CC BY
42
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 3 (1), с. 91-93
91
МАТЕМАТИКА
УДК 517.925
О ЧИСЛЕ ЛИНЕИНЫХ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
© 2014 г. М.В. Долов, Е.В. Круглое
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
кг^1оу 19 @таП. ги
Поступила в редакцию 13.02.2014
Доказано, что полиномиальное векторное поле степени п не менее двух может иметь не более 3п-1 различных линейных частных интегралов, причем оценка является точной для нелинейностей второй, третьей и четвертой степеней.
Ключевые слова: алгебраическая интегрируемость, полиномиальные векторные поля, частные интегралы, первые интегралы, дифференциальные уравнения.
При решении как локальных, так и глобальных задач теории дифференциальных уравнений линейные частные интегралы эффективно использовались в работах Л. Эйлера, К. Якоби, Ф.Г. Миндинга, Н.Н. Баутина, К.С. Сибирского, Н.И. Вулпе, М.Н. Попа, А.С. Шубэ, Т.А. Друж-ковой, Р.А. Любимовой и других авторов. Постановка задачи в данной работе связана с [1].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
x = P(x, y), y = Q(x, y), (1)
где P и Q - взаимно простые полиномы, коэффициенты которых и переменные x, y в общем случае комплексные, max(deg P, deg Q) = n .
По определению система (1) алгебраически интегрируема, если все инвариантные множества системы (1) алгебраические.
Теорема 1 [1]. Для максимального числа S (n) различных неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических инвариантных кривых алгебраически неинтегрируемых систем
n2 + n + 2
(1) справедлива оценка S (n) <---= p ,
при этом S(2) = 4 .
Точность оценки S(3) доказана в [2, 3], при этом установлено, что равенства S (2) = 4, S (3) = 7 достигаются в классе систем (1) с линейными частными интегралами, коэффициенты которых могут быть комплексными в случае вещественных систем. Вопрос о точности S (n) < p при n > 4 открыт.
В связи с неравенством S(n) < p возникает вопрос о достижимости равенства S(n) = p в
классе систем (1) с линейными частными интегралами.
Основной результат данной работы содержит
Теорема 2. Для п > 2 система (1) с взаимно простыми полиномами Р и Q может иметь не более 3п -1 различных линейных частных интегралов, при этом для 2 < п < 4 существуют системы (1) с 3п -1 различными линейными частными интегралами.
Вспомогательные утверждения
Лемма [4]. Если дифференциальное уравнение Q(x, у)<х - Р(х, у~)<у = 0, где Р и Q - полиномы, max(deg Р, deg Q) = п > 2 , допускает общий интеграл
F (х, у)- CG(x, у) = 0, (2)
где С е С, F (х, у) и G(x, у) - линейные функции, то Р и Q имеют общий делитель, тождественно не равный постоянной.
Считая в общем случае коэффициенты полиномов Р и Q и переменные х, у комплексными, как и в [5], можно показать, что имеет место
Теорема 3 (Мироненко В.И.). Если г различных неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических кривых Rj (х, у) = 0 ,
7 = 1, г , deg Rj = mj инвариантны для системы (1) и
V,
^ mj > т(т + 1)(т + 2)(8 + 3(т + 3)(n -1)), (3)
j=1 24
92
М.В. Долов, Е.В. Круглов
где m = max mf, то система (1) алгебраически deg Ф, = 1, то у системы (1) нет предельных
1<j<г
интегрируема и порядок кривых не выше т.
Доказательство теоремы 2
Первая часть утверждения теоремы 2 доказывается аналогично [4]. Допустим, что существуют системы (1) с взаимно простыми Р и Q с 3п различными линейными частными интегралами. При г = 3п , = т = 1 выполнено неравенство (3). По теореме 3 система (1) алгебраически интегрируема и имеет общий интеграл (2), где ^ и G - линейные функции. Согласно лемме, при п > 2 у полиномов Р и Q есть общий делитель, тождественно не равный постоянной. Полученное противоречие доказывает, что для п > 2 число линейных частных интегралов системы (1) меньше 3п .
При п = 2 существуют системы (1) с пятью различными линейными частными интегралами [6; 7, с. 9-12]. Для п = 3 в [8] с точностью до линейного невырожденного преобразования найдены вещественные системы (1) с восемью вещественными линейными частными интегралами. При п = 4 утверждению теоремы удовлетворяет система [9] х = х(х - 1)(х2 - 3х + 3), У = У(У -1)(У2 - 3у + 3), допускающая 11 линейных частных интегралов: х = 0, х = 1,
п , 3 ±/л/3 3 ± /73
у = 0, у = 1, х = —-—, у =—-— , у = х,
2
2
1 + /л/3 3 + /л/3 1 - iy/3 3 -/л/3
У =--х +--, У =--х + "
2
2
2
2
Теорема 2 доказана.
Так как при п > 5 выполнено неравенство _ , п(п +1)
3п -1 <---, то из теоремы 2 следует утверждение теоремы 2 [4] о том, что при п > 5 нет систем (1) с взаимно простыми Р и Q с
п(п +1)
2
различными линеиными частными ин-
тегралами.
Для п = 2 и п = 3 при наличии у (1) соответственно пяти и восьми линейных частных интегралов в силу теоремы 1 система (1) алгебраически интегрируема. При п = 4 значение
п2 + п + 2
3п -1 =---= 11, и в случае наличия у (1)
частных интегралов Ф = ах + Ъу + cj = 0,
] = 1,11, по первой теореме Дарбу [10] система (1) имеет первый интеграл Дарбу Ф/31 ...Ф/4 = С , где 1 < k < 11, р ф 0. Так как
циклов.
Теорема 2 дает точную оценку сверху числа различных линейных частных интегралов. При некоторых ограничениях на систему (1) эта оценка указана в [2].
Ранее другим способом доказано, что максимальное число различных (в том числе комплексных) линейных частных интегралов системы (1) при п = 3 равно восьми [11]. При этом в [11] детально не рассмотрен случай, когда система (1) вырождена на бесконечности, т.е.
xQn (х, у)-уРп (х, у) = 0, (4)
где Рп (х, у) и Qn (х, у) - однородные полиномы степени п, содержащиеся в Р и Q соответственно. При выполнении тождества (4) система (1) при п = 3 может иметь не более шести различных линейных частных интегралов [12]. В [1315] доказано, что полиномиальное векторное поле четвертой степени, вырожденное на бесконечности, может иметь не более 9 линейных частных интегралов.
Замечания. 1. Пример уравнения xdy --ydx = 0 показывает, что в теореме 2 условие п > 2 и требование взаимной простоты Р и Q существенны.
2. Рассматривая систему [9] х = (х - 4) х
х (х + 2)(у2 + х +1), у = ху(у2 - 9) и её частные интегралы х = 4, х = -2, у = 0, у = 3, у = -3,
у = х -1, у = -х + 1, у = х +1, у = -х -1 видим, что в [16, с. 219] неверно утверждение: «а) общее число различных 4 и 4' -направлений не превосходит пяти». Здесь у = 4х + Ъ , х = 4'у + а - интегральные прямые вещественной системы (1) при п = 4 .
Список литературы
1. Долов М.В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 6. С. 838-839.
2. Долов М.В., Бубнова И.В. Системы с линейными частными интегралами // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения. 2006. № 11. С. 79-80.
3. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Ч. 1. Метод пособие. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. 36 с.
4. Долов М.В. О точности оценки числа алгебраических кривых полиномиальных векторных полей // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 2(1). С. 135-137.
5. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во БГУ, 1981. 103 с.
О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей
93
6. Дружкова Т.А. Дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Дис... канд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1975. 129 с.
7. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Ч. 2. Метод пособие. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2009. 30 с.
8. Любимова Р.А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми // Дифференц. и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горький, ГГУ. 1977. С. 19-22.
9. Долов М.В., Чистякова С.А. О числе линейных частных интегралов полиномиальных векторных полей с вырожденной бесконечностью // Тез. докл. Международной конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2-7 июля 2010 г. С. 76-77.
10. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 2. М.-Л.: ГТТИ, 1936. 563 с.
11. Долов М.В., Павлюк Ю.В. К вопросу об алгебраической интегрируемости полиномиальных векторных полей // Тр. СВМО. 2004. Т. 6. № 1. С. 40-50.
12. Долов М.В., Чистякова С.А. О числе линейных частных интегралов кубической системы, вырожденной на бесконечности // Тр. СВМО. 2007. Т. 9. № 2. С. 62-74.
13. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвёртой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник ННГУ. 2010. № 6. С. 132-137.
14. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвёртой степени с вырожденной бесконечностью.
II // Вестник ННГУ. 2011. № 1. С. 139-148.
15. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвёртой степени с вырожденной бесконечностью.
III // Вестник ННГУ. 2011. № 2. С. 123-129.
16. Латипов Х.Р., Косс М.Ш. Об интегральных прямых одного дифференциального уравнения // IX Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Качественные методы теории нелинейных колебаний. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1984. С. 219-222.
ON THE NUMBER OF LINEAR PARTIAL INTEGRALS OF POLYNOMIAL VECTOR FIELDS
M. V. Dolov, E. V. Kruglov
A polynomial vector field of degree n at least two is proved to have no more than 3n -1 different linear partial integrals, the estimate being accurate for second-, third- and fourth-order nonlinearities.
Keywords: algebraic integrability, polynomial vector fields, particular integrals, first integrals, differential equations.
References
1. Dolov M.V. O chisle algebraicheskih invariantnyh krivyh polinomial'nyh vektornyh polej // Differencial'nye uravnemya. 2004. T. 40. № 6. S. 838-839.
2. Dolov M.V., Bubnova I.V. Sistemy s linejnymi chastnymi integralami // Izvestiya RAEN, Differenc. uravneniya. 2006. № 11. S. 79-80.
3. Druzhkova T.A. Algebraicheskie differencial'nye uravneniya s algebraicheskimi integralami. CH.1. Metod posobie. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2005. 36 s.
4. Dolov M.V. O tochnosti ocenki chisla algeb-raicheskih krivyh polinomial'nyh vektornyh polej // Vestnik NNGU. 2013. № 2(1). S. 135-137.
5. Mironenko V.I. Linejnaya zavisimost' funkcij vdol' reshenij differencial'nyh uravnenij. Mn: Izd-vo BGU, 1981. 103 s.
6. Druzhkova T.A. Differencial'nye uravneniya s al-gebraicheskimi integralami. Dis... kand. fiz.-mat. nauk. Gor'kij: GGU, 1975. 129 s.
7. Druzhkova T.A. Algebraicheskie differencial'nye uravneniya s algebraicheskimi integralami. Ch. 2. Metod posobie. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2009. 30 s.
8. Lyubimova R.A. Ob odnom differencial'nom uravnenii s integral'nymi pryamymi // Differenc. i integral'nye uravneniya. Mezhvuz.sb. Gor'kij, GGU. 1977. S. 19-22.
9. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O chisle linejnyh chastnyh integralov polinomial'nyh vektornyh polej s
vyrozhdennoj beskonechnost'yu // Tez. dokl. Mezhduna-rodnoj konf. po differencial'nym uravneniyam i dinami-cheskim sistemam, Suzdal', 2-7 iyulya 2010 g. S. 76-77.
10. Gursa Eh. Kurs matematicheskogo analiza. T. 2. M.-L., GTTI. 1936. 563 s.
11. Dolov M.V., Pavlyuk Yu.V. K voprosu ob alge-braicheskoj integriruemosti polinomial'nyh vektornyh polej // Tr. SVMO. 2004. T. 6. № 1. S. 40-50.
12. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O chisle linej-nyh chastnyh integralov kubicheskoj sistemy, vyrozhdennoj na beskonechnosti // Tr. SVMO. 2007. T. 9. № 2. S. 6274.
13. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh cha-stnyh integralah polinomial'nyh vektornyh polej chet-vyortoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'yu. I // Vestnik NNGU. 2010. № 6. S. 132-137.
14. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh cha-stnyh integralah polinomial'nyh vektornyh polej chet-vyortoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'yu. II // Vestnik NNGU. 2011. № 1. S. 139-148.
15. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh cha-stnyh integralah polinomial'nyh vektornyh polej chet-vyortoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'yu. III // Vestnik NNGU. 2011. № 2. S. 123-129.
16. Latipov H.R., Koss M.SH. Ob integral'nyh pryamyh odnogo differencial'nogo uravneniya // IX Mezhdunar. konf. po nelinejnym kolebaniyam. Kachest-vennye metody teorii nelinejnyh kolebanij. T. 2. Kiev: Naukova dumka, 1984. S. 219-222.
