

=1

такие, что выполняются тождества, (5,4) при условиях (5,13). Тогда, функция (5,25),

где вещественные числа у [ f и ф [ f , ^ (€ М, 0 1,..., х^, ^ =1,...,е [, [=1,..., 5,

с[0с[ С[0С[ г г г

находятся из линейного однородного уравнения

s e [С I s e I i[

(p fz Л[У 1 f^c [+ ^ fz Д^ fz^) = ° npU E E E к l fz gz l + Ф fz gz = 0' [=i C,=1 0z =1 z [ z 1 z [ z [ z [ z [ z 1 z [ t=i C,=1 0z =1 z[ z[ z 1 z[

будет первым интегралом на области G гамильтоновой системы (0,1),

Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0,1) применимо

G

Fk: (q,p) ^ У<£ ReKt (q,p) + Ф« ImKt (q,p), [=1,...,s, k =1,...,s,

u -r[fz g z [fz g r« gz kfz g' ' ' ' ' '

где фиксированные числа fz G N, G {1,...,"Z }, Z G {1,..., T}, l = 1,...,s, u fz G N,

gz^^ G {1,...,}, C{ G {1,..., e^}, k = 1,...,s, а вещественные числа у {f g , [ = 1,...,s, и

ii

ф^ g , k = 1,..., s, находятся из уравнений p{f g у {f g + g ф^ g =0 при условии,

i i i i i i

что

у f g

+

Ф

Ч i g z i

= 0,

51 = 0

Теорема 5.13. Пусть гамильтопова система, (0,1) имеет кратные комплекснознач-

е

ные полиномиальные частные интегралы (4,10) кратностей з [ = 1 + Е гс , [ = 1,..., 5,

=1

соответственно такие, что выполняются тождества, (5,4). Тогда, функция

s e[ Ч

F: (q,p) ^ E E E у [fzg z Re f z(q,p) v(q,p) g g (5.26)

=1 =1 g =1

будет дополнительным первым интегралом гамильтоновой системы, (0,1), если и только если в тождествах (5,4) полиномы 0 : К2п ^ С, fz[ € М, 0 ^[ = 1,..., х^,

= 1,...,", " ^ е [, [ = 1,..., 5, такие, что имеет место тождество

5 е Ч

Е Е Е у [ь 0, Ке^ 0С («,р) = 0 ^«,р) € О, =1 =1 0 =1

5 е Ч

а, вещественные числа у [f такие, что ^ ^ ^ и =0.

%0<( [=1 С=1 0, =1

Из теоремы 5,13 получаем, что верна

Теорема 5.14. Пусть гамильтопова система (0,1) имеет кратные комплекснознач-

ные полиномиальные частные интегралы (4,10) кратностеи з. = 1 + ^ г^, . = 1,

С,=1

, з,

та,кие, что выполняются тождества (5,4) при условиях (5,7). Тогда функция (5,26), где вещественные числа р.. , ^ € N 0^ = 1,..., , С. = 1,..., е., . = 1,...,з, находятся

Сг 0Сг 1 1 1

р

. 0Л

Ч Ч

= 0, будет

из уравнения ЕЕ Е Р.. Р.. = 0 при условии, что Е Е Е [=1 С[ = 1 0С[ =1 Ч0С! Ч^ [=1 С[ = 1 0С[ =1

дополнительным первым интегралом на области С гамильтоновой системы (0,1),

Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0,1) применимо

С

Ре: ^ Р.. 0 Ке0 (?,Р) + Ре

Яе К

. 0Л . 0Л . 0Л

Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч

[ = 1,...,з, е = 1,...,з,

где фиксированные числа ^ € N 0 ^ € {1,...,г^ }, (. € {1,..., е.}, [ = 1,..., з, и ^ € N 0^ € {1,...,Т^}, (е € {1,...,Те}, е = 1,...,з, и мультииндекс .0С = 0^, [ = 1,...,з

Ч ч

[ = 1,

,з, И р„£

Р

е = 1,..., з, находятся из

+

Р.

. 0Л

ч Ч

= 0,

е = 1,..., з, а, вещественные числа, р..

уравнений р.. р.. + р . р . = 0 при условии, что [ГС[ 0С[ [ГС[ 0С[ ПС{ 0С{ ПС{ 0С{

первыми интегралам,и обобщенно-консервативной гамильтоновой системы, (0,1).

з = 0

Теорема 5.15. Пусть гамильтопова систем,а, (0.1) имеет кратные комплекснознач-

е1

пые полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з. = 1 + Е Г:, [ =1,

С[=1

, з ,

соответственно такие, что выполняются тождества, (5.4). Тогда, функция

Р: ^Р) ^ ЕЕ £ Ф^ 0^1т 0, (^,Р) € С,

[=1 С[=1 0С =1

Л 0Л

Ч ч

(5.27)

где вещественные числа ф. 0 , . ^ € N 0 ^ = 1,..., г^, С. = 1,..., е., [ = 1,..., з, такие,

з е1

что Е Е Е

.=1 С[=1 0С =1

ф,

\ 0Сг

= 0,

системы (0.1), если и только если в тождествах (5.4) полиномы Я. 0 : Е2п ^ С, М, 0 ^ = 1,...,Т , Тл ^ г^ , С. = 1,...,Те., Те. ^ е., . = 1,..., з, такие, что верно тождество

Е Е Е Ф. 0, !т0,(М = 0 ^р) € Е

.=1 С[=1 0С =1 С( С( С( С(

2п

Из теоремы 5.15 получаем, что верна

Теорема 5.16. Пусть гамильтопова система (0.1) имеет кратные комплекснознач-

е I

ные полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з г = 1 + Е гс, 1=1,...,5,

С(=1 1

такие, что выполняются тождества (5.4) при условиях (5.11). Тогда функция (5.27), где вещественные числа фг^ 0 , ^ е М, 0^ = 1,...,х^, С[ = 1,...,'Г, 1=1,...,5, находятся,

из уравнения ^ ^ Е а г? фг? = 0 при условии, что ^ ^ ^ ^ =0, будет [=1^=1 0С[=1 V« I г=1 сЕ=1 вс(=1 1%

первым интегралом на области С полиномиальной гамильтоновой системы, (0.1). Для построения интегрального базиса гамильтоновой системы (0.1) применимо

С

к: (?,р) ^ ф,{ 1т Д.. (о,р) + ф.. 1т Д. (д,р), Г=1,..., 5, к =1,..., 5,

<, [ <, [ <, [ <, [ <,{ <,{ <,{ <,{

где фиксированные числа ^ е М, 0^ е {1,..., }, (Г е {1,...,'}, Г = 1,...,5, и ^ е М, 0^ е {1,...,}, ск е {1,...,е^}, к = 1,...,5, и мультииндекс ГС[0С[ = кГС{0С{, Г = 1,...,5, к = 1,..., 5, а, вещественные числа ф Г. , Г = 1,..., 5, и фк, , к = 1,..., 5, находятся, из

С[0С[ с{ 0С{

уравнений аГ. фГ. + ак. фкГ = 0 при условии, что ГГС г0 с г ГГС г0 с г «ГСк 0 с к Пс к 0 С{

ф

0 с

Ч Ч

+

ф

^ 0 с

= 0,

первыми интегралам,и обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0.1).

5.3. Построение первых интегралов гамильтоновой системы по кратным ком-плекснозначным и вещественным полиномиальным частным интегралам

Как по теореме 1.3 при в = 1 (т.е. при наличие только одного вещественного полиномиального частного интеграла), так и по теореме 5.14 при 5 = ' = ' = 1 и по теореме ~ ~ 1

5.16 при 5 = ' = еГ = 1 (т.е. при наличие только одного двукратного комплекенознач-С[ 1

ного полиномиального частного интеграла), построить дополнительный первый интеграл обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0.1) не представляется возможным. В этих случаях могут быть использованы следующие утверждения.

Теорема 5.17. Пусть гамильтонова система, (0.1) имеет вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) при условиях (1.13) и кратные комплекспозпачпые

е I

полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з Г = 1 + Е гс , Г = 1,..., 5, пга-

=1

С

^г : (5,Р) ^ ^ (д,р)ехЫуГ 0 Ие 0 (^рП , £ =1,...,в, г=1,..., 5 (5.28)

V <1 С I С I /

где фиксированные числа ^ е М, 0^ е {1,..., }, СГ е {1,..., е}, Г = 1,...,5, а, вещественные числа м 0 находятся, из линейных однородных уравнений

= 0, £ =1,...,8, [ =1,..., 5,

Л?7? + Рц „ Рц = 0 при Ь? 1 +

Ч Ч Ч Ч Г Г

будут первыми интегралами, полиномиальной гамильтоповой системы, (0,1). Действительно, с учетом тождеств (1.13), (5,4) и (5,7), скобки Пуассона

(?,Р)] = (^р),н■ ехр( 0 КеКц 0 (я,р)) +

^ Сг Сг Сг Сг '

(5.29)

+ ■ [ехр(^Рц 0с Ке 0с(я,р)),Н^р)

= 7?^ ■ К(^р),н(^,р)] ■ехр(Рц 0с Ке0с(я,р)) +

+ Рц (3,Р)ехр(Рц ^(^,х)) ■ [^(5,Р),н(3,Р)] =

= (л?7? + р 0 )ЗД,р)М(д,р) У(д,р) е С, £ =1,...,8, [ = 1,...,5.

^ Сг Сг Сг Сг/

Если числа 7?, £ = 1,..., 8, и , [ = 1,...,5, являются решением уравнения (5.29),

? % 0С(

то функции (2.28) будут первыми интегралами гамильтоновой системы (0.1). И

Теорема 5.18. Пусть гамильтопова систем,а, (0.1) имеет вещественные полиномиальные частные интегралы (1.5) при условиях (1.13) и кратные комплекспозпачпые

е1

полиномиальные частные интегралы (4.10) кратностей з[ = 1 + Е гс , [ = 1,..., 5, ша-

С(=1 1

кие, что имеют место тождества, (5.4) при условиях (5.11). Тогда, функции

: (^Р) ^ (5,Р) ехрГ фц 0 1т 0 (д,рП У(д,р) е G, £ =1,...,8, [ 5, (5.30)

\ Сг Сг Сг Сг '

где фиксированные числа Ц. е М, 0^ е {1,... }, С[ е {1,..., е^, [ = 1,...,5, а, веще-

ственные числа и фц находятся из линейных однородных уравнений

С[ 0С[

Л?7? + V „ фц 0^ = 0 ^ |7?1 +

Ч Ч Ч ч

ф

Ц 0л

Ч ч

= 0, £ = 1, . . . , 8, [ =1,..., 5,

(5.31)

будут первым,и интегралам,и полиномиальной гамильтоповой системы (0.1).

Доказательство. Методом аналогично использованному при доказательстве теоремы 5.17, с учетом тождеств (1.13), (5.4) и (5.11), получаем, что скобки Пуассона

[р?[(5,р),Н(д,р)] = (Л? 7? + (ц 0 фц 0 У?[(з,р) М(д,р), £ =1,...,8, [ =1,...

V С( С( С[ с/

5.

Выбирая числа 7?, £ = 1,..., 8, и ф„ , [ = 1,...,5, так, чтобы выполнялось (5.31)

С[ 0С[

получаем, что функции (5.30) будут первыми интегралами системы (0.1). И

5.4. Построение первых интегралов гамильтоновой системы по кратным ком-плекснозначным и вещественным полиномиальным частным интегралам

Как по теореме 2,3 при в = ' = ' = 1 (т.е. при наличие только одного двукратного вещественного частного интеграла), так и по теореме 5,14 при 5 = '

e l = 1 и по теоре-

ме 5,16 при s = rz = e , = 1 (т.е. при наличие только одного двукратного комплекенознач-

ного полиномиального частного интеграла), построить первый интеграл гамильтоновой системы (0,1) не представляется возможным, В этих случаях могут быть использованы

Теорема 5.19. Пусть гамильтопова система (0,1) имеет кратные вещественные

£г

полиномиальные частные интегралы (1,5) кратностей щ = 1 + Е rf , l = 1,..., s, m°~

кие, что имеют место тождества (2,4) при условиях (2,7). Кроме этого система, (0,1) имеет кратные комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4,10) кратпо-

e r

emeu zl = 1 + Y1 rc , l= 1,...,s, такие, что имеет место система тождеств (5,4) при Ci=i 1

условиях (5,7). Тогда, первым,и интегралами, на области G системы, (0,1) будут функции

[: (q,p) ^ aif g Kif g (q,p) + Vif„ ReK fop^ l s, (5.32)

J/i, gi, J/i, gi, lfZ r0 Z r lfZ r0 Z r

где фиксированные числа f G N, g^ G {1,..., r^ }, £г G {1,..., r}, l = 1,..., s, u f^ G N, G {1,...,r^}, Zt G {1,...,eJ, l = 1,...,s, а, вещественные числа af и v.

fZ 0 Z

ч ч

находятся, из линейных однородных уравнений

А,, а,, + р.. v<£ =0 при

/ / 4 r0 Zr fZ r0 Z r

а.

+

lf 0

'•i '•i

= 0, l = 1,...,s, l = 1,...,s. (5.33)

Доказательство. На основании тождеств (2.4) при (2.7) и (5.4) при (5.7), с учетом свойства билинейности скобкок Пуассона получаем, что

[Fli(q,p),H = а

+ V

lfZ 0 Z

4 4

ReKlf 0 (q,p),H(q,p)

/ % / % 4 r0 Z r Zr0 Z r

а

+ Pt

, l = 1,

, s .

)M(q,p) V(q,p) G G, l = 1,...,s, l =1, , l = 1 , . . . , s ,

s, V

lf 0

'•i '•i

(5.33), то функции (5.32) будут первыми интегралами гамильтоновой системы (0.1). И Аналогично теореме 5.19 доказывается следующее утверждение. Теорема 5.20. Пусть га,м,ил,ьтопова, система, (0.1) имеет кратные вещественные

£г

полиномиальные частные интегралы (1.5) кратностей щ = 1 + Е , I = 1,..., в, такие, что имеют место тождества, (2.4) при условиях (2.7). Кроме этого система, (0.1) имеет кратные комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) кратпо-

стеи 3[ = 1 + Е гс , I = 1,...,з, такие, что имеет место си,стем,а, тождеств (5,4) при СЕ=1 1

условиях (5,11). Тогда, первыми, интегралам,и, на области С системы (0,1) будут функции

ч ч Ч ч

1тК.. (о,р), I = 1,...,в, I = 1,

ч Ч Ч Ч

, 3,

где фиксированные числа / € N д^ € {1,..., е^ }, £ € {1,..., ег}, I = 1,..., в, и ^ € N

€ {1,..., е^}, ([ € {1,..., е(}, I = 1,..., з, о вещественные числа а^ и ф находятся из линейных однородных уравнений

0л

ч ч

А,, а,. + ст.. Ф,. =0 при

/ % / % ^ V ^ 0С[

а

+

^л 0Л

= 0, I = 1,... ,в, I= 1,...,3.

5.5. Построение первых интегралов гамильтоновой системы по кратным ком-плекснозначным частным интегралам и условным частным интегралам

Как по теореме 3,2 при V = 1 (т.е. при наличие только одного условного частного интеграла), так и по теореме 5,14 при з = е^ = е| = 1 и по теореме 5,16 при з = е^ = е| = 1 (т.е.

при наличие только одного двукратного комплекснозначного полиномиального частного интеграла), построить первый интеграл гамильтоновой системы (0,1) не представляется возможным, В этих случаях могут быть использованы следующие утверждения.

Теорема 5.21. Пусть гамильтопова систем,а, (0,1) имеет условные частные интегралы, (3,4) такие, что верны тождества, (3,5) при условиях (3,8) и кратные комплекс-

е1

позначные частные интегралы (4,10) кратностей = 1 + Е гс , I = 1,...,з, такие, что

С(=1 1

С

обобщенно-консервативной гамильтоновой системы (0,1) будут скалярные функции

Р51: (5,р ^ + 0 йе0 £ =1,...,V, [ =1,...,3,

л 0л

ч ч

(5.34)

где фиксированные числа ^ € М, 0^ € {1,... , е^}, С( € {1,..., е(}, I = 1,...,з, а, веще

ственные числа в? и ю,.

И5 Пк 0

сг %

находятся, из линейных однородных уравнений

^ в5 + % 0, ^ 0, = 0 ^ |в51 +

ю

^л 0л

Ч Ч

= 0, £ = 1,..., V, I = 1,..., з.

(5.35)

Действительно, с учетом тождеств (3.5) при (3.8) и (5.4) при (5.7), скобки Пуассона

[Р?1(5,Р),Н= в ■ К(5,Р),Н+ Ю

^л 0л

Ч Ч

С[ С[

в? + Р^ 0 0 )М(?,Р) V(q,p) € С, £ =1,...,v, I =1,...,з.

V С[ С[ С[ с/

Выбирая числа в5, £ = 1,..., V, и Юк , I = 1,...,з, так, чтобы имело место (5.35)

5 0С(

получаем, что функции (5.34) будут первыми интегралами системы (0.1). И

Аналогично теореме 5.21 доказывается следующее утверждение.

Теорема 5.22. Пусть гамильтопова система (0.1) имеет условные частные интегралы (3.4) такие, что верны тождества (3.5) при условиях (3.8) и кратные комплексе I

позначные частные интегралы (4.10) кратностей = 1 + Е гс , . = 1,...,з, такие, что

С(= 1

верны тождества, (5.4) при условиях (5.11). Тогда, первыми, интегралам,и, на области С обобщенно-консервативной гамильтоповой системы, (0.1) будут скалярные функции

Р [: (^Р) ^ в^(?,Р)+ ф [f 0 1т0 ^р^ С з

где фиксированные числа ^ € М, 0^ € {1,..., г^}, ([ € {1,..., е.}, I = 1,...,з, а, вещественные числа и 0 находятся из линейных однородных уравнений

■ч "ч

^в + = 0 ^ |в? 1 + ^ „ = 0, С =1,...,^, 1 =1,..., ч ч ч ч С[ ИС[

5.6. Построение первых интегралов гамильтоновой системы по комплекснознач-ным частным интегралам и кратным комплекснозначным частным интегралам

Как по теореме 4.5 при з = 1 и то теореме 4.6 при з =1 (т.е. при наличие только одного комплекснозначного полиномиального частного интеграла), так и по теореме 5.14 при з = 7 = 7. = 1 и по теореме 5.16 при з = г = 7. = 1 (т.е. при наличие только

одного двукратного комплекснозначного полиномиального частного интеграла), построить первый интеграл гамильтоновой системы (0.1) не представляется возможным. В этих случаях могут быть использованы следующие закономерности, доказательства которых аналогичны доказательствам следствий 5.1, 5.2, 5.4 и 5.5 соответственно.

Теорема 5.23. Пусть обобщенно-консервативная гамильтопова система, (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что верны тождества, (4.11) при условиях (4.20). Кром,е того гамильтопова система, (0.1) имеет кратные комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.24) такие, что в тождествах (5.20) у полиномов Я1 0 : К2п ^ С вещественные части

ЯеЯ« (д,р) = р^ М(д,р) У(д,р) € С С К2п, р^ € К,

г 0 С г ^С г 0 С г ^С г 0 С г

fC[ € ^ 0С[ =1,...,гС[ , гС[ ^ гС[ , С[1 = 1,...,е.1, е, ^ е,, .1 = 1,...,з1.

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Тогда, первым,и интегралам,и гамильтоповой системы, (0.1) будут скалярные функции

Р« :(?,р) ^ (Мехр/^ 0 ЯеК« о (д,рЛ У(д,р) € С, I =1,...,з, .1

1 V ^ Г0 С г ^ Г 0 С г )

, з , 1 = 1 , . . . , з 1 ,

где полипом,ы, р: К2п^ К, 1=1,...,з, определяются, по формулам (4.15), фиксированные

числа ^ € М, 0л = 1,...,7 , = 1,...,7 , ^ = 1,..., з1, а, вещественные числа щ и г1 г1 г1 1 1

р(1) находятся из линейных однородных уравнении,

h h

2рп + pff g Pf1) g = О при | + pf1] g =0, í=1,...,s, li = 1,...,si.

f ^ [1 fc( ^ [1 [1 [1 [1

l1 ^ % h h

Теорема 5.24. Пусть гамильтопова, система, (0,1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4,10) такие, что верны тождества, (4,11) при условиях (4,20). Кром,е того гамиль'топова система (0,1) имеет кратные комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4,24) такие, что верны тождества, (5,20) при условиях (5,23). Тогда, первыми интегралам,и гамиль'топовой системы, (0,1) будут функции

Fu :(q,p) ^ (q,p)exp(V] g ImKff g (q,p)) V(q,p) G G, í =1,...,s, li = 1,...,Si,

где полипом,ы, Pí: R2n^ R, í = 1,...,s, определяются, по формулам (4.15), фиксированные числа fz G N, = 1,..., tc , Zí = 1,...,'eí , í1 = 1,..., s1, а, вещественные числа щ и

11 [1 (1 1 1

^ff g находятся из линейных однородных уравнении,

2PíП + ^ff g ^ g =0 щи |ní| + ^(1> g =0, í =1,...,s, Í1 = 1,...,s1.

í1fZ[ % l1 fZ[ gZ[ l1 fz[ %

[ [ [ [ [1 [1

Теорема 5.25. Пусть гамиль'топова систем,а, (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что верны тождества, (4.11) при условиях (4.22). Кроме того гамиль'топова систем,а, (0.1) имеет кратные комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.24) такие, что верны тождества, (5.20) при условиях (5.36). Тогда, первым,и интегралам,и гамиль'топовой системы (0.1) будут функции

К :(д,р) ^ тЛ,(д,р) + ^ о ЯеК« о (д,р) У(д,р) С С, I =1,...,5, ^ = 1,...,

11 11 11 11

где функции Л(: С ^ К, I = 1,..., 5, определяются, по формулам (4.16), фиксированные числа f г С N 0 а = 1,..., Га , = 1,..., е( , 11 = 1,..., в1, а, вещественные числа ц и

11 [1 (1 1 1

0 находятся из линейных однородных уравнений

Р[Т[ + Р^ 0 0 = 0 при условии 1тI + 0 = 0, í=1,...,5, ^ 51.

11 гс 0С 11 Гс

1 [1 [1 [1 [1 [1

l1 fz[

Теорема 5.26. Пусть гамильтопова система (0.1) имеет комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.10) такие, что верны тождества, (4.11) при условиях (4.22). Кроме того гамильтопова систем,а, (0.1) имеет кратные комплекспозпачпые полиномиальные частные интегралы (4.24) такие, что верны тождества, (5.20) при условиях (5.23). Тогда, первым,и интегралам,и гамиль'топовой системы (0.1) будут функции

К:(д,р) ^ т1Д(д,р)+ ^ 0 1т0 (д,р) У(д,р) С С, 1=1,...,5, ^ = 1,...,51,

[1 [1 [1 [1

где функции Aí: G ^ R, í = 1,..., s, определяются, по формулам (4.16), фиксированные

числа fz € N, 0 = 1,..., rC[ , Zt1 = 1,..., e ii , h = 1,..., sb о вещественные числа т( и

ф,(1) g находятся из линейных однородных уравнении, z (i z (i

Р[т[ + a,(1f = 0 при условии |Т(| + ф,(1) =0, l=1,...,s, ^ = 1,...,s1.

0 0 [1 fZ. 0 Z

, 0С, [i fZ( 0С(

Ц Ц l-t l-t

i f 0

i i i i i i

5.7. Построение неавтономных дополнительных первых интегралов гамильтоновой системы по кратным комплекснозначным полиномиальным частным интегралам

Методом аналогично использованному при доказательстве теорем 2,4, 4,14 и 4,15 устанавливаем следующие закономерности.

Теорема 5.27. Если гамильтопова система, (0,1) имеет кратный комплекснознач-

е

ный полиномиальный частный интеграл, (4,1) кратности з = 1 + ^ гс и существует

С=1

такое ( € {1,..., е}, что в тождествах (5.3) при фиксированном 0 ^ € {1,..., г^} у полинома ^ 0 : К2п ^ С вещественная часть

ReRf (q,p) = A V(q,p) € R2n, А € R, fz0 z

то скалярная функция

Р: (*,д,р) ^ ЯеК (д,р) - Л* У(*,д,р) € К х С С К2га+1

ч0 с

будет неавтономным первым интегралом гамильтоповой системы, (0,1),

Теорема 5.28. Если гамильтопова система, (0,1) имеет кратный комплекснознач-

е

ный полиномиальный частный интеграл, (4,1) кратности з = 1 + ^ и существует

=1

такое ( € {1,..., е}, что в тождествах (5.3) при фиксированном 0 ^ € {1,..., г^} у полинома Я 0 : К2п ^ С мнимая часть

с

ImRf (q,p) = А V(q,p) € R2n, А € R, fz0 z

то скалярная функция

F: (t,q,p) ^ ImKf (q,p) - At V(t,q,p) € R x G С R2n+1 fz0 z

будет первым интегралом гамильтоповой системы, (0,1), Непосредственно из теорем 5,27 и 5,28 получаем

Следствие 5.11. Если гамильтопова система, (0,1) имеет кратный комплекспо-

e

значный полиномиальный частный интеграл, (4,1) кратности z = 1 + ^ rc и сУЩествУет

С=1

такое Z € {1,..., e}, что в тождествах (5.3) при фиксированном 0 ^ € {1,..., r^} полипом,

Rf0 (q,p) = А1 + iA2 V(q,p) € R2n, A1,A2 € R, f 0 1 2 1 2

то скалярные функции

К :(*,д,р) ^ ЯеК (д,р) - А11 и :(*,д,р) ^ 1тК. 0 (*,д,р) - Л21 У(*,д,р) С К х С

Тс 0С тс 0С

будут первыми, интегралами, на области К х С га,м,ильтоновой системы, (0.1).

Для обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой системы (5.2), используя кратный (кратность не менее двух) комплекснозначный полиномиальный частный интеграл

№ : (п,р) ^ п2 + V(п,p) € М4 такой, что М(п,р) = — агш Ки(п,р) = —-— , (п,р) = — 1,

п2 +

строим на области М х С, С С {(п,р): п2 = 0} базис неавтономных первых интегралов

п

: (¿, п,р) ^ п2 + П2, ^2 :(^п,р) ^ arctan — + а^ V(t,п,p) € М х С (следствие 4.15),

1 1 2 2 П2

п р + п р

: (t,п,p) ^ п1р2 — п2Ръ ^4 :(t, п,р)

^ ^ . у2 +1 V(t , п, р) € М х С (следствие 5.11). п1 + п2

Заключение. В работе для обобщенно-консервативной полиномиальной гамильтоновой обыкновенной дифференциальной системы (0.1) определены понятия и сформулированы основные свойства вещественного полиномиального частного интеграла (определение 1.1, свойства 1.1 - 1.6), кратного вещественного полиномиального частного интеграла (определение 2.1, свойство 2.1), условного частного интеграла (определение 3.1, свойства 3.1 и 3.2), комплекснозначного полиномиального частного интеграла (определение 4.1, свойства 4.1 - 4.3, теоремы 4.1 и 4.3) и кратного комплекснозначного полиномиального частного интеграла (определение 5.1, свойства 5.1 и 5.2). Выделить классы полиномиальных гамильтоновых дифференциальных систем, у которых первые интегралы находятся по вещественным полиномиальным частным интегралам (теоремы 1.1 - 1.3, следствия 1.1 - 1.3), кратным вещественным полиномиальным частным интегралам (теоремы 2.1 - 2.3, следствия 2.1 и 2.2), условным частным интегралам (теоремы 3.1 - 3.4, следствия 3.1 - 3.3), комплекенозначным полиномиальным частным интегралам (теоремы 4.2, 4.4 - 4.13, следствия 4.1 - 4.14) и кратным комплекенозначным полиномиальным частным интегралам (теоремы 5.1 - 5.26, следствия 5.1 - 5.10). Получены достаточные признаки построения дополнительных неавтономных первых интегралов по вещественным полиномиальным частным интегралам (теорема 1.4), кратным вещественным полиномиальным частным интегралам (теорема 2.4), условным частным интегралам (теорема 3.5), комплекенозначным полиномиальным частным интегралам (теоремы 4.14 и 4.15, следствие 4.15) и кратным комплекенозначным полиномиальным частным интегралам (теоремы 5.27 и 5.28, следствие 5.11). Приведены примеры полиномиальных гамильтоновых систем, на которых проиллюстрированы теоретические исследования.

Полученные в данной статье результаты могут быть применены в аналитической теории дифференциальных уравнений и в аналитической механике.

Благодарность. Автор выражает благодарность и глубокую признательность профессору В.Н. Горбу зову за интерес к работе и полезные обсуждения.

Статья подготовлена в рамках проекта Нопгоп2020-2017-ИБЕ-777911,

Список литературы

1. Darboux G. Mémoire sur les équations différentielles algebriques du premier ordre et du premier degré // Bulletin des Sciences Mathématiques, - 1878, - Vol, 2, - P. 60 - 96, 123 - 144, 151 - 200.

2. Горбузов В.H., Тыщенко В.Ю. Частные интегралы систем в полных дифференциалах // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, JV2 10. - С. 1819 - 1822.

3. Горбузов В.Н., Тыщенко В.Ю. Частные интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений // Математический сборник. - 1992. - Т. 183, JV2 3. - С. 76 - 94.

4. Горбузов В.Н. Построение первых интегралов и последних множителей полиномиальных автономных многомерных дифференциальных систем / / Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34, № 4. - С. 562 - 564.

5. Горбузов В.Н. Частные интегралы вещественной автономной полиномиальной системы уравнений в полных дифференциалах // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2000. .V" 2. С. 1 - 36.

6. Gorbuzov V.N. Partial integrals of ordinary differential systems //Mathematics.Classical Analysis and ODEs (arXiv:1809.07105 [math.CA], Cornell Univ., Ithaca, New York). - 2018. -86 p.

7. Christopher C., Llibre J. Algebraic aspects of integrabilitv for polynomial systems // Qualitative theory of dynamical systems. - 1999. - Vol. 1. - P. 71 - 95.

8. Llibre J., Zhang X. Darboux theory of integrabilitv for polynomial vector fields in taking into account the multiplicity at infinity // Bulletin des Sciences Mathématiques. - 2009. -№7(133). -P. 765 - 778.

9. Llibre J., Zhang X. Darboux theory of integrabilitv in Cn taking into account the multiplicity 11 Journal of Differential Equations. - 2009. - № 2 (246). - P. 541 - 551.

10. Горбузов В.Н. Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах. - Гродно: ГрГУ, 2005. - 273 с.

11. Горбузов В.Н. Интегралы дифференциальных систем. - Гродно: ГрГУ, 2006. - 447с.

12. Горбузов В.Н., Проневич А.Ф. Построение интегралов линейной дифференциальной системы // Веешк Гродзенскага дзяржаунага ун-та. Сер. 2. - 2003. - JV2 2(22). -С. 50 - 60.

13. Gorbuzov V.N., Pranevich A.F. First integrals of ordinary linear differential systems // Mathematics.Dynamical Systems (1201,4141vl [math.DS], Cornell Univ., Ithaca, New York).

- 2012. - P. 1 - 75.

14. Горбузов B.H., Проневич А.Ф. Интегралы R-линейных систем в полных дифференциалах // Доклады НАН Беларуси. - 2004. - Т. 48, № 1. - С. 49 - 52.

15. Gorbuzov V.N., Pranevich A.F. First integrals of linear differential systems // Mathematics.Dynamical Systems (0806,4155vl[math,CA], Cornell Univ., Ithaca, New York).

- 2008. - P. 1 - 37.

16. Проневич А.Ф. R-дифференцируемые интегралы систем в полных дифференциалах. - Saarbruehen: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 104 с.

17, Горбузов В.Н., Пропевич А.Ф. Спектральный метод построения интегрального базиса якобиевой системы в частных производных / / Дифференциальные уравнения и процессы управления, - 2001, .V" 3. С, 17 - 45,

18, Проневич А.Ф. Интегралы якобиевых систем уравнений в частных производных,

- Saarbruehen: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 97 с.

19, Козлов В.В. Симметрии, топология и резонанеы в гамильтоновой механике, -Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1995, - 432 с,

20, Борисов А.В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем,

- Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, - 296 с,

21, Goriely A. Integrabilitv and nonintegrabilitv of dynamical systems, - World Scientific: Advanced series on nonlinear dynamics, 2001, - Vol, 19, - 436 p.

22, Zhang X. Integrabilitv of dynamical systems: algebra and analysis, - Singapore: Springer, 2017, - 380 p.

23, Матвеев H.M. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, - СПб.: Лань, 2003, - 832 с,

24, Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений, - СПб.: Санкт-Петербургский университет, 2005, - 276 с,

25, Maciejew-ski A. J., Przybylska М. Darboux polynomials and first integrals of natural polynomial hamiltonian systems // Physics Letters A, - 2004, - Vol, 326, - P. 219 - 226,

26, Garcia I.A., Grau M., Llibre J. First integrals and Darboux polynomials of natural polynomial hamiltonian systems // Physics Letters A, - 2010, - Vol, 374, - P, 4746 - 4748,

PARTIAL INTEGRALS OF AUTONOMOUS POLYNOMIAL HAMILTONIAN ORDINARY DIFFERENTIAL SYSTEMS

A.F. Pranevich

Yanka Kupala State University of Grodno pranevich@grsu.by

Abstract, In this paper, we consider an autonomous polynomial Hamiltonian ordinary differential system. Sufficient criteria for the construction of first integrals on real polynomial partial integrals, multiple real polynomial partial integrals, conditional partial integrals, complex-valued polynomial partial integrals and multiple complex-valued polynomial partial integrals are obtained. Classes of autonomous polynomial Hamiltonian ordinary differential systems with first integrals which analytically expressed by real polynomial and conditional partial integrals, complex-valued polynomial and conditional partial integrals, real and complex-valued polynomial partial integrals are identified. The examples illustrating the obtained theoretical results are given.

Keywords: Hamiltonian system, first integral, partial integral.